一、圆曲线要素及计算公式
《礼记》有云：大学之道，在明德，在亲民。在提笔撰写我的毕业设计论文的时候，我也在向我的大学生活做最后的告别仪式。我不清楚过去的一切留给现在的我一些什么，也无从知晓未来将赋予我什么，但只要流泪流汗，拼过闯过，人生才会少些遗憾！
非常幸运能够加入水利工程这个古老而又新兴的行业，即将走向工作岗位的时刻，我仿佛感受到水利行业对我赋予新的历史使命，水利是一项以除害兴利、趋利避害，协调人与水、人与大自然关系的高尚事业。水利工作，既要防止水对人的侵害，更要防止人对水的侵害；既要化解自然灾害对人类生命财产的威胁，又要善待自然、善待江河、善待水，促进人水和谐，实现人与自然和谐相处。这种使命，更让我用课堂中的知识用于实际生产中来。特别是这两个月来的毕业设计，我越发感觉到学会学精测量基础知识对于我贡献水利是多么的重要。所以，我越发不愿放弃不多的大学时光，努力提高自己的实践动手能力，而本学期的毕业设计，为我提供了绝好的机会，我又怎能放弃？
刚刚从老师那里得到毕业设计的题目和任务时，我的心里真的没底。作为毕业设计的主体工作，我们主要运用电子水准仪对某幢建筑物进行变形观测与计算，布设控制点进行平面控制测量和高程控制测量；用全站仪进行了中心多边行角度和距离的测量，并用条件平差原理进行平差，通过控制点的放样来计算土的挖方量，还有圆曲线的计算与测设。而我研究的毕业课题是圆曲线测设。
大学的最后一个学期过得特别快，几乎每天扛着仪器，奔走在校园的每个角落，生活亦很有节奏。今天我提笔写毕业论文，我的毕业设计也接近尾声。不管成果如何，毕竟心里不再是没底了，挑着两个多月的辛苦换来的数据和成果，并不断的完善他们，心里感觉踏实多了。
在本次毕业设计论文的设计中要感谢水利系为我们的工作提供了测量仪器，还有各指导老师的教导和同学的帮助。
摘& 要：在公路、铁路的路线圆曲线测设中，一般是在测设出曲线各主点后，随之在直圆点或圆直点进行圆曲线详细测设。本文通过仪器安置不同地方进行多种圆曲线测设，提出了交点偏角法详细测设圆曲线的方法，其中主要运用了偏角法测设法。
Abstract： The
round curve of route in the highway , railway is examined while having, is
generally examining the contours of having out each mainly a bit, examine and
have in detail the round curve a bit straighter on the straight dot or the
round thereupon . This text, through the instrument finds a room for not
examined and set up many kinds of round curves with the place, examine the method
to have round curve in detail after putting forward the drift angle law of the
point of intersect, among them has used the law of drift angle to examine
trying mainly.
关键词：安置；交点；偏角法；圆曲线；测设
Keyword: Fmethod of deflection
开 题 报 告
一、研究课题：《微分曲线的应用》
二、学科地位和研究应用领域　
1.学科定义
工程测量学是研究地球空间中具体几何实体的测量描绘和抽象几何实体的测设实现的理论方法和技术的一门应用性学科。它主要以建筑工程、机器和设备为研究服务对象。
2.学科地位
测绘科学和技术(或称测绘学)是一门具有悠久历史和现代发展的一级学科。该学科无论怎样发展,服务领域无论怎样拓宽,与其他学科的交叉无论怎样增多或加强,学科无论出现怎样的综合和细分,学科名称无论怎样改变,学科的本质和特点都不会改变。
3.研究应用领域
目前国内把工程建设有关的工程测量按勘测设计、施工建设和运行管理三个阶段划分;也有按行业划分成:线路(铁路、公路等)工程测量、水利工程测量、桥隧工程测量、建筑工程测量、矿山测量、海洋工程测量、军事工程测量、三维工业测量等,几乎每一行业和工程测量都有相应的著书或教材。
