在三角形ABC中a,b,a分别是A,B,C的对边，且cosB/cosc=-b/2a+c.
提问：级别：高一来自：重庆市
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在三角形ABC中a,b,a分别是A,B,C的对边，且cosB/cosc=-b/2a+c.
在三角形ABC中a,b,a分别是A,B,C的对边，且cosB/cosc=-b/2a+c.
（1）求角B的大小；]
（2）若b=√13，a+c=4,求三角形ABC的面积？
问题补充：
1。右边=-sinB/(2sinA+sinC) 两边同时乘以(2sinA+sinC)*cosC 化简可得cosB=1/2 角B=60度 就是中间的化简是怎么化的呀？看不懂
&提问时间： 20:36:42
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回答：级别：硕士 21:01:52来自：山东省菏泽市
由正弦定理a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R，
得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
代入cosB/cosC=-b/2a+c中，
得cosB/cosC=-sinB/(2sinA+sinC)，
即 2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，
2sinAcosB+sin(B+C)=0
∵ A＋B＋C＝PAI，
∴ sin(B＋C)＝A
∴2sinAcosB+sinA=0
∵ sinA≠0， ∴ cosB＝－1/2，
又角B为三角形的内角，故B＝. 2PAI/3
将b＝13，a＋c＝4，B＝2PAI/3， 代入余弦定理，
得13=a^2+(4-1)cos2pai/3
整理得 a^2-4a+3=0 ，
解得 a=1或a=3.
还有一种解法：
1.cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
代入得：bc(a^2+b^2-c^2)=-2ab(a^2+c^2-b^2)-bc(a^2+c^2-b^2)
化简得：-ac=a^2+c^2-b^2
2.由(a^2+c^2-b^2)/2ac=-1/2
a^2+c^2+ac=b^2=13,在式子两边都加上ac
得：a^2+c^2+2ac=13+ac=(a+c)^2=16
ac=3,由a+c=4,联立得：a=1或3
法1做得可能比较容易一点！2解得这种思路就是构造，对以后学数学会很有用的！！还有就是做题要注意观察，回忆所学知识进行解题，特别在考试的时候，很有用的！！
提问者对答案的评价：
谢谢你哦……
回答：级别：高级教员 21:07:40来自：山东省临沂市
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高中数学典型例题解析（第三章基本初等函数Ⅱ（三角函数）2）
四、典型习题导练1． 当0＜x＜л时,则方程cos (лcosx)=0的解集为(&& )A. &&&&&&&&&B.&&&&&&C.&&&&&&D.2．在中，已知，给出以下四个论断：& ① &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ② ③ &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ④ 其中正确的是A．①③&&&&&&&&&&&&&&&&&& 　B.②④&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& C.①④&&&&&&&&&&&&&&&&& D.②③3．设,且,则 A. &&&&&B. &&&&&C. &&&&D. 4．曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依&& 次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于（ ）A．&&&&& &&& B．2&& &&&&C．3 &&&& D．45．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x．& (1) 求f()的值；&&&&&(2) 设∈(0，)，f()＝，求sin的值．6．已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.&&7．已知（1）求的值；&（2）求的值。&&&3.3三角函数的恒等变换一、知识导学& 1.两角和、差、倍、半公式（1）&&&&&&两角和与差的三角函数公式& & & （2）&&&&&&二倍角公式&&&&&&&&&&&&（3）&&&&&&半角公式&&&&&&&&，&&，&&&&&&&&&& 2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形，常见于化简求值和恒等式证明.