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§6 广义初等变换和广义初等矩阵
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&&高等代数 第四章 矩阵课件
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你可能喜欢概念/初等矩阵
初等矩阵（1）交换矩阵中某两行（列）的位置；（2）用一个非零常数乘以矩阵的某一行；（3）将矩阵的某一行（列）乘以k后加到另一行上去。三类初等矩阵都是，即。三类初等矩阵的值是：（1）：-1（2）：k（3）：1
定义/初等矩阵
初等矩阵1、 初等变换是下列三种变换的统称&
&1.&&交换任意两行&
&2.&将某一行同乘一非零常数&
&3.&将某一行同乘常数加到另一行上&
利用这三种变换,我们可以很方便地求行列式值.如果大量的使用这种变换,&那么该如何表示他们呢？&&2、初等矩阵:&对单位矩阵实行一次下列三种变换的任意一种变化后得到的矩阵,统称为初等矩阵&
&1.&&交换任意两行或两列,表示为&
&2.&将某行或列同乘一非零常数,表示为&
&3.&将某行(或列)同乘常数加到另一行(或列)上,表示为.&
例子&1&&&就三阶矩阵而言,以上三种初等变换分别对应了三个初等矩阵&
简单而言,&初等变换与初等矩阵之间的联系就在于后者是前者的数学表示.区分它们所表示的行或列变换就在于&
定理&1&&&设矩阵表示某一初等矩阵,是任意矩阵,则表示对实行所代表的行变换；&表示对实行所代表的列变换,即左行右列.
上面的定理说明了初等矩阵的作用：在利用初等变换对矩阵进行简化时候(比如求矩阵的秩时),&
可以用初等矩阵来表示每一步所进行的变换的数学演算过称.&
当然,初等矩阵的作用不仅限于此,他还有更多的应用.首先来看它的性质.&
性质&1&&&初等矩阵都是可逆矩阵,而且有&
初等变换可以建立同阶矩阵之间的一个普遍关系&
定义&3&&&矩阵是等价的,如果可以由经一系列的初等变换得到.
在初等变换的作用下,任何一个矩阵均与一个标准矩阵等价
定理&2&&&任何一个阶矩阵等价于下面的标准型矩阵&
回忆一下：初等矩阵不改变矩阵的秩.&
推论&1&&&设是一个可逆矩阵当且仅当与单位矩阵等价
推论&2&&&设是一个可逆矩阵当且仅当它可以表示为一系列初等矩阵之积
由此可以建立求可逆矩阵的逆矩阵的第二种方法--初等变换法.&方法提示：利用初等行变换将矩阵化为形式为,则所在的位置对应了&;或利用初等列变换将矩阵&化为形式为&的矩阵.&方法的引用如同利用初等变换求矩阵的秩一样,方便和简单快捷.&
注释从证明中可以看出：方法的局限性在于要求&;如果每个平方项的系数为零,则先用平方差产生出平方项.
初等变换/初等矩阵
初等矩阵的概念是随着矩阵初等变换的定义而来的。初等变换有三类：1、位置变换：矩阵的两行（列）位置交换；2、数乘变换：数k乘以矩阵某行（列）的每个元素；3、消元变换：矩阵的某行（列）元素同乘以数k，然后加到另外一行（列）上。
初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换后所得的矩阵。
则根据三类初等变换，可以得到三种不同的初等矩阵。1、交换阵E(i,j)：单位矩阵第i行与第j行位置交换而得；2、数乘阵E(i(k))：数k乘以单位矩阵第i行的每个元素（其实就是主对角线的1变成k）；3、消元阵E(ij(k))：单位矩阵的第i行元素乘以数k，然后加到第j行上。
其上的三种初等矩阵均可看成是单位矩阵的列经过初等变换而得。
初等矩阵的模样其实我们可以尝试写一个3阶或者4阶的单位矩阵，然后进行初等变换来加深一下印象。
作用/初等矩阵
当用初等矩阵左乘一个矩阵A的时候，发现矩阵A发生变化而成为矩阵B，而这种变化恰好是一个单位矩阵变成该初等矩阵所产生的变化。具体来说：
&&左乘的情况：1、E(i,j)A=B，则矩阵A第i行与第j行位置交换而得到矩阵B；2、E(i(k))A=B，则矩阵A的第i行的元素乘以数k而得到矩阵B；3、E(ij(k))A=B，则矩阵A的第i行元素乘以数k，然后加到第j行上而得到矩阵B。
结论1：用初等矩阵左乘一个矩阵A，相当于对矩阵A做了一次相应的行的初等变换。右乘的情况：&4、AE(i,j)=B，则矩阵A第i列与第j列位置交换而得到矩阵B；5、AE(i(k))=B，则矩阵A的第i列的元素乘以数k而得到矩阵B；6、AE(ij(k))=B，则矩阵A的第i列元素乘以数k，然后加到第j列上而得到矩阵B。
结论2：用初等矩阵右乘一个矩阵A，相当于对矩阵A做了一次相应的列的初等变换。&
性质/初等矩阵
1、单位矩阵第i,j两行（列）互换得到的方阵为Pij。将矩阵B的第i，j两行（列)互换所得矩阵B1，即有PijB=B12、单位矩阵第i行（列）乘以常数k得到初等方阵Di(k),将矩阵B的第i行（列）乘以k得到矩阵B2，即有B2=Di(k)B.3、将单位矩阵的第j行（列）的k倍加到第i行（列）得到初等方阵Tij(k)，矩阵B的第j行（列）的k倍加到第i行（列）得到矩阵B3，即有B3=Tij(k)B。矩阵B的第i列的k倍加到第j列得到矩阵B3，即有B3=BTij(k).
