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1.75亿学生的选择
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1.75亿学生的选择
已知a∈R,函数f(x)=e^x+a|x-2|.（1）当0＜a≤e时,若函数f(x)在区间［1,+∞)上的最小值为e+1,求a的值;(2)设实数a使得关于x的不等式f(x)≥x在区间(-∞,2］上恒成立,求证：这样的实数a的取值集合为一个区间［a0,+∞),且-1/2
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(1)当x∈[1,2)时,f(x)=e^x+a(2-x), 则f'(x)=e^x-a
∵ 0＜a≤e
∴ f'(x)≥f'(1)=e-a≥0
∴ f(x)在x∈[1,2)上递增,f(x)最小值=f(1)=e+a　当x∈[2,+∞)时,f(x)=e^x+a(x-2),则f'(x)=e^x+a
∵ 0＜a≤e
∴ f'(x)≥f'(2)=e²+a＞0　 ∴ f(x)在x∈[2,+∞)上递增,f(x)最小值= f(2)=e²+a(2-2)=e²　综上在x∈［1,+∞)上,f(x)最小值=f(1)=e+a=e+1,即有a=1.(2)证：不等式f(x))=e^x+a|x-2|≥x在x∈(-∞,2]上恒成立
等价于e^x-x≥a(x-2)在x∈(-∞,2]上恒成立
当x=2时,不等式化为e²-2≥a(2-2)=0
即∀x∈R,不等式f(x)≥x恒成立,
当x∈(-∞,2)时,不等式可化为a≥(e^x-x)/(x-2)=[(e^x-2)/(x-2)]-1
设g(x)=[(e^x-2)/(x-2)]-1在x∈(-∞,2)内取得最大值a0,
记k=(e^x-2)/(x-2),则k可以看作是定点A(2,2) 到函数y=e^x,
x∈(-∞,2)上的点P(x,e^x)的连线的斜率,由几何意义知,当直线AP
与曲线y=e^x,x∈(-∞,2)相切时k取最大值,切点记为(x0,e^x0),
则a0=g(x0)=[(e^x0-2)/(x0-2)]-1
∵ y'=e^x,由导数的几何意义,e^x0=(e^x0-2)/(x0-2)
即x0e^x0-3e^x0+2=0
设h(x)=xe^x-3e^x+2,则h'(x)=xe^x-2e^x=(x-2)e^x＜0,x∈(-∞,2)
h(x)在x∈(-∞,2)内连续且单调递减
h(0)=0·e^0-3e^0+2=-1＜0,
h(-ln2)=(-ln2)e^(-ln2)-3e^(-ln2)+2=(1-ln2)/2＜0
∴ 由根的存在性定理,x0∈(-ln2,0),e^x0∈(1/2,1)
a0=g(x0)=[(e^x0-2)/(x0-2)]-1=e^x0-1∈(-1/2,0)
综上可知,符合题设的a的取值范围为a∈［a0,+∞),且-1/2＜a0＜0. ps：希望“雨的眼泪陈”同学仔细检查,看有无漏洞,不足之处请指正,可追问!
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＞＞＞已知函数f（x）=ex（x2+ax﹣a），其中a是常数．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（..
已知函数f（x）=ex（x2+ax﹣a），其中a是常数．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k，使得关于x的方程f（x）=k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：期末题
解：（Ⅰ）由f（x）=ex（x2+ax﹣a）可得，f′（x）=ex[x2+（a+2）x）]，当a=1时，f（1）=e，f′（1）=4e．所以 曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e=4e（x﹣1），即y=4ex﹣3e．（Ⅱ） 令f′（x）=ex[x2+（a+2）x）]=0，解得x=﹣（a+2）或x=0．当﹣（a+2）≤0，即a≥﹣2时，在区间[0，+∞）上，f′（x）≥0，所以f（x）是[0，+∞）上的增函数．所以方程f（x）=k在[0，+∞）上不可能有两个不相等的实数根．当﹣（a+2）＞0，即a＜﹣2时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表由上表可知函数f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（﹣（a+2））=．因为 函数f（x）是（0，﹣（a+2））上的减函数，是（﹣（a+2），+∞）上的增函数，且当x≥﹣a时，有f（x）≥e﹣a（﹣a）＞﹣a．所以要使方程x的方程f（x）=k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根，k的取值范围必须是（，﹣a]．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=ex（x2+ax﹣a），其中a是常数．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（..”主要考查你对&&函数的最值与导数的关系，导数的概念及其几何意义&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的最值与导数的关系导数的概念及其几何意义
函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．平均变化率:
一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率&&上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时，&
瞬时速度:如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．
函数y=f（x）在x=x0处的导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作或，即。
如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=
切线及导数的几何意义：
（1）切线：PPn为曲线f（x）的割线，当点Pn（xn，f（xn））（n∈N）沿曲线f（x）趋近于点P（x0，f（x0））时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。 （2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
&函数y=f（x）在x=x0处的导数特别提醒：
①当时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负，也可以为0．③在点x=x0处的导数的定义可变形为:&&&&
导函数的特点：
①导数的定义可变形为： ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：
①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)（x- x0）．②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导，则图象在（x0，f(x0））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，④显然f′（x0）&0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）&o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x0) =0，切线与x轴平行；f′(x0)不存在，切线与y轴平行．
发现相似题
与“已知函数f（x）=ex（x2+ax﹣a），其中a是常数．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（..”考查相似的试题有：
525680448305278496558633626945275300}