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第8章 正交试验设计的方差分析
前面我们讨论了如何安排正交试验以及用极差分析法 即直观分析法 对试验结果进行计算分析.极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少，便于普及推广.但这种方法不能把试验中由于试验条件的改变引起的数据波动，同试验误差引起的数据波动区分开来.也就是说，不能区分因素各水平对应的试验结果间的差异，究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于试验误差引起的，即不知道试验的精度.同时，对影响试验结果的各个因素的重要程度，既不能给出精确的定量估计，也不能提供一个标准，用来判断所考察的因素的作用是否显著.
为了弥补极差分析法的不足，对试验结果的分析可采用方差分析法.
8.1 正交试验方差分析的基本步骤
在第2章中我们已经介绍过，方差分析的基本思想是将数据的总偏差平方和 ST 分解为因素的偏差平方和 SA、SB 和误差的偏差平方和 Se ，然后将偏差平方和除以相对应的自由度 f 得到方差 VA、VB ，最后利用因素方差与误差方差之比 VA/Ve，VB/Ve ，作F检验，即可判断因素的作用是否显著.正交试验设计的方差分析也是按这样的步骤进行的，所不同的是这是考虑的是多因素试验的方差分析，而第2章中只考虑单因素和双因素试验的方差分析.
偏差平方和与自由度的计算
方差分析的关键是偏差平方和的分解，现在以最简单的L4 23 正交表上安排的试验为例来说明 见表8-1，板书 .不考虑哪些因素安排在哪些列上 即表头设计时 ，设试验结果为x1、x２、x3和x4.
总的偏差平方和: T x+x+x+x - x 2 整理后可得 第1列各水平偏差平方和为
L4 23 正交表及计算表
试验号 1 2 3 试验数据
4 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 x1 x2 x3 x4
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实验设计与数据分析
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3-5正交试验设计及结果分析!10
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正交试验设计
本章主要内容多因素试验问题、正交试验、正交表符号的意义。 ? 多因素试验问题、正交试验、正交表符号的意义。 因素、水平、自由度、试验指标、交互作用。 ? 因素、水平、自由度、试验指标、交互作用。均衡分散 整齐可比性、自由度选表原则、表头设计。 性、整齐可比性、自由度选表原则、表头设计。 正交表的特点、用正交表安排试验及结果分析。 ? 正交表的特点、用正交表安排试验及结
果分析。正交试 验的步骤。 验的步骤。上一内容下一内容回主目录返回问题的提出――多因素的试验问题几个术语 试验指标：作为试验研究过程的因变量，常为试 验结果特征的量。 因素：作为试验研究过程的自变量，常常是造成 试验指标按照某种规律发生变化的那些原因。 水平：试验中因素所处的具体状态或情况，又称 为等级。上一内容下一内容回主目录返回问题的提出――多因素的试验问题?对于单因素或两因素试验， 对于单因素或两因素试验，因其因素 少 ，试验的设计 、实施与分析都比较简单 。但在实际工作中 ，常常需要同时考察 3个 个 或3个以上的试验因素 ，若进行全面试验 ， 个以上的试验因素 则试验的规模将很大 ，往往因试验条件的 限制而难于实施 。正交试验设计就是安排 多因素试验 、寻求最优水平组合 的一种高 效率试验设计方法。 效率试验设计方法。上一内容下一内容回主目录返回例1：某化工厂为了提高产品的产率，根据具体 情况和经验决定用正交表安排实验，所需控制的 条件如下： 因素A反应温度： 80℃、A2＝85℃、A3＝ 因素A反应温度：A1＝80℃、A2＝85℃、A3＝90℃ 因素B反应时间：B1＝90min、B2＝120min、 因素B反应时间：B1＝90min、B2＝120min、 B3＝ B3＝150min 因素C碱用量：C1＝5%、C2＝6%、C3＝ 因素C碱用量：C1＝5%、C2＝6%、C3＝7%上一内容下一内容回主目录返回? 这里，对因素A、B、C在试验范围内分别选取 这里，对因素 、 、 在试验范围内分别选取 三个水平 ? A：A1＝80℃、A2＝85℃、A3＝90℃ ： ＝ ℃ ＝ ℃ ＝ ℃ ? B：B1＝90Min、B2＝120Min、B3＝150Min ： ＝ 、 ＝ 、 ＝ ? C：C1＝5%、C2＝6%、C3＝7% ： ＝ 、 ＝ 、 ＝ ? 正交试验设计中，因素可以定量的，也可以使 正交试验设计中，因素可以定量的， 定性的。 定性的。而定量因素各水平间的距离可以相等 也可以不等。 也可以不等。上一内容下一内容回主目录返回? 取三因素三水平，通常有两种试验方法： 取三因素三水平，通常有两种试验方法： ? （1）全面实验法： ）全面实验法：A1B1C1 A1B1C2 A1B1C3 A1B2C1 A1B2C2 A1B2C3 A1B3C1 A1B3C2 A1B3C3 A2B1C1 A2B1C2 A2B1C3 A2B2C1 A2B2C2 A2B2C3 A2B3C1 A2B3C2 A2B3C3 A3B1C1 A3B1C2 A3B1C3 A3B2C1 A3B2C2 A3B2C3 A3B3C1 A3B3C2 A3B3C3B3B2 C 3 C 2 B1A1 A2 C A3 1? 共有 共有3?=27次试验，如图所示，立方体包含了 次试验，如图所示， 次试验 27个节点，分别表示 次试验。 个节点， 次试验。 个节点 分别表示27次试验上一内容 下一内容 回主目录返回? 全面试验法的优缺点： 全面试验法的优缺点： ? 优点：对各因素于试验指标之间的关系剖析得比较清楚 优点： ? 缺点：(1)试验次数太多，费时、费事，当因素水平比较多时 缺点： 试验次数太多，费时、费事， 试验次数太多 试验无法完成。 ，试验无法完成。 (2) 不做重复试验无法估计误差。 不做重复试验无法估计误差。 (3)无法区分因素的主次。 无法区分因素的主次。 无法区分因素的主次 ? 例如选六个因素，每个因素选五个水平时，全面试验的数目 例如选六个因素，每个因素选五个水平时， 是56 ＝15625次。 次上一内容下一内容回主目录返回简单比较法法： 简单比较法法：上一内容下一内容回主目录返回简单比较法的优缺点：? 优点：试验次数少 优点： ? 缺点： 缺点： （1）试验点不具代表性。考察的因素水平仅 ）试验点不具代表性。 局限于局部区域， 局限于局部区域，不能全面地反映因素的全面情 况。 （2）无法分清因素的主次。 ）无法分清因素的主次。 （3）如果不进行重复试验，试验误差就估计 ）如果不进行重复试验， 不出来，因此无法确定最佳分析条件的精度。 不出来，因此无法确定最佳分析条件的精度。 （4）无法利用数理统计方法对试验结果进行 ） 分析，提出展望好条件。 分析，提出展望好条件。上一内容 下一内容 回主目录返回1 正交试验设计的概念及原理1.1 正交试验设计的基本概念正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一 种设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中， 种设计方法。它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有 代表性的水平组合进行试验的， 代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分析 了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。 了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。上一内容下一内容回主目录上一张 下一张 主 页 返回退 出正交试验设计的基本特点是 正交试验设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试 基本特点 验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。 通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。 正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验的， 正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验的，它不 可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析； 可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当 交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。 交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。虽然正交试 验设计有上述不足，但它能通过部分试验找到最优水平组合 验设计有上述不足， 受实际工作者青睐。 ，因 而 很 受实际工作者青睐。上一内容下一内容回主目录上一张 下一张 主 页 返回退 出? 正交试验法优点： 正交试验法优点： （1）试验点代表性强，试验次数少。 ）试验点代表性强，试验次数少。 （2）不需做重复试验，就可以估计试验误差。 ）不需做重复试验，就可以估计试验误差。 （3）可以分清因素的主次。 ）可以分清因素的主次。 （4）可以使用数理统计的方法处理试验结果， ）可以使用数理统计的方法处理试验结果， 提出展望好条件。 提出展望好条件。上一内容下一内容回主目录返回1.2 正交试验设计的基本原理9个试验点在选 优区中分布是均 衡的， 衡的，在立方体 的每个平面上 都恰是3 ，都恰是3个试 验点； 验点；在立方体 的每条线上也恰 有一个试验点 (1)A1B1C1 (2) A1B2C23 9B3(3) A1B3C3 (4) A2B1C26 5 2 8(5)A2B2C3 (6) A2B3C17C 3B24 1B1A1 A2 C A3 1 C 2(7) A3B1C3 (8) A3B2C1 (9)A3B3C2用正交试验法安排试验只需要9次试验 用正交试验法安排试验只需要 次试验上一内容下一内容回主目录返回1.3 正交表及其基本性质? 正交表的正交性（以L9 (34 )为例） 正交表的正交性（ 为例） 为例上一内容下一内容回主目录返回? 等水平正交表符号的意义正交表的纵列数 （最多允许安排因素的个数）L8(27)正交表的代号 字码数（因素的水平数） 正交表的横行数 （需要进行的试验次数）上一内容下一内容回主目录返回混合水平正交表符号的意义 L8（4 1×2 ）2水平列的列数为4 4水平列的列数为1 实验的次数 正交表的代号4144L8（4×2 ）。此混合水平正交表含有1 个4水平列，4个2水平列，共有1＋4＝5列。）常简写为L8（4×2上一内容下一内容回主目录返回1.4 正交表的类别等水平正交表 各列水平数相同的正交表称为等水平正交表等各列中的水平为2，称为2水平 。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中的水平为 ，称为 水平 、 、 等各列中的水平为 正交表； 等各列水平为3，称为3水平正交表 水平正交表。 正交表；L9(34)、L27(313)等各列水平为 ，称为 水平正交表。 、 等各列水平为混合水平正交表 各列水平数不完全相同的正交表称为混合水平正交表。 表中有一列的水平数为4， 合水平正交表。如L8(4×24)表中有一列的水平数为 ，有4列水 × 表中有一列的水平数为 列水 平数为2。也就是说该表可以安排一个4水平因素和 水平因素和4个 水平因 平数为 。也就是说该表可以安排一个 水平因素和 个2水平因 等都混合水平正交表。 