503 Service Temporarily Unavailable
503 Service Temporarily Unavailable
openresty/1.9.7.4关于隐函数的求导(可以解决圆锥曲线上切线斜率问题)_重庆八中吧_百度贴吧
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&签到排名：今日本吧第个签到，本吧因你更精彩，明天继续来努力！
本吧签到人数：0成为超级会员，使用一键签到本月漏签0次！成为超级会员，赠送8张补签卡连续签到：天&&累计签到：天超级会员单次开通12个月以上，赠送连续签到卡3张
关注：44,055贴子：
关于隐函数的求导(可以解决圆锥曲线上切线斜率问题)收藏
本来发在高考吧，结果被水。高考时能用就用吧。原理与用法都比较简单。在高等数学里，我们把因变量不能用自变量直接表出的函数，即难于化简、或如何化简都不能表示为y=F(x)形式的函数，称为隐函数。如：cosx^siny=e^x 我们熟悉的圆锥曲线，都可以看作是隐函数。现以标准椭圆为例，求其上某点切线斜率:x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1; P(x0,y0).１.把y看作关于x的函数:y(x) (理解层面)x^2/a^2 + y(x)^2/b^2 = 1;2.等式两边同时对x求导(还记得链式求导么)：2*x/a^2 + 2*y(x)*y(x)'/b^2=0;3.此时等式中出现y(x)'，把它看作未知数，求解：移项后解得：y(x)'= -( b^2/a^2 * x/ y(x) )即y'=k=-( b^2/a^2 * x/y )此时代入点P的x0、y0，即可获得斜率k。进一步可获得切线方程(请自行推算)。欢迎大学、母校同学予以完善修正。
缺牙要及时修复，揭秘种植牙如何做到几十年不掉？
关于在高考时能不能直接用，建议问下老师。本人觉得应该行。
呵呵，这可是我们大一学数学分析时学的内容呢
表示很感谢！已经会了～
理论上，不是任写一个等式都可以求导，因为有些隐函数是不存在的(画不出图)，涉及到隐函数存在定理。不过高中应该不必考虑这么多。
我们讲过的
要不要这样？
那个……为什么用到抛物线里就不行呢？求导后式子里就没有x了……我第一次知道这个方法，麻烦解释一下
高数我的痛啊
处女星号邮轮由上海出发前往大阪,畅享大阪自然美景和饕餮美食
数学渣同痛，马上期中考了
诈个尸，母校同学们考试加油!本帖内容能用就用吧。
登录百度帐号推荐应用
为兴趣而生，贴吧更懂你。或机器学习与深度学习算法（2）
刚接触梯度下降这个概念的时候，是在学习机器学习算法的时候，很多训练算法用的就是梯度下降，然后资料和老师们也说朝着梯度的反方向变动，函数值下降最快，但是究其原因的时候，很多人都表达不清楚。所以我整理出自己的理解，从方向导数这个角度把这个结论证明出来，让我们知其然也知其所以然~
下面我一开始不提梯度的概念，完全根据自己的理解进行下文的梳理，一步一步推出梯度的来历：
导数的几何意义可能很多人都比较熟悉: 当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数曲线上的切线斜率。 除了切线的斜率，导数还表示函数在该点的变化率。
将上面的公式转化为下面图像为：
（来自维基百科）
直白的来说，导数代表了在自变量变化趋于无穷小的时候，函数值的变化与自变量变化的比值代表了导数，几何意义有该点的切线。物理意义有该时刻的（瞬时）变化率...
注意在一元函数中，只有一个自变量变动，也就是说只存在一个方向的变化率，这也就是为什么一元函数没有偏导数的原因。
既然谈到偏导数，那就至少涉及到两个自变量，以两个自变量为例，z=f(x,y) . 从导数到偏导数，也就是从曲线来到了曲面. 曲线上的一点，其切线只有一条。但是曲面的一点，切线有无数条。
而我们所说的偏导数就是指的是多元函数沿坐标轴的变化率.
指的是函数在y方向不变，函数值沿着x轴方向的变化率
指的是函数在x方向不变，函数值沿着y轴方向的变化率
对应的图像形象表达如下：
那么偏导数对应的几何意义是是什么呢？
偏导数就是曲面被平面所截得的曲面在点处的切线对x轴的斜率偏导数就是曲面被平面所截得的曲面在点处的切线对y轴的斜率
可能到这里，读者就已经发现偏导数的局限性了，原来我们学到的偏导数指的是多元函数沿坐标轴的变化率，但是我们往往很多时候要考虑多元函数沿任意方向的变化率，那么就引出了方向导数.