国际测量师联合会(FIG)的第六委员会称作工程测量委员会,过去它下设4个工作组:测量方法和限差;土石方计算;变形测量;地下工程测量。此外还设了一个特别组:变形分析与解释。现在,下设了6个工作组和2个专题组。6个工作组是:大型科学设备的高精度测量技术与方法;线路工程测量与优化;变形测量;工程测量信息系统;激光技术在工程测量中的应用;电子科技文献和网络。2个专题组是:工程和工业中的特殊测量仪器;工程测量标准。
工程测量学主要包括以工程建筑为对象的工程测量和以设备与机器安装为对象的工业测量两大部分。在学科上可划分为普通工程测量和精密工程测量。
工程测量学的主要任务是为各种工程建设提供测绘保障,满足工程所提出的要求。精密工程测量代表着工程测量学的发展方向,大型特种精密工程建设是促进工程测量学科发展的动力。　　
工程测量仪器的发展工程测量仪器可分通用仪器和专用仪器。通用仪器中常规的光学经纬仪、光学水准仪和电磁波测距仪将逐渐被电子全测仪、电子水准仪所替代。电脑型全站仪配合丰富的软件,向全能型和智能化方向发展。带电动马达驱动和程序控制的全站仪结合激光、通讯及CCD技术,可实现测量的全自动化,被称作测量机器人。
三、工程测量理论方法的发展
1.测量平差理论最小二乘法广泛应用于测量平差。最小二乘配置包括了平差、滤波和推估。附有限制条件的条件平差模型被称为概括平差模型,它是各种经典的和现代平差模型的统一模型。测量误差理论主要表现在对模型误差的研究上,主要包括:平差中函数模型误差、随机模型误差的鉴别或诊断;模型误差对参数估计的影响,对参数和残差统计性质的影响;病态方程与控制网及其观测方案设计的关系。由于变形监测网参考点稳定性检验的需要,导致了自由网平差和拟稳平差的出现和发展。观测值粗差的研究促进了控制网可靠性理论,以及变形监测网变形和观测值粗差的可区分性理论的研究和发展。
2.工程控制网优化设计理论和方法网的优化设计方法有解析法和模拟法两种。解析法是基于优化设计理论构造目标函数和约束条件,解求目标函数的极大值或极小值。一般将网的质量指标作为目标函数或约束条件。模拟法优化设计的软件功能和进行优化设计的步骤主要是:根据设计资料和地图资料在图上选点布网,获取网点近似坐标(最好将资料作数字化扫描并在微机上进行)。值精度,可进一步模拟观测值。计算网的各种质量指标如精度、可靠性、灵敏度。
3.变形观测数据处理工程建筑物及与工程有关的变形的监测、分析及预报是工程测量学的重要研究内容。其中的变形分析和预报涉及到变形观测数据处理。但变形分析和预报的范畴更广,属于多学科的交叉。
(1)变形观测数据处理的几种典型方法根据变形观测数据绘制变形过程曲线是一种最简单而有效的数据处理方法,由过程曲线可作趋势分析。如果将变形观测数据与影响因子进行多元回归分析和逐步回归计算,可得到变形与显著性因子间的函数关系,除作物理解释外,也可用于变形预报。
(2)变形的几何分析与物理解释传统的方法将变形观测数据处理分为变形的几何分析和物理解释。几何分析在于描述变形的空间及时间特性,主要包括模型初步鉴别、模型参数估计和模拟统计检验及最佳模型选取3个步骤。变形监测网的参考网、相对网在周期观测下,参考点的稳定性检验和目标点和位移值计算是建立变形模型的基础。变形模型既可根据变形体的物理力学性质和地质信息选取,也可根据点场的位移矢量和变形过程曲线选取。
(3)变形分析与预报的系统论方法用现代系统论为指导进行变形分析与预报是目前研究的一个方向。变形体是一个复杂的系统,它具有多层次高维的灰箱或黑箱式结构,是非线性的,开放性(耗散)的,它还具有随机性,这种随机性除包括外界干扰的不确定性外,还表现在对初始状态的敏感性和系统长期行为的混沌性。此外,还具有自相似性、突变性、自组织性和动态性等特征。
四、工程测量学的发展展望展望21世纪,工程测量学在以下方面将得到显著发展:
1.测量机器人将作为多传感器集成系统在人工智能方面得到进一步发展,其应用范围将进一步扩大,影像、图形和数据处理方面的能力进一步增强;
2.在变形观测数据处理和大型工程建设中,将发展基于知识的信息系统,并进一步与大地测量、地球物理、工程与水文地质以及土木建筑等学科相结合,解决工程建设中以及运行期间的安全监测、灾害防治和环境保护的各种问题。
