三角函数的万能公式应用大全
　　【&三角函数公式】现代数学把三角函数描述成无穷敖列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 因此需要一个万能公式就迫在眉睫了。　　万能公式　　上面的内容为大家带来的是三角函数的万能公式，现在同学们都熟知了吧，接下来还有更多的营养餐等着同学们来汲取呢。
本文来自：逍遥右脑记忆 /chuzhong/105634.html
相关阅读：
下一篇：没有了一小时记住中学所有三角函数公式
&怎样一个小时记住中学所有三角函数公式？（三角函数的记忆规律）
所谓彻底理解，就是能够从最简单的概念推出最复杂的结论。所以当我们觉得某个知识很难理解的时候，首先应该想到的就是，这个知识背后那些最简单的概念我们有没有真正弄清楚。
所以，我们要把三角函数彻底搞清楚，记下来并且活学活用，首先就要问：三角函数最简单的概念是什么？
显然，就是sin、cos、tg、ctg
这四个概念。这是三角函数的基本元素。可惜有很多人学了很长时间的三角函数，这四个符号倒是认识了，却没有能够真正理解它们的内涵。所谓三角函数，简单来说，就是直角三角形的几条边的比例关系。假设有直角△
ABC，∠ C=90°，对应斜边c，∠ A 和∠ B 分别对应直角边a 和b。
那么，sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b,
ctgA=b/a。实际上，这四个函数就是为了把直角三角形的比例线段简单化，为了避免每次都要写一大堆线段的比例式，而发明出来的。sinA
就代表∠A 所对的直角边与斜边的比例，cosA 就代表∠ A 的邻边与斜边的比例，tgA 就代表∠ A 的对边与邻边的比例，ctgA
就代表∠A 的邻边与对边的比例。
把这些最简单的概念弄清楚了，有很多基础的三角函数公式就不用记了。比如sin2A+cos2A=1，tgA ctgA=1，cosA
tgA= sinA，sinA ctgA= cosA。因为这些全都是直接从这个基本概念推出来的，比如cosAtgA=
sinA，sinActgA= cosA 这两个公式颠来倒去的，很容易把tgA 和ctgA
记混淆，一不小心就会记成sinAtgA=cosA 或
者cosActgA= sinA。但是，只要我们知道这四个基本概念，就知道
永远都不会记混淆。所以说真正高效的记忆是在彻底理解的基础上记忆，彻底理解了之后，过个十年八年都忘不掉，更不可能说什么听完课就忘、看完书就忘、过一天就忘了等等。
到了高中，三角函数最大的变化其实不是公式变得更多了，而是基础概念扩大了。也就是三角函数的取值范围从初中的0 到90
度，变成了任意角，也就是从负无穷到正无穷。但是sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b, ctgA=b/a
这四个基本概念还是没有变。学好高中的三角函数，最根本的还是在这四个基本概念的基础上，再认真理解“单位圆”的概念。把这个单位圆弄清楚了之后，整个高中的三角函数公式就迎刃而解，不管它怎么变来变去都逃不出我们的手掌心。
“标准圆”就是在坐标轴上以O 点为圆心，以1 为直径的圆。从这个圆上任意一点做一条到X 轴的垂线，这条垂线与X
轴还有这个点到圆心的连线，正好组成一个直角三角形。如图所示，在直角坐标系上的四个象限的单位圆上任取一点P（x，y），做PMMO，则
这里的PO=1，PM=y，所以sinO
的值就是PM 的长度，也就是P 点的纵坐标值y。同理，
这里和初中惟一不同的地方是，初中学习的是0
到90 度，所有的值都是非负数，而这里不仅有线段的长度，还有向量值，也就是x 和y 可能是负数。在第二象限，y 是正数，而x
是负数，所以在这个象限里sinO 是正数，而cosO 是负数；在第三象限，x和y 都是负数，所以sinO 和cosO
都是正数；在第四象限，y 是
负数，x 是正数，所以sinO 是负数，而cosO 是正数。
把这个道理彻底梳理清楚之后，高中三角函数的所有角度变化公式就全部都不用记忆了。什么sin(-θ)=-sinθ，cos(-θ)=cosθ
你就想到是角度沿着X 轴对折过来了，从第一象限跑到第四象限了，再看第四象限对应的y 肯定是负数，所以sin(-θ)=-sinθ，而x
值还是正数，所以cos(-θ)=cosθ。有了这个东西，剩下那些千变万化的什么，sin(θ-π/2)=-sin(π/2)=-cosθ，sin(θ-3π/2)=-cosθ,cos(θ+π)=-cosθ……反正加上一个角度，就是PO
