《统计研究》论文作者数量的统计分析_论文_百度文库
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《统计研究》论文作者数量的统计分析
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对于二元正态变量，n个点的散布大致是一个椭圆，在其长轴方向取坐标轴F1，在其短轴方向取坐标轴F2。这相当于在平面上作一坐标变换，即按逆时针方向旋转θ角度，得
?F1=cosθX1+sinθX2?
?F2=?sinθX1+cosθX2
?F1??cosθ??=?
?F2???sinθ
sinθ??X1?
????UiXcosθ??X2?
这里的U为正交矩阵，即U′U=I。因此，在F1oF2坐标系中有如下性质：（1）F1和F2为X1,X2的线性组合；（2）F1与F2不相关；
（3）X1与X2的总方差大部分归结为F1轴上，而F2轴上很少。
几何意义：一般情况，p个变量组成p维空间，n个样品点就是p维空间的n个点，对p元正态分布变量来说，找主成分的问题就是找p维空间中椭球体的主轴问题。
主成分的推导及性质
这里首先从理论上给出总体主成分，探讨总体主成分的性质，而后再给出样本主成分。
总体主成分
a=(a1,a2,?,ap)′
1．总体主成分的推导设
F?a′X=a1X1+a2X2+?+apXp
，其中且a′a=1，
X=(X1,X2,?,Xp)′。求主成分的过程就是寻找X的线性组合a′X，使相应的方差尽
可能地大的过程。
Var(F)?Var(a′X)=a′E(X?EX)(X?EX)′a=a′Σa
设协差阵Σ的特征根为λ1≥λ2≥?≥λp&0，相应的正交单位特征向量为U=(U1,U2,?,Up)′，则
?λ1?p??Σ=U???U′=∑λiUiUi′
因此，a′Σa=∑λia′UiUi′a=∑λi(a′Ui)(Ui′a)=∑λi(a′Ui)(a′Ui)′=∑λi(a′Ui)
i=1i=1i=1i=1
所以，a′Σa≤λ1∑(a′Ui)=λ1(a′U)(a′U)′=λ1a′UU′a=λ1a′a=λ1
而事实上，当a=U1时有
U1′ΣU1=U1′?∑λiUiUi′?U1=∑λi(U1′Ui)(Ui′U1)=λ1(U1′U1)=λ1
由此可知，在约束条件a′a=1之下，当a=U1时，使Var(a′X)=a′Σa达到最大值，
且Var(U1′X)=U1′ΣU1=λ1。
同理可求Var(Ui′X)=Ui′ΣUi=λi，且
′′′′′Cov(Ui′X,U′jX)=UiΣUj=Ui?∑λkUkUk?Uj=?∑λk(UiUk)(UkUj)?=0
?k=1??k=1?
结论：X=(X1,X2,?,Xp)′的主成分就是以Σ的特征向量为系数的线性组合，它们互不相关，其方差为Σ的特征根，主成分的名次是按照特征根大小的顺序排列
2．总体主成分的性质
性质1：设F=a′X为X的主成分，则其协差阵为由X的协差所对应特征根组成的对角阵。
∑Var(X)=∑σ
=∑λi=∑Var(Fi)。
∑Var(X)=∑σ
=tr(Σ)=tr(UΛU′)=tr(ΛUU′)=tr(Λ)=∑λi=∑Var(Fi)。
NOTE：此性质说明X1,X2,?,Xp各变量方差之和等于各个主成分的方差之和，即
。因此，λk
描述了第k个主成分提取的信息占总信息量的份额。为此，
可以给出方差贡献率和方差累积贡献率的定义。
定义：称λk
为第k个主成分Fk的方差贡献率，称
∑λ∑λ为前m个主
成分F1,F2,?,Fm的方差累积贡献率。
累积贡献率表明了前m个主成分提取了X1,X2,?,Xp中的总信息量的份额。在实际应用中，通常选取m&p，使前m个主成分的累积贡献率达到一定的比例（如85%）。这样用前m个主成分代替原来的变量X1,X2,?,Xp而不至于损失太多的信息，从而达到减少变量个数的目的。
∑Var(X)=∑σ
=∑λi=∑Var(Fi)。
证明：因为Var(Fk)=λk，Var(Xi)=σii
Cov(Fk,Xi)=Cov(Uk′X,ei′X)=Uk′D(X)ei=Uk′Σei=ei′(ΣUk)=ei′(λkUk)=λkUki2
，ρ(Fk,Xi)=
3．标准化变量的主成分3
这里ei为第i个分量为1其余分量为0的单位向量。并且使用了Aξ=λξ这个结论。一个总体往往由p个变量所组成，代表不同性质的p个指标，具有不同的计量单位，使得
主成分方差λi的大小取决于量纲的选择，从而导致各主成分方差大小排序的偏误。实施标准
在实际问题中，不同的变量往往有不同的量纲，由于不同的量纲会引起个变量取值的分散程度差异较大，这时，总体方差则主要受方差较大的变量的控制。若用Σ求主成分，则优先照顾了方差大的变量，有时会造成很不合理的结果。为了消除由于量纲的不同可能带来的影响，常采用变量标准化的方法，即
其中μi=EXi，σii=Var(Xi)。这时，X*=(X1*,X2,?,X*p)的协方差矩阵便是
X=(X1,X2,?,Xp)′的相关矩阵ρ=(ρij)p×p，其
=ρij=E利用X的相关矩阵ρ作主成分分析，平行于前面的结论，可以有如下的定理。′*
定理：设X*=(X1*,X2,?,X*p)为标准化的随机向量，其协方差矩阵（即X的相
关矩阵）为ρ，则X*的第i个主成分
Ui*)′X*=U1*iU2?+Uipi
)=∑λ=∑Var(Xi*)=p
其中λ1*≥λ2≥?≥λp≥0为相关矩阵ρ的特征值，U1*,U2,?,U*p为相应的正交单位
化特征向量。这时，第i个主成分的贡献为λi*/p，前m个主成分的累积贡献为
4．标准化和非标准化数据的主成分
例：设X=(X1,X2)′协方差矩阵和对应的相关矩阵分别为?14??10.4?