3.工程测量将从土木工程测量、三维工业测量扩展到人体科学测量,如人体各器官或部位的显微测量和显微图像处理;
4.多传感器的混合测量系统将得到迅速发展和广泛应用,如GPS接收机与电子全站仪或测量机器人集成,可在大区域乃至国家范围内进行无控制网的各种测量工作。
5.GPS、GIS技术将紧密结合工程项目,在勘测、设计、施工管理一体化方面发挥重大作用。
6.大型和复杂结构建筑、设备的三维测量、几何重构以及质量控制将是工程测量学发展的一个特点。
7.数据处理中数学物理模型的建立、分析和辨识将成为工程测量学专业教育的重要内容。综上所述,工程测量学的发展,主要表现在从一维、二维到三维、四维,从点信息到面信息获取,从静态到动态,从后处理到实时处理,从人眼观测操作到机器人自动寻标观测,从大型特种工程到人体测量工程,从高空到地面、地下以及水下,从人工量测到无接触遥测,从周期观测到持续测量。测量精度从毫米级到微米乃至纳米级。
工程测量学的上述发展将直接对改善人们的生活环境,提高人们的生活质量起重要作用。
文 献 综 述
一、圆曲线的详细测设
在各类线路工程弯道处施工，常常会遇到圆曲线的测设工作。目前，圆曲线测设的方法已有多种，如偏角法、切线支距法、弦线支距法等。然而，在实际工作中测设方法的选用要视现场条件、测设数据求算的繁简、测设工作量的大小，以及测设时仪器和工具情况等因素而定。另外，上述的几种测设方法，都是先根据辅点的桩号（里程）来计算测设数据，然后再到实地放样。因此，在实际工作中利用上述传统测设方法，有时会因地形条件的限制而无法放样出辅点（如不通视或量距不便等），或放样出的辅点处无法设置标桩。
在本次毕业设计的论文课题中介绍的几种圆曲线测设的新方法，不仅计算简单、测设便捷，而且可在不需要知道曲线上某点里程的情况下进行，从而避免了按预先给定的曲线点反算的测设数据放样不通视而转站的麻烦。同时，利用本文介绍的新方法，还可以根据线路工程施工进度的要求，灵活地选择性地放样出部分曲线；也可以用于快速地确定曲线上某一加桩的位置；若用于线路验收测量，则更加方便，验测结果更具有代表性、更可靠。
二、全站仪在任意站测设圆曲线及方法交点偏角法测设方法
用全站仪任意站测设圆曲线，安置一次仪器就能完成全部工作。虽然外业计算麻烦，但对于不能设站的转点，可谓方便灵活。但它的不足之处仍然是计算烦锁，对于不熟悉内业的外业工作者，很难实际操作。如果利用一些程序计算器，编制输入：AB 的四组坐标和半径、九个数据的程序，可迅速得出放样数据，简化了外业工作。
为了放样工作的便利,可在平面控制网中纳入一些放样点,构成GPS同级全面网。由于放样点间距离较近,在进行同步环和闭合环检验时可仅考虑各分量的较差,而不考虑相对闭合差。因为,用相对闭合差来衡量是不合理的。由于GPS接收机的固定误差,相位中心偏差以及观测时的对中误差均在1mm～5mm之间,对于几十米的短边,其相对闭合差值势必较大。3)平面控制网的设计主要考虑独立基线的选择以及异步闭合环的设计,要考虑构成尽可能多的闭合图形,并将网中处于边缘的观测点用独立基线连接起来,形成封闭图形。
同理，采用上述思路，也可测设缓和曲线。
在道路、渠道、管线等工程建设中，受地形、地质等条件的限制，线路总是不断转向。为使车辆、水流等平稳运行或减缓冲击，常用圆曲线连接，因而圆曲线测设是线路测设的重要内容。在公路、铁路的路线圆曲线测设中,一般是在测设出曲线各主点后,随之在直圆点或圆直点进行圆曲线详细测设。其测设的方法很多,诸如偏角法、切线支距法、弦线支距法、延弦法等。这些方法有一个共同点:均是在定测阶段放样出的线路交点处设站,以路线后视方向定向,在实地定出曲线主点,然后将仪器置于曲线主点(一般是在曲线起点)处,以路线交点为后视方向定向,进行圆曲线详细测设。这些方法在实际施测过程中,由于各种地形条件的限制以及施测方法的特点,可能会出现以下三种情况:
(1)在曲线主点处无法设站。
(2)后视方向太近,定向不准。
(3)& 误差积累较大。
为此,在交点可以设站的情况下,可以采用一种新的测设方法—交点偏角法。
本文提出的交点偏角法详细测设圆曲线方法,从上述的计算,测设的方法得知,它具有以下优点:
