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计算二重积分∫∫(√(x²+y²))/(√(4a²-x²-y²)) dб,其中D是由y=-a+√a²-x²) (a＞0)和直线y=-x围成的区域。是用极坐标来做吗？我用了极坐标在第一次求定积分的时候就不会了。。。
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在极坐标下D={(r,θ)|0≤r≤-2asinθ，-π/4≤θ≤0}解法一：∫∫(√(x²+y²))/(√(4a²-x²-y²)) dσ=∫(-π/4,0)dθ∫(0,-2asinθ)[r²/√(4a²-r²)]dr=∫(-π/4,0)dθ∫(0,-2asinθ){[4a²-(4a²-r²)]/√(4a²-r²)}dr=∫(-π/4,0)dθ{∫(0,-2asinθ)[4a²/√(4a²-r²)]dr-∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr}.........①记大括号中的值为I，则I=∫(0,-2asinθ)[4a²/√(4a²-r²)]dr-∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr=4a²*arcsin(r/2a)|(0,-2asinθ)-∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr=-4a²θ-∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr....................................................②对于积分∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr的解法有两种：方法一：套用不定积分公式∫√(a²-x²)dx=(a²/2)arcsin(x/a)+(1/2)x√(a²-x²)+C（其证明过程有两种，一种是换元法，另一种是分部积分法，证明从略）所以，∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr=[(4a²)/2]arcsin(r/2a)+(1/2)r√(4a²-r²)=-2a²θ-a²sin2θ代入②，得I=-4a²θ-[-2a²θ-a²sin2θ]=-2a²θ+a²sin2θ，代入①，得∫∫(√(x²+y²))/(√(4a²-x²-y²)) dσ=∫(-π/4,0)(-2a²θ+a²sin2θ)dθ=(π²/16-1/2)a²方法二：利用圆的几何性质，令s=√(4a²-r²)，则r²+s²=4a²，则该定积分可以看成是以(0,0)为圆心，以2a为半径的圆内r∈(0，2asin(-θ)的面积，如图阴影部分的面积即为所求。该阴影部分可分为三角形和扇形，S三角形=(1/2)*2asin(-θ)*2acosθ)=-a²sin2θS扇形=（1/2)*(2a)²*(π/2+θ)=πa²+2a²θ所以，∫(0,-2asinθ)√(4a²-r²)dr=S阴影=S三角形+S扇形=πa²+2a²θ-a²sin2θ，代入①得∫∫(√(x²+y²))/(√(4a²-x²-y²)) dσ=∫(-π/4,0)(πa²+2a²θ-a²sin2θ)dθ=(π²/16-1/2)a²解法二：∫∫(√(x²+y²))/(√(4a²-x²-y²)) dσ=∫(-π/4,0)dθ∫(0,-2asinθ)[r²/√(4a²-r²)]dr=∫(-π/4,0)dθ∫(0,-θ)[(4a²sin²u)/√(4a²cos²u)]*2acosudu（令r=2asinu）=4a²∫(-π/4,0)dθ∫(0,-θ)sin²udu=4a²∫(-π/4,0)dθ∫(0,-θ)[(1-cos2u)/2]du=4a²∫(-π/4,0)[(-1/2)θ+(1/4)sin2θ)]dθ=(π²/16-1/2)a²
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求定积分换元法∫4,0 x+2/根号2x+1
冷眼粉帐号193
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令u = √(2x + 1),u² = 2x + 1,2u du = 2 dx∫(0→4) (x + 2)/√(2x + 1) dx= ∫(1→3) [(u² - 1)/2 + 2]/u * (u du)= (1/2)∫(1→3) (u² + 3) du= (1/2)[u³/3 + 3u] |(1→3)= (1/2)[(27/3) + 9] - (1/2)[1/3 + 3]= 22/3
因为2u du = 2 dx，所以在∫(1→3) [(u² - 1)/2 + 2]/u * (u du)这步后面的(udu）不应该是2udu么？谢谢
2u du = 2 dx，两边约去2==> dx = u du
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怎么计算：∫sinx/1-sin²x dx?和∫1+√x/1-√x dx 我知道第二个解法是设定u=1-根号x,但是还是解不出
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∫ sinx/(1 - sin²x) dx= ∫ 1/(sin²x - 1) d(cosx)= ∫ 1/(1 - cos²x - 1) d(cosx)= - ∫ 1/cos²x d(cosx)= - (- 1/cosx) + C= secx + C∫ (1 + √x)/(1 - √x) dx,令u = √x,x = u²,dx = 2u du= ∫ (1 + u)/(1 - u) * (2u du)= 2∫ u(1 + u)/(1 - u) du= 2∫ u[2 - (1 - u)]/(1 - u) du= 2∫ 2u/(1 - u) du - 2∫ u du= - 4∫ [(1 - u) - 1]/(1 - u) du - 2∫ u du= - 4∫ [1 - 1/(1 - u)] du - 2∫ u du= 4ln|1 - u| - 4u - u² + C= 4ln|1 - √x| - 4√x - x + C
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∫[sinx/(1-sin²x)] dx=-∫(1/cos²x)d(cosx)=1/cosx +C=secx +C 令u=1-√x，则√x=1-u
x=1-u²
1+√x=-1+√x+2=2-u∫[(1+√x)/(1-√x)]dx=∫[(2-u)/u]d(1-u²)=∫[(2...
解答看图片
1、∫sinx/(1-sin²x)dx=-∫dcosx/cos²x=1/cosx+C=secx+C。2、∫[（1+√x）/(1-√x)]dx
令t＝√x，则x=t²；dx=2tdt。从而得原式=2∫[t(1+t)/(1-t)]dt=2∫[(t+t²)/(1+t)dt=2∫t/(1-t)dt+2∫t²/(1-t)dt=-2...
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