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　　矩阵（Matrix）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方。在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如以及保护个人帐号的矩阵卡系统（由提出）等等。“矩阵”的本意也常被应用，比如监控系统中负责对前端视频源与控制线切换控制的模拟设备也叫矩阵。
阿瑟·凯利
适用领域范围
天体物理、量子力学、电路学、力学
　　矩阵 的研究历史悠久，和在史前年代已有人研究。　　作为解决的工具，矩阵也有不短的历史。1693年，微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨建立了论(theory of determinants)。1750年，其后又定下了。1800年代，和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。　　1848年詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特首先创出matrix一词。研究过矩阵论的著名数学家有凯莱、、、和。
　　以下是一个 4 × 3 矩阵：　　某矩阵 A 的第 i 行第 j 列，或 i,j位，通常记为 A[i,j] 或 Ai,j。在上述例子中 A[2,3]=7。　　在C语言中，亦以 A[j] 表达。(值得注意的是，与一般矩阵的算法不同，在C中，&行&和&列&都是从0开始算起的)　　此外 A = (aij)，意为 A[i,j] = aij 对于所有 i 及 j，常见于数学著作中。　　一般环上构作的矩阵　　给出一环 R，M(m,n, R) 是所有由 R 中元素排成的 m× n 矩阵的集合。若 m=n，则通常记以 M(n,R)。这些矩阵可加可乘 (请看下面)，故 M(n,R) 本身是一个环，而此环与左 R模Rn 的自同态环同构。　　若 R 可置换， 则 M(n, R) 为一带的 R-代数。其上可以定义 行列式：一个矩阵可逆当且仅当其行列式在 R 内可逆。　　在百度百科内，除特别指出，一个矩阵多是实数矩阵或虚数矩阵。　　　　分块矩阵 是指一个大矩阵分割成“矩阵的矩阵”。举例，以下的矩阵　　可分割成 4 个 2×2 的矩阵，矩阵将多种信号自由控制，将BSV跨屏显示。　　此法可用于简化运算，简化数学证明，以及一些电脑应用如VLSI芯片设计等。
　　 　是相对其主（由左上至右下）对称， 即是 ai,j=aj,i。　　（或自）是相对其主对角线以复共轭方式对称， 即是 ai,j=a*j,i。　　特普利茨矩阵在任意对角线上所有元素相对， 是 ai,j=ai+1,j+1。　　所有列都是概率向量， 用于。　　此外，还有，，条带矩阵　　 对角矩阵是仅在它的主对角线上有元素而其他位置上的元素全为零（即aij=　　0或i≠j）的矩阵。如图为nXn的对角矩阵：　　类似的是单位矩阵，但位于主对角线上的元素都是1，即a1=a2=......=an=1 条带矩阵是指与主对角线平行的位置上有非零元素而其他位置的元素全为零的矩阵
　　英文名Matrix（SAMND矩阵）。在数学名词中，矩阵用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据。这个定义很好地解释了Matrix代码制造世界的基础。　　成书于西汉末、东汉初的《》用分离系数法表示，得到了其。在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的。但当时并没有现在理解的矩阵概念，虽然它与现在的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。　　矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。1801年德国数学家（F.Gauss，）把一个的全部系数作为一个整体。