恒等式证明就是利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，使左右相等，常用方法为：（1）从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；（2）证明左右两边都等于同一个式子（或数值）.二、疑难知识导析1．两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律，常用于解决求值、化简和证明题.2．倍角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如成立的条件是“是任意角，的2倍角”，精髓体现在角的“倍数”关系上.&3．公式使用过程中（1）要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用逆用和变形使用，也要注意公式成立的条件.例、、等.&4． 三角公式由角的拆、凑很灵活.如、、，等，注意到倍角的相对性.&5．化为三角函数式，常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值与特殊角的三角函数互化等.&6. 三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式&&& (1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找突破口.(2)有条件的等式证明,常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变形.采用消去法或基本量法等求证.&三、典型例题导讲[例1] 在DABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则DC的大小应为(&&& )&&& A．&&&&&&&&&& B．&&&&&&&&&& C．或&&&&&&&& D．或错解：C错因：求角C有两解后未代入检验.正解：A[例2] 已知tana tanb是方程x2+3x+4=0的两根，若a，b?(-)，则a+b=（&&& ）&&& A．&&&&&&&&&& B．或-&&&&&&& C．-或&&&&&&&&&&& D．-错解：B.错因：未能准确限制角的范围.正解：D.[例3] △ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（&&& ）&&& A.&&&&&&&&&&B.&&&&&&&&&C.或&&&&&&&&& D.&&& 错解：C错因：是忽略对题中隐含条件的挖掘.正解：A[例4] 已知，（），则（　　）A、&&&&&& B、&&&&& C、&&&&& D、错解：A错因：是忽略，而解不出正解：C点评：在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法.四、典型习题导练1.已知集合M=，N=则MUN等于（　　）A．M&&&&&&&&&B.N&&&&&&&&&&& C.ф&&&&&&&&&&&D.2.若sinα+cosα=,则tanα+cotα=(　&&&& )A.1&&&&&&&&&&&B.2&&&&&&&&&&& C.-1&&&&&& &&&&&D.-23.已知＜α＜л＜,sinα=,则cos的值为(&&&&)A.或-&&&&&&&&B.- &&&&&&&&&&C.&&&&&&&&D.以上都不对4.已知θ=,则=&&&&&&&&&&.5.计算sinsin=&&&&&&&&&.6．已知tanA·tanB=tanA+tanB+1，则cos(A+B)的值是（　　）A．&&&& B． C．&&&& D．7．已知角A是△ABC的一个内角，且，则△ABC是（&&）&&&&&& A．锐角三角形 && B．钝角三角形 && C．直角三角形&
D．形状不确定8.已知向量&& （1）求的值；&& （2）若的值.3.4三角函数的图像与性质一、知识导学&1.三角函数线.设角的终边与单位圆交于点，过点做轴于，过点做单位圆的切线，与角的终边或终边的反向延长线相交于点，则有向线段分别叫做角的正弦线，余弦线，正切线.&2.三角函数的图像（1）四种图像（2）函数的图像①“五点作图法”②图像变化规律3.三角函数的定义域、值域及周期4.三角函数的奇偶性和单调性二、疑难知识导析1.+中，及，对正弦函数图像的影响，应记住图像变换是对自变量而言.&如：向右平移个单位，应得，而不是2.用“五点法”作图时，将看作整体，取，来求相应的值及对应的值，再描点作图.3.的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.