终于引出我们的重头戏了，方向导数，下面我们慢慢来走进它
假设你站在山坡上，相知道山坡的坡度（倾斜度）
山坡图如下：
假设山坡表示为,你应该已经会做主要俩个方向的斜率.
y方向的斜率可以对y偏微分得到.
同样的，x方向的斜率也可以对x偏微分得到
那么我们可以使用这俩个偏微分来求出任何方向的斜率（类似于一个平面的所有向量可以用俩个基向量来表示一样）
现在我们有这个需求，想求出方向的斜率怎么办.假设为一个曲面，为定义域中一个点，单位向量的斜率，其中是此向量与轴正向夹角.单位向量可以表示对任何方向导数的方向.如下图：
那么我们来考虑如何求出方向的斜率，可以类比于前面导数定义，得出如下：
设为一个二元函数，为一个单位向量，如果下列的极限值存在
此方向导数记为
则称这个极限值是沿着方向的方向导数，那么随着的不同，我们可以求出任意方向的方向导数.这也表明了方向导数的用处，是为了给我们考虑函数对任意方向的变化率.
在求方向导数的时候，除了用上面的定义法求之外，我们还可以用偏微分来简化我们的计算.
表达式是：（至于为什么成立，很多资料有，不是这里讨论的重点）
那么一个平面上无数个方向，函数沿哪个方向变化率最大呢？
目前我不管梯度的事，我先把表达式写出来：
那么我们可以得到：
(为向量与向量之间的夹角)
那么此时如果要取得最大值，也就是当为0度的时候，也就是向量（这个方向是一直在变，在寻找一个函数变化最快的方向）与向量（这个方向当点固定下来的时候，它就是固定的）平行的时候，方向导数最大.方向导数最大，也就是单位步伐，函数值朝这个反向变化最快.
好了，现在我们已经找到函数值下降最快的方向了，这个方向就是和向量相同的方向.那么此时我把A向量命名为梯度（当一个点确定后，梯度方向是确定的），也就是说明了为什么梯度方向是函数变化率最大的方向了！！！（因为本来就是把这个函数变化最大的方向命名为梯度）
我的理解是，本来梯度就不是横空出世的，当我们有了这个需求（要求一个方向，此方向函数值变化最大），得到了一个方向，然后这个方向有了意义，我们给了它一个名称，叫做梯度（纯个人理解~希望对大家理解有帮助）欢迎知友提出问题交流~
原文地址：
知乎主页：
专栏地址：
博客地址：
参考知识库
* 以上用户言论只代表其个人观点，不代表CSDN网站的观点或立场
访问：20621次
排名：千里之外
原创：16篇欢迎您，[][]
(您的IP：220.177.198.53)
类型筛选：
地区筛选：
精品/普通：
ID：3-3608327
第三章 导数及其应用一、导数的概念及意义1．函数从到的平均变化率：．2．导数的物理意义：瞬时变化率．一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即．3．导数的几何意义：曲线的切线的斜率．函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即k．4．导函数：当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为的导函数．的导函数有时也记作，即．例1曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为(　　) ．A．(－2，－8)
B．(1，1)，(－1，－1)C．(2，8)
D．(－================================================压缩包内容：吉林省东辽一中学年高中数学选修1-1 第三章 导数及其应用 （学案+答案）.docx
ID：3-3562541
3.4 生活中的优化问题举例 学案【学习目标】1．使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；2．提高将实际问题转化为数学问题的能力.【自主学习】1.什么是优化问题？2．利用导数解决生活中的一些优化问题．导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大(小)值问题，一般应怎么做？，则问题转化为导数问题，解题中应该注意什么？3. 探究课本101页海报版面尺寸的如何设计？4. 探究课本102页饮料瓶大小如何对饮料公司利润的影响？5.探究课本103页磁盘的最大存量问题？6.解决优化问题的基本思路是什么？【自主检测】1．酒杯的现状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20的流量倒入杯中，当水深为4cm时，则水升高的瞬时速度是_________.【典型例题】例1．在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？【课堂检测】1.内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为(
)A.================================================压缩包内容：3.4 生活中的优化问题举例 学案1（无答案）.doc3.4 生活中的优化问题举例 学案2（无答案）.doc
ID：3-3562537
3.3.3 函数的最值与导数 学案【学习目标】理解函数的最大值、最小值的概念；了解函数的极值与最值的区别与联系；会用导数求在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.【自主学习】1.观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象．在上找出谁是极小值，谁是极大值．函数在上的最大值是多少？最小值是多少？2.函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系是什么？能列表的应采用列表的方法.3.利用导数求函数的最大值和最小值的方法是什么？ 4.利用导数求函数的最值步骤是什么？5.不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值，f(x)≥c对x∈R恒成立，常怎么转化？f(x)≤c对x∈R恒成立，常怎么转化？【自主检测】1．下列说法正确的是(
)A.函数的极大值就是函数的最大值
B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值
D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2．函数y=f(x)在区间［a，b］上的最大值是M，最小值是m，若M=m，则f′(x) (