1844年，德国数学家爱森斯坦（F.Eissenstein，）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家西尔维斯特（James Joseph Sylvester，）首先使用矩阵一词。1858年，英国数学家凯莱（A.Gayley，）发表《关于矩阵理论的研究报告》。他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，并在这个主题上首先发表了一系列文章，因而被认为是矩阵论的创立者，他给出了现在通用的一系列定义，如两矩阵相等、、单位矩阵、两矩阵的和、一个数与一个矩阵的、两个矩阵的积、矩阵的逆、等。并且凯莱还注意到矩阵的乘法是可结合的，但一般不可交换，且m*n矩阵只能用n*k矩阵去右乘。1854年，法国数学家特（C.Hermite，）使用了“”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由德国数学家费罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius，）发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。　　至此，矩阵的体系基本上建立起来了。
　　矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如和准，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。　　矩阵的概念最早于1922年见于中文。1922年，程廷熙在一篇介绍文章中将矩阵译为“纵横阵”。1925年，名词审查会算学名词审查组在《科学》第十卷第四期刊登的审定名词表中，矩阵被翻译为“矩阵式”，方块矩阵翻译为“方阵式”，而各类矩阵如“正交矩阵”、“”中的“矩阵”则被翻译为“方阵”。1935年，审查后，中华民国教育部审定的《》（并“通令全国各院校一律遵用，以昭划一”）中，“矩阵”作为译名首次出现。1938年，曹惠群在接受科学名词审查会委托就数学名词加以校订的《算学名词汇编》中，认为应当的译名是“长方阵”。成立后编订的《数学名词》中，则将译名定为“（矩）阵”。1993年，中国自然科学名词审定委员会公布的《数学名词》中，“矩阵”被定为正式译名，并沿用至今。　　就 是从多维问题的事件中，找出成对的因素，排列成，然后根据矩阵图来分析问题，确定关键点的方法，它是一种通过多因素综合思考，探索问题的好方法。　　在复杂的质量问题中，往往存在许多成对的质量因素．将这些成对因素找出来，分别排列成行和列，其交点就是其相互关联的程度，在此基础上再找出存在的问题及问题的形态，从而找到解决问题的思路。　　矩阵图的形式如图所示，A为某一个因素群，a1、a2、a3、a4、…是属于A这个因素群的具体因素，将它们排列成行；B为另一个因素群，b1、b2、b3、b4、…为属于B这个因素群的具体因素，将它们排列成列；行和列的交点表示A和B各因素之间的关系。按照交点上行和列因素是否相关联及其关联程度的大小，可以探索问题的所在和问题的形态，也可以从中得到解决问题的启示等。　　质量管理中所使用的矩阵图，其成对因素往往是要着重分析的质量问题的两个侧面，如生产过程中出现了时，着重需要分析不合格的现象和不合格的原因之间的关系，为此，需要把所有缺陷形式和造成这些缺陷的原因都罗列出来，逐一分析具体现象与具体原因之间的关系，这些具体现象和具体原因分别构成矩阵图中的行元素和列元素。　　矩阵图的最大优点在于，寻找对应元素的交点很方便，而且不遗漏，显示对应元素的关系也很清楚。矩阵图法还具有以下几个点：　　①可用于分析成对的影响因素　　②因素之间的关系清晰明了，便于确定重点　　③便于与结合使用。
　　矩阵图法的用途十分广泛．在质量管理中，常用矩阵图法解决以 下问题：　　①把系列产品的硬件功能和软件功能相对应，并要从中找出研制新产品或改进老产品的切入点　　②明确应保证的及其与管理机构或保证部门的关系，使质量保证体制更可靠　　③明确产品的与试验测定项目、试验测定仪器之间的关系，力求强化质量评价体制或使之提高效率　　④当生产工序中存在多种不良现象，且它们具有若干个共同的原因时，希望搞清这些不良现象及其产生原因的相互关系，进而把这些不良现象一举消除　　⑤在进行、研究从何处入手以及以什么方式收集数据。
