第三章矩阵的初等变换与线性方程组；一、填空题；1.设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为；?x1?x2??a1?x?x?a?2；3.若线性方程组?23有解，则常数a1,a2,a；?x3?x4??a3??x4?x1?a4；4.设一线性方程组的增广矩阵为；则β时，方程组有无穷多解?；2?10??1；??2?530??????14?0??；?a?1；5.设n
矩阵的初等变换与线性方程组
一、填空题
设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为 2.
设n阶方阵A经有限次第三种初等变换化成B，则B?
?x1?x2??a1?x?x?a?2
若线性方程组?23有解，则常数a1,a2,a3,a4应满足条件 ．
?x3?x4??a3??x4?x1?a4
设一线性方程组的增广矩阵为
时，方程组有无穷多解?
??2?530??????14?0??
设n(n&2)阶方阵A??
1?1?a?1??的秩等于n-1，则a=
a22a23??a11a12a13??a21?010?
a12a13?， P?1001.
设A??a21a22a23?，B??a11??，1
?aaa??a?aa?aa?a??001??????100???
P2??010?，则必有
(B)AP2P?B． 121
(D)P2PA?B．
设A是m?n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B?AC的秩为
(A)r?r1．(B)r?r1．
(C)r?r1．(D)r与r1的关系依C而定．
设A,B都是n阶非零矩阵，且AB?0，则A和B的秩
必有一个等于零． 都小于n．
一个小于n，一个等于n．
非齐次线性方程组Ax?b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则
(A)r?m时，方程组Ax?b有解．
(B)r?n时，方程组Ax?b有惟一解．
(C)m?n时，方程组Ax?b有惟一解．
(D)r?n时，方程组Ax?b有无穷多解．
设A是m?n矩阵，Ax?0是非齐次线性方程组Ax?b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是
(A)(B)(C)(D)
若Ax?0仅有零解，则Ax?b有惟一解． 若Ax?0有非零解，则Ax?b有无穷多个解． 若Ax?b有无穷多个解，则Ax?0仅有零解． 若Ax?b有无穷多个解，则Ax?0有非零解．
已知?1,?2是非齐次线性方程组Ax?b的两个不同的解，?1,?2是对应齐次线性方程组Ax?0的基础解系，k1,k2为任意常数，则方程组Ax?b的通解（一般解）必是
(A)k1?1?k2??1??2??
(B)k1?1?k2??1??2??(C)k1?1?k2??1??2??
(D)k1?1?k2??1??2??
三、 解答题
1. 利用初等变换求矩阵A的逆矩阵
?1?11?1???1?1?11??
2. 确定下列线性方程组中k的值满足所要求的解的个数.
有无穷多解:
3. 证明: 如果对所有的实数x均有ax2+bx+c=0, 那么a=b=c=0.
4. 设一线性方程组的增广矩阵为
?x?y?kz?4?
?x?2y?z?5?x?2y?z?1?
求α的值使得此方程组有唯一解.
5. 一城市局部交通流如图所示.(单位: 辆/小时)
?1211???1432?????2?2?3??
1) 建立数学模型
2) 要控制x2至多200辆/小时, 并且x3至多50辆小时是可行的吗?
6. 在应用三的货物交换经济模型中, 如果交换系统由下表给出, 试确定农作物的价值x1, 农具及工具的价值x2, 织物的价值x3的比值.
7. 设矩阵A??
且r(A)?3，求k. ?1?1??
8. 设n(n?3)阶矩阵，A??a
若矩阵A的秩为n?1，求a.
a1a?aaa1?a
203???， ??
9. 设A是4?3矩阵，且A的秩r(A)?2，而B??0
求r(AB). 10. 设n阶方阵A2
?A，B2?B，且I?A?B可逆，证明：秩A?秩B.
11. 设A是n阶可逆矩阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B （1）证明B可逆； （2）求AB?1.
a31??a?41?0??0P1??0
a12a22a32a42a13a23a33a43
??a24??a24
，B??a34?a34
???aa44???44
01000??0?， 0??1??
a23a33a43a12a22a32a42
， a31??a41??
??0??00，P2??0?01???000???
其中A可逆，求B?1.
?x1?x2?tx3?4?
13. 已知线性方程组?x1?x2?2x3??4，讨论t取不同的值时，线性方程组的解的情况，
?2??x1?tx2?x3?t
?x1?x2?x3?0?
14．已知线性方程组?ax1?bx2?cx3?0，问：（1）a，b，c满足何种关系时，线
?ax1?bx2?cx3?0
性方程组仅有零解. （2）a，b，c满足何种关系时，线性方程组有无穷多组解，并用基
础解系表示全部解.
?x1?x2?x3?0?x1?x2?0
15．设线性方程组I?
II?，求方程组I和II的公共解.
x?x?0x?x?x?0?24?234
16．已知下列非齐次线性方程组
?x1?mx2?x3?x4??5?x1?x2?2x4??6
(I)?4x1?x2?x3?x4?1
(II)?nx2?x3?2x4??11
?3x?x?x?3?x?2x??t?1
（1）求解方程组(I)，用其导出组的基础解系表示通解.
（2）当方程组(II)中的参数m，n，t为何值时，方程组(I)和(II)同解.
????abab?n1n2
?0，bi?0(i?1,2,?,n)，求矩阵A的秩r(A).
1??x1??1??????
a?2??x2???3?无解，求a.
?????2???x3??0?
18．已知方程组?2
?x1?x2??a1?x?x?a?232
19．若线性方程组?有解，
x?x??a3?34??x4?x1?a4
则常数a1，a2，a3，a4应满足什么条件.
0?45??00?6?
B?(E?A)(E?A)， ，为阶单位阵，且E4?
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