D.以上都有可能例1(1)求在的最大值与最小值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值；(3)求函数在闭区间上的最大值与最小值．================================================压缩包内容：3.3.3 函数的最大（小）值与导数 学案1（无答案）.doc3.3.3 函数的最大（小）值与导数 学案2（无答案）.doc
ID：3-3562533
3.3.1 函数的单调性与导数 学案【学习目标】1.理解可导函数的单调性与其导数的关系．2．能够利用导数确定函数的单调性，以及函数的单调区间．3．掌握函数单调性解决有关问题，如证明不等式、求参数范围等．4．体会导数法判断函数单调性的优越性.【自主学习】1.函数的单调性与导数的关系是什么？2.如果，那么函数在这个区间内是什么函数？如果一个函数具有相同单调性的单调区间不只一个，那么这些单调区间应该怎么表示？3.若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)在该区间是增还是减函数？在某一区间内f′(x)>0(或f′(x) <0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的什么条件？4.一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的大小与函数在这个范围内变化得快慢存在什么关系？与函数的图象 “陡峭”、 “平缓”又存在什么关系？5.求解函数单调区间的步骤是什么？6.已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]的单调性，求参数的取值范围的步骤是什么？【自主检测】1.函数的单调递增区间是(
D. 2.函数的单调减区间为__________.3.函数在(0，)内的单调增区间为_________ .【典型例题】例1．判断下列函数的单调性，并求出单调区间，最后画出函数的图像．================================================压缩包内容：3.3.1 函数的单调性与导数 学案（无答案）.doc3.3.2 函数的极值与导数 学案（无答案）.doc3.4 导数应用习题课 学案（无答案）.doc
ID：3-3562530
3.2.1 常见几个函数的导数 学案【学习目标】会用导数的定义求几个常用函数的导数；利用公式解决简单的问题.【学习重点】推导几个常用函数的导数；【学习难点】推导几个常用函数的导数；【问题导学】1.回顾导数的定义，归纳求函数导数的方法步骤及导数的几何意义？曲线上一点的切线方程的方法步骤？2.阅读教材P12，根据函数与的导数的推导过程，在同一坐标系中画出函数的图象，并根据导数定义求出它们的导数(1)从图象看它们的导数分别表示什么；(2)这三个函数中，哪个增加的最快，哪个增加的最慢？(3)函数的导函数是什么，它的增减快慢与什么有关？3.画出的图像，并用定义推导函数的导数，当时，随着的增大导数发生什么样的变化？对应的函数图像发生什么样的变化？当呢？若表示路程关于时间的函数，如何解释？4.阅读教材P13，结合函数导数的推导过程，画出函数的图象，根据图像，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1，1)处的切线方程.5.归纳：的导数分别是什么？【实践演练】1.用定义求函数的导数：2.用定义求函数的导数，并求曲线上一点处的切线方程.画出曲线的图像，用导数来分析函数图像的变化情况？基础练习已知函数的切线的斜率等于1，则切线有(
)================================================压缩包内容：3.2.1 几个常用函数的导数 学案1（无答案）.doc3.2.1 几个常用函数的导数 学案2（无答案）.doc
ID：3-3562526
3.1.3 导数的几何意义 学案【学习目标】：1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系.2．理解曲线的切线的概念.3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题.【学习重点】：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义【学习难点】：导数的几何意义【问题导学】回顾：1.什么是函数y=f(x)在x=x0处的导数？并求导数的步骤？2.阅读教材观察第77页图3.1-2探究如下问题：(1)当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？(2)什么叫曲线在某一点的切线？和圆的切线定义有什么区别？ (3)割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？(4)切线PT的斜率为多少？3.导数的几何意义：由2题的分析可得：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率即k==【实践演练】例1：求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1，2)处的切线斜率和切线方程思考：曲线在某点处的切线方程的基本步骤？练习：1.求曲线y=f(x)=x3在点处的切线方程.2.已知曲线在点M处的切线斜率为，求点M的坐标.例2：(课本例2)如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数，根据图像，请描述、比较曲线在、、附近的变化情况．思考：本题主要运用了什么解题思想？曲线在某处的导数小于0说明什么问题？大于0呢？================================================压缩包内容：3.1.3 导数的几何意义 学案1（无答案）.doc3.1.3 导数的几何意义 学案2（无答案）.doc
ID：3-3560060
