2016北京市中考数学专题突破五：四边形的有关计算(有答案)
所属科目：数学&&&&文件类型：doc类别：试题、练习
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文档内容预览：&& 专题突破(五)　四边形的有关计算　 四边形中档解答题所考查知识点相对稳定，主要考查学生对所学四边形、相似、解直角三角形等内容的综合应用能力和计算能力.2015年计算量和难度都有所下降．年北京中考知识点对比　　
题型年份　　20112012201320142015题型梯形有关计算四边形有关计算四边形有关证明及计算四边形有关证明及运算四边形有关证明与计算1．[2015·北京] 如图Z5－1，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.图Z5－12．[2014·北京] 如图Z5－2，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．图Z5－23．[2013·北京] 如图Z5－3，在?ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF.(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．图Z5－34．[2012·北京] 如图Z5－4，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝，BE＝2 .求CD的长和四边形ABCD的面积．图Z5－4一、以特殊平行四边形为背景图形1．[2015·顺义一模] 如图Z5－4，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，且CE⊥BD于点F，将△DEC沿从D到A的方向平移，使点D与点A重合，点E平移后的点记为G.(1)画出△DEC平移后的三角形；(2)若BC＝2 ，BD＝6，CE＝3，求AG的长．图Z5－52．[2015·东城一模] 如图Z5－6，在△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE.(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)若AC＝2DE，求sin∠CDB的值．图Z5－63．[2015·海淀一模] 如图Z5－7，在?ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F＝45°.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AB＝14，DE＝8，求sin∠AEB的值．图Z5－74．[2015·朝阳一模] 如图Z5－8，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE，OE，连接AE交OD于点F.(1)求证：OE＝CD；(2)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．图Z5－85．[2015·西城一模] 如图Z5－9，在四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC.(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长．图Z5－9二、以一般四边形为背景图形1．[2014·海淀一模] 如图Z5－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2 ，以AC为边在△ABC的外部作等边三角形ACD，连接BD.(1)求四边形ABCD的面积；(2)求BD的长．图Z5－102．[2014·顺义一模] 如图Z5－11，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，BC＝4，CD＝3，求AB的长．图Z5－113．[2014·石景山一模] 如图Z5－12，在四边形ABCD中，AB＝2，∠A＝∠C＝60°，DB⊥AB于点B，∠DBC＝45°，求BC的长．图Z5－124．[2014·昌平一模] 已知：如图Z5－13，BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C＝60°，AB＝1，BC＝3＋，CD＝2 .(1)求tan∠ABD的值；(2)求AD的长．图Z5－13三、以三角形为背景图形1．[2015·平谷一模] 如图Z5－14，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，EF∥AC.(1)求证：BE＝AF；(2)若∠ABC＝60°，BD＝12，求DE的长及四边形ADEF的面积．图Z5－142．[2015·延庆一模] 如图Z5－15，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG.(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；(2)如果∠OBC＝45°，∠OCB＝30°，OC＝4，求EF的长．图Z5－153．[2015·海淀二模] 如图Z5－16，已知：在△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC＝30°，过点D作ED⊥AD交AC于点E，AE＝4，EC＝2.(1)求证：AD＝CD；(2)若tanB＝3，求线段AB的长．图Z5－164．[2015·大兴一模] 已知：如图Z5－17，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B.(1)请你判断BC′与AB′的位置关系，并说明理由；(2)求BC′的长．图Z5－17参考答案北京真题体验1.证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，即DF∥BE.又∵DF＝BE，∴四边形DEBF为平行四边形．又∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°，∴四边形DEBF为矩形．(2)∵四边形DEBF为矩形，∴∠BFC＝∠BFD＝90°.∵CF＝3，BF＝4，∴BC＝＝5，∴AD＝BC＝5，∴AD＝DF，∴∠DAF＝∠DFA.∵CD∥AB，∴∠DFA＝∠FAB，∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB.2．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥CB.∵AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，∴∠BAE＝∠DAE，∠ABF＝∠CBF.∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∠EBF＝∠AFB，∴∠ABF＝∠AFB，∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，AB＝AF，∴AF＝BE.