在malab中超几何分布布的0-1变量怎么表示
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时间：2017-04-11 02:50
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MATLAB在概率统计中的命令和使用格式
第4章概率统计第4章概率统计本 章 介 绍 MATLAB 在 概 率 统 计 中 的 若 干 命 令 和 使 用 格 式 ， 这 些 命 令 存 放 于 MatlabR12\Toolbox\Stats 中。4.14.1.1随机
数的产生?n? 二项分布的随机数据的产生（ 二项分布的随机数据的产生（ P ( x = k ) = b(k , n, p ) = ? ? p k q n ? k , k = 1,L , n ； ?k ?记作 x ~ B ( n, p ) 即 x 服从参数为 n,p 的二项分布。 命令 参数为 N，P 的二项随机数据 函数 binornd 格式 R = binornd(N,P) %N、P 为二项分布的两个参数，返回服从参数为 N、P 的二 项分布的随机数。 R = binornd(N,P,m,n) %m,n 分别表示 R 的行数和列数 例 4-1&& R=binornd(10,0.5) R= 3 && R=binornd(10,0.5,1,6) R= 8 1 3 7 && R=binornd(10,0.5,[1,10]) R= 6 8 4 6 && R=binornd(10,0.5,[2,3]) R= 7 5 8 6 5 6 &&n = 10:10:60; &&r1 = binornd(n,1./n) r1 = 2 1 0 1 &&r2 = binornd(n,1./n,[1 6]) r2 = 0 1 2 16475356212311 MATLAB6.0 数学手册4.1.2? 1 正态分布的随机数据的产生（ e 正态分布的随机数据的产生（ p ( x ) = 2πσ( x ? ? )22σ 2, x ∈ R ）,记作 记作x ~ N (? , σ )命令 参数为μ、σ的正态分布的随机数据 函数 normrnd 格式 R = normrnd(MU,SIGMA) %返回均值为 MU，标准差为 SIGMA 的正态分布的 随机数据。 R = normrnd(MU,SIGMA,m,n) %m,n 分别表示 R 的行数和列数 例 4-2&&n1 = normrnd(1:6,1./(1:6)) n1 = 2.4 3.9 4.7 &&n2 = normrnd(0,1,[1 5]) n2 = 0.1 0.7 -1.4462 &&n3 = normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3) %mu 为均值矩阵 n3 = 0.1 2.6 5.4 && R=normrnd(10,0.5,[2,3]) %mu 为 10，sigma 为 0.5 的 2 行 3 列个正态随机数 R= 9.7 9.2 10.54.1.3常见分布的随机数产生常见分布的随机数的使用格式与上面相同表 4-1 函数名 Unifrnd Unidrnd Exprnd Normrnd chi2rnd Trnd Frnd gamrnd betarnd lognrnd nbinrnd ncfrnd nctrnd ncx2rnd raylrnd weibrnd 调用形式 unifrnd ( A,B,m,n) unidrnd(N,m,n) exprnd(Lamda,m,n) normrnd(MU,SIGMA,m,n) chi2rnd(N,m,n) trnd(N,m,n) frnd(N1, N2,m,n) gamrnd(A, B,m,n) betarnd(A, B,m,n) lognrnd(MU, SIGMA,m,n) nbinrnd(R, P,m,n) ncfrnd(N1, N2, delta,m,n) nctrnd(N, delta,m,n) ncx2rnd(N, delta,m,n) raylrnd(B,m,n) weibrnd(A, B,m,n) 随机数产生函数表 注 释 [A,B]上均匀分布(连续) 随机数 均匀分布（离散）随机数 参数为 Lamda 的指数分布随机数 参数为 MU，SIGMA 的正态分布随机数 自由度为 N 的卡方分布随机数 自由度为 N 的 t 分布随机数 第一自由度为 N1,第二自由度为 N2 的 F 分布随机数 参数为 A, B 的 γ 分布随机数 参数为 A, B 的 β 分布随机数 参数为 MU, SIGMA 的对数正态分布随机数 参数为 R，P 的负二项式分布随机数 参数为 N1，N2，delta 的非中心 F 分布随机数 参数为 N，delta 的非中心 t 分布随机数 参数为 N，delta 的非中心卡方分布随机数 参数为 B 的瑞利分布随机数 参数为 A, B 的韦伯分布随机数2 第4章 binornd geornd hygernd Poissrnd binornd(N,P,m,n) geornd(P,m,n) hygernd(M,K,N,m,n) poissrnd(Lambda,m,n)概率统计参数为 N, p 的二项分布随机数 参数为 p 的几何分布随机数 参数为 M，K，N 的超几何分布随机数 参数为 Lambda 的泊松分布随机数4.1.4通用函数求各分布的随机数据命令 求指定分布的随机数 函数 random 格式 y = random('name',A1,A2,A3,m,n) 例 4-3%name 的取值见表 4-2；A1，A2，A3 为分 布的参数；m，n 指定随机数的行和列 产生 12（3 行 4 列）个均值为 2，标准差为 0.3 的正态分布随机数2.0 2.0178&& y=random('norm',2,0.3,3,4) y= 2.4 1.7 1.0 2.7 1.95914.24.2.1随机变量的概率密度计算通用函数计算概率密度函数值命令 通用函数计算概率密度函数值 函数 pdf 格式 Y=pdf(‘name’，K，A)Y=pdf(‘name’，K，A，B) Y=pdf(‘name’，K，A，B，C)说明 返回在 X=K 处、参数为 A、B、C 的概率密度值，对于不同的分布，参数个数是 不同；name 为分布函数名，其取值如表 4-2。