1334人阅读
学习学习（618）
学习和介绍一个有用的求任意简单多边形面积的经典公式。
所谓“简单多边形”，可以是凹、或凸多边形，但原则上边与边之间不能有交叉；或者，拓扑一点，从多边形卷绕数的角度，多边形内的点卷绕数只能是±1。
这个公式有悠久的历史，而且计算中十分有用，可惜。
Shoelace公式
这里的shoelace,——“鞋带”——，并不是人名，所以翻译成“鞋带公式”没有任何问题。这个名字是怎么来的呢？因为实际计算中，公式以n×2 的矩阵形式表示多边形上顺序排列的顶点，行列式的计算又存在错位，形如所系的“鞋带”，所以才得名。又叫“鞋带算法”、“鞋带法”、“高斯面积公式”、测量员公式。
维基上的简单例子是这样的，比如已知 ΔABC 三个顶点的坐标 A:(x1,y1)、
B:(x2,y2)、 C:(x3,y3)，对应的矩阵是这样的：
??????????????????????x1x2x3x1&y1y2y3y1??????????????????????=>??????????????????????x1x2x3x1???y1y2y3y1??????????????????????=>??????????????????????x1x2x3x1×××y1y2y3y1??????????????????????
计算面积时，先根据中间一个矩阵，计算
a=(x1×y2)+(x2×y3)+(x3×y1)
再从最右侧矩阵计算
b=(y1×x2)+(y2×x3)+(y3×x1)
则三角形面积为：
SΔABC=12|a-b|=12∣∣((x1×y2)+(x2×y3)+(x3×y1))-((y1×x2)+(y2×x3)+(y3×x1))∣∣
代入一个简单的情形试试，A:(0,4),B:(0,0),C:(3,0)，则是一个直角顶点在原点，底 3 高 4 面积为 6 的直角三角形:
SΔABC=12∣∣((x1×y2)+(x2×y3)+(x3×y1))-((y1×x2)+(y2×x3)+(y3×x1))∣∣
=12|((0×0)+(0×0)+(3×4))-((4×0)+(0×3)+(0×0))|=6
当简单多边形边数或顶点数更多时，则计算面积时上述矩阵为 n×2 维，计算规则不变。
A=12∣∣∣∑i=1nxi(yi+1-yi-1)∣∣∣=12∣∣∣∑i=1nyi(xi+1-xi-1)∣∣∣=12∣∣∣∣∑i=1ndet(xiyixi+1yi+1)∣∣∣∣
公式中约定： 当下标大于 n 时， xn+1=x1, yn+1=y1。
它可以看作时的特殊情形。
证明因为不难，用Green定理来证时，只须假设合适的向量场，也比较方便。所以就不写了。
这个讲完之后，后面介绍它在近似数值计算求复杂闭曲线所包围面积中的一个应用。
参考知识库
* 以上用户言论只代表其个人观点，不代表CSDN网站的观点或立场
访问：1263845次
积分：16536
积分：16536
排名：第516名
原创：350篇
转载：350篇
译文：24篇
评论：153条
(6)(4)(8)(9)(8)(12)(7)(5)(10)(4)(5)(7)(19)(29)(8)(4)(2)(7)(12)(21)(16)(32)(16)(7)(2)(4)(9)(15)(12)(10)(21)(34)(37)(24)(17)(29)(41)(27)(4)(5)(3)(1)(1)(1)(5)(8)(1)(1)(9)(5)(12)(14)(5)(21)(14)(15)(8)(11)(6)(4)(13)(1)(5)(11)}