　　矩阵图法在应用上的一个重要特征，就是把应该分析的对象表示在适当的矩阵图上。因此，可以把若干种矩阵图进行分类，表示出他们的形状，按对象选择并灵活运用适当的矩阵图形。常见的矩阵图有以下几种：　　(1)L型矩阵图。是把一对现象用以矩阵的行和列排列的二元表的形式来表达的一种矩阵图，它适用于若干目的与手段的对应关系，或若干结果和原因之间的关系。　　(2)T型矩阵图。是A、B两因素的L型矩阵和A、c两因素的L型矩阵图的组合矩阵图，这种矩阵图可以用于分析质量问题中“不良现象一原因一工序”之间的关系，也可以用于分析探索材料新用途的“材料成分一特性一用途”之间酌关系等。　　(3)Y型矩阵图。是把A因素与B因素、B因素与C因素、C因素与A因素三个L型矩阵图组合在一起而形成的矩阵图。　　(4)X型矩阵图。是把A因素与B因素、B因素与C因素、C因素与D因素、D因素与A因素四个L型矩阵图组合而形成的矩阵图，这种矩阵图表示A和B、D，D和 A、C，C和B、D，D和A、C这四对因素间的相互关系，如“管理机能一管理项目一输入信息一输出信息”就属于这种类型。　　(5)C型矩阵图。是以A、B、C三因素为边做出的，其特征是以A、B、c三因素所确定的三维空间上的点为“着眼点”。
　　制作一般要遵循以下几个步骤：　　①列出质量因素：　　②把成对对因素排列成行和列，表示其对应关系　　③选择合适的矩阵图类型　　④在成对因素交点处表示其关系程度，一般凭经验进行定性判断，可分为三种：关系密切、关系较密切、关系一般（或可能有关系)，并用不同符号表示　　⑤根据关系程度确定必须控制的重点因素　　⑥针对重点因素作对策表。
　　给出 m× n 矩阵 A 和 B，可定义它们的和 A + B 为一 m×n 矩阵，等 i,j 项为 (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]。举例：　　另类加法可见于。　　若给出一矩阵 A 及一数字 c，可定义 cA，其中 (cA)[i, j] = cA[i, j]。 例如　　这两种运算令 M(m, n, R) 成为一实数，维数是mn.　　若一矩阵的列数与另一矩阵的行数相等，则可定义这两个矩阵的乘积。如 A 是 m×n 矩阵和 B 是 n×p矩阵，它们是乘积 AB 是一个 m×p 矩阵，其中　　(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] 对所有 i 及 j。　　例如　　此乘法有如下性质：　　(AB)C = A(BC) 对所有 k×m 矩阵 A, m×n 矩阵 B 及 n×p 矩阵 C (&结合律&).　　(A + B)C = AC + BC 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 n×k 矩阵 C (&分配律&)。　　C(A + B) = CA + CB 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 k×m 矩阵 C (&分配律&)。　　要注意的是：可置换性不一定成立，即有矩阵 A 及 B 使得 AB ≠ BA。　　对其他特殊乘法，见。
　　，。　　矩阵是线性变换的便利表达法，皆因矩阵乘法与及线 性变换的合成有以下的连系：　　以 Rn 表示 n×1 矩阵（即长度为n的矢量）。对每个线性变换 f : Rn -& Rm 都存在唯一 m×n 矩阵 A 使得 f(x) = Ax 对所有 x ∈ Rn。 这矩阵 A &代表了& 线性变换 f。 今另有 k×m 矩阵 B 代表线性变换 g : Rm -& Rk，则矩阵积 BA 代表了线性变换 g o f。　　矩阵 A 代表的线性代数的映像的维数称为 A 的矩阵秩。矩阵秩亦是 A 的行（或列）生成空间的维数。　　m×n矩阵 A 的转置是由行列交换角式生成的 n×m 矩阵 Atr （亦纪作 AT 或 tA），即 Atr[i, j] = A[j, i] 对所有 i and j。若 A 代表某一线性变换则 Atr 表示其对偶算子。转置有以下特性：　　(A + B)tr = Atr + Btr，(AB)tr = BtrAtr。　　注记　　矩阵可看成二阶张量， 因此张量可以认为是矩阵和向量的一种自然推广。