(1)计算方便、工作量省、易于实现公路测量的自动化。从上述公式推导得知,只要知道待测设点至圆曲线中点间的弧长,便可计算出测设所需的数据;而且上述情况1.1和1.2的计算偏角和待测设点至交点水平距离公式相同,只是外矢距的计算方法不同,容易通过计算机语言编程实现公路测量的自动化。另外,本方法不需在圆曲线主点重新设站,可以在测设圆曲线主点时,同时进行圆曲线详细测设,故工作量省。
(2)测设方法简易、易于达到较高的测设精度。一般的测设方法是在交点处设站测设出圆曲线的主点后,再在ZY(或YZ)点设站,以交点方向定向进　行圆曲线细部测设。由于圆曲线主点难免会存在误差,因此测设出的圆曲线误差会更大;而且在主点设站,后视方向可能较近,定向不准。而交点偏角法只需在交点设站,以线路后视方向定向,容易达到较高的测设精度。
前&&& 言‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥1
摘&&& 要‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥3
开题报告‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥4
文献综述‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥9
第一章缓和曲线的坐标公式‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥13
圆曲线要素及计算公式‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥16
偏角法测设介绍‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥18
圆曲线要素计算及测设‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20
第一节仪器安置在ZY点上的施测法‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20
第二节全站仪安置在QZ点上施测法‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥24
第三节&& 全其它施测法‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥26
主要参考文献‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥28
第一章 缓和曲线的坐标公式
如图1-1所示,其坐标系是以缓和曲线起点ZH为原点O，以切线为x轴，以过原点的曲线半径为&y轴。若原点O至P点的缓和曲线长度为，过P点切线与x轴的交角为β（即半径由∞变至的中心角）。若P有微小变化至P′时，则增长，（x,y）增长（）,则有以下关系，
得，&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2-1）
由公式(常数)得知，故有
则&&&&&&&&&&&&&&&&&&
将上式代入（1-1）式中，得
即&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&（2-2）
以及的关系代入上式得
以代入上式得
&&&&&&&&&&&&&&（2-3）
上式即为缓和曲线上任一点直角坐标（x,y）的计算公式。
缓和曲线上任一点P的切线与x轴的交角 ，称为缓和曲线螺旋角，或称缓和曲线角。其计算可由前面公式得
（弧度）&&&&&&&&&&&&&&&&&&
若将代入（2-4）及（2-3）式中，则有以下结果：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2-5）
上式即为缓和曲线终点HZ（ZH）的坐标及螺旋角的计算公式。
第二章 圆曲线要素及计算公式
如图2-1所示，两相邻直线偏角（线路转向角）为，选定其
