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文档介绍：
第32卷第8期2013年8月考题多变归类最好——浅谈圆锥曲线性质问题的归类解析方法夏力民(西北师范大学附属中学,甘肃兰州730070)圆锥曲线是历年新课标高考的压轴题之一,是考查学生综合能力的一大考试热点.圆锥曲线考查的核心是数形结合与转化与化归的数学思想方法.新课标卷圆锥曲线的一般命题模式是先根据已知的数理逻辑关系及曲线性质确定曲线方程,再结合基本曲线的性质考查把问题引向深入,最后化归为方程问题、不等式问题、函数问题来解决,以运算量大、数据整合方法灵活、逻辑推理层次要求高而著称,体现以能力立意的素质要求,突出对思维策略的考查,具有较高的区分度,是高考命题者追逐的热点,其中圆锥曲线性质的灵活归类应用,是突破圆锥曲线综合问题的关键.由近几年的新课标高考试卷可以看出,只要对三种圆锥曲线的性质进行归类记忆,在模式兼通法的基础上做到熟练应用,恰当地进行转化与化归,必然在此类问题中收获到事半功倍的效果.笔者结合自己的课堂教学和学生的实际答题情况,结合多例考查圆锥曲线性质的具体考题,给出以下几类公式化解析方法.1点差公式法在圆锥曲线综合问题中,中点弦问题往往最能体现出解析几何“设而不求&的逻辑色彩,此类问题使用直线方程与圆锥曲线方程联立就可解决,但将两交点坐标代人圆锥曲线方程并联立做差,就可以归类为以下的基本公式:已知直线z的斜率足存在且愚≠o,若直线z交椭圆c:荸+荸21于点A(z1,y1),B(z2,3,2),设弦AB的中点为P(勘,弘),则有芸·愚=一筹.若将椭圆c:事+等=1改为双曲线c:薯一芳=1,则有尝·忌=箬.(说明:若标准椭圆或双曲线的焦点在y轴上,则勘,执互换)例1点P(4,2)是直线z被椭圆c:螽+等=1所截得的线段的中点,则直线z的方程为——.解由点差公式法得29i‘是2一丽,所以志=一告,所以直线z的方程为y一2=一去(z一4)即z+2y一8=O.例2已知中心在原点,顶点A1,A2在z轴上,e=≤磬的双曲线经过点P(6,6).(1)求双曲线的方程5(2)动直线Z经过△AlPA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M,N,问是否存在直万方数据第32卷第8期2013年8月线Z使得点G平分线段MN,试证明你的结论.解(1)等~荡=1.(2)因为P(6,6),A1(一3,O),A2(3,O),所以G(2,2),假设存在直线￡满足条件,设其斜率为忌,则由点差公式法得鲁·忌=警,愚=丢,所以z:y一2=寺(z一2),代人双曲线方程得≯一4z+28=O,因为△=16—4×28&O,所以直线Z不存在.2面积公式法圆锥曲线综合问题中,结合曲线性质解决面积问题,是考查数形结合的数学思想方法的一种常见手段,往往是圆锥曲线综合问题的入门第一题,若没有“类型+方法&的积累,往往有较大的运算量,可以归类为以下的基本公式:已知椭圆c:荸+等21上一点M与两焦点F-,F2所成的么FlM.F2=口,则‰崛=62tan导.若将椭圆c:羞+荸=1改为双曲线c:豢一芳=1,则有s如峨=6zcot号.(说明:该公式与焦点位置无关,6始终为椭圆半短轴或双曲线半虚轴,利用三角形中的余弦定理及三角形的正弦面积公式可以很快得到证明)例3已知Fl,F2是椭圆螽+y2—1的两个焦点,P为椭圆上位于第一象限的点,且两上两,则点P的坐标为——.解设点P的纵坐标为yP,则由以上的面积公式有62tan詈=号IF1F21.如,即1×t蛐45。=专×6×如,所以协=丢,代入椭圆方程得P(竽,号).例4设椭圆苦+警=1与双曲线誓一y2=1的公共焦点分别为F1,F2,点P为两曲线的一个交点,则cos么F1PF2的值为((A){(B)号(c)号(D)一吉解设么F1PF2=口,两圆锥曲线有共同的焦点三角形,由以上公式知2tan导=cot詈,所以t群詈=专,耐号2去一:呈1+甜昙3’所以cos口=2cos2号一l=吾.所以选B.3三参几何法圆锥曲线的焦点弦被焦点分得的共线向量系数.:【,曲线的离心率P,直线的斜率是的“知二求一”,在近几年的新课标高考卷中多有出现,是圆锥曲线基本性质考查最为密集的题型之一,求解思路活,综合能力的要求全面,考查学生多层次、多方位、多角度创造性解决问题的能力.