　　若用一个环 R去代替数域 F,则可定义 R上的矩阵及其运算，而且上述有关数域 F上的内容，绝大部分都可以推广到 R上，尤其当 R是一个有单位元素1的交换环，甚至是一个域时，则上述的全部内容可以推广到 R上。 R是一个域或复数域 F上的环 F【 λ】的情形最为有用。　　若 A=( αij)是复数域 F上的一个 n阶矩阵， I是 n阶，则 A、 I以及 λI- A都可视为多项式环 F【 λ】上的 n阶矩阵 称为 A的特征矩阵。其| λI- A|是 F【 λ】中的一个首项系数为1的 n次多项(－1)nb0，其中bn-1恰为A的，b0恰为|A|，?(λ)=|λI-A|称为A的,其根称为A的或。λ0为A的一个特征值，必要而且只要有F上非零的n元ξ即n行1列的矩阵，使λ0ξ=Aξ。此ξ称为A的属于λ0的一个。A的属于不同特征值的特征向量，恒在F上。　　对于 F【 λ】中任意一个m次多项式，可以用 F上任意一个 n阶矩阵 A去代替 λ而引出一个 n阶矩，其中 I为 n阶单位矩阵。所谓凯莱－定理，即如果 ?( λ)是 F上 n阶矩阵 A的特征多项式时，那么恒有 ?( A)= O n,其中 O n为 n阶。由此可知，对于 F上任意 n阶矩阵 A,必存在唯一的首项系数为1的多项式 φ( λ)使 φ( A)= O n。对于任意的多项式 g( λ)， g( A)= O n必要而且只要 φ( λ)| g( λ)(即 φ( λ)能整除 g( λ)）。此 φ( λ)就称为 A的最小多项式。
　　对矩阵 A的行与列或仅对行或仅对列施以若干次而得到矩阵 B，称为 A等价于 B,记为 A≌ B。矩阵之间的这个关系具有、对称性和传递性，所以它是一种等价关系。矩阵的等价是在讨论一个到另一个向量空间的线性变换的各种矩阵表示问题中产生的。所谓矩阵的初等变换，是指以下的任何一种变换：①用 F中任意的一个不为零的元素 α去乘矩阵的第 i行(列)；②把矩阵的第 i行（列）的 b倍加于第 j行(列)，其中 b为 F中任意元素；③互换矩阵的第 i与第 j行(列)，并分别称为第一、第二、第三种初等变换。　　对 F上的单位矩阵 I进行一次初等变换后所得出的矩阵，称为。一种初等变换对应于一种初等矩阵。对矩阵 A的行施以某种初等变换的结果，恰等于用相应的初等矩阵去左乘 A;对 A的列施以某种初等变换的结果，恰等于用相应的初等矩阵去右乘 A。初等矩阵恒为可逆的，且其仍是同一种初等矩阵，因此初等矩阵的积恒为。由此可知，的秩数相同，或者说初等变换不改变数。于是，经若干次初等变换后，必可将每个秩数为 r的矩阵的左上角化为 r阶单位矩阵，而其他位置都化为0。 n阶非奇异矩阵恒等价于 n阶单位矩阵，恒可表为若干个初等矩阵之积。因此, A≌ B必要而且只要有非奇异矩阵 P、 Q使 P A Q= B。　　多项式环 F【 λ】上的矩，简称为 λ矩阵。在 F【 λ】上也可定义行列式。 A( λ)的秩数定义为 A( λ)的最大非零子式的阶数。对λ矩阵也可进行初等变换，在第一种初等变换中只能使用F中非零的 α，而不能用 F【 λ】中非零的 ?( λ);第二种初等变换中则可用 F【 λ】中任意的 g( λ)去代替 b。也可以定义可逆性，对于 λ矩阵 P( λ)若有 λ矩阵 K( λ)使 P( λ) K( λ)= K( λ) P( λ)= I，则称 λ矩阵 P( λ)是可逆的， λ矩阵 K( λ)则称为 P( λ)的逆矩阵。也可以定义 λ矩阵的等价。秩数为 r的 λ矩阵 A( λ)必等价于所谓 A( λ)的法式即 λ矩阵： ，　　这里的诸 φi( λ)均由 A( λ)惟一确定，且 φ1( λ)| φ2( λ)|…| φr( λ)，首项系数均为1。　　由此可知，一个 n阶 λ矩阵 P( λ)是可逆的，必要而且只要 P( λ)为若干个与 λ矩阵的初等变换相应的初等矩阵的积；必要而且只要其行列式为 F中的非零元素。两个 λ矩阵 A( λ)m× n, B( λ)m× n是等价的，必要而且只要有可逆 λ矩阵 P( λ)、 Q( λ)使 P( λ) A( λ) Q( λ)= B( λ)。 A( λ)的法式中的诸多项式 φi( λ)，都称为 A( λ)的不变因子，且可作如下分解： 式中诸e j( λ)是 F【 λ】中首项系数为1的互不相同的既约多项式； nij为，且最后一行中的 n1r, n2r,…， n kr均非零，并。这些因，除去指数 nij=0者，都称为 A( λ)的初等因子 必要而且只要它们的法式相同；必要而且只要它们的全部不变因子一致；必要而且只要它们的秩数与全部初等因子一致。