素。再如L16(44×23)，L16(4×212)等都混合水平正交表。 再如 ， × 等都混合水平正交表上一内容下一内容回主目录上一张 下一张 主 页 返回退 出上一内容下一内容回主目录返回http://met./cai/jsjhx/zjb.asp 3 7 11 15 2水平正交表：L4(2 ), L8(2 ), L12(2 ), L16(2 ),… 4 13 40 3水平正交表：L9(3 ), L27(3 ), L81(3 ), … 5 21 4水平正交表：L16(4 ), L64(4 ), …上一内容 下一内容 回主目录返回4正交试验设计―用正交表L9(3 )9组上一内容下一内容回主目录返回正交试验设计的优点? 能在所有试验方案中均匀挑选出代表性强的少 数试验方案。 ? 通过对这些少数试验方案的试验结果进行统计 分析，可以推出较优的方案，所得优方案通常 不包含在上述试验方案中。 ? 获得更多信息，如各试验因素对试验结果影响 的重要程度、各因素对试验结果的影响趋势等 。上一内容下一内容回主目录返回正交试验设计的基本步骤? ? (1) (2) 试验设计 数据处理 明确试验目的，确定试验指标。 挑选因素，确定水平，列出因素水平表。 ? 试验因素以3-7个为宜。 ? 确定因素的水平数时，重要因素可多取一些水平；各水平的 数值应适当拉开。 选正交表，进行表头设计。 ? 一般要求因素水平数与正交表对应的水平数一致，因素个数 小于或等于正交表的列数。 ，在满足上述条件的前提下，选 择较小的表。 明确试验方案，进行试验，得到结果。 对实验结果进行统计分析。 进行验证实验，做进一步分析。(3)(4) (5) (6)上一内容下一内容回主目录返回用正交表安排试验? 一、指标、因素和水平 指标、 ? 试验需要考虑的结果称为试验指标（简称指标） 试验需要考虑的结果称为试验指标（简称指标） 试验指标 指标 可以直接用数量表示的叫定量指标； 可以直接用数量表示的叫定量指标； 不能用数量表示的叫定性指标。 不能用数量表示的叫定性指标。定性指标可以按 评定结果打分或者评出等级，可以用数量表示， 评定结果打分或者评出等级，可以用数量表示， 称为定性指标的定量化 ? 试验中要考虑的对试验指标可能有影响的变量简 因素， 称为因素 用大写字母A、 、 称为因素，用大写字母 、B、C…表示 表示 ? 每个因素可能出的状态称为因素的水平（简称水 每个因素可能出的状态称为因素的水平（简称水 平）上一内容 下一内容 回主目录返回试验结果分析： 试验结果分析：进行试验，记录试验结果 进行试验，试验结果极差分析试验结果方差分析计 算 K 值计 算 k 值计 算 极 差 R绘 制 因 素 指 标 趋 势 图计算各列偏差平方和、 计算各列偏差平方和、 自由度列方差分析表， 列方差分析表， 进行F 检验优水平因素主次顺序 分析检验结果， 分析检验结果， 写出结论优组合上一内容 下一内容 回主目录结 论返回? 四、用正交表安排试验（以例1为例） 为例） 用正交表安排试验（以例 为例? （1）明确试验目的，确定试验指标 例1中，试验目的是搞清楚A、B、C对转化率的影响，试验指 标为转化率 ? （2）确定因素－水平表因 因A B C 温度（℃） 时间（Min） 用碱量（x%）水 素 平水 素 平ABC1 2 380 85 9090 120 1505% 6% 7%1 2 3A1 A2 A3B1 B2 B3C1 C2 C3? （3）选用合适正交表 本试验可选取正交表L9 (34 ) 安排试验上一内容 下一内容 回主目录返回? （4）确定试验方案 ）上一内容下一内容回主目录返回（5）试验结果的计算与分析 ）方法：直观分析法（极差分析法）、方差分析法 方法：直观分析法（极差分析法）、方差分析法 ）、 分析内容： 分析内容： 分清各因素对指标影响的主次顺序， 分清各因素对指标影响的主次顺序，即明确哪个是主 要因素，哪个是次要因素； 要因素，哪个是次要因素； 找出优化的方案， 找出优化的方案，即所考察的每个因素各取什么水平 才能达到试验指标的要求。 才能达到试验指标的要求。 分析因素与指标的关系， 分析因素与指标的关系，找出指标随因素变化的规律 和趋势， 指出进一步试验研究的方向。 和趋势，用于 指出进一步试验研究的方向。上一内容下一内容回主目录返回（6）验证试验 ）试验内容： 试验内容： 将直接分析得出的最好条件与通过计算分析得到的最优 条件同时验证，以确定其中的优劣； 条件同时验证，以确定其中的优劣； 也可结合因素的主次和趋势图（对于重要因素， 也可结合因素的主次和趋势图（对于重要因素，一定要 按照有利于指标要求选取；对于次要因素， 按照有利于指标要求选取；对于次要因素，则可以考虑 实际生产条件）， ），对直接分析最要条件与计算分析得到 实际生产条件），对直接分析最要条件与计算分析得到 的最优条件进行综合分析，确定验证试验方案。 的最优条件进行综合分析，确定验证试验方案。上一内容下一内容回主目录返回试验结果的直观分析法－极差分析法 m水平所 K 为第j列因素 为第j列因素mjm对应的试验指标和，kjm 对应的试验指标和， 平均值。 为Kjm平均值。由kjm大 计算简便，直观，简单易懂， 计算简便，直观，简单易懂，是正交试验结 小可以判断第j 小可以判断第j列因素优 果分析最常用方法。 果分析最常用方法。 水平和优组合。 水平和优组合。 R 为第j列因素的极差，反映了第j列 为第j列因素的极差，反映了第jj因素水平波动时， 因素水平波动时，试验指标的变动幅 越大， 度。Rj越大，说明该因素对试验指 标的影响越大。根据R 大小， 标的影响越大。根据Rj大小，可以 1. 计算 判断因素的主次顺序。 判断因素的主次顺序。Kjm，kjm Rj极差分析法－ 极差分析法－R法 因素主次2. 判断优水平 优组合上一内容下一内容回主目录返回正交试验设计的直观分析? 单指标正交试验设计例2：某工厂为提高农产品综合利用价值，从废弃的洋葱皮 中提取总黄酮。为获取较高的提取得率，欲通过正交试验 确定各影响因素的主次顺序和最佳工艺条件，不考虑因素 间的相互作用。 1. 正交试验方案设计 （1）明确试验目的，确定试验指标（黄酮得率）。 （2）挑选因素与水平，制定因素-水平表。 在单因素实验基础上，以乙醇-水体系作提取溶剂，选取 4个主要因素。上一内容下一内容回主目录返回洋葱皮中提取总黄酮试验因素水平表水平 因素 A B (乙醇浓度/%) (提取温度/°C) 1 2 3 60 70 80 60 70 80 C (料液比） 1:15 1:20 1:25 D （浸提时间/h) 1.5 2.0 2.5（3）选择正交表及表头设计 4 选择L9(3 )正交表洋葱皮中提取总黄酮试验表头设计因素 列号上一内容A 1下一内容B 2回主目录C 3 返回D 4（4）确定试验方案试验号 因 素 A B (乙醇浓度/%) (提取温度/°C) 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9上一内容试验指标 C D 黄酮得率 (料液比) （浸提时间/h) /% 3 4 1 (1:15) 2 (1:20) 3 (1:25) 2 3 1 3 1 2 1 (1.5) 2 (2.0) 3 (2.5) 3 1 2 2 3 1 返回1 (60) 1 1 2 (70) 2 2 3 (80) 3 3下一内容1 (60) 2 (70) 3 (80) 1 2 3 1 2 3回主目录2.根据正交试验方案进行试验 3.试验结果的计算与分析试验号 因 素 A B (乙醇浓度/%) (提取温度/°C) 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (60) 1 1 2 (70) 2 2 3 (80) 3 3上一内容 下一内容试验指标 C D 黄酮得率 /% (料液比) （浸提时间/h) 3 4 1 (1:15) 2 (1:20) 3 (1:25) 2 3 1 3 1 2 1 (1.5) 2 (2.0) 3 (2.5) 3 1 2 2 3 1 返回 3.22 4.14 3.51 3.79 4.06 3.47 3.59 4.40 4.311 (60) 2 (70) 3 (80) 1 2 3 1 2 3回主目录(1)直接分析 第8号试验组合条件A3B2C1D3的试验结果最好； (2)计算分析（极差分析，确定因素的主次顺序） ? 计算方法如下： 计算方法如下： 第1列：K1A = 3.22 + 4.14 + 3.51= 10.87, k1A = K1A /3=3.62 列 ? K2A = 3.79 + 4.06+ 3.47=11.32, k2A = K2A /3=3.77 ? K3A = 3.59+ 4.40+ 4.31 = 12.30, k3A = K3A /3=4.10K1A, K2A, K3A分别表示因素 取1,2,3水平相应的试验结果之和。 分别表示因素A取 水平相应的试验结果之和。 水平相应的试验结果之和 表示因素A 相应水平的平均得率。 k1A， k2A， k3A分别 表示因素 相应水平的平均得率。 ， ， 由此得出最佳水平组合 R：极差，在任一列上 ：极差，在任一列上R=max{K1, K2, K3}-min{K1, K2, K3},或R=max {k1, k2, 或 k3}- min {k1, k2, k3} 极差R的大小反映了试验中各因素作用的大小，极差大表明该因素对 指标的影响大，为主要因素，极差小次要因素。上一内容 下一内容 回主目录返回根据正交设计的特性，对A1、A2、A3来说，三组试 来说， 根据正交设计的特性， 验的试验条件是完全一样的（综合可比性），可进行直接 验的试验条件是完全一样的（综合可比性），可进行直接 ）， 比较。如果因素A对试验指标无影响时，那么k 比较。如果因素A对试验指标无影响时，那么k1A、k2A、 k3A应该相等，但由上面的计算可见，k1A、k2A、k3A实际 应该相等，但由上面的计算可见， 上不相等。说明，A因素的水平变动对试验结果有影响。因 上不相等。说明， 因素的水平变动对试验结果有影响。 此，根据k1A、k2A、k3A的大小可以判断A1、A2、A3对试 根据k 的大小可以判断A 验指标的影响大小。 验指标的影响大小。上一内容下一内容回主目录返回试验号 AK1(水平1三次得率之和) K2(水平2三次得率之和) K3(水平3三次得率之和) k1 k2 k3 R(k中最大值减最小值） ） 因素主次顺序 最优组合条件 10.87 11.32 12.30 3.62 3.77 4.10 0.48因 素 B10.60 12.60 11.29 3.53 4.20 3.76 0.67 BACD A3B2C2D3 11.09 12.24 11.16 3.70 4.08 3.72 0.38试验指标 C11.59 11.20 11.70 3.86 3.73 3.90 0.17D黄酮得率 /%上一内容下一内容回主目录返回4.验证试验? 选取原则： 选取原则： ? （1）对主要因素，选使指标最好的那个水平 ）对主要因素， 于是本例中B选 ， 选 于是本例中 选B2，A选A3 ? （2）对次要因素，以节约方便原则选取水平 ）对次要因素， 本例中D可选 或者D3 可选D1或者 本例中 可选 或者 ? 于是用 于是用A3B2C2D3、A3B2C2D1各做一次验证试验，结 各做一次验证试验， 、 各做一次验证试验 果如下： 果如下试验号 1 2 试验条件 黄酮得率（x％） A3B2C2D3 4.40 A3B2C2D1 4.43最后确定最优生产条件为A3B2C2D1，即乙醇浓度80%, ，即乙醇浓度 最后确定最优生产条件为 浸提温度70?C，料液比 浸提时间1.5h。 浸提温度 ，料液比1:20,浸提时间 浸提时间 。上一内容 下一内容 回主目录返回也可以选取图形中最高的水平点得到最优生产条件： 也可以选取图形中最高的水平点得到最优生产条件指标 同时可以估计，随着A的增加，指标还有向上的趋势70 60 50 40A1 A2 A3B1B2 B3C1C2 C3因素趋势图上一内容下一内容回主目录返回练习HAP生产工艺正交试验最优条件设计 HAP 羟基磷灰石[Hydroxyapatite,HAP,化学式Ca10(PO4)6(OH)2]是一类生物 陶瓷材料。