此类问题,利用直线方程与万方数据第32卷第8期2013年8月数学教学研究圆锥曲线方程联立,在消元后得到一元二次方程的基础上,构建韦达定理与共线向量条件下的向量坐标化等式之间的代数关系亦可求解.但若熟练掌握圆锥曲线的几何性质,利用数形结合思想构图解题,往往可以避免较多的推理运算,笔者归类为圆锥曲线统一定义下的几何方法,称之为三参(A,8,愚)几何法,具体应用举例如下:例5已知倾斜角为60。的直线z过椭一2圆等+告=l的右焦点F,交椭圆于A(z。,3,1),B(现,y2),招=A商,求A的值.解如图1所示,设l碲I=m,I商I=n(仇,n&O),作AAl,BBl上准线z=譬于点A。,Bl,作AC上BBl于Co}厂‘—《一Am/l、\翻n}Ⅳj台cB图1由椭圆的第二足义知:lAAt12詈,l船·12詈,所以IBcI=÷(竹一m).在△ABC中,由么ABC=60。知IBcl=专IABI,所以÷(靠一m)=丢(优+咒).又P=丢,所以优=詈n,A=詈.例6若抛物线y2=2加:(p&o)过其焦点F倾斜角为60。的直线Z交抛物线于A,B两点,且lABI=4,则此抛物线的方程为解如图2所示,设I碲I=m,I商l=n(7,l,竹&o),作AAl,BBl上准线z=一等于点A1,B1,作BC上AAl于C,交z轴于点D.由椭圆的定义知:lAAll=m,IBBlI=二C屯}/‘7.0~人图2所以IACI=m一竹.又么BAC=60。,所以m一豫=丢×4=2.因为仇+72=4,所以m=3,竹=1.又IDFI=夕一72=户一1.由髑=船,得掣={,所以户=昔,抛物线的方程为护=缸.4弦距定值法圆锥曲线中的定值问题,以转化与化归的能力立意,在注重“通性通法”的基础上,构造新颖,角度独到,在考查考生思维的深刻性、多样性、判断性的基础上,同时也考查考生逻辑推理的严密性与创造性,往往有较大的难度.其中过焦点的弦的垂直平分线问题,既考查圆锥曲线的基本性质,又与平面几何知识相结合,在几何图形的动态演绎中,有待学生揭示几何图形蕴藏的内在稳定不变性.若对其中的几何结构进行归类化,将圆锥曲线的弦长和直线的截距与离心率之间的比值关系进行公式化记忆,必然在简化逻辑推演,预测结果的导向性方面更胜一筹.过圆锥曲线C的一个焦点F,且不与该焦点所在对称轴垂直的直线z交曲线C于A,B,弦AB的垂直平分线交过点F的对称万方数据数学教学研究第32卷第8期2013年8月轴于N’贝¨恒有槲=詈.(说明:本公式对于三种圆锥曲线均适用,利用基本弦长公式与截距求比值即可化归为定值)例7过椭圆普+萼=1左焦点F且不垂直于z轴的直线交椭圆于A,B两点,AB的垂直平分线交z轴于点N,则髑=解由以上的弦距定值公式知·呈幽一三一土一上lA引223’例8已知过抛物线,=4z的焦点F的直线Z交抛物线于A,B,弦AB的垂直平分线交抛1
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【名师伴你行】2015届高考文科数学二轮复习专题突破课件+题能专训：第18讲　圆锥曲线的方程与性质
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【名师伴你行】2015届高考文科数学二轮复习专题突破课件+题能专训：第18讲　圆锥曲线的方程与性质
1．已知点P在抛物线x2＝4y上，且点P到x轴的距离与点P到此抛物线的焦点的距离之比为1∶3，则点P到x轴的距离是　　
A14　　　　B12　　　　C．1　　　　D．2
解析：抛物线的准线为y＝－1，设点P到x轴的距离为d，则d＋1＝3d，d＝12选B
2．双曲线x2a2－y2b2＝1a>0，b>0的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点M，若MF2⊥x轴，则双曲线的离心率为　　
解析：由条件令|MF2|＝m，|MF1|＝2m，则|F1F2|＝3m，即2c＝3m,2a＝|MF1|－|MF2|＝2m－m＝m，
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& 2014届高三数学 圆锥曲线的概念与性质、存在性问题与曲线中的证明期末复习测试卷 文
2014届高三数学 圆锥曲线的概念与性质、存在性问题与曲线中的证明期末复习测试卷 文