　　对于域 F上两个 n阶矩阵 A、 B，若有非奇异矩阵 P,使 P-1AP=B,则称为A相似于B，记为A～B。矩阵之间的这个关系，具有反身性、对称性和传递性，所以它是一种等价关系。矩阵的相似是在讨论一个向量空间到自身之间的的各种矩阵表示问题中产生的。域F上两个n阶矩阵A与B相似，必要而且只要特征矩阵(λI-A)与(λI-B)在F【λ】上等价。λI-A的不变因子与初等因子，分别称为A的不变因子与初等因子。特征矩阵λI-A的秩数，即A的阶数n。因此,在F上的两个n阶矩阵A与B相似，必要而且只要它们的初等因子一致。当F是一个代数封闭域时，F【λ】中的首项系数为1的既约多项式只能是形如(λ-α)的一次式，所以此时F上的一个n阶矩阵A的全部初等因子必为如下的一些多项式： 式中 α1, α2,…， αk互不相同， k≥1；所有指数Л1,Л2,…，Лr,…； n1, n2,…， nt之和为 n。对于每个形的多项式，可以惟一确定一个所谓小块，即 h阶矩阵： ，　　它只有一个初等因子，而且就。设上述 n阶矩阵 A的全部初等因子的若尔当小块分别是 J1, J2,…， Jυ， v= r+ s+…+ t,用这 v个小块来合成一个 n阶对角 。 于是 A～ J，而且除诸小块的次序外， J是由 A所惟一确定的。 J称为 A的若尔当标准形式。由此可知，只要找出 A的全部初等因子即可求得 A的若尔当标准形式。要找出 A的全部初等因子有一个较简捷的方法，即不必把 λI- A化成法式，而先把 λI- A通过初等变换化成，其上的全部多项式不一定恰是 A的全部不变因子，只要将其中每个非常数多项式的首项系数化为 1，再分解因子，即可象从不变因子求出初等因子那样得出 A的全部初等因子。　　设 N是任意域 F上的一个方阵，若有m使 Nm=0，则N称为一个。例如，把上述若尔当小块中的α全换成0得出的h阶矩阵N，就是一个幂零矩阵，因为Nh=0。　　若 F上的方阵 K具有性质 K2=K,则称K为一个。例如单位矩阵就是一个幂等矩阵。由直接计算可知，对F上任意多项式?(λ)，有。因此，与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零矩阵；与幂等矩阵相似的矩阵仍为幂等矩阵。　　实数域上一个非奇异矩阵 T若具有性质 T┡= T-1(T┡是T 的),则称为一个。例如解析几何里旋转公式的就是正交矩阵。一个正交矩阵的转置矩阵（即其逆矩阵）仍为正交矩阵；两个同阶的正交矩阵的积仍为正交矩阵。实数域上任意一个A，恒可通过适当的正交矩阵T而相似于对角矩阵D，即D=T-1AT=T┡AT，且D 的对角线上的实数就是A的全部特征根。　　复数域上的一个非奇异矩阵 U若具有性质 ū┡= U-1或U┡=(ū)-1(ū ┡为U 的)，就称为一个。一个酉矩阵的仍为酉矩阵；一个酉矩阵的转置矩阵仍为酉矩阵;一个酉矩阵的共轭转置矩阵(即其逆矩阵）仍为酉矩阵；两个同阶的酉矩阵的积仍为酉矩阵。复数域上凡满足的矩阵A，称为。实对称矩阵作为复数域上的矩阵时，就是埃尔米特矩阵。任意一个埃尔米特矩阵A,恒可通过适当的酉矩阵U 而相似于实对角矩阵D，即D =U┡Aū，且D 的对角线元素恰为A 的全部特征根。一个正交矩阵作为复数域上的矩阵时，也是一个酉矩阵。