利用正交试验设计法的原理,对湿法制备羟基磷灰石的几个重要 因素,如反应物初始浓度，回流时间，NaOH浓度，陈化时间作为正交表的因 4 子,并分别拟定了三个水平,建立正交试验表L9(3 )进行实验研究，HAP生产 工艺正交试验因子表和试验安排和试验结果如下。上一内容下一内容回主目录返回上一内容下一内容回主目录返回? 多指标正交试验设计（综合平衡法）例：在用乙醇溶液提取葛根中有效成分的试验中，为了提高葛根中 有效成分的提取率，对提取工艺进行优化试验，需要考察三项指标 ：提取物得率（提取物质量与葛根质量之比）、提取物中葛根总黄 酮含量、总黄酮中葛根素含量，三个指标都是越大越好，根据前期 探索性试验，决定选取3个相对重要的因素：乙醇浓度、液固比和提 取剂回流次数进行正交试验，它们各有3个水平，具体数据如表所示 ，不考虑因素间的交互作用，试进行分析，找出较好的提取工艺条 件。上一内容下一内容回主目录返回4选用L9(3 )正交表上一内容下一内容回主目录返回上一内容下一内容回主目录返回? 综合平衡法的分析过程： ? 因素A：对于后两个指标都是取A3号，而且对于葛根总黄 酮含量，A因素是最主要的因素，在确定优水平时应重点 考虑；对于提取物得率则是A2好，但分析可知Ａ取Ａ2和 Ａ3时相差不大，且Ａ为较次要的因素。因此，根据多数 倾向和A因素对不同指标的重要程度，选取A3。 ? 因素B：对于提取物得率，取B2或B3基本相同，对于葛 根总黄酮含量取B3好，对于葛根素含量取B2；且对于这 三个指标而言，B因素都是处于末位的次要因素，对指标 的影响较小，本着降低消耗的原则，选取B2。 ? 因素C:对于三个指标来说，都是以C3为最佳水平，所以 去C3。 ? 最优方案为：A3B2C3上一内容 下一内容 回主目录返回? 综合平衡法中，依据三原则：? 对于某个因素，可能对某个指标是主要因素，但对另 外的指标则可能是次要因素，那么在确定该因素的优 水平时，应首先选取作为主要因素时的优水平； ? 若某因素对各指标的影响程度相差不大，可按“少数 服从多数”的原则，选取出现次数较多的优水平； ? 当因素各水平相差不大时，可依据降低消耗、提高效 率的原则选取合适的水平； ? 若各试验指标的重要程度不同，则在确定因素优水平 时应首先满足相对重要的指标。上一内容下一内容回主目录返回考虑交互作用的正交试验设计交互作用的判别设有两个因素A和B，它们各取两个水平A1，A2和B1、B2，在4个因 素下各做一次试验，结果如下表所示。B1A1 B1 B2 25 30 A1 B1 B2 25 30A2 35 15A1 A2 B1 B2 B2A2 35 40A1A2上一内容下一内容回主目录返回某一反应的因素-水平表如下，考察指标为某 物质的产率，考虑A和B、A和C的交互作用。水平 A (反应温度 反应温度 /°C) ° 50 70 B (反应时间 反应时间 /h) 1 2 C (硫酸浓度 硫酸浓度 /%) 17 27 D (操作方法） 操作方法） 操作方法1 2搅拌 不搅拌交互作用的处理：交互作用当作因素看待，安排在正交表的相应列上，分析其对指标的 影响。 用于考察交互作用的列不影响试验方案及实施，但在分析结果时，将 其看成是一个单独因素，计算它的极差，以反映交互作用的大小。上一内容 下一内容 回主目录返回? 4因素及交互作用 ×B、A×C，选择L8 (27)正交表。 因素及交互作用A× 、 × ， 正交表。 因素及交互作用 正交表? 表头设计： 表头设计：? 把需要试验的各因素的各水平安排入正交表内一定列， 把需要试验的各因素的各水平安排入正交表内一定列， 得到试验设计表的过程： 得到试验设计表的过程： ? （1）考虑交互作用的因素 和B，将A放第 列，B放第 列 放第1列 放第2列 ）考虑交互作用的因素A和 ， 放第 放第 则由L 的交互作用表查得 在第3列 。则由 8 (27)的交互作用表查得 ×B在第 列 的交互作用表查得A× 在第 ? （2）考虑要照顾到交互作用的因素 ，将C放在第 列，此 放在第4列 ）考虑要照顾到交互作用的因素C， 放在第 的交互作用表查得占第 时A×C由L8 (27)的交互作用表查得占第 列，第6、7列为空 × 由 的交互作用表查得占第5列 、 列为空 可排其中任意一列， ，D可排其中任意一列，我们将其排在第 列。则： 可排其中任意一列 我们将其排在第6列上一内容下一内容回主目录返回? 正交表交互作用表的使用（以L8 (27)为例） 正交表交互作用表的使用（ 为例） 为例1 2 3 4 5 6 7 列号(1)3 (2)2 1 (3)5 6 7 (4)4 7 6 1 (5)7 4 5 2 3 (6)6 5 4 3 2 1 (7)1 2 3 4 5 6 7如需要查第1列和第 列的交互作用列 如需要查第 列和第2列的交互作用列，则 列和第 列的交互作用列，横向右看， 从(1)横向右看，从(2)竖向上看，它们的交叉点为3。 横向右看列就是1列与 列的交互作用列。 列排A因素 列排B因素 第3列就是 列与 列的交互作用列。如果第 列排 因素，第2列排 因素， 列就是 列与2列的交互作用列 如果第1列排 因素， 列排 因素， 列则需要反映它们的交互作用A× ，就不能在第3列安排 列安排C因素或者 第3列则需要反映它们的交互作用 ×B，就不能在第 列安排 因素或者 列则需要反映它们的交互作用 其它因素，这称为不能混杂（一列安排多个因素或交互作用）。 其它因素，这称为不能混杂（一列安排多个因素或交互作用）。 不能混杂上一内容下一内容回主目录返回表头设计表头设计 列号 A 1 B 2 A×B 3 C 4 A×C 5 6 D 7注： 表头设计时，各因素及其交互作用不能任意安排， 表头设计时，各因素及其交互作用不能任意安排，必须严格按交互作 用列表进行安排。这是有交互作用正交试验设计的一个重要特点，也是关键 用列表进行安排。这是有交互作用正交试验设计的一个重要特点， 的一步。 的一步。 在表头设计中，为了避免混杂，那些主要因素，重点要考察的因素， 在表头设计中，为了避免混杂，那些主要因素，重点要考察的因素， 涉及交互作用较多的因素，应该优先安排，次要因素，不涉及交互作用的因 涉及交互作用较多的因素，应该优先安排，次要因素， 素后安排。 素后安排。 