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资料类型：专题资料
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资料概述与简介
圆锥曲线的概念与性质、存在性问题与曲线中的证明
一、选择题
1.抛物线y=的焦点坐标是(　　)
2.设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±4y=0,则双曲线的离心率为(　　)
3.已知椭圆+=1(a>0)的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则该椭圆的离心率是(　　)
4.(2013·天津模拟)已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-=1两条渐近线分别交于A,B两点,且|AB|=2,则双曲线的离心率e为(　　)
5.(2013·重庆模拟)已知点P是双曲线-=1(a>0,b>0)和圆x2+y2=a2+b2的一个交点,F1,F2是双曲线的两个焦点,∠PF2F1=2∠PF1F2,则双曲线的离心率为(　　)
A.+1　　　　　　　 B.
6.下列四个命题中不正确的是(　　)
A.若动点P与定点A(-4,0),B(4,0)连线PA,PB的斜率之积为定值,则动点P的轨迹为双曲线的一部分
B.设m,n∈R,常数a>0,定义运算“”:mn=(m+n)2-(m-n)2,若x≥0,则动点
P(x, )的轨迹是抛物线的一部分
C.已知两圆A:(x+1)2+y2=1,圆B:(x-1)2+y2=25,动圆M与圆A外切,与圆B内切,则动圆的圆心M的轨迹是椭圆
D.已知A(7,0),B(-7,0),C(2,-12),椭圆过A,B两点且以C为其一个焦点,则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线
二、填空题
7.(2013·广州模拟)已知双曲线x2-ky2=1的一个焦点是(,0),则其渐近线方程为　　　　　　.
8.F1,F2是双曲线x2-=1(m>0)的两个焦点,过点F2作与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为A,满足||=||,则m的值为　　　　.
9.(2013·山东高考改编)抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=　　　　.
三、解答题
10.已知圆M:(x-)2+y2=,若椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点为圆M的圆心,离心率为.
(1)求椭圆C的方程.
(2)已知直线l:y=kx,若直线l与椭圆C分别交于A,B两点,与圆M分别交于G,H两点(其中点G在线段AB上),且|AG|=|BH|,求k的值.
11.(2013·北京高考)直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:+y2=1相交于A,C两点,O是坐标原点.
(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长.
(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形.
12.(2013·成都模拟)如图,已知椭圆+=1的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的中点为G,AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点.
(1)若点G的横坐标为-,求直线AB的斜率.
(2)记△GFD的面积为S1,△OED(O为原点)的面积为S2.试问:是否存在直线AB,使得S1=S2?说明理由.
1.【解析】选D.因为抛物线y=,即x2=4y,
所以2p=4,p=2,焦点坐标为(0,1).
2.【解析】选B.由已知得:=,则a=4,
则c2=9+a2=25,得c=5,所以e=.
【误区警示】本题易忽视双曲线的焦点在y轴上而误选.
3.【解析】选D.由已知得椭圆的一个焦点为(2,0),所以c=2.