　　当矩阵 A经过若干套初等变换而化为矩阵 B时，则称为 A合同于 B,记。矩阵之间的这个关系具有反身性、对称性和传递性，所以它是一种等价关系。矩阵的合同是在讨论用(对称)矩阵表示的问题中产生的。　　所谓一套初等变换，是指将某一种初等变换首先对一个矩阵的第 i列（行）施行而得一矩阵，然后再对此所得矩阵的第 i行(列)施行又得一矩阵。第一、二、三套初等交换，分别由第一、二、三种初等变换组成。　　两个 n阶矩阵 A与 B合同，必要而且只要有非奇异矩阵 P使 P┡ A P= B。与对称矩阵合同之矩阵仍为对称矩阵。每个秩数为 r的实对称矩阵 A恒合同于一个对角矩阵，其对角线上有 p个1与 q个-1；其他的对角线元素均为0，这里 p≥0, q≥0， p+ q= r，而且 p与 q都是由 A所惟一确定的。实对称矩阵的恒为实数。实对称矩阵 A能合同于而又相似于一个对角矩阵，其对角线元素恰为 A的全部特征根。与合同的实对称矩阵，称为。对于 n阶实对称矩阵 A,以下命题是等价的： A为正定矩阵；有非奇异矩阵 Q； A的所有主子式均为； A的所有 i阶主子式之和 Si均为正实数( i=1,2,…， n)； A的所有左上角的主子式均为正实数; A的所有特征根均为正实数； A所相应的二次型为正定型。　　对一个复数方阵施以第一套初等变换，就是用不为零的 α乘 i行，再用ā乘第 i列；施以第二套初等变换，就是把第 i行的 b倍加于第 j行，再用第 i列的姼倍加于第 j列；施以第三套初等变换仍然是互换第 i和第 j两行，再互换第 i和第 j两列。若对复数方阵 A施以上述的若干套初等变换而得方阵 B,则称为 A能 h合同于 B。矩阵的 h合同关系具有反身性、对称性和传递性，所以它是一种等价关系。两个 n阶复数矩阵 A与 B是 h合同的，必要而且只要有非奇异矩阵 P使 P′ A圴 = B。与矩阵是 h合同的矩阵仍为埃尔米特矩阵。每个埃尔米特矩阵 A恒 h合同于一个对角矩阵，其对角线上有 p个1与 q个－1，其他元素均为0,这里 p≥0, q≥0， p+ q为 A的秩数，而且 p、 q均是由 A所惟一确定的。埃尔米特矩阵的特征根恒为实数。埃尔米特矩阵 A不仅恒能 h合同于一个对角矩阵，而且必能相似于一个对角矩阵，此时其对角线元素恰为 A的全部特征根。与单位矩阵是 h合同的埃尔米特矩阵，称为正定埃尔米特矩阵。对于一个 n阶埃尔米特矩阵 A，以下命题是等价的： A为正定埃尔米特矩阵；有非奇异矩阵 Q; A的所有主子式为正实数; A的所有 i阶主子式之和 Si,均为正实数( i=1,2,…， n)； A的所有左上角的主子式均为正实数; A的所有特征根均为正实数; A所相应的埃尔米特二次型是正定埃尔米特二次型。复数域上的一个方阵 A若满足 A凴′=凴′ A(即 A与凴′可交换)就称 A为。实对称矩阵、埃尔米特矩阵、正交矩阵与酉矩阵都是正规矩阵。每个复数方阵 A均可表为 A= h1+i h2，其中 h1与 h2均为由 A所惟一确定的埃尔米特矩阵，此时 A为正规矩阵必要而且只要 h1与 h2可交换。正规矩阵 A与凴′有相同的。一个复数方阵 A为正规矩阵，必要而且只要有酉矩阵 U使 U-1AU 为对角矩阵。　　矩阵的理论起源，可追溯到18世纪，见于著作则是在19世纪。A.凯莱在1858年引进矩阵为一个正方形的排列表，且能进行加法与乘法运算，于是人们就把A.凯莱作为矩阵论的创始人。然而在此之前，C.F.在1801年与F.G.M.艾森斯坦在年就早已先后把一个线性替换(即线性变换)的全部系数作为一个整体，并用一个字母来表示。艾森斯坦还强调乘法的次序的重要性，指出 ST与 TS未必相同。与艾森斯坦同时的C.埃尔米特以及稍后的E.N.拉盖尔和F.G.也都先后发展了线性替换的符号代数。弗罗贝尼乌斯较丰富的工作于1877年发表在最早的之一的《克雷尔杂志》上。矩阵的相似标准形，矩阵的合同标准形，矩阵的求逆,矩阵的与广义特征值等是矩阵论的经典内容；矩阵方程论，论，等是矩阵论的现代内容。矩阵及其理论在现代科学技术的各个领域都有广泛的应用。