连接曲线圆曲线的半径为R，这样，圆曲线和两直线段的切点位置ZY点、YZ点便被确定下来，我们称为对圆曲线相对位置起控制作用的直圆点ZY、圆直点YZ和曲中点QZ为圆曲线三主要点。我们称R、α以及具体体现三主要点几何位置的切线长T、曲线长L、外矢距E和切曲差（切线长和曲线长之差）D为曲线6要素。只要知道了曲线6要素，便可于实地测放出圆曲线。现将圆曲线的元素列下：
：转向角& （实地测出）
R：曲率半径（设计给出）
T： 切线长（计算得出）
L：曲线长（计算得出）
D：切曲差（计算得出）
偏角是在线路祥测时测放出的，圆曲线半径R是在设计中根据线路的等级以及现场地形条件等因素选定的，其余要素可根据以下公式计算：
第三章 偏角法测设介绍
偏角法是一种极坐标标定点位的方法，它是用偏角和弦长来测设圆曲线细部。
如图3-1所示，1，2…，，…，n为设计之详测点，邻点间距均为c，弦长c所对应的圆心角为。当放样至详测点时，可在ZY点置镜，后视JD方向，拨出偏角,再自-1点量距C和拨出的视线方向交会，即得出点。
若弦长c所对应的弧长为C′，可根据弦切角等于其所对应圆心角之半求出各点的偏角：
实际作业中，有时为了测量和施工的方便，一般要求圆曲线详测点的里程尾数为选定弧长C′的整数倍。但ZY点、YZ点及QZ的里程尾数却不一定为C′的整数倍，这样在曲线的两端则出现小于C′的分弦。
第四章 圆曲线要素计算及测设
根据提供资料，=40&20′（右）,R=100米，转角点JD的桩号为K3+135.12，用偏角法测设各桩点（规定桩距为20米）。
经计算，T=36.73 &&L=70.40&&
根据JD的桩号为K3+135.12，则：
& JD桩号&&&&&&&&&& &&&&&&K3+135.12
T&&&&&&&&&&& &&&&36.73
ZY桩号&&&&&&&&&&&&&&&
&+) L&&&&&&&&&&&&&&&
YZ桩号&&&&&&&&&&&&&&&
&&&& &&&&-)
L/2& &&&&&&&&&&&&35.20
QZ桩号&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&& &+)
D/2&&&& &&&&&&&&&1.53
JD桩号&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&
所以，经计算交点的里程与校核计算相符。
第一节 仪器安置在ZY点上的施测法
一、在ZY点上施测法1
根据转折角和半径R及交点桩计算三主点的桩号为：
ZY： K3+098.39； QZ ：K3+133.59
；YZ： K3+168.79。
因ZY点的里程为3+098.39，在曲线上，它前面最近的整里程为3+100.00，所以起始弧长=（3+100）-（3+098.39）=1.61（m）。又因点YZ点的里程为3+168.79，在曲线上，它后面最近的里程为3+160.00，弧长=(3+168.79)-(3+160.00)=8.79（m）。
现将计算的偏角值到列表如表4-1，供测设时使用。
为检查计算有无错误，可与总偏角核对。本次研究课题中的总偏
00&27′40″
00&27′40″
05&43′46″
06&11′26″
03&53′36″
10&05′02″
01&50′11″
11&55′26″
05&43′46″
17&38′59″
02&31′05″
20&10′04″
角为=20&10′00″，与计算之总偏角20&10′05″相差05″，这是因为偏角表计算至秒为止，秒后数值四舍五入所造成的误差，与测量精度无影响，属容许误差。
2、施测方法：
如图4-1所示，将仪器安置在ZY点上，全站仪显示对准0&0′0″，后视JD，然后旋转望远镜，拨至第一桩点K3+100.00的偏角0&27′40″，从ZY点起沿此方向量出第一段曲线长1.61米相应的弦长，定出第一桩点。再拨至第二桩点K3+120.00的偏角6&11′26″，从第一桩点量出第二段曲线长20米相应的弦长，交出第二桩点。依此法逐一测设曲线间所有各桩点。
核对方法：用偏角法测至YZ点，如与预先测得YZ点位置相同，
则说明施测之曲线正确。
二、在ZY点上施测法2
置仪器于ZY点上，也可用曲线内第一整桩点作为累计偏角的起始点进行施测。
同前所计算，第一段曲线长为1.61米，相应的偏角为0&27′40″，现将计算的偏角值到列表如表4-2。
-00&27′40″
259&32′20″
360&00′00″