往逆时针方向转，减去一个角度，就是PO 往顺时针方向转，转到哪个象限，符号是正
是负马上就知道了。这样后面三角函数的周期性也顺带着完全弄明白了。
然后就是三角函数和与差的公式，这个也是从单位圆出来的，无非就是单位圆上两个点的距离而已。这个推导课本上都有，看起来推导过程比较长，但只要自己动手在草稿纸上画一下，整个过程就一目了然了。三角函数和与差的公式很复杂，不仅有sin（α+β）=sinαcosβ+
cosαsinβ，sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，还有tg（α+β）和ctg（α+β）的公式。这些公式颠来倒去的，死记硬背足以把人背出数学恐惧症。如果我们不用“彻底理解+
把握规律”的方法来记忆，永远也别想学好三角函数。
其实，我们只需要记住sin（α+β）=sinαcosβ+
cosαsinβ这一个公式就行了，剩下的全都可以根据我们的基本概念想出来。因为我们已经把标准圆记在脑子里面了，无论什么角度变化，只要大脑里面好像出现一个闹钟一样：加上一个角，指针就逆时针旋转；减去一个角，指针就顺时针旋转。有了这个东西，怎么变都不会糊涂。
所以，sin（α-β）= sin［α+（-β）］= sinαcos(-β)+
cosαsin(-β)，这里多了个符号，是减，所以要把指针向顺时针方向转动，转到第四象限，y 是负数，x 是正数，sin
值变成负，cos 值还是正值， 所以
sin（α-β）= sin［α+（-β）］= sinαcos(-β)+cosαsin(-β)= sinαcosβ-
cosαsinβ。这就出来了，不管是符号还是sin 和cos 的顺序，都绝不会记错。
同理， c o s （ α + β ） = - s i n （ α + β + π / 2 ）
=-sinαcos(β+π/2)- cosαsin(β+π/2)，这里是加上π/2，指针要逆时针转动，sin
要变成cos，根据我们的单位圆，我们又可以得出
&cos（ α+β）的公式了。同样，cos（
α-β）= cos［ α+（-β）］，我们又可以很容易地知道
cos（ α-β）的公式了。至于tg（ α+β），tg（α-β），ctg（α+β），ctg（α-β），
我们只要知道最基础的四个概念：sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b, ctgA=b/a，就足够了。
tg（α+β）= sin（α+β）/ cos（α+β），tg（α-β）= sin（α-β）/ cos（α-β）……
以此类推，看起来无比复杂的两角和与差的公式就很清楚地排列在脑海里面，而且过很长很长的时间，也不会记错一个符号，不会记错一个顺序。这样的记忆效果，又岂是任何一种投机取巧的方法所能够比拟的？！
至于三角函数的二倍角公式，那就更简单了。既然已经知道sin（α+β）=sinαcosβ+ cosαsinβ，那么sin2α=
sin（α+α）=sinαcosα+ cosαsinα=2 sinαcosα。后面的cos2α、tg2α、ctg2α
公式也就可以继续按照单位圆概念及这四个基本概念轻而易举地就想出来了，根本不需要刻意地去记忆它们。所以说来说去，整个初中高中的三角函数那么复杂，其实记住两个东西就行了：第一，sinA=a/c,
cosA=b/c, tgA=a/b,ctgA=b/a；第二，单位圆的图形变化。
已投稿到：
以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。?sin12??1???cos12??3??12；3sin12??3cos12?；???2?2sin12cos12(2cos12?；132(sin12??cos12?)(逆用二倍角；23(sin12?cos60??cos12?si；43sin(12??60?)?(逆用差角公式)?；4sin(?48?)???4(逆用二倍角公式)；3.5幂的变换；降幂是三角变换
?sin12??1???cos12??3??12??解：原式??(切割化弦) ?4cos12?2
3sin12??3cos12?
? ??2?2sin12cos12(2cos12?1)
132(sin12??cos12?)(逆用二倍角公式) ??sin24cos24?
23(sin12?cos60??cos12?sin60?)?(常数变换) ??sin24cos24
43sin(12??60?)?(逆用差角公式) ??2sin24cos24
4sin(?48?)???4(逆用二倍角公式)。 sin48?
