高等代数课程的个人体会和看法
其实前几天我就在琢磨一个问题：我们考史纲考思修，往往结课就是写一篇类似个人体会与对课程看法的文章。尽管大部分都是水水过了，但是仔细一想，其实这个问题是真正有建设性的。要是考高代的时候出一个两分的题，问你对高等代数这门课程学习的感受和体会，那我又该怎么回答呢？于是有了这篇。---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------究竟高等代数（或者说，线性代数）学的是什么，其实我的看法也是一直在改变的。最早的想法就是，代数学代数学，那就是利用符号和字母代替数进行一般研究的数学（大约是以多项式为主的那一部分）；但是学了一段时间矩阵，又觉得似乎是研究抽象运算的数学（当时看来矩阵的运算真是非常古怪）；等到意识到矩阵不过是线性变换的一种表示方法后，我觉得高等代数研究的是线性变换（这也恰好契合了线性代数这一课程名）。但是这门课程并不叫矩阵论，倘若用这一年学的局部来概括整体似乎不太妥当。要是说线性变换为高等代数的主干倒也说得过去，但是在（我所看过的）教材中却并不是单单围绕线性变换展开。对于我来说，我自己最满意的答案是：高等代数学的是最简单的几种结构。&&倘若追根究源，从最特殊的情况考察我们学的一些东西，其实这些思想往往来源于初中甚至更早。例如一般的内积空间，就来自于我们曾经最熟悉的笛卡尔坐标系这个二维平面；而gram-schmitz正交化方法，大概与我们通过作高来找向量的垂直表示差不多。这一系列的推广的本源都是我们很早就知道的东西，但是一般化讨论赋予了这些方法生命力。数学分析正巧在高等代数学到内积空间的时候讲到Fourier分析，把一个大家喜闻乐见的普通空间换成一个特殊的空间（比如闭区间上平方可积函数空间），许多结果就是不平凡而且很耐人寻味的了。&&最早明确数学结构化的布尔巴基在《数学的建筑》一书中说到，定义一个结构是赋予集合中元素之间的一些关系。而只要从这些关系满足的公理出发，我们可以推演出这个集合的性质，而并不用考虑这些元素究竟是什么。这种情况下，寻找一般化的结构性质就是大家的目标。&一般化，为了做到这一点，我们的教材在讨论问题时都试图从一般化出发。很多时候大家可能都被一般的向量空间折磨，也许会想这要是R^n该多好写啊！但从一般化的角度看，前者可比后者深刻更多。我们的教材力图更多使用酉空间而不是欧氏空间我想意图也就是如此，毕竟酉空间更加一般。&这不难理解我们课程的安排了。我们花了很多时间研究线性空间这一最基本的结构。之所以基本，一是因为线性结构非常基本，平时我们用的加法就是如此；二是因为线性空间与我们接触得多的R^n非常相似。在此基础上，我们研究了线性变换（同样，线性变换由于与加法的类似性，是一种相对简单的映射），并且还研究了由此衍生出的一些复合型结构，比如线性变换的不变子空间什么的。之后引入了内积、双线性型等结构，也多是在线性空间的基础上衍生出来的。（当然，这些内容也有许多牵涉到应用，于是很多地方花功夫讨论了工程中喜闻乐见的问题）&最后从数学系的角度来看，高等代数还有一个目的，那就是为抽象代数铺桥。在更加抽象的结构出现之前，先给我们一些基础面对这些一般化的结构吧。&--------------------------------------------------------------------------------------------------
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设P是素数,a是一个有理数,它不是任何有理数的p次幂,试证明多项式x^p-a在有理数域上不可约
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记m^p=a，全部p次单位根e1,e2......ep,X^p-a=(x-me1)(x-me2)........(x-mep)..若X^p-a=g(x)h(x).不妨设g(x)=c(x-me1)(x-me2)........(x-mer).c
,cm^re1e2...er都是有理数，记e1e2...er=e,b=m^re.因p,r互素up+vr=1.m^vr=(be-1)^v (1)
m^vr=m^1-up=ma-u(2)有两式得m=a^u(be-1)^v,则推出(a^ub^v)^p为有理根与题设矛盾
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A=(aij)s*s, 证明r（A）=r（β1....βr）
设V=L（α1，α2，…，αs）,由于（α1，α2，…，αs）是线性无关向量组，从而V是s维线性空间，并且α1，α2，…，αs为V的一组基。
在V上定义线性变换
А（α1，α2，…，αs）=（α1，α2，….，αs）A，
则线性变换的秩（А）=矩阵的秩（A）
又А（α1，α2，…，αs）=（Аα1，Аα2，…，Аαs）
（α1，α2，….，αs）A=（β1，β2，…，βs）
因此（Аα1，Аα2，…，Аαs）=（β1，β2，…，βs）
即Аαi=βi
矩阵的秩（A）=线性变换的秩（А）
=秩（Аα1，Аα2，…，Аαs）
=秩（β1，β2，…，βs）
设秩（A）=r，则存在初等矩阵P1,P2,...,Pn,Q1,Q2,...,Qm,使得
A=(P1P2...Pn)(Er)(Q1Q2...Qm)
这里Er是前r个对角线元素为1，其余元素为零的s*s矩阵
于是（β1，β2，…，βs）=（α1，α2，….，αs）A
=（α1，α2，...