又a2-2=4,所以a=,所以e==.
4.【解析】选D.由已知y2=4x得其准线方程为x=-,
而双曲线-=1的两条渐近线方程为y=±x,
则|AB|=b=2,
所以有=,即=,
亦即:=,结合e>1,解得:e=.
5.【解析】选A.如图:由已知F1F2正好是圆的直径,所以∠F1PF2=,∠PF1F2=,
所以由双曲线定义得
2c·cos-2c·sin=2a,
所以e===+1.
6.【解析】选D.A中轨迹是双曲线去掉与x轴交点的部分,B中的抛物线取x轴上方的(包含x轴)部分,C中符合椭圆定义是正确的,D中应为双曲线一支.故选D.
【方法总结】求动点轨迹方程的常用方法
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些几何条件简单明了且易于表达,我们只需把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程.由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤,也不需要特殊的技巧,所以称之为直接法.
若动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义,则可根据定义直接求出动点的轨迹方程.
3.相关点法:
有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程,这种求轨迹的方法叫做相关点法或坐标代换法.
7.【解析】双曲线的方程可变为x2-=1,
又其一个焦点为(,0),
所以k>0,且+1=5,所以k=,
所以双曲线方程为x2-=1,
故其渐近线方程为x2-=0,即y=±2x.
答案:y=±2x
8.【解析】由||=||,可知=2c.又a=1,b=,c=,所以有m=2,即m2-4m=4,m2-4m+4=8,(m-2)2=8,解得m=2±2.
又m>0,所以m=2+2.
9.【解析】经过第一象限的双曲线的渐近线为y=x.抛物线的焦点为F,双曲线的右焦点为F2(2,0).y′=x,由题意知在M处的切线斜率为,即x0=,所以x0=p,点F,F2(2,0),
M共线,所以=,
10.【解析】(1)设椭圆的焦距为2c,
因为a=,=,所以c=1,
所以b=1,所以椭圆C:+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由直线l与椭圆C交于两点A,B,
则所以(1+2k2)x2-2=0,
则x1+x2=0,x1x2=-,
所以|AB|==,
点M(,0)到直线l的距离d=,
显然,若点H也在线段AB上,则由对称性可知,直线y=kx就是y轴,矛盾,
因为|AG|=|BH|,所以|AB|=|GH|.
得k2=1,解得k=±1.
11.【解题提示】(1)把线段OB的垂直平分线方程与椭圆方程联立,求出点A,C的坐标,再求AC的长.
(2)用反证法.假设OABC为菱形,则只需证明若OA=OC,则A点与C点的横坐标相等或互为相反数,从而与已知矛盾.
【解析】(1)线段OB的垂直平分线为y=,因此A,C点的坐标为(±,),于是AC的长为2.
(2)只需证明若OA=OC,则A点与C点的横坐标相等或互为相反数.
设OA=OC=r(r>1),则A,C为圆x2+y2=r2与椭圆W:+y2=1的交点.
=r2-1,x=±,所以A点与C点的横坐标互为相反数或相等,此时B点为顶点.因此四边形OABC不可能是菱形.
12.【解析】(1)依题意,直线AB的斜率存在,
设其方程为y=k(x+1),
将其代入+=1,
整理得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,
故点G的横坐标为=.
依题意,得=-,解得k=±.
(2)假设存在直线AB,使得S1=S2,显然直线AB不能与x,y轴垂直.
由(1)可得G,
因为DG⊥AB,所以×k=-1,
解得xD=,即D,
因为△GFD∽△OED,
所以S1=S2|GD|=|OD|,
整理得8k2+9=0,因为此方程无解,
所以不存在直线AB,使得S1=S2.