∵AF∥BE，∴四边形ABEF为菱形．(2)如图，过点P作PH⊥AD于点H.∵∠ABC＝60°，AB＝BE，∴△ABE为等边三角形，∴AE＝AB＝4，∠AEB＝60°.∵AD∥BC，∴∠DAE＝60°.∵四边形ABEF为菱形，∴P为AE的中点，∴AP＝2.在Rt△APH中，∠AHP＝90°，∠PAH＝60°，AP＝2，∴AH＝1，PH＝.∵AD＝6，∴DH＝5，∴tan∠ADP＝＝.3．解：(1)证明：在?ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC.∵F是AD的中点，∴DF＝AD.又∵CE＝BC，∴DF＝CE，且DF∥CE，∴四边形CEDF是平行四边形．(2)如图，过点D作DH⊥BE于点H.在?ABCD中，∵∠B＝60°，∴∠DCE＝60°.∵AB＝4，∴CD＝AB＝4，∴CH＝2，DH＝2 .在?CEDF中，CE＝DF＝AD＝3，则EH＝1.∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE＝＝＝.4．解：如图，过点D作DH⊥AC于点H.∵∠CED＝45°，DH⊥EC，DE＝，∴EH＝DH＝1.又∵∠DCE＝30°，∴HC＝，DC＝2.∵∠AEB＝45°，∠BAC＝90°，BE＝2 ，∴AB＝AE＝2，∴AC＝2＋1＋＝3＋，∴S四边形ABCD＝×2×(3＋)＋×1×(3＋)＝.北京专题训练一、以特殊平行四边形为背景图形1．解：(1)如图所示．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC.由平移可知点C平移到点B，且△DEC≌△AGB，∴BG＝CE，BG∥CE.∵CE⊥BD，CE＝3，∴BG＝3，∠GBD＝90°.在Rt△GBD中，BD＝6，BG＝3.∴DG＝3 .又∵BC＝2 ，∴AD＝2 ，∴AG＝DG－AD＝.2．解：(1)证明：∵DE∥BC，CE∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形，∴CE＝BD.又∵CD是边AB上的中线，∴BD＝AD，∴CE＝DA.又∵CE∥DA，∴四边形ADCE是平行四边形．∵∠BCA＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴AD＝CD，∴四边形ADCE是菱形．(2)过点C作CF⊥AB于点F.由(1)可知BC＝DE.设BC＝x，则AC＝2x.在Rt△ABC中，根据勾股定理可求得AB＝x.∵AB·CF＝AC·BC，∴CF＝＝x.∵CD＝AB＝x，∴sin∠CDB＝＝.3．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠F.∵∠F＝45°，∴∠DAE＝45°.∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB＝∠DAE＝45°，∴∠DAB＝90°.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)如图，过点B作BH⊥AE于点H.∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝∠D＝90°.∵AB＝14，DE＝8，∴CE＝6.在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，∴∠DEA＝∠DAE＝45°，∴AD＝DE＝8，∴BC＝8.在Rt△BCE中，由勾股定理得BE＝＝10.在Rt△AHB中，∠HAB＝45°，∴BH＝AB·sin45°＝7 .∵在Rt△BHE中，∠BHE＝90°，∴sin∠AEB＝＝.4．解：(1)证明：在菱形ABCD中，OC＝AC.∵DE＝AC，∴DE＝OC.又∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴?OCED是矩形，∴OE＝CD.(2)∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝2，∴AO＝AC＝1.∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝.在Rt△ACE中，AE＝＝.5．解：(1)证明：∵∠ADE＝∠BAD，∴AB∥ED.∵BD垂直平分AC，垂足为F，∴BD⊥AC，AF＝FC.又∵AE⊥AC，∴∠EAC＝∠DFC＝90°，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形．(2)如图，连接BE交AD于点O.∵DA平分∠BDE，∴∠ADE＝∠1.又∵∠ADE＝∠BAD，∴∠1＝∠BAD，∴AB＝BD，∴?ABDE是菱形．∵AB＝5，AD＝6，∴BD＝AB＝5，AD⊥BE，OA＝AD＝3.在Rt△OAB中，OB＝＝4.∵S△ABD＝AD·OB＝BD·AF，∴6×4＝5AF，解得AF＝4.8.∵BD垂直平分AC，∴AC＝2AF＝9.6.二、以一般四边形为背景图形1．解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2 ，∴cos∠ABC＝，AC＝AB，∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－30°＝60°，∴AB＝＝＝4，AC＝×4＝2.∵△ACD为等边三角形，∴AD＝CD＝AC＝2，∠DAC＝60°.如图，过点D作DE⊥AC于点E，则DE＝AD·sin∠DAC＝2×sin60°＝，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AC·BC＋AC·DE＝×2×2 ＋×2×＝3 .(2)如图，过点D作DF⊥AB于点F.∵∠DAF＝180°－∠BAC－∠DAC＝180°－60°－60°＝60°，∴DF＝AD·sin∠DAF＝2sin60°＝，AF＝AD·cos∠DAF＝2cos60°＝1，∴BF＝AB＋AF＝4＋1＝5.∵DF⊥AB，∴在Rt△BDF中，BD2＝DF2＋BF2＝()2＋52＝28，∴BD＝2 .2．解：如图，延长BA，CD交于点E.∵∠B＝90°，∠C＝60°，BC＝4，∴∠E＝30°，CE＝8，BE＝4 .∵CD＝3，∴DE＝5，∴AE＝＝＝ ，∴AB＝BE－AE＝4 － ＝ .3．解：如图，过点D作DE⊥BC于点E.∵DB⊥AB，AB＝2，∠A＝60°，∴BD＝AB·tan60°＝2 .∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，∴BE＝DE＝BD·sin45°＝.∵∠C＝∠A＝60°，∠DEC＝90°，∴CE＝＝，∴BC＝＋.4．解：(1)如图，过点D作DE⊥BC于点E.∵在Rt△CDE中，∠C＝60°，CD＝2 ，∴CE＝，DE＝3.∵BC＝3＋，∴BE＝BC－CE＝3＋－＝3，∴DE＝BE＝3，∴在Rt△BDE中，∠EDB＝∠EBD＝45°.∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠ABC－∠EBD＝45°，∴tan∠ABD＝1.