而图像只是中心对称图形，掌握对称中心和对称轴的求法及位置特征，充分利用特征求出中的各个参数.4.三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提.求定义域实质上是解简单的三角不等式（组）.要考虑到分母不为零，偶次根式被开方数不小于零，对数的真数大于零、底数大于零且不等于1，同时还要考虑到函数本身的定义域.可用三角函数图像或三角函数线解不等式（组）.5.求三角函数的值域是常见题型.一类是型，这要变形成；二是含有三角函数复合函数，可利用换元、配方等方法转换成一元二次函数在定区间上的值域.6.单调性的确定，基本方法是将看作整体，如求增区间可由解出的范围.若的系数为负数，通常先通过诱导公式处理.7.利用单调性比较函数值的大小.往往先利用对称型或周期性转化成同一单调区间上的两个同名函数.&&&&& 三、典型例题导讲[例1] 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（&& ）& A& 向右平移&& B& 向右平移& C& 向左平移&& D向左平移错解：A错因：审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误.正解：B[例2] 函数的最小正周期为(&&&&&)A &&&&&&B&&&&C& &&&&&&D错解：A错因：将函数解析式化为后得到周期,而忽视了定义域的限制,导致出错.正解：B[例3]下列四个函数y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+),其中以点(,0)为中心对称的三角函数有（&&& & ）个.&&& A．1&&&&&&&&&&&&&&& B．2&&&&&&&&&&&&&&& C．3&&&&&&&&&&&&&&& D．4错解：B错因：对三角函数图像的对称性和平移变换未能熟练掌握.正解：D [例4]函数为增函数的区间是(&&&& )A. &&&&& &B.&&&&& C.&&& D. 错解：B错因：不注意内函数的单调性.正解： C&[例5]已知定义在区间上的函数的图像关于直线对称，当时，函数，其图像如图所示.&& （1）求函数在的表达式；&& （2）求方程的解.解：（1）当时，函数，观察图像易得：，即时，函数，由函数的图像关于直线对称得，时，函数.& ∴.&（2）当时，由得，；当时，由得，.∴方程的解集为&&&&&&&&&&&&&3.5解三角形及三角函数的应用一、知识导学1.解三角形的的常用定理:(1)&&&&&&&&&&&&内角和定理:结合诱导公式可减少角的个数.(2) 正弦定理: （指△ABC外接圆的半径）&&&&&&&(3) 余弦定理:& 及其变形.(4) 勾股定理:& 2.解三角形是指已知三角形中的部分元素运用边角的关系求得其他的边角的问题.三角函数的应用是指用三角函数的理论解答生产、科研和日常生活中的实际应用问题.他的显著特点是（1）意义反映在三角形的边、角关系上，有直角三角形，也有斜三角形.（2）函数模型多种多样，有三角函数，有代数函数，有时一个问题中三角函数与代数函数并存.解三角函数应用题一般首先审题，三角函数应用题多以“文字语言，图形语言”并用的方式，要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路；其次，寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.二、疑难知识导析1.对各类定理的应用要注意使用其变形逆用.同时充分利用方程的思想知道其中的部分量可求出其他量.2.三角函数的应用主要是图像和性质的应用.3.三角形中元素关系的应用与实际问题中的应用关键是如何建立数模结构.三、经典例题导讲[例1]已知方程（a为大于1的常数）的两根为，，且、，则的值是_________________.错解：&是方程的两个根，&& 由===可得错因：忽略了隐含限制是方程的两个负根，从而导致错误.正解：& ，&&&&&&&&&是方程的两个负根&&&&&&&&&&又& &即&&&&&&&&&&由===可得答案: -2 .[例2]在中，已知，b，c是角A、B、C的对应边，则①若，则在R上是增函数；②若，则ABC是；③的最小值为；④若，则A=B；⑤若，则，其中错误命题的序号是_____.错解：③④⑤中未考虑.错因：④中未检验.正解：错误命题③⑤.① ②.③时最小值为.显然.得不到最小值为.④& 或(舍)& ，.⑤错误命题是③⑤.[例3]函数f(x)=的值域为______________.错解：&错因：令后忽视,从而正解：[例4]＝　　【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值解：＝＝【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用.