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设PF1=m，PF2=n，由椭圆定义，m+n=2a①， 因为是直角三角形，s=mn/2=9
mn=18②由勾股定理，m²＋n²＝4c²③①式平方得到4a²＝m²+n²+2mn=4c²+36
b²＝a²－c²=9
额 如果是选择填空 可以用公式S△PF1F2=b²tan（∂/2）来算 ∂角可以是任意角F1PF2
楼上正解 圆锥曲线选择填空绝对不用算 一般都是焦点三角形的相关结论和中位线
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为兴趣而生，贴吧更懂你。或已知圆锥曲线C:x216+y2t2-2t=1.其两个不同的焦点F1.F2同在x轴上．(1)试根据t不同的取值范围来讨论C所表示的圆锥曲线,(2)试在曲线C上求满足PF1•PF2=0的点P的个数.并求出相应的t的取值范围． 题目和参考答案——精英家教网——
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已知圆锥曲线C：x216+y2t2-2t=1（t≠0且t≠2），其两个不同的焦点F1、F2同在x轴上．（1）试根据t不同的取值范围来讨论C所表示的圆锥曲线；（2）试在曲线C上求满足PF1•PF2=0的点P的个数，并求出相应的t的取值范围．
分析：（1）只可能是焦点在x轴上的椭圆或双曲线，利用椭圆与双曲线的标准方程即可得出；（2）满足PF1•PF2=0的P在以F1F2为直径的圆周上．再根据t的取值范围，可得当t∈（0，2）时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线，可得p的个数．再根据b与c的关系即可得出p点的个数．解答：解：（1）只可能是焦点在x轴上的椭圆或双曲线，当t2-2t＞0t2-2t＜16，即t∈(1-17，0)∪(2，1+17)时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，当t2-2t＜0即t∈（0，2）时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线．（2）满足PF1•PF2=0的P在以F1F2为直径的圆周上当t∈（0，2）时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线，P有4个当t∈(1-17，0)∪(2，1+17)时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆此时a2=16，b2=t2-2t，c2=16-（t2-2t）若b＜c，即t∈（-2，0）∪（2，4）时，P有4个若b=c，即t=-2或t=4时，P有2个若b＞c，即t∈(1-17，-2)∪(4，1+17)时，P不存在．点评：熟练掌握椭圆、圆与双曲线的标准方程及其性质、分类讨论的思想方法等是解题的关键．
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科目：高中数学
已知点P是圆C：x2+y2=1外一点，设k1，k2分别是过点P的圆C两条切线的斜率．（1）若点P坐标为（2，2），求k1•k2的值；（2）若k1•k2=-λ（λ≠-1，0），求点P的轨迹M的方程，并指出曲线M所在圆锥曲线的类型．
科目：高中数学
如图，直线l1和l2相交于点M且l1⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|BN|=6．（1）曲线段C是哪类圆锥曲线的一部分？并建立适当的坐标系，求曲线段C所在的圆锥曲线的标准方程；（2）在（1）所建的坐标系下，已知点P（m，n）在曲线段C上，直线l：mx+ny=1，求直线l被圆x2+y2=1截得的弦长的取值范围．
科目：高中数学
圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（x0，y0）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP，NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0）．（Ⅰ）试用x0，y0，m，n的代数式分别表示xE和xF；（Ⅱ）已知“若点P（x0，y0）是圆C：x2+y2=R2上的任意一点（x0•y0≠0），MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则xE•xF=R2”．类比这一结论，我们猜想：“若曲线C的方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)（如图），则xE•xF也是与点M、N、P位置无关的定值”，请你对该猜想给出证明．
科目：高中数学
（;天津模拟）已知曲线C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0，x≥0)和曲线C2：x2+y2=r2(x≥0)都过点A（0，-1），且曲线C1所在的圆锥曲线的离心率为32．（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的方程；（Ⅱ）设点B，C分别在曲线C1，C2上，k1，k2分别为直线AB，AC的斜率，当k2=4k1时，问直线BC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
科目：高中数学
来源：学年江苏省镇江市扬中二中高三（上）期末数学模拟试卷（解析版）
题型：解答题
圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（x，y）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP，NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0）．（Ⅰ）试用x，y，m，n的代数式分别表示xE和xF；（Ⅱ）已知“若点P（x，y）是圆C：x2+y2=R2上的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则”．类比这一结论，我们猜想：“若曲线C的方程为（如图），则xE•xF也是与点M、N、P位置无关的定值”，请你对该猜想给出证明．
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