(2)如图，过点A作AF⊥BD于点F.在Rt△ABF中，∠ABF＝45°，AB＝1，∴BF＝AF＝.∵在Rt△BDE中，DE＝BE＝3，∴BD＝3 ，∴DF＝BD－BF＝3 －＝，∴在Rt△AFD中，AD＝＝.三、以三角形为背景图形1．解：(1)证明：∵DE∥AB，EF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD＝∠BDE，∴AF＝DE.∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE，∴BE＝AF.(2)如图，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H.∵∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠EBD＝30°，∴DG＝BD＝×12＝6.∵BE＝DE，∴BH＝DH＝BD＝6，∴BE＝＝4 ，∴DE＝BE＝4 ，∴四边形ADEF的面积为DE·DG＝24 .2．解：(1)证明：∵D，G分别是AB，AC的中点，∴DG∥BC，DG＝BC.∵E，F分别是OB，OC的中点，∴EF∥BC，EF＝BC，∴DG＝EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形．(2)过点O作OM⊥BC于点M.在Rt△OCM中，∠OCM＝30°，OC＝4.∴OM＝OC＝2，∴CM＝2 .在Rt△OBM中，∠OBM＝∠BOM＝45°，∴BM＝OM＝2，∴BC＝2＋2 ，∴EF＝1＋.3．解：(1)证明：∵ED⊥AD，∴∠ADE＝90°.在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，AE＝4，∴∠DEA＝60°，DE＝AE＝2.∵EC＝2，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠C.又∵∠EDC＋∠C＝∠DEA＝60°，∴∠C＝30°＝∠DAE，∴AD＝DC.(2)如图，过点A作AF⊥BC于点F.∴∠AFC＝∠AFB＝90°.∵AE＝4，EC＝2，∴AC＝6.在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，∠C＝30°，∴AF＝AC＝3.在Rt△AFB中，∠AFB＝90°，tanB＝3，∴BF＝＝1，∴AB＝＝.4．解：(1)BC′与AB′互相垂直．理由：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D.∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AB′C′，∴AB＝AB′，∠BAB′＝60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB＝BB′.∵AC＝BC，∴AC′＝B′C′.在△ABC′和△B′BC′中，∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)，∴∠ABC′＝∠B′BC′，∴BD⊥AB′.(2)∵∠C＝90°，AC＝BC＝，∴AB＝2，∴AB′＝2.由(1)知BD⊥AB′且D为AB′的中点，∴C′D＝×2＝1.∵在Rt△ABD中，∠ABD＝∠ABB′＝30°，AB＝2，∴BD＝2×＝，∴BC′＝BD－C′D＝－1.
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∴BE=BD=1．
如图2，连接BB′．
根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB′=45°，BE=B′E．
∴∠BEB′=90°，
∴△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=BE=．
又∵BE=DE，B′E⊥BD，
∴DB′=BB′=．
故答案是：．
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四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有&&&&（&&&&）
A．1组&&&&& B．2组&&&&&
C．3组&&&&&
D．4组
试题分析：①②③为正确答案，④错误，若AB∥CD，，则可能为等腰梯形
考点：平行四边形的判断
考点分析：
考点1：平行四边形
平行四边形的概念：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形用符号“□ABCD，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作ABCD”。
①平行四边形属于平面图形。
②平行四边形属于四边形。
③平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等。
④平行四边形属于中心对称图形。
平行四边形的性质：
（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。）
（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）
（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补
（简述为“平行四边形的邻角互补”）
（4）夹在两条平行线间的平行线段相等。
（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
（简述为“平行四边形的对角线互相平分”）
（6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论）
（7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形）
（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.
（10）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形。
注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。
（11）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。
（12）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。
（13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。
（14）平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。
（15）平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。
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