var sogou_ad_id=731545;
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var sogou_ad_width=980;《工程力学》中剪力图和弯矩图的快易绘图法
20:08:33& 来源：&
　　摘 要：在《工程力学》中，绘制平面弯曲梁的剪力图和弯矩图是&直梁的弯曲&一章中的重点和难点，传统的规律绘图法用到的一次函数、二次函数和导数等相关知识，对于数学基础不很扎实的高职生来说是很难理解的。本文中作者利用选取特殊点来绘制剪力图和弯矩图，其方法更为简便快捷。
　　在《工程力学》中，直梁的弯曲变形是杆件受力变形的基本形式之一，在对梁进行强度和刚度计算时，通常要画出剪力图和弯矩图(即把剪力方程和弯矩方程用函数图象表示出来)以便清楚地看出梁的各个截面上剪力和弯矩的大小、正负以及最大值所在截面的位置。目前绘制剪力图和弯矩图最常用的规律绘图法中用到一次函数、二次函数和导数等相关知识，这对于数学基础不很扎实的高职生来说是很难理解的。通过教学，作者在原有绘图方法的基础上，利用选取特殊点代替一次函数、二次函数和导数来绘制剪力图和弯矩图的规律，谨供广大同仁参考。具体方法为：从上至下依次画出直梁的受力分析图& 特殊截面的剪力值、弯矩值& 剪力图(直角坐标系)&弯矩图(直角坐标系)，具体事宜与载荷种类不同有关。
　　1 集中载荷
　　例：如图1(a)所示的简支梁AB在C点处作用集中载荷F,画出此梁的剪力、弯矩图。
　　(1)求约束反力。
　　画受力图，如图1(a)求支座约束力。由平衡方程得：
　　(2)画剪力图，如图1(b)。
　　某截面上的剪力即为其截面左(右)段梁上外力的代数和，左上右下为正，左下右上为负。AC、CB段均无载荷作用，剪力图均为水平线。
　　靠近A端的1截面的剪力:
　　靠近B端的2截面的剪力:
　　在剪力图坐标中画出AC、BC段的水平线。
　　(3)画弯矩图，如图1(c)。某截面上的弯矩即为其截面左(右)段梁上外力矩的代数和，左顺右逆为正，左逆右顺为负。AC、CB段无载荷作用，弯矩图为斜直线，确定A、B、C三点临近截面的弯矩值
　　在弯矩图坐标中描出A、B、C三点坐标，分别作出AC、CB段的斜直线。
　　2 均布载荷
　　例：如图2(a)所示的简支梁AB在C点处作用均布载荷q,画出此梁的剪力、弯矩图。
　　(1)画受力图，如图2(a)。由平衡方程得
　　(2)画剪力图，如图(2b)。靠近A点截面上的剪力
　　靠近B点截面上的剪力.在剪力图坐标中描出A、B两点，作这两点的连线得剪力图。
　　(3)画弯矩图，如图2(c)。均布载荷方向向下，弯矩图的形状是抛物线开口向下的抛物线;均布载荷方向向上，弯矩图的形状是抛物线开口向上的抛物线，确定几个特殊点即可画出弯矩图的形状。靠近A点截面上的弯矩，靠近 B点截面上的弯矩。从剪力图中可得剪力为零的点，即为弯矩值最大的点。根据上述三点画出均布载荷的弯矩图。
　　3 力偶作用
　　例：如图3(a)所示的简支梁AB，在C点处作用集中力偶MO,试画此梁的剪力、弯矩图。
　　(1)画受力图，如图3(b)。有平衡方程得
　　(2)画剪力图，如图3(c)。AC、CB段无载荷作用，剪力图均为水平线。
　　靠近A端的1截面的剪力
　　靠近B端的2截面的剪力
　　在剪力图坐标中画出AC、BC段的水平线。
　　(3)画弯矩图。AC、CB段无载荷作用，弯矩图为斜直线，确定A、C-、C+、B点临近截面的弯矩值(C-表示在C点左侧临近截面;C+表示C点右侧临近截面)。
　　在弯矩图坐标中描出A、C-、C+、B四点，分别作出AC-、C+B段的斜直线。
　　4 结语
　　从以上例题我们总结出画剪力图和弯矩图的简便方法如下。
　　(1)无载荷作用的梁段上，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。
　　(2)均布载荷作用的梁段上，剪力图为斜直线，弯矩图为二次曲线。曲线凹向与均布载荷同向，在剪力等于零的截面，曲线有极值。
　　(3)集中力作用处，剪力图有突变，突变的幅值等于集中力的大小，突变的方向与集中力同向;弯矩图有折点。
　　(4)集中力偶作用处，剪力图不变;弯矩图突变，突变的幅值等于集中力偶矩的大小，突变的方向，集中力偶顺时针向坐标正向突变，反之向坐标负向突变。
　　尽管用剪力、弯矩方程能够画出剪力、弯矩图，但是应用选取特殊点的简便方法绘制剪力、弯矩图会更加简捷方便。
　　参考文献
　　[1] 刘鸿文 .材料力学 (4版 )[M].北京 :高等教育出版社 ,2004.