　　Microsoft Word可以创建矩阵公式，以软件为例介绍操作方法：　　第1步，打开Word2010文档窗口，切换到“插入”功能区。在“符号”分组中单击“公式”按钮（非“公式”下拉三角按钮）。　　第2步，在Word2010文档中创建一个空白公式框架，在“公式工具/设计”功能区中，单击“结构”分组中的“矩阵”按钮。在打开的矩阵结构列表中包括“空矩阵”、“点”、“单位矩阵”、“括号矩阵”和“”等类型，选择合适的矩阵结构形式。　　第3步，在空白公式框架中将添加矩阵结构，单击矩阵框输入具体数值即可。 　　矩阵是线性变换的便利表达法，皆因与及线性变换的合成有以下的连系：　　以 R表示 n×1矩阵（即长度为 n的矢量）。对每个线性变换 f: R-& R都存在唯一 m× n矩阵 A使得对所有 R中的元素 x， f( x)= Ax。 这矩阵 A&代表了&线性变换 f。 今另有 k× m矩阵 B代表线性变换 g: R-& R，则矩阵积BA代表了线性变换 go f。　　矩阵 A代表的线性代数的映像的维数称为 A的。矩阵秩亦是 A的行（或列）生成空间的维数。　　m× n矩阵 A的是由行列交换角式生成的 n× m矩阵 A（亦记作 A或 A），即对所有 i、 j， A[ i, j] = A[ j, i] 。若 A代表某一线性变换，则 A表示其对偶算子。　　转置有以下特性：　　矩阵和的转置等于转置的和；　　的转置等于的乘积（前后相乘顺序相反）　　物理学上的对称性及线性变换　　线性变换及其所对应的对称，在中有着重要的角色。例如，在中，是由狭义相对论的洛伦兹群所表示，具体来说，即它们在旋量群下的表现。内含泡利矩阵及更通用的狄拉克矩阵的具体表示，在的物理描述中，是一项不可或缺的构成部分，而费米子的表现可以用旋量来表述。描述最轻的三种夸克时，需要用到一种内含特殊酉群SU(3)的表示；物理学家在计算时会用一种更简便的矩阵表示，叫矩阵，这种矩阵也被用作SU(3)规范群，而的现代描述──的基础正是SU(3)。还有卡比博-小林-益川矩阵（CKM矩阵）：在中重要的基本夸克态，与指定粒子间不同质量的夸克态不一样，但两者却是成，而CKM矩阵所表达的就是这一点。　　量子态的线性组合　　1925年提出第一个量子力学模型时，使用了无限维矩阵来表示理论中作用在量子态上的算子。这种做法在中也能见到。例如密度矩阵就是用来刻画量子系统中“纯”量子态的线性组合表示的“混合”量子态。　　另一种矩阵是用来描述构成实验粒子物理基石的散射实验的重要工具。当粒子在加速器中发生碰撞，原本没有相互作用的粒子在高速运动中进入其它粒子的作用区，动量改变，形成一系列新的粒子。这种碰撞可以解释为结果粒子状态和入射粒子状态线性组合的。其中的线性组合可以表达为一个矩阵，称为S矩阵，其中记录了所有可能的粒子间相互作用。　　简正模式　　矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示，即用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运动项，用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。求系统的解的最优方法是将矩阵的特征向量求出（通过对角化等方式），称为系统的简正模式。这种求解方式在研究分子内部动力学模式时十分重要：系统内部由结合的原子的振动可以表示成简正振动模式的叠加。描述力学振动或电路振荡时，也需要使用简正模式求解。　　几何光学　　在几何光学里，可以找到很多需要用到矩阵的地方。几何光学是一种忽略了光波波动性的近似理论，这理论的模型将光线视为几何射线。采用近轴近似（英语：paraxial approximation），假若光线与光轴之间的夹角很小，则透镜或对于光线的作用，可以表达为2×2矩阵与向量的乘积。这向量的两个分量是光线的几何性质（光线的斜率、光线跟光轴之间在主平面（英语：principal plane）的垂直距离）。这矩阵称为光线传输矩阵（英语：ray transfer matrix），内中元素编码了光学元件的性质。对于折射，这矩阵又细分为两种：“折射矩阵”与“平移矩阵”。折射矩阵描述光线遇到透镜的折射行为。平移矩阵描述光线从一个主平面传播到另一个主平面的平移行为。　　由一系列透镜或反射元件组成的光学系统，可以很简单地以对应的矩阵组合来描述其光线传播路径。　　电子学　　在电子学里，传统的网目分析（英语：mesh analysis）或节点分析会获得一个，这可以以矩阵来表示与计算。
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