设V=L（α1，α2，…，αs）,由于（α1，α2，…，αs）是线性无关向量组，从而V是s维线性空间，并且α1，α2，…，αs为V的一组基。
在V上定义线性变换
А（α1，α2，…，αs）=（α1，α2，….，αs）A，
则线性变换的秩（А）=矩阵的秩（A）
又А（α1，α2，…，αs）=（Аα1，Аα2，…，Аαs）
（α1，α2，….，αs）A=（β1，β2，…，βs）
因此（Аα1，Аα2，…，Аαs）=（β1，β2，…，βs）
即Аαi=βi
矩阵的秩（A）=线性变换的秩（А）
=秩（Аα1，Аα2，…，Аαs）
=秩（β1，β2，…，βs）
设秩（A）=r，则存在初等矩阵P1,P2,...,Pn,Q1,Q2,...,Qm,使得
A=(P1P2...Pn)(Er)(Q1Q2...Qm)
这里Er是前r个对角线元素为1，其余元素为零的s*s矩阵
于是（β1，β2，…，βs）=（α1，α2，….，αs）A
=（α1，α2，….，αs）(P1P2...Pn)(Er)(Q1Q2...Qm)
=【（α1，α2，….，αs）(P1P2...Pn)】(Er)(Q1Q2...Qm)
记（γ1，γ2，...，γs）=【（α1，α2，….，αs）(P1P2...Pn)】
则（β1，β2，…，βs）
=【（α1，α2，….，αs）(P1P2...Pn)】(Er)(Q1Q2...Qm)
=（γ1，γ2，...，γs）(Er)(Q1Q2...Qm)
=（γ1，γ2，...，γr,0,...,0）(Q1Q2...Qm)
由于初等变换不改变矩阵的秩，所以
（γ1，γ2，...，γs）=秩（α1，α2，….，αs）=s，
即γ1，γ2，...，γs线性无关。
并且 r = 秩（γ1，γ2，...，γr,0,...,0）=
秩【（γ1，γ2，...，γr,0,...,0）(Q1Q2...Qm）】
所以秩（β1，β2，…，βs）
= 秩【（γ1，γ2，...，γr,0,...,0）(Q1Q2...Qm）】= r = 秩（A）
其他答案（共1个回答）
αr+1，αr+2，…αs can be in terms of
α1，α2，…αr
ie
γ1αr+1 + γ2αr+2 + ... +γs-rαs
=β1α1+β2α2+...+βrαr
=& any linear combination of
α1，α2，…αs的秩为r
then
αr+1= (β1,r+1)α1 + (β2,r+1))α2 + ...
+ ... +(βr,r+1)αr
αr+2= (β1,r+2)α1 + (β2,r+2))α2 + ...
+ ... +(βr,r+2)αr
.
.
αs= (β1,s)α1 + (β2,s))α2 + ...
+ ... +(βr,s)αr
where r≤s
∈ Z+
(βi,j) is constant,
i=1,2,...,r
j= r+1,r+2,...,s
any linear combinat相关信息n of
αr+1，αr+2，…αs can be in terms of
α1，α2，…αr
ie
γ1αr+1 + γ2αr+2 + ... +γs-rαs
=β1α1+β2α2+...+βrαr
=& any linear combination of
α1，αr2，…αs can be in terms of
α1，α2，…αr
ie α1，α2，…αr为α1，α2，…αs的一个极大线性无关组
设向量组A{α1,α2,…,αr}与向量组B{α1,α2,…,αr,α(r+1),…,αs}(s&r)有相同的秩，即R(A)=R(B)，证明这两个向量组等价. ...
讨论见上传文件。
以下沿用您题目中的行向量的符号和写法。
需要指出，尽管本质上没有区别，但更多文献是用列向量表示的。
证：因为A为一个n级实对称矩阵，所以A与对角阵Λ相似，Λ主对角线上的元素是A的n个特征值，且|A|=|Λ|，
因为|A|&0，即|Λ|&0，所以Λ主对角线上至...
问题条件中应为“全体n元数组”。
1、令W为α=(1,1,...,1)生成的子空间，则W中每个非零向量必为α的非零倍数kα=（k,...,k）,就满足题设要求...
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