　　[2] 单辉祖 .材料力学 (2版 )[M].北京 :高等教育出版社 ,2002.
　　[3] 西南交通大学应用力学与工程系.工程力学教程(第1版)[M].北京:高等教育出版社,2004.
　　[4] 王玉杰 .巧画内力图 [J].机械工程与自动化 ,～ 69.
　　[5] 李杰.材料力学内力图教学的创新实践[J].邢台职业技术学院学报,～48.
　　[6] 任树棠 .机械工程力学 (4版 )[M].北京 :机械工业出版社 ,2004.
　　[7] 关玉琴 ,王瑞清 .工程力学 (4版 )[M].北京 :内蒙古大学出版社 ,2009.
　　本文作者：王瑞清(包头轻工职业技术学院 内蒙古包头 014035)
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&&投稿QQ：第 五章 第四 节 知识点：剪力图和弯矩图
常见问题题1
题型：计算题
题目：试作图所示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。
　　1、列剪力方程和弯矩方程
取坐标原点与梁左端点A对应。选取距梁左端点A为x的任一截面，如图(a)所示，以该截面左侧梁段上的外力，写该截面上的剪力和弯矩表达式，即可得到梁AB的剪力方程和弯矩方程为
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
上面两式后的括号内，表明方程适用范围。由于截面A,B处有集中力作用，则其剪力为不定值，第一式的适用范围为。由于截面B有集中力偶作用，则其弯矩也为不定值，第二式的适用范围为关于这个问题，待后面作进一步说明。
　　2、作剪力图和弯矩图
剪力方程表明，梁各截面上的剪力都相等，因此剪力图应是一条平行于横轴的直线。取直角坐标系x—，画出梁的剪力图为一水平直线。因各横截面的剪力为负值，故画在横轴下面，如图（b）所示。
弯矩方程表明，弯矩M是x的一次函数，因此弯矩图应是一条倾斜直线。可以确定其上两点，在x
= 0处，M=0；在x=L处（应理解为x略小于L处），M=PL。取直角坐标系OxM，表示弯矩的纵坐标以向下为正，画出梁的弯矩图，如图（c）所示。由图可见，最大弯矩发生在固定端B稍偏左的横截面上，其值为
　　　　　　　　
常见问题题2
题型：计算题
题目：试作图（a）所示简支梁AB的剪力图和弯矩图。
　　1、求支座反力
由梁的平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为
　　　　　　　　
　　2、列剪力方程和弯矩方程
取坐标原点与梁左端点A对应。列出梁AB的剪力方程和弯矩方程为
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　
　　3、作剪力图和弯矩图
剪力方程表明，剪力是x的一次函数，剪力图应是一条倾斜直线。因此，只要确定其上两点，即可绘出该梁的剪力图。在处（应理解为x略大于0）, ；处（应理解为x略小于），。画出梁的剪力图，如图(b)所示。由剪力图可见，，该梁最大剪力发生在支座内侧的横截面上，其值为
　　　　　　　　
弯矩方程表明，弯矩M是x的二次函数，弯矩图应是一条抛物线。因此，只要确定其上三个点，即可绘出该梁的弯矩图。在处，M=0；在处，M=0；在处，　　　　　　　　　　　　　　 。画出弯矩图，如图6-12(c)所示。由弯矩图可见，该梁最大弯矩发生在梁的跨中截面处，其值为
　　　　　　　　
在此截面上剪力为零。
常见问题题3
题型：计算题
题目：试作图(a)所示简支梁AB的剪力图和弯矩图。
　　1、求支座反力
由梁的静力平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为
　　　　　　　　　　　
　　2、列剪力方程和弯矩方程
当作用在梁上的外力不连续时，通常不能角一个方程描述全梁的剪力或弯矩，必须分段研究。在该例题中，集中力P把梁分成AC和CB两段，这两段梁的剪力方程和弯矩方程分别为
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　3、作剪力图和弯矩图
两段梁的剪力方程表明，两段梁的剪力图均为水平直线。画出梁的剪力图，如图(b)所示。由剪力图可见，在集中力P作用的C处，其左右两侧横截面上剪力的数值分别为和，剪力图发生突变，其突变值等于集中力P的大小。由此可得，在集中力作用处剪力图发生突变，其突变值等于该集中力的大小。如果b＞a，则最大剪力发生在AC段梁的任一截面上，其值为
　　　　　　　　
两段梁的弯矩方程表明，两段梁的弯矩图均为倾斜直线。画出梁的弯矩图，如图 (c)所示。由弯矩图可见，AC和CB两段梁的弯攀图两直线斜率不同，在C处形成向下凸的“尖角”，而剪力图在此处改变了正、负号。最大弯矩发生在集中力P作用的截面上，其值为
　　　　　　　　
如果a=b，则最大弯矩的值为
　　　　　　　　
常见问题题4
题型：计算题
题目：试作图(a)所示简支梁AB的剪力图和弯矩图。
　　1、求支座反力
由梁的静力平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为
　　　　　　　　
　　2、列剪力方程和弯矩方程