所谓混杂 就是指在正交表的同列中， 所谓混杂，就是指在正交表的同列中，安排了两个或两个以上的因素 混杂， 或交互作用，这样，就无法区分同一列中这些不同因素或交互作用对试验指 或交互作用，这样， 标的影响效果。 标的影响效果。上一内容 下一内容 回主目录返回例题的试验方案及试验结果如下试验方案及计算结果表B 反应时间 2 A×B 3 C 硫酸浓度 4 A×C 5 6 D 操作方法 7A 列号 反应温度 试验号 1产率 （％）1 2 3 4 5 6 7 8 K1 K2 k1 k2 R1(50℃) 1 1 1 2(70℃) 2 2 2 283 272 70.75 68.25 2.751(1小时） 1 2(2小时） 2 1 1 2 2 282 273 70.50 71.75 2.251 1 2 2 2 2 1 1 268 287 67.00 71.75 4.751（17％） 2（27％） 1 2 1 2 1 2 268 287 67.00 69.75 4.751 2 1 2 2 1 2 1 276 279 69.00 70.50 0.751（搅拌） 2（不搅拌） 2 1 2 1 1 2 273 282 68.25 70.50 2.2565 74 71 73 70 73 62 67上一内容下一内容回主目录返回从极差可以看出，因素和交互作用主次为： 从极差可以看出，因素和交互作用主次为：A×B C 主 A B D A×C 次由极差知， × 是次要因素 可不必考虑。 × 、 是重要因素 是次要因素， 是重要因素， 由极差知，A×C是次要因素，可不必考虑。A×B、C是重要因素， A是较重要因素，B、D是次重要因素，它们对指标的影响较大，对其 是较重要因素， 、 是次重要因素 它们对指标的影响较大， 是次重要因素， 是较重要因素 水平的选取按下列原则： 水平的选取按下列原则： （1）不涉及交互作用的因素（或交互作用不考虑的因素）它的水平选平 ）不涉及交互作用的因素（或交互作用不考虑的因素） 均值中指标较好的水平； 均值中指标较好的水平； （2）有交互作用的因素，它的水平的选取无法单独考虑，需要画出二元 ）有交互作用的因素，它的水平的选取无法单独考虑， 表和二元图，进行比较后再选择对指标优先的水平。 表和二元图，进行比较后再选择对指标优先的水平。上一内容下一内容回主目录返回A与B间有交互作用，二元表和二元图如下： 与 间有交互作用，二元表和二元图如下： 间有交互作用B B1 A A1 A2平均产率70 (65+74)/2=69.5 (70+73)/2=71.5 (1,2) (5,6) 69 67B2(71+73)/2=72 (62+67)/2=64.5 (3,4) (7,8)65A1(50℃)A2(70℃)可以看出， 小时） 可以看出，A1B2（50℃，2小时）平均产率较高，与A2B1（70℃，1 （ ℃ 小时 平均产率较高， （ ℃ 小时）产率差不多，从提高工效来看，A2B1比用 小时）产率差不多，从提高工效来看， 比用A1B2好，因为时间 好 比用 可以减少一半。于是得到最好条件为： 可以减少一半。于是得到最好条件为：A2B1C2D2上一内容 下一内容 回主目录返回? 两点启示： 两点启示：? （1）在安排表头时，应使要考虑的交互作用 ）在安排表头时， 和因素不致发生混杂； 和因素不致发生混杂； ? （2）对试验结果的数据进行计算后，在优选 ）对试验结果的数据进行计算后， 各个因素的水平时，有交互作用的因素， 各个因素的水平时，有交互作用的因素，他们 的水平不能单独考虑， 的水平不能单独考虑，必须用二元表和二元图 进行综合考虑。 进行综合考虑。上一内容下一内容回主目录返回正交试验结果的方差分析极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少便于推广普及。 极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少便于推广普及。 但这种方法不能将试验中由于试验条件改变引起的数据波动同试验 但这种方法不能将试验中由于试验条件改变引起的数据波动同试验 误差引起的数据波动区分开来，也就是说， 误差引起的数据波动区分开来，也就是说，不能区分因素各水平间 对应的试验结果的差异究竟是由于因素水平不同引起的， 对应的试验结果的差异究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于 试验误差引起的，无法估计试验误差的大小。此外， 试验误差引起的，无法估计试验误差的大小。此外，各因素对试验 结果的影响大小无法给以精确的数量估计，不能提出一个标准来判 结果的影响大小无法给以精确的数量估计， 断所考察因素作用是否显著。为了弥补极差分析的缺陷， 断所考察因素作用是否显著。为了弥补极差分析的缺陷，可采用方 差分析。 差分析。上一内容下一内容回主目录上一张 下一张 主 页 返回退 出正交试验结果的方差分析方差分析基本思想是将数据的总差异分解成因 素引起的差异和误差引起的差异两部分，构造F 素引起的差异和误差引起的差异两部分，构造F统 计量， 检验，即可判断因素作用是否显著。 计量，作F检验，即可判断因素作用是否显著。上一内容下一内容回主目录返回方差分析的基本步骤（1）离差平方和分解： 离差平方和分解： 总离差平方和＝各列因素离差平方和+ 总离差平方和＝各列因素离差平方和+误差离差平方和SST = SS因素 + SS空列（误差）（2）自由度分解： 自由度分解：dfT = df因素 + df空列（误差）（3）均方差： 均方差：SS因素 SS误差 MS因素＝ ， MS误差＝ df因素 df误差上一内容 下一内容 回主目录返回（4）构造F统计量： 构造F统计量：MS因素 F因素＝ MS误差（5）列方差分析表，作F检验 列方差分析表， 若计算出的F 若计算出的F值F0&Fa，认为该因素或交互作用对试验 结果有显著影响； 结果有显著影响；若F0?Fa，则认为该因素或交互作用 对试验结果无显著影响。 对试验结果无显著影响。上一内容下一内容回主目录返回正交试验方差分析说明由于进行F检验时，要用误差离差平方和SS 及其自由度df 由于进行F检验时，要用误差离差平方和SSe及其自由度dfe， 因此，为进行方差分析，所选正交表应留出一定空列。 