[例5] 在锐角△ABC中，A＜B＜C,且B=60°,=,求证：a+解：∵B=60°&∴A+C=120°& cos(A+C)=-又由已知=　∵锐角△ABC中，cosA＞0，cosC＞0，∴cosAcosC=&&& sinAsinC=∴cos(C－A)=&& 即C－A=30°∴A=45°&& B=60°&& C=75°∴a+b=2R(sin45°+sin60°)=2·2R=2·2Rsin75°=2c[例6]如图,在平面有点A、B、P、Q，其中，设△APB与△PQB面积为S、T，求S2+T2的取值范围.解：设∠BAP=α&& α∈[0,]∠BQP=β,在△PAB,△PBQ中由余弦定理cosβ=cosα-1∴S2+T2＝(sinα)2+(sinβ)2&＝－(cos－)2+∴当cosα=1时，S2+T2有最小值& 当cosα=时，S2+T2有最大值[例7]已知函数f(x)=sin(wx+j)，x?R，(其中w&0)的图像与x轴在原点右侧的第一个交点为N（6,0）,又f(2+x)=f(2－x),f(0)&0,求这个函数的解析式.解：f(2+x)=f(2-x)&& f(x)关于x=2对称，又x轴在原点右侧的第一个交点为N（6,0）&& =6-2=4，即T=16，=.将N（6,0）代入f(x)=sin(x+j)得：sin(+j)=0，&&&&得：j=2k+或j=2k+(k?Z), f(0)&0,&j=2k+(k?Z),满足条件的最小正数j=, 所求解析式f(x)=sin(x+).[例8]已知△ABC的周长为6，成等比数列，求&& （1）△ABC的面积S的最大值；&&& && （2）的取值范围.&解 &设依次为a，b，c，则a+b+c=6，b2=ac，由余弦定理得,故有，又从而&& （1）所以，即&& （2）所以&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ，&& &四、典型习题导练1.在Rt△ABC中,C=90°,则sinAcos2(45°－)-sincosA.有最大值和最小值0&&&&&&&&&&&&&&&B.有最大值但无最小值C.即无最大值也无最小值&&&&&&&&&&&&&&&D.有最大值但无最小值&2.要得到y=sin2x的图像,只需将y=cos(2x-)的图像(&&&& )A.向右平移&&&& B.向左平移&&&&& C.向右平移&&& D.向左平移3．电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I=的图像如图所示，则当秒时，电流强度是&&&安.&&4.在△ABC中,sin=,则△ABC的形状为&&&&&&&&&&&&&&&．5.直角三角形的周长为定值2l,则斜边的最小值是&&&&&&&&&&&&.6．如果方程x2-4xcosθ+2=0与方程2x2+4xsin2θ-1=0有一根，互为倒数求θ值，其中0＜θ＜π.7. 如图，已知一半径为1，圆心角为的扇形中，有一个一边在半经上的内接矩形ABCD，求该矩形的最大面积. 8．在分别是角A、B、C的对边，设，求sinB的值
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2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件：第24讲 解斜三角形
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简 单的三角度量问题． 2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法 解决一些与几何计算有关的实际问题．
1．正弦定理及变式 c ? ? 2 R； ?1? ? ① sinC ，c ? 2 R sin C； ? 2 ? a ? 2 R sin A，b ? ② a b sin sin ? 3? sin A ? ， B
? ， C ? ③ 2R 2R ? 4 ? sin A:sin B:sin C: ? a:b:c. ；? 5? 在下列条件下，应用正弦定理求解：已知两角和一边，求其他边和角； () (已知两边和其中一边的对角，求另一 ) 边的对角及其他边和角．　 余弦定理及变式 2． 1? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A；b 2 ? ④ ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C. cos cos . ? 2 ? cos A ? ； B ? ； C ? ⑤　 ? 3? 在下列条件下，应运用余弦定理求解： 已知三边，求三个角； () (已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角； ) ()已知两边和其中一边的对角，求第三边和 其他两个角． (此类问题需要讨论) ；3．三角形的面积公式 1 1 S ? ab sin C ? ⑥ ? bc sin A. 2 2 4．应用解三角形知识解决实际问题的步骤?1? 根据题意画出示意图； ? 2 ? 确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知条件和未知条件；　　? 3? 选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的正确性；? 4 ? 给出答案．【要点指南】 b ①； ② 2 R sin B； sinB c ③ ；④a 2 ? c 2 ? 2ac cos B； 2R a 2 ? b2 ? c2 1 ⑤ ；⑥ ac sin B 2ab 2