降幂是三角变换时常用的方法，对于次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用的降幂公式有：sin2??1?cos2?1?cos2?，cos2??和221?sin2??cos2??sec2?tan2??csc2??cot2?等等。降幂并非绝对，有时也需要升幂，如对于无理式?cos?常用升幂化为有理式。 1例、化简sin2?sin2??cos2?cos2??cos2?cos2?。 2
分析：从“幂”入手，利用降幂公式。
111 (1?cos2?)(1?cos2?)?(1?cos2?)(1?cos2?)?cos2?cos2?442
11?(1?cos2??cos2??cos2?cos2?)?(1?cos2??cos2??cos2?cos2?)44?1?cos2?cos2? 2
?11(1?cos2?cos2?)?cos2?cos2?22
如果所要证明或要求解的式子中不含已知条件中的某些变量，可以使用消元法消去此变量，然后再求解。 例、求函数y?2?sinx的最值。 2?cosx
解：原函数可变形为：sinx?ycosx?2?2y，即
sin(x??)?2?2y
|sin(x??)|?1
4?74?7，ymin?。 33
解得：ymax?
在三角变换中，常常对条件、结论的结构施行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时须和差与积互化，分解因式，配方等。 例、化简1?sinx?cosx。 1?sinx?cosx
分析：本题从“形式”上看，应把分析式化为整式、故分子分母必有公因式，只需把分子分母化成积的形式。 解：1?sinx?cosx?1?cosx?sinx?2sin2
xxx?2sin(sin?cos) 222
1?sinx?cosx?1?cosx?sinx?2cos2
xxx?2cos(sin?cos) 222xxx?2sincos 222xxx?2sincos 222
所以1?sinx?cosxx?tan。 21?sinx?cosx
引用辅助角
辅助角公式的引用，是在三角函数变换过程中，两角和同两角差之间正弦或余弦公式形式的变换，它是求三角函数的单调区间、周期等时最为重要的解题手段之一，就像我们将三角函数式asinx?bcosx化为a2?b2sin(x??)的形式，在这个三角函数式里 φ 被称为辅助角，这里辅助角?所在的象限由a,b的符号确定，?角的值由tan??b确定。 a
例、求y?5cos2x?6sin2x?20sinx?30cosx?7的最大值与最小值。
分析：求三角函数的最值问题的方法：一是将三角函数化为同名函数，借助三角函数的有界性求出；二是若不能化为同名，则应考虑引用辅助角。 解：y?(9cos2x?12sinxcosx?4sin2x)?20sinx?30cosx?3
?(3cosx?2sinx)2?10(2sinx?3cosx)?3
?(3cosx?2sinx?5)2?22
?(2sinx?3cosx?5)2?22
?[sin(x??)?5]2?22 其中，tan??3， 2
当sin(x??)?1时，ymax?(?5)2?22?16?10；
当sin(x??)??1时，ymin?(??5)2?22?16?10。
以上都为中学数学三角函数中常用解题方法技巧，三角函数是中学数学的重要内容，是考试考查的重点，热点。不论是三角函数的求值、化简、证明，还是其它与三角函数有关的考题，都涉及到利用三角恒等变换.三角变换的方法很多，如以上切割化弦，异角化同角，异名化同名等。在解题中，常需要对角的范围及
三角函数值的符号情况进行讨论，甚至是一些变换技巧的应用，若审题不严不细，很容易出错。下面就学生在解三角恒等变换题目时常出现的错误进行剖析。 4
三角恒等变换剖析总结
在中学数学中，三角恒等变换作为解题基本工具，应用在平面几何、空间几何、平面向量、空间向量、三角函数性质与周期等数学问题中，三角恒等变换是学习好这些部分的基础。学习好三角函数变换不仅仅可以培养学生的逻辑思维能力，而且三角函数变换占有重要比例。
三角函数恒等变换公式繁多，大多数学生不能够运用公式，其中重要的原因包括：变换公式繁冗、函数意识不强、解题思路不明确、方法太过死板等等。在具体解决问题中学生容易犯以下错误：审题不清而产生错解、忽略隐含条件而导致错解、忽略三角形的三个内角之间的制约条件而产生错解、忽略三角等式变形过程中角的变化而产生漏解或增解等等。虽然三角函数的变换具有种类多而且方法灵活多变的特点，所以很难让学生真正的掌握。但是三角变换中的基本规律和思想却是不变的，只要学生掌握三角变换的一般基本规律就，找到各个公式之间的差异就能顺其自然的对三角函数进行转化。