集中力偶Me把梁分成AC和CB两段，这两段梁的剪力方程和弯矩方程分别为
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　3、作剪力图和弯矩图
在集中力偶作用处的左、右梁段上，剪力方程相同，全梁剪力图为一水平直线。画出梁的剪力图，如图(b)所示示。由剪力图可见，在集中力偶作用处，剪力图并不发生突变，即集中力偶不影响剪力图。
两段梁的弯矩方程表明，两段梁的弯矩图均为倾斜直线。画出梁的弯矩图，如图(c)所示。由弯矩图可见，在集中力偶从作用的C处，其左右两侧横截面上弯矩的数值分别为和，弯矩图发生突变，其突变值等于集中力偶Me的大小。由此可得，在集中力偶作用处弯矩图发生突变，其突变值等于该集中力偶的大小。如果b＞a，则最大弯矩发生在集中力偶从作用处右侧横截面上，其值为
　　　　　　　　
常见问题题5
题型：计算题
题目：试作图示简支梁的剪力图和弯矩图。
　　1、求支座反力
由梁的静力平衡方程可知，支座A,B的反力为
　　　　　　　　　　　　　
　　2、列剪力方程和弯矩方程
当梁上荷载不连续，剪力或弯矩不能用一个统一的函数式表达时，必须分段列出剪力方程和弯矩方程。通常分段是以集中力、集中力偶和分布荷载的起点与终点分界。因此，该简支梁应分为AC,CD和DB三段，分别列出剪力方程和弯矩方程。
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　3、作剪力图和弯矩图
按上述剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图，如图(b)、（c）所示。
在画AC段弯矩图时，由于弯矩方程是二次函数，弯矩图应是一条抛物线，至少需要确定其上三个点，才可绘出该梁的弯矩图。在处,M=0；在x＝3m处，M＝33kN．m。在剪力为零处x=2.4m，该点处弯矩。用光滑曲线连接这三个点即可得AC段的弯矩M图。如图（c）所示。注册考试分区
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技术员, 积分 29, 距离下一级还需 21 积分
小弟不才，把忘了差不多了，刚看到施凤清的2014注册应试指南P122页发现了这题，怎么算都算不出弯矩图是怎么画下来的，有哪位大侠能帮帮我，弯矩图中的44.88,91.82，89.76，是怎么个算法的，谢谢啦
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这题是利用假定反弯点位置求出来的弯矩
1对于第一层柱，假定反弯点在距柱底2/3处，因反弯点处弯矩为零，
则柱底弯矩=V*h*2/3=33.66*4*2/3=89.76;
柱顶弯矩=V*h*1/3=33.66*4*1/3=44.88；
2对于第二层柱，假定反弯点在距柱底1/2处，因反弯点处弯矩为零，
柱顶弯矩=柱底弯矩=V*h*2/3=23.47*4*2/3=46.94。
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二星工程师, 积分 716, 距离下一级还需 84 积分
这题是利用假定反弯点位置求出来的弯矩
1对于第一层柱，假定反弯点在距柱底2/3处，因反弯点处弯矩为零，
则柱底弯矩=V*h*2/3=33.66*4*2/3=89.76;
柱顶弯矩=V*h*1/3=33.66*4*1/3=44.88；
2对于第二层柱，假定反弯点在距柱底1/2处，因反弯点处弯矩为零，
柱顶弯矩=柱底弯矩=V*h*2/3=23.47*4*2/3=46.94。
&哦，对，下面的式子就是从上面COPY过来的，只改了最后的数，忘改公式了&
&你的想法是对的不过这里''2对于第二层柱，假定反弯点在距柱底1/2处，因反弯点处弯矩为零，
柱顶弯矩=柱底弯矩=V*h*2/3=23.47*4*2/3=46.94。"好像这里是写错了，应该是柱顶弯矩=柱底弯矩=V*h*2/3=23.47*4*1/2=46.94.&
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tjliangshi 发表于
这题是利用假定反弯点位置求出来的弯矩
1对于第一层柱，假定反弯点在距柱底2/3处，因反弯点处弯矩为零，
你的想法是对的不过这里''2对于第二层柱，假定反弯点在距柱底1/2处，因反弯点处弯矩为零，
柱顶弯矩=柱底弯矩=V*h*2/3=23.47*4*2/3=46.94。&好像这里是写错了，应该是柱顶弯矩=柱底弯矩=V*h*2/3=23.47*4*1/2=46.94.不过还是非常感谢你！！
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tjliangshi 发表于
这题是利用假定反弯点位置求出来的弯矩
1对于第一层柱，假定反弯点在距柱底2/3处，因反弯点处弯矩为零，
哦，对，下面的式子就是从上面COPY过来的，只改了最后的数，忘改公式了
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二星工程师, 积分 701, 距离下一级还需 99 积分
这个自己根据结构力学求就是
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