1.△ABC 中，BC＝3，A＝30° ，B＝60° ，则 AC 等于( A．3 3 3 C. 2 B. 3 D．2 3)3 3× BC AC BCsinB 2 【解析】 由正弦定理得 ＝ ， AC＝ ＝ ＝ 1 sinA sinB sinA 2 3 3，故选 A.1 2.在△ABC 中，如果 BC＝6，AB＝4，cosB＝ ，那么 3 AC 等于( A．6 C．3 6 ) B．2 6 D．4 6【解析】AC＝ AB2＋BC2－2AB? BCcosB ＝ ＝6. 1 6 ＋4 －2×6×4×32 23.在△ABC 中，若 2cosB? sinA＝sinC 则△ABC 是( A．直角三角形 C．等腰三角形 B．等边三角形)D．等腰直角三角形【 解 析 】 因 为 2cosB? ＝ sinC ＝ sin(A ＋ B) ＝ sinA sinA? cosB＋cosA? sinB， 所以 sin(A－B)＝0，即 A＝B.4.在锐角△ABC 中，设 x＝sinA? sinB，y＝cosA? cosB， 则 x，y 的大小关系为( A．x≤y C．x&y ) B．x&y D．x≥y【解析】 y－x＝cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)＝－ cosC&0，所以 y&x.5. 在 △ ABC 中 ， A ＝ 120° b ＝ 1 ， 面 积 为 3 ， 则 ， a＋b＋c ＝ sinA＋sinB＋sinC 2 7 .1 1 3 【解析】由 S＝ bcsinA，即 3＝ ×1×c× ，所以 c＝4. 2 2 2 所以 a＝ b2＋c2－2bccos120° 1 ＝ 16＋1＋2×4×1× 2 ＝ 21. a 21 所以 2R＝ ＝ ＝2 7. sinA 3 2 a＋b＋c 2R?sinA＋sinB＋sinC? 所以 ＝ ＝ 2R ＝ sinA＋sinB＋sinC sinA＋sinB＋sinC 2 7.
一正弦定理的应用【例 1】在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a， b，c，已知 a＝2，b＝ 2，B＝30° ，求 A、C 和 c.a b 2 2 【解析】由 ＝ ，得 ＝ ， sinA sinB sinA sin30° 2 所以 sinA＝ ，所以 A＝45° 135° 或 . 2 当 A＝45° 时，C＝180° －30° －45° ＝105° . 2 c 又由 ＝ ，得 c＝ 3＋1. sin30° sin105° 当 A＝135° 时，C＝180° －30° －135° ＝15° . 同理 c＝ 3－1.【点评】本题已知两边及一边的对角解三角形，可用正弦定理 求解，但要判定△ABC 是否有解，有几个解；也可用余弦定理 求解．素材1已知方程 x2－bcosAx＋acosB＝0 的两根之积等 于两根之和，且 a 和 b 是△ABC 的两边，A 和 B 是其 对角，试判断△ABC 的形状．【解析】设方程两根为 x1，x2，由根与系数的关系得 x1 ＋x2＝bcosA，x1x2＝acosB. 由题意，bcosA＝acosB， 由正弦定理，2RsinBcosA＝2RsinAcosB， 所以 sin(A－B)＝0， 又－π&A－B&π， 所以 A－B＝0，即 A＝B， 所以△ABC 为等腰三角形．二余弦定理和面积公式的应用【例 2】满足条件 AB＝2，AC＝ 2BC 的△ABC 的面积的最大 值为____________．【解析】设 BC＝x，则 AC＝ 2x. AB2＋BC2－AC2 4－x2 由余弦定理，得 cosB＝ ＝ ， 2AB? BC 4x 1 所以 S△ABC＝ AB? sinB BC? 2 1 ＝ ×2x× 2 4－x2 2 1－? ? 4x1 ＝ －x4＋24x2－16 4 1 ＝ 128－?x2－12?2 . 4? 2x＋x&2 ? 由三边关系，得?x＋2& 2x ? ? 2x＋2&x，解得 2 2－2&x&2 2＋2. 故当 x＝2 3时，S△ABC 取最大值为 2 2.【点评】此类题属于已知三角形三边关系求面积最值问 题，一般思路是首先由余弦定理求出某个角的余弦值，然后 再利用三角形的面积公式和函数性质求解．