因此，为进行方差分析，所选正交表应留出一定空列。当无空 列时，应进行重复试验，以估计试验误差。 列时，应进行重复试验，以估计试验误差。 误差自由度一般不应小于2 很小， 检验灵敏度很低， 误差自由度一般不应小于2，dfe很小，F检验灵敏度很低，有 时即使因素对试验指标有影响， 时即使因素对试验指标有影响，用F检验也判断不出来。 检验也判断不出来。 为了增大df 提高F检验的灵敏度，在进行显著性检验之前， 为了增大dfe，提高F检验的灵敏度，在进行显著性检验之前， 先将各因素和交互作用的均方与误差均方差比较，若MS因 先将各因素和交互作用的均方与误差均方差比较， （MS交） &MSe，可将这些因素或交互作用的离差平方和、自 可将这些因素或交互作用的离差平方和、 由度并入误差的离差平方和、自由度，这样使误差的离差平方 由度并入误差的离差平方和、自由度， 和和自由度增大，提高了F检验的灵敏度。 和和自由度增大，提高了F检验的灵敏度。上一内容 下一内容 回主目录返回Ln（mk）正交表及计算表格表头设计 列号 试验号 1 2 … n 1 1 … m … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … A 1 B 2 … … … k 试验数据xixi2 x12 x22…x1 x2…xnnxn2iK1j K2j…K11 K21…K12 K22…K1k K2k…T＝ ∑ xi＝ 1 nT2 CT = nKmj K1j2 K2j2…Km1 K112 K212…Km2 K122 K222…Kmk K1k2 K2k2…QT＝∑ x 2 ii＝ 1SST＝QT ? CT 1 m 2 Q j＝ ∑ K ij r i＝ 1 SS j＝Q j ? CTKmj2 SSj上一内容Km12 SS1下一内容Km22 SS2回主目录Kmk2 SSk返回L9(34)正交表 处理号 1 2 3 第1列（A） 1 1 1 第2列 1 2 3 第3列 1 2 3 第4列 1 2 3因素A 因素A第1 水平3 水平3次 试验结果yi 试验结果yi 重复测定 y1 值y2 y34 1 2 3 y4 单因素 2 5 2 2 3 1 y5 因素A 因素A第2 试验数 2 6 1 3 1 2 （y1 +y6 + ... + y9） y2 [ SS ＝ （y1 + y2 + y3） + y4 + y5 + y6） + y7 + y8 + y9）]? （ （ 水平3 （修正项） 水平3次重 据资料 3 7 3 1 3 2 y7 9 复测定值 8 1 1 3 y8 格式K + K3 + K ） T 2 ＝（ 2 2 2 2 A 2 2 2 29 312339 321y9因素A 因素A第 分析第1列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因素。 分析第1列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因素。 3因素 A1 A2 A3上一内容重复1 重复1 y1 y4 y7重复2 重复2 y2 y5 y8重复3 重复3 y3 y6 y9回主目录和 y1+y2+y3 y4+y5+y6 y7+y8+y9 K1 K2 K3 返回水平3 水平3次重 复测定值下一内容n总离差平方和： 总离差平方和：因素离差平方和： 因素离差平方和：2 （∑ x i ） n 2 SST ＝∑ x i － i＝1 n i＝1n2 （∑ x i ） 1 m 2 SS j ＝ ∑ K ij － i＝1 （j＝1，...，k） 2， r i＝1 n试验总次数为n 每个因素水平数为m 试验总次数为n，每个因素水平数为m个，每个水 平作r次重复r n/m。 平作r次重复r＝n/m。 当m＝2时，1 2 SS j ＝ （K1j - K 2j）（j＝1，...，k） 2， n回主目录上一内容下一内容返回总自由度：dfT＝n-1因素自由度： 因素自由度：n:试验总次数df ＝m ? 1 ，m为因素水平个数 j上一内容下一内容回主目录返回考虑交互作用等水平正交试验方差分析例：某厂拟采用化学吸附法，用填料塔吸收废气中的SO2，为 某厂拟采用化学吸附法，用填料塔吸收废气中的SO 了使废气中SO 的浓度达到排放标准， 了使废气中SO2的浓度达到排放标准，通过正交试验对吸收工 艺条件进行了摸索，试验的因素与水平如表所示。 艺条件进行了摸索，试验的因素与水平如表所示。需要考虑 交互作用A 如果A,B A,B， 放在正交表L 交互作用A×B，B×C。如果A,B，C 放在正交表L8(27)的 1,2,4列 试验结果（ 摩尔分数） 1,2,4列，试验结果（SO2摩尔分数）依次为 0.15,0.25,0.03,0.02,0.09,0.16,0.19.0.08。 0.15,0.25,0.03,0.02,0.09,0.16,0.19.0.08。试进行方差 分析。 分析。(a=0.05)因素水平表 试验因素 水 平 (A)碱含量 （%） 5 10回主目录（B）操作温度 (°C) 40 20 返回(C)填料种类 甲 乙1 2上一内容 下一内容试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 K1j K2j 极差R 极差R SSjA 1 1 1 1 1 2 2 2 3 45 52 7 6.125B 2 1 1 2 2 1 1 2 2 65 32 33A× B 3 1 1 2 2 2 2 1 1C 4 1 2 1 2 1 2 1 2 46 51 5 3.125空列 5 1 2 1 2 2 1 2 1 42 55 13 21.125B× C 6 1 2 2 1 1 2 2 1 34 63 29 105.12 5空列 7 1 2 2 1 2 1 1 2 52 45 7 6.125试验结果 ×100 15 25 3 2 9 16 19 867 3037T = 97136.125 171.125上一内容下一内容回主目录返回(1) 计算离差平方和n总离差平方和：2 （∑ y i） 2 SST ＝∑ y i － i ＝1 = 1625 ?
