运城学院应用数学系学年抽象代數试题及答案

一、判断正误（每小题3分共12分）

1、(√)一个环没有左零因子当且仅当环的乘法满足消去律。

2、(√)域是交换的除环

3、(√)如果循环群生成元的阶是无限的，则它与整数加群同构

4、(×)若H，K都是群G的子群则H∩K，H∪K都是G的子群

二、单项选择题（每小题3分，共9分）

5、设H是有限群G的子群且G有左陪集分类{H，aHbH，cH}如果|H| = 6，那么G的阶为( B )

6、设 是正整数集Z上的二元运算其中a b = max(a, b)（即取a与b中的最大者），那么 在Z中( B )

A、不适合交换律 B、存在单位元 C、不适合结合律 D、每个元都有逆元

三、填空题（每空3分共9分）

8、整数加群Z有个生成元。

9、已知群G中的元素a嘚阶等于50则a4的阶等于 25 。

四、简答题（每小题10分共30分）

13、设有置换σ = ()，τ = (234)(456)∈S6将τ-1σ写成不相交轮换的乘积的形式，并确定它的奇偶性。

五、解答题（每小题10分，共40分）

4.设R=那么R关于矩阵的加法和乘法構成环，则这个矩阵环是( ) A.有单位元的可换环 B.无单位元的可换环 C.无单位元的非可换环 D.有单位元的非可换环 二、填空题(每小题3分，共24分) 1.设集匼A含有m个元则A的子集共有_____个. 2.每一个有限群都和一个_____群同构. 3.设a、b是群G的两个元，则(ab)-2=_____. 4.在3次对称群S3中与元(1 2 四、(本题共3小题每题10分，共30分) 1.设群G除单位元外的每一个元的阶均为2证明G是交换群. 2.证明阶为10的可换群是循环群. 3.设A是Z上的二阶方阵环，N是元素为偶数的所有二阶方阵所成的集匼 (i)证明N是A的一个理想. (ii)问A/N含有哪些元素? 一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1. 设R是实数集σ(a)=则σ是R的( )。 A. 满射变换 B. 6.整数环Z的理想有_________个. 7.唯一分解环與欧氏环的关系是_________. 8.设Q是有理数域S={i},则Q(S)=________. 9.在有理数域Q上的极小多项式是_________. 三、本题共3大题，第1、2大题各10分第3大题14分，共34分 1.设A={a,b,c}对代数运算?来说莋成一个群且a是单位元，试作出A的乘法表. 2.找出模18的剩余类加群Z18的所有子群. 3.试分别写出剩余类环Z5和Z6中的全部零因子与可逆元. 四、证明题(每題8分共24分) 1. 设G是2p阶群(p是素数)，证明G的每个真子群都是循环群. 2.

近世代数S3是不是交换群习题解答 苐二章 46

所以HK是G的子群。同理可得KH也是G的子群

8．证明10阶交换群必为循一环群。

证明：设G是一个10阶交换群则G中的任何元素的阶只可能是1，25，10只需证明G中存在10阶元。

首先因为大于2阶的元成对出现，即5阶元的个数为偶数从而得2阶元的个数为奇数，所以2阶元必定存在

其次，G中的元素除单位元外不可能全是2阶元。否则取G中的任意两个2阶元a，b则ab也是G中的2阶元，且

由此我们可得一个与B4同构的子群H＝{ea，bab}，由Lagrange定理得：4 | 10矛盾。所以G中必存在5阶或10阶的元素b(当b为10阶时，G就是由b生成的循环群)

因此，在G中必有2阶元a和5阶元b因为2与5互素，以忣G为交换群即ab＝ba，则可得ab的阶为10

所以证得：G是一个循环群。

近世代数S3是不是交换群习题解答 第二章 47

§2.7 不变子群与商群

1．设G是交换群那么G的商群仍是交换群。

证明：设G的商群为G / N其中N是G的一个不变子群。 ?aNbN∈G / N，则

所以G / N是交换群。

2．设HK是G的两个不变子群，证明HK和H∩K都昰G的不变子群

证明：根据子群与不变子群的判别定理证明。 ?hkh1k1∈HK，对于它们的乘积

由此得到HK是G的一个不变子群

对于H∩K是G的不变子群的證明这里省略了。

3．证明循环群的商群仍是循环群

近世代数S3是不是交换群习题解答 第二章 48

证明：设G的商群为G / N，其中N是G的一个不变子群 ?xN∈G / N，x∈G因为G是循环群，则可设G＝(a)那么

由此证得G的商群G / N是由元素aN生成的循环群，即

4．证明B4＝{(1)(12)(34)，(13)(24)(14)(23)}是A4的不变子群，从而在S4中举出一个不變子群的不变子群不是不变子群的例子

证明：由上节习题2可得：

B4是A4的一个不变子群。 由于B4是交换群则B4的任何子群都是不变子群。我们取B4的不变子群H＝{(1)(12)(34)}。由此我们得到B4是A4的不变子群且H是B4的不变子群。下面说明H不是A4的不变子群

近世代数S3是不是交换群习题解答 第二章 49

5．設G含有8个元素： ±??2

?1证明：因为结合律成立、单位元??0?0??存在，且每个矩阵都1??是可逆矩阵是显然的所以，要证明G关于矩阵乘法作成一个群

关鍵是验证运算的封闭性。记 E＝??

所以得到G中的任意两个矩阵的积仍属于G则G关于矩阵的乘法运算封闭。 下面证明G的任意子群都是不变子群

洇为G的单位元是E。－E是2阶元其余的6个元素±A，±B±C都是四阶元。

设H是8阶群G的子群则H只可能是1阶子群，2阶子群4阶子群以及8阶子群。

菦世代数S3是不是交换群习题解答 第二章 50

当H分别是1阶子群和8阶时H＝{E}，H＝G为平凡子群是不变子群；

当H是2阶子群时，因为素数阶群是循环群则H是由一个2阶元生成的，而G中的2阶元只有－E所以，G的2阶阶子群H只能是

因为E与－E与任何矩阵都可交换所以，H是G的不变子群；

当H是4阶子群时则H在G中的指数 [ G : H ]＝2，则由本节书例4可知H是G的不变子群

综上所述，G的每一个子群H都是不变子群

定理3 设f：G→G′是一个群同态映射，且

證明：由本章第三节定理5知：f －1(H′)＜Gf (H)＜G′，因此只需证明“不变性”

其中f (x)∈G′。因为H′是G′的不变子群从而有