素材2cosB 在△ABC 中，a，b，c 分别是 A、B、C 的对边，且 cosC b ＝－ . 2a＋c (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积．cosB b 【解析】(1)因为 ＝－ ， cosC 2a＋c a2＋c2－b2 2ac b 所以 2 2 2＝－ ，所以 a2＋c2－b2＋ca＝0， a ＋b －c 2a＋c 2ab a2＋c2－b2 1 所以 cosB＝ ＝－ ，所以 B＝120° . 2 2ac(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB， 1 得 13＝a ＋c －2ac? )， (－ 22 2所以 13＝(a＋c)2－ac，又 a＋c＝4，所以 ac＝3. 1 1 3 3 3 所以 S△ABC＝ ac? sinB＝ ×3× ＝ . 2 2 2 4三正弦定理和余弦定理的综合运用【例 3】已知圆 O 的半径是 R，它的内接△ABC 中，有 2R(sin2A－sin2C)＝( 2a－b)sinB，求角 C 和△ABC 面积 S△ABC 的最大值．a b c 【解析】由正弦定理得 sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ ， 2R 2R 2R a2 c2 b 则 2R( 2－ 2)＝( 2a－b)× ， 4R 4R 2R 即 a2－c2＝( 2a－b)b， a2＋b2－c2 2 π 3π 所以 cosC＝ ＝ ，于是 C＝ ，A＋B＝ . 2 4 4 2ab 1 所以 S△ABC＝ ab? sinC 21 2 2 ＝ ×4R sinAsinB× 2 2 3π ＝ 2R sinAsin( －A) 421 2 π ＝ R [ 2sin(2A－ )＋1]． 2 4 3π π π 5π 因为 0&A& ，所以－ &2A－ & ， 4 4 4 4 π π 3π 所以当 2A－ ＝ ，即 A＝ 时，S△ABC 取最大值． 4 2 8 2＋1 2 (S△ABC)max＝ R. 2【点评】本题利用两个定理联立求解，结合化归与转化思想， 化异为同，最后水到渠成，本题在三角函数与解三角形交汇 处命题，灵活利用角的联系，减少角的个数，借助三角函数 的性质，求最值．素材3在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b2 ＋c2－a2＋bc＝0. (1)求角 A 的大小； (2)若 a＝ 3，求 bc 的最大值； π asin? －C? 6 (3)求 的值． b－cb2＋c2－a2 －bc 1 【解析】(1)因为 cosA＝ ＝ ＝－ . 2 2bc 2bc 2π 又因为 A∈(0，π)，所以 A＝ . 3 (2)由 a＝ 3，得 b2＋c2＝3－bc， 因为 b2＋c2≥2bc，所以 3－bc≥2bc，所以 bc≤1. 当且仅当 b＝c＝1 时，bc 取最大值为 1.π π π asin? －C? 2RsinAsin? －C? sinAsin? －C? 6 6 6 (3) ＝ ＝ b－c 2RsinB－2RsinC sinB－sinC 31 3 ? cosC－ sinC? 2 2 2 ＝ π sin? －C?－sinC 3 3 3 cosC－ sinC 4 4 1 ＝ ＝ . 2 3 3 cosC－ sinC 2 2备选例题如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角 形，∠ACB＝90° ，BD 交 AC 于 E，AB＝2. (1)求 cos∠CBE 的值； (2)求 AE.【解析】(1)因为∠BCD＝90° ＋60° ＝150° ， 又 DC＝AC＝BC， 180° －150° 所以∠CBE＝ ＝15° ， 2 所以 cos∠CBE＝cos15° ＝cos(45° －30° ) ＝cos45°cos30° ? ＋sin45°sin30° ? 6＋ 2 ＝ . 4(2)在△ABE 中，AB＝2. AE 2 由正弦定理得 ＝ ， sin?45° －15° sin?90° ? ＋15° ? 1 2× 2sin30° 2 所以 AE＝ ＝ ＝ 6－ 2. cos15° 6＋ 2 4
正、余弦定理体现了三角形中角与边存在一种 内在联系，其主要作用是将已知边、角互化或 统一．一般的，利用公式a ? 2 R sin A等( R为外 接圆半径)，可将边转化角的三角函数关系，然 后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到 b2 ? c2 ? a 2 三角形内角和定理；利用公式 cos A ? 2bc 等，可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系， 然后充分利用代数知识求边．}