三角变换的特点是公式多，方法灵活，题型千变万化，不容易掌握，所以在学习三角变换的时候必须总结一定的技巧和方法。基本思路可归纳为：一看角（角要尽量同角），二看函数种类（尽量化成同名函数或者是切割化弦），三看三角变换式子的特点（高次降幂，无理化为有理等等）。“变”是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换、三角函数名的变换、三角函数次数的变换、三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中强化“变”的意识是关键，学生需要立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律，进而多角度、多方位地思考问题、解决问题。
三亿文库包含各类专业文献、文学作品欣赏、专业论文、外语学习资料、应用写作文书、行业资料、三角函数公式整合及应用76等内容。　
　高中三角函数公式和计算公式整合_数学_高中教育_教育专区。两角和公式 倍角公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Sin2A=2SinA?CosA sin(A-B) = sinAcosB-... 　十二月教学反思---三角函数知识归纳整合 三角函数是中学数学的重要内容,本章在...但需要提醒的是:如果,为减少错误,往往是利用诱导公式,将的系数转化 为正数,再... 　三角函数公式应用大全_初三数学_数学_初中教育_教育专区。三角函数定义及其三角函数公式大全 一:初中三角函数公式及其定理 三角函数定义及其三角函数公式大全 一:初中... 　三角函数公式应用_数学_高中教育_教育专区。三角函数公式应用 1.角度值与弧度制...高中数学 三角函数公式、... 4页 1下载券
三角函数公式整合及应用 暂无评价... 　三角函数公式及应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高频考点 三角函数公式及应用 1. 任意角的三角函数: (1) 弧长公式: l ? a R (2) 扇形的面积公式: ... 　三角函数公式应用_数学_高中教育_教育专区。不为失败找理由,要为成功找方法 三角函数公式应用班级: 姓名: 日期: 一:知识点梳理 1. 同终边的角间的关系 练习一... 　三角函数推导,公式应用大全_数学_高中教育_教育专区。详细三角函数推导,公式应用大全 公式一 sin(2kπ+α)=sinα k∈z cos(2kπ+α)=cosα k∈z tan(2kπ... 　三角函数知识整合_数学_高中教育_教育专区。【三角函数知识整合】 1.①与 ? (...tan 3.弧度制下,扇形弧长公式___,扇形面积公式___,其中 ? 为( ) 4.三角...您好，欢迎来到新东方
精彩内容 及时分享
新东方中考微信
新东方中考微博
三角函数的万能公式应用大全
来源：新东方网整理
　　【新东方中考网—三角函数公式】现代数学把三角函数描述成无穷敖列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
因此需要一个万能公式就迫在眉睫了。
　　万能公式
　　上面的内容为大家带来的是三角函数的万能公式，现在同学们都熟知了吧，接下来还有更多的公式大全营养餐等着同学们来汲取呢。
（责任编辑：兰香子）
新东方中考网官方微信：XDF初中学习 （微信号：xdfzkxx）
为您提供中考满分作文、中考时间、中考压轴题、中考分数线、中考英语写作以及海量中考试题，更多关于新东方中考的精彩信息，请扫一扫二维码，关注我们的官方微信!
新东方中学辅导专区
版权及免责声明
① 凡本网注明"稿件来源：新东方"的所有文字、图片和音视频稿件，版权均属新东方教育科技集团（含本网和新东方网）
所有，任何媒体、网站或个人未经本网协议授权不得转载、链接、转贴或以其他任何方式复制、发表。已经本网协议授权的媒体、网站，在下载使用时必须注明"稿件来源：新东方"，违者本网将依法追究法律责任。
② 本网未注明"稿件来源：新东方"的文/图等稿件均为转载稿，本网转载仅基于传递更多信息之目的，并不意味着赞同转载稿的观点或证实其内容的真实性。如其他媒体、网站或个人从本网下载使用，必须保留本网注明的"稿件来源"，并自负版权等法律责任。如擅自篡改为"稿件来源：新东方"，本网将依法追究法律责任。
③ 如本网转载稿涉及版权等问题，请作者见稿后在两周内速来电与新东方网联系，电话：010-。
中考分数线
中考后留学}