，Σ=?ρ=???
如果从Σ出发作主成分分析，易求得其特征值和相应的单位正交化特征向量为
λ1=100.16，U1=(0.040,0.999)′λ2=0.84，U2=(0.999,?0.040)′
则X的两个主成分分别为
F1=0.040X1+0.999X2，F2=0.999X1?0.040X2
第一主成分的贡献率为λ.2%λ1+λ.84
我们看到由于X2的方差很大，它完全控制了提取信息量占99.2%的第一主成分（X2在F1中的系数为0.999），淹没了变量X1的作用。
如果从相关矩阵ρ出发求主成分，可求得其特征值和相应的单位正交化特征
化后，使得不同变量或指标反映信息量的大小具有可比性。
λ1*=1.4，U1*=(0.707,0.707)′
**λ2=0.6，U2=(0.707,?0.707)′
则X*的两个主成分分别为
*F1*=0.707X1*+0.707X2=0.707(X1?μ1)+0.707(X2?μ2)*F2*=0.707X1*?0.707X2=0.707(X1?μ1)?0.707(X2?μ2)
λ1*1.4此时，第一个主成分的贡献率有所下降，为==70%。
由此看到，原变量在第一主成分中的相对重要性由于标准化而有很大的变
化。在由Σ所求得的第一主成分中的，X1和X2的权重系数分别为0.040和0.999，主要由大方差的变量控制。而在由ρ所求得的第一主成分中，X1和X2的权重系数反而成了0.707和0.0707，即X1的相对重要性得到提升。此例也表明，由Σ和ρ求得的主成分一般是不相同的，而且，其中一组主成分也不是第二组主成分的某简单函数。
在实际应用中，当涉及的各变量的变化范围差异较大时，从ρ出发求主成分比较合理。
样本主成分
1．样本主成分的导出
面讨论的是总体主成分，但在实际问题中，一般Σ（或ρ）是未知的，需要通过样本来估计。设
xi=(xi1,xi2,?,xip)′
为取处X=(X1,X2,?,Xp)′的一个容量为n的简单随机样本，则样本协方差矩阵及样本相关矩阵分别为：
S?(sij)p×p
1n=∑(xi?xi?)′n?1i=1
=(1,2,?,p)′，i=
i=1,2,?,pi,j=1,2,?,p
sij=(xik?i)(xjk?j)′∑n?1k=1
分别以S和R作为Σ和ρ的估计，按照前面所述方法，从样本协差阵S和相关阵R出发求出的主成分称为样本主成分。
?≥λ?≥?≥λ?≥0，相应的定理：设S?(s)是样本协方差矩阵，其特征值为λ
?,U?,?,U?，则第i个样本主成分为正交单位化特征向量为U12p
??U?′x=U?x+U?x+?+U?xFiii11i22ipp
其中x=(x1,x2,?,xp)′为X的任一观测值。当依次代入X的n个观测值xk=(xk1,xk2,?,xkp)′
?的n个观测值k=1,2,?,n时，便得到第i个样本主成分Fi
?(k=1,2,?,n)。这时Fki
?′i=1,2,?,p?的样本方差=U?′SU?=λ?Fiiii
?????′SU?=0i≠j?Fi与Fj的样本协方差=Uij?pp
??样本总方差=∑sii=∑λii
?这时，第i个样本主成分的贡献率定义为：∑λi
∑λ?。同时为了消除量纲的
影响，我们可以对样本进行标准化，即
*?x11?*x21
*x12*x22?*xn2
??x1p*??x2p????
i=1,2,?,n则标准化数据的样本协方差矩阵即为原数据的样本相关矩阵R*。由R*出发所得的样本主成分称为标准化样本主成分。只要求出R*的特征值及相应的单位正交化特征向量，类似上述结果可求得标准化样本主成分。这时标准化样本的样本总方差为p。
证明：对于标准化数据矩阵x*，样本相关矩阵为?r11?
1*′*?r21*
r12r22?rp2
?*=x*U*，其中U*为相关矩阵R的单位正交特征向量所组成的矩阵其特征根F
?*,λ?*,?,λ?*，满足U*′U*=I。分别为λ
*????*λ21?*′?*1**?1?
FF=(xU)′(x*U*)=U*′?(x*)′x*?U*=U*′RU*=???Λnnn?????
?*，即对于F?*的样本方差为λ?*有最大的方差；F?*有次大的方从而新变量F
差，……。并且协方差为
1?*′?*1**?1?
FiFj=(xUi)′(x*Uj*)=Ui*′?(x*)′x*?Uj*=Ui*′RUj*nn?n?
i,j=1,2,?,p
??U2′??***?******′??*U*U*′′′?=λ1U1U1+λ2U2U2+?+λpUpUp=∑λ??iii
?*???*′??λUp??p?
R=UΛU′=(U1*U2
所以，新变量的样本协方差
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