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二次函数y=﹣x²－（k+1）x+k+2的图像与x轴交于A、B两点,点A在Y轴左侧,点B在Y轴右侧,其图像与Y轴交于C点,且AC²+BC²=28.(1)求此二次函数的解析式（2）若过此抛物线的顶点M和C的直线与X轴交于N,秋直线AC上的一点P,试∠APN=60°.
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⑴在y=﹣x²－（k+1）x+k+2中,
令y=0得﹣x²－（k+1）x+k+2=0,即(x+k+2)(x-1)=0,x1=-k-2,x2=1
所以 A(-k-2,0),B(1,0),
令x=0得,y=k+2,故C(0,k+2),
于是由AC²+BC²=28得 (k+2)²+(k+2)²+1²+(k+2)²=28,化简得 (k+2)²=9,k+2=±3
据题设 A(-k-2,0)在y轴左侧,故 -k-20,所以 k+2=3,k=1
因此 该二次函数的解析式为 y=﹣x²－2x+3
⑵由⑴该二次函数的解析式可表示为 y=﹣(x+1)²+4,故顶点M(-1,4),而C(0,3),A(-3,0)
用待定系数法可求得
直线MC解析式为 y=-x+3,令y=0得N(3,0),
直线AC解析式为 y=x+3,
可见直线MC、直线AC与x轴夹角均为45°,即∠CNA=∠CAN=45°,所以∠ACN=90°,
∵AN=6,∴CN=AN/√2=3√2,∠PCN=∠ACN=90°,∠CPN=∠APN=60°
CN/CP=tan∠CPN=√3,CP=CN/√3=√6
设P(m,n),则据图可见 m>0,而因P在AC上,所以,n=m+3,P(m,m+3)
由 CP=√6 得,m²+m²=6,m²=3,m=√3,
P(√3,3+√3)
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k=1y=﹣x²－2x+3
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