0&00′00″
05&43′46″
09&37′23″
11&27′33″
17&11′19″
19&42′25″
检查方法按总偏角核对，该课题的总偏角为=20&10′00″，与计算之总偏角19&42′25″+0&27′40″=20&10′05″相差05″，属容许误差。
2、施测方法
将仪器安置在ZY点上，全站仪显示对准359&32′20″后视JD，然后旋转望远镜，拨角度0&27′40″则全站仪显示对在0&0′0″上，从ZY点起沿此方向量出第一段曲线长1.61米相应的弦长，定出第一桩点。再拨至第二桩点K3+120.00的偏角5&43′46″，从第一桩点量出第二段曲线长20米相应的弦长，交出第二桩点。依此法逐一测设曲线间所有各桩点。
核对方法同前。
此法优点是第一桩点后各桩点，特别是查桩点的偏角查算简单。
第二节 全站仪安置在QZ点上施测法
一、全站仪安置在QZ点上施测法1
此法以QZ点为计算起点，算出各桩点偏角。
现将计算的偏角值到列表如表4-3，供测设时使用。
03&53′36″
356&06′24″
5&43′46″
350&22′38″
0&27′40″
349&54′58″
01&50′11″
01&50′11″
5&43′46″
07&33′57″
2&40′06″
10&05′03″
K3+168.79&&&&&&&&
检查方法按核对时，此时=10&05′00″，ZY偏角为360&00′00″-349&54′58″=10&05′02″，YZ偏角为10&05′03″，属容许误差。
2、施测方法
如图4-2，将仪器安置在QZ点上，全站仪显示对准270&00′00″后视JD，然后旋转望远镜，拨角度0&00′00″，此方向即为QZ点之切线方向，然后根据计算之各桩点偏角值与各桩点间曲线长度，自QZ点起分别向ZY和YZ两个方向同前述方法依次测设曲线间各桩点。
核对方法：用偏角法测至ZY、YZ点，如与预先测得ZY、YZ点位置相符，则说明正确。
二、全站仪安置在QZ点上施测法2
置仪器与QZ点上，也可用ZY点作为计算起点进行施测。
现将计算的偏角值到列表如表4-4，供测设时使用。
检查方法按总偏角核对，总偏角=20&10′00″，与计算之总偏角200&10′05″-180&00′00″=20&10′05″，差05″，属容许误差。
2、施测方法
00&27′40″
00&27′40″
05&43′46″
06&11′26″
03&53′36″
10&05′02″
180&00′00″
01&50′11″
191&55′13″
05&43′46″
02&31′06+″
200&10′05″
将仪器安置在QZ点上，全站仪显示对准00&00′00″后视ZY点。根据计算之各桩点偏角值与各桩点间曲线长度，同前述方法逐个测点QZ点前半个曲线的各桩点后，将全站仪显示对在QZ点的偏角10&05′02″上，然后倒镜，再依次测设QZ点后半个曲线间的各桩点。
核对方法：用偏角法测至YZ点，如与预先测得YZ点位置相符，则说明正确。
三、将全站仪安置在YZ点亦可施测，其方法与置仪器在YZ点相同，但偏角方向相反，施测时要用反拨偏角值，360&减去其弦切角方向为偏角值。
第三节 全其它施测法
如果前述方法不宜测定曲线全部桩点，则可将全站仪安置在曲线上任意适当的桩点进行施测。如图4-3所示，若仪器在K3+120点，将全站仪显示对准00&00′00″或对准K3+100点的偏角00&27′40″，倒镜后视ZY点或后视K3+100点，并固定下盘，反转望远镜为正镜，是全站仪显示对准K3+133.59的偏角10&05′02″上，亦可定出K3+133.59点。同法依次测设曲线间其它各桩点。
主要参考文献
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[10] 工程测量.国家测绘局人事司等.辽宁：哈尔滨地图出版社.2001
[11] 徐家钰，程家驹.道路工程[Ｍ].上海：同济大学出版社.1995