3.4 生活中的优化问题举例 学案【学习目标】掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函数模型，求函数的最值【重点难点】构建函数模型，求函数的最值【学习内容】一、课前准备复习1：已知物体的运动方程是(的单位：，的单位：)，则物体在时刻时的速度=_____________，加速度______________.复习2：函数在上的最大值是____________最小值是____________.二、新课导学※ 学习探究探究任务一：磁盘的最大存储问题问题：(1)你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？(2)你知道磁盘的结构吗？(3)如何使一个圆盘的磁盘存储尽可能多的信息？新知：计算机把信息存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分割成的扇形区域.磁道上的定长的弧可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0和1，这个基本单元通常称为比特，磁盘的构造如图：为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必须大于，所占用的磁道长度不得小于.为了数据检索的方便，磁盘格式化时所要求所有磁道具有相同的比特数.试试：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于与的环行区域.(1)是不是越小，磁盘的存储量越大？(2)为多少时，磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)？================================================压缩包内容：3.4 生活中的优化问题举例 学案2（无答案）.doc
ID：3-3560059
3.4 生活中的优化问题举例 学案【学习目标】1．进一步理解导数的概念，会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立它们的导数模型；2．掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函数模型，求函数的最值.【重点难点】构建函数模型，求函数的最值【学习内容】一、课前准备复习1：函数y=2x3－3x2－12x+5在［0，3］上的最小值是_______ 复习2：函数在上的最大值为_____；最小值为_______. 二、新课导学※ 学习探究探究任务一：优化问题问题：张明准备购买一套住房，最初准备选择购房一年后一次性付清房款，且付款时需加付年利率为4.8%的利息，这时正好某商业银行推出一种年利率低于的一年定期贷款业务，贷款量与利率的平方成正比，比例系数为，因此他打算申请这种贷款在购房时付清房款. (1)若贷款的利率为，写出贷款量及他应支付的利息；(2)贷款利息为多少时，张明获利最大？ 新知：生活中经常遇到求______________、____________、____________等问题，这些问题通常称为优化问题.试试：在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去边长都为的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ ================================================压缩包内容：3.4 生活中的优化问题举例 学案1（无答案）.doc
ID：3-3560055
3.3.3 函数的最大（小）值与导数 学案【学习目标】⒈理解函数的最大值和最小值的概念；⒉掌握用导数求函数最值的方法和步骤【重点难点】导数求函数最值的方法和步骤【学习内容】一、课前准备复习1：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的________________点，是极_______值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的_______点，是极_______值.复习2：已知函数在时取得极值，且，(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断时函数有极大值还是极小值，并说明理由.二、新课导学※ 学习探究探究任务一：函数的最大(小)值 问题：观察在闭区间上的函数的图象，你能找出它的极大(小)值吗？最大值，最小值呢？在图1中，在闭区间上的最大值是_______，最小值是_______；在图2中，在闭区间上的极大值是_______，极小值是_______；最大值是_______，最小值是_______.新知：一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值.试试：上图的极大值点_______，为极小值点为_______；最大值为_______，最小值为_______.反思：1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．================================================压缩包内容：3.3.3 函数的最大（小）值与导数 学案（无答案）.doc
ID：3-3560054
3.3.2 函数的极值与导数 学案【学习目标】1.会从几何直观了解函数极值和导数的关系；2.能利用导数研究函数的极值；【学习重点】函数极值和导数的关系；【学习难点】函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；【问题导学】1.群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点.同样，各个山谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是附近的最低点.数学中也有这种现象，例如3.3.1函数的单调性与导数“观察”栏目中的跳水问题.观察3.3-1(1)，我们发现，当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大.那么函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应的导数的符号有什么变化规律吗？2.阅读P94的探究至例4前的内容，回答：①对于一般函数f(x)，在某个最低点或最高点的导数是多少？附近其导数符号的变化规律是什么？②什么叫函数的极小值点、极大值点、极小值、极大值？极值反映了函数的什么性质？3.阅读教材P94的例4到P96的内容，回答：①求极值的步骤是什么？②导数为0的点一定是函数的极值点吗？请结合函数解释③极大值与极小值的大小有关系吗？极大值一定比极小值大吗？试举例说明4.做出函数y=|x|的图像，观察x=0处的导数是0吗？x=0是函数的极值点吗？================================================压缩包内容：3.3.2 函数的极值与导数 学案2（无答案）.doc
中小学教师帮}