= 448.875 n i＝1 n因素及交互作用的平方和：ss A =1 ( K 1 ? K 2 )2 = 1 ( 45 ? 52 )2 = 6 . 125 8n误差平方和： SSe=SS5+SS7=21.125+6.125=27.250（空列） =21.125+6.125=27.250（空列）上一内容下一内容回主目录返回(2) 计算自由度 总自由度：dfT=n-1=7 =n总自由度：各因素自由度：dfA＝dfB＝dfC＝2-1=1 各因素自由度：交互作用自由度： dfA×B = dfA×dfB ＝1, dfB×C ＝1 交互作用自由度：误差自由度：df5 + df7 =2 误差自由度：(3) 计算均方MS A =MS B =SS A = 6.125 dfASS B = 136.125 dfBMS C =SS C = 3.125 dfCMSA×B ＝171.125, MSB×C ＝105.125上一内容 下一内容 回主目录返回误差的均方：MS e =27.250 SS e = = 13.625 dfe 2MSA&MSe, MSc& MSe,说明因素A、C对试验结果的影响较 小，为次要因素，可归入误差。 新误差平方和： SS ?e = SS e + SS A + SS c = 36.500 新误差自由度： df ?e = dfe + dfA + dfc = 4 新误差均方：?MS ?e =36.500 SS e = = 9.125 ? 4 dfeFA × B = MS A ×B = 18.75 ? MS e（4）计算F值：FB = MS B? = 136.125 = 14.92MS e上一内容 下一内容9.125FB ×C = 11.52回主目录返回（5）显著性检验根据以上计算，进行显著性检验，列出方差分析表 根据以上计算，进行显著性检验，方差分析表 差异源 B B×C × A×B × A C 误差e 误差 平方和 136.125 105.125 171.125 6.125 3.125 27.250 36.500 448.125 自由度 1 1 1 1 1 2 4 7 9.125 均方 136.125 105.125 171.125F值14.92 11.52 18.75Fa F0.05(1,4) =7.71 F0.01(1,4)=21.20显著水平 * * *误差e* 误差 总和上一内容下一内容回主目录返回因素的主次顺序A 因素的主次顺序A×B，B，B×C。（6）优化工艺条件的确定因素A,B水平搭配表A1 B1 B2 (15+25)/2=20 (3+2)/2=2.5 A2 (9+16)/2=12.5 13.5 B1 B2因素B,C水平搭配表C1 12.0 11.0 C2 20.5 5.0本试验指标越小越好。优水平组合为A1B2C2。即碱 本试验指标越小越好。优水平组合为A 浓度5%，操作温度20° 浓度5%，操作温度20°C，填料选择乙。 填料选择乙。上一内容下一内容回主目录返回
如何设计基本的正交实验设计_理学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 如何设计基本的正交实验设计_理学_高等教育_教育专区。介绍正交实验设计的...正交实验设计的优点与不足及发展现状的研究_数学_自然科学_专业资料。正交试验设计是一种研究多因素试验的重要数理方法,也是对试验因素作合理的、有效的安排,最大...常用的试验设计方法有:正交试验设计法、均匀试验设计法、单纯形优化法、双水平 单纯形优化法、回归正交设计法、序贯试验设计法等。可供选择的试验方法很多,各种试 ...正交实验设计当析因设计要求的实验次数太多时, 一个非常自然的想法就是从析因设计的水平 组合中,选择一部分有代表性水平组合进行试验。 因此就出现了分式析因设计...第一章 正交实验设计_数学_自然科学_专业资料。试验设计与分析 实验分析与设计 朱昌明 上海交通大学 1 试验设计与分析 绪论长期以来在实验领域中,特别是对于多因素...正交试验设计常用正交表1_数学_自然科学_专业资料 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 正交试验设计常用正交表1_数学_自然科学_专业资料。(1) L4(23) 1 列...第7 章 正交试验设计的极差分析正交试验设计和分析方法大致分为二种: 一种是极差分析法(又 称直观分析法),另一种是方差分析法(又称统计分析法)。 本章介绍极...因而正交实验设计在很多领域的研究中已经 得到广泛应用。 全面试验的最大优点是所获得的信息量很多,可以准确地估计各 实验因素的主效应的大小,还可估计因素之间各级...全面试验法示意图 三因素、三水平全面试验方案 正交试验设计的基本特点是: 用部分试验来代替全面试验, 通过对部 分试验结果的分析,了解全面试验的情况。 正因为...回首页 正交试验设计法正交试验设计法的基本思想 正交表 正交表试验方案的设计 试验数据的直观分析 正交试验的方差分析 常用正交表 1. 正交试验设计法的基本思想 ...
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