[12] 西安公路学院.公路测量[Ｍ].北京：人民交通出版社.1979上传用户：ahudokveko资料价格：5财富值&&『』文档下载 ：『』&&『』所属分类：机构：贵阳铝镁设计研究院!贵州贵阳550004分类号：TH126文献出处：关 键 词 ：&&&权力声明：若本站收录的文献无意侵犯了您的著作版权，请点击。摘要：用计算机绘制渐开线齿轮封闭图有着十分重要的意义，由于组成封闭图的各曲线比较复杂，所以，各曲线交点不能用解析法求得，而须用数值计算的方法，本文通过三个典型的例子，对求交点的数值解法作了较详细的说明Abstract：Computer drawing involute gear closed graph has a very important significance, because of the complexity of the composition of closed graph of the curve, so the intersection curve can not with analytical method, and must be calculated by numerical method, the three typical examples, detailed explanation for the numerical solution of the intersection正文快照：１　概述　　渐开线齿轮变位系数的取值范围受到根切、齿顶厚度、干涉及重合度等条件的约束，将这些约束条件绘出，便形成了封闭图。用计算机绘制封闭图时，除了要计算封闭图曲线上各点的坐标外，首先还要确定所绘各限制曲线的起点和终点，对于由多条曲线围起来的封闭图，图分享到：相关文献|求数学大神，关于贝塞尔曲线交点的解法。_数学吧_百度贴吧
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求数学大神，关于贝塞尔曲线交点的解法。收藏
已知：一条由P0,P1,P2,P3四点组成，P0为起点，P3为终点的贝塞尔曲线A。另一条由Q0,Q1,Q2,Q3四点组成，Q0为起点，Q3为终点的贝塞尔曲线B。求：如何判断两条曲线是否相交？如果有交点，求这两条曲线的交点。请不要告诉我画图法。我想要方程式的解法。
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控制点构成凸包如果不相交，曲线必然不相交。不然，可以将曲线分裂成两条短曲线，再同样分别判断。
看贝塞尔曲线的方程，三次是y=ax^3+bx^2(1-x)+cx(1-x)^2+d(1-x)^3，根据P1，P2，P3，P4可以确定系数，同样4次曲线也可以求出来，然后联立判断方程实数解，感觉非常复杂，不知道有没有快速算法
这个问题一定有人做出来过。我在网上找了很久，没找到有分享的。做过的人贴个过程啊。
难道偌大的数学吧居然无人能解这种小儿科的问题。
高次方程通常不会有公式解，即使有也不会实用。我二楼说的方法才是实用的编程解决策略。不过看来楼主很难理解
另外P1P2Q1Q2是贝塞尔的控制点，不是线上的点啊。
来分享一下我的解决方案：贝塞尔曲线相交的情况：1、首先要分为直线（段）相交贝塞尔曲线和曲线相交曲线两种情况。针对前者，获取交点的方法：把坐标系进行旋转，将直线移动到X轴上，然后取贝塞尔曲线X等于0的点（这是个3次方程，需要解t的值，获得t的值就可以计算出焦点的位置），此点即为交点。这个算法还算简单。2、贝塞尔曲线与贝塞尔曲线相交，此情况没有办法用上面的办法解方程了。因为可能的情况太多，甚至有9个解的情况，太过复杂所以放弃。针对第二种情况，我暂时想了两种解决方法：解决方法A：将贝塞尔曲线转成多段直线段，然后对直线段的交点进行计算。这种算法无法取得绝对精度的算法，会有误差，但是一般的图形应用足够了，至少肉眼看不出。解决方法B：将贝塞尔曲线分成多段（两段或者两段以上），然后对多段曲线的包进行判别是否相交。如果相交对该段曲线再次分割成多段。用个递归函数，不断的分割，然后筛掉那些不叠加的区域，直到区域逼近我们所需要的精度。这个算法有点像无线切圆的算法，精度越高，计算越多，复杂度也高。好吧，这的确是一个解决办法，但是我没有想到办法优化它，我感觉不如方法A。也许自然界根本就不存在真正的曲线，所有的曲线都应该当作直线计算。这就是目前对贝塞尔曲线的一些了解。大神们有好办法，或者优化的算法，求补充，谢谢。
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