表 4-2 'beta' 'bino' 'chi2' 'exp' 'f' 'gam' 'geo' 'hyge' 'logn' 'nbin' 'ncf' 'nct' 'ncx2' 'norm' 'poiss' 或 或 或 或 或 或 或 或 或 或 或 或 或 或 或 常见分布函数表 函数说明 Beta 分布 二项分布 卡方分布 指数分布 F 分布 GAMMA 分布 几何分布 超几何分布 对数正态分布 负二项式分布 非中心 F 分布 非中心 t 分布 非中心卡方分布 正态分布 泊松分布name 的取值 'Beta' 'Binomial' 'Chisquare' 'Exponential' 'F' 'Gamma' 'Geometric' 'Hypergeometric' 'Lognormal' 'Negative Binomial' 'Noncentral F' 'Noncentral t' 'Noncentral Chi-square' 'Normal' 'Poisson'3 MATLAB6.0 数学手册 'rayl' 't' 'unif' 'unid' 'weib' 或 或 或 或 或 'Rayleigh' 'T' 'Uniform' 'Discrete Uniform' 'Weibull' 瑞利分布 T 分布 均匀分布 离散均匀分布 Weibull 分布例如二项分布：设一次试验，事件 A 发生的概率为 p，那么，在 n 次独立重复试验中， 事件 A 恰好发生 K 次的概率 P_K 为：P_K=P{X=K}=pdf('bino'，K，n，p) 例 4-4 计算正态分布 N（0，1）的随机变量 X 在点 0.6578 的密度函数值。 解：&& pdf('norm',0.)ans = 0.3213例 4-5 自由度为 8 的卡方分布，在点 2.18 处的密度函数值。 解：&& pdf('chi2',2.18,8)ans = 0.03634.2.2专用函数计算概率密度函数值命令 二项分布的概率值 函数 binopdf 格式 binopdf (k, n, p) %等同于 pdf (′ bino′ K, n, p) ， p ― 每次试验事件 A 发生的概 率；K―事件 A 发生 K 次；n―试验总次数 命令 泊松分布的概率值 函数 poisspdf 格式 poisspdf(k, Lambda) %等同于 pdf (′poiss′, K, Lamda) 命令 正态分布的概率值 函数 normpdf(K,mu,sigma) %计算参数为μ=mu，σ=sigma 的正态分布密度函数在 K 处的值 专用函数计算概率密度函数列表如表 4-3。表 4-3 函数名 Unifpdf unidpdf Exppdf normpdf chi2pdf Tpdf Fpdf gampdf betapdf lognpdf nbinpdf Ncfpdf Nctpdf ncx2pdf raylpdf 调用形式 unifpdf (x, a, b) Unidpdf(x,n) exppdf(x, Lambda) normpdf(x, mu, sigma) chi2pdf(x, n) tpdf(x, n) fpdf(x, n1, n2) gampdf(x, a, b) betapdf(x, a, b) lognpdf(x, mu, sigma) nbinpdf(x, R, P) ncfpdf(x, n1, n2, delta) nctpdf(x, n, delta) ncx2pdf(x, n, delta) raylpdf(x, b) 专用函数计算概率密度函数表注 释 [a,b]上均匀分布(连续)概率密度在 X=x 处的函数值 均匀分布（离散）概率密度函数值 参数为 Lambda 的指数分布概率密度函数值 参数为 mu，sigma 的正态分布概率密度函数值 自由度为 n 的卡方分布概率密度函数值 自由度为 n 的 t 分布概率密度函数值 第一自由度为 n1,第二自由度为 n2 的 F 分布概率密度函数值 参数为 a, b 的 γ 分布概率密度函数值 参数为 a, b 的 β 分布概率密度函数值 参数为 mu, sigma 的对数正态分布概率密度函数值 参数为 R，P 的负二项式分布概率密度函数值 参数为 n1，n2，delta 的非中心 F 分布概率密度函数值 参数为 n，delta 的非中心 t 分布概率密度函数值 参数为 n，delta 的非中心卡方分布概率密度函数值 参数为 b 的瑞利分布概率密度函数值4 第4章 weibpdf binopdf geopdf hygepdf poisspdf weibpdf(x, a, b) binopdf(x,n,p) geopdf(x,p) hygepdf(x,M,K,N) poisspdf(x,Lambda)概率统计参数为 a, b 的韦伯分布概率密度函数值 参数为 n, p 的二项分布的概率密度函数值 参数为 p 的几何分布的概率密度函数值 参数为 M，K，N 的超几何分布的概率密度函数值 参数为 Lambda 的泊松分布的概率密度函数值例 4-6绘制卡方分布密度函数在自由度分别为 1、5、15 的图形&& x=0:0.1:30; && y1=chi2pdf(x,1); plot(x,y1,':') && hold on && y2=chi2pdf(x,5);plot(x,y2,'+') && y3=chi2pdf(x,15);plot(x,y3,'o') && axis([0,30,0,0.2]) %指定显示的图形区域则图形为图 4-1。4.2.3常见分布的密度函数作图1．二项分布 例 4-7&&x = 0:10; &&y = binopdf(x,10,0.5); &&plot(x,y,'+') 图 4-12．卡方分布 例 4-8&& x = 0:0.2:15; &&y = chi2pdf(x,4); &&plot(x,y)0.25 0.2 0.150.20.150.10.1 0.05 0 0 2 4 6 8 100.050 0 5 10 15图 4-23．非中心卡方分布 例 4-9&&x = (0:0.1:10)'; &&p1 = ncx2pdf(x,4,2); &&p = chi2pdf(x,4); &&plot(x,p,'--',x,p1,'-')4．指数分布 例 4-10&&x = 0:0.1:10; &&y = exppdf(x,2); &&plot(x,y)5 MATLAB6.0 数学手册0.20.50.150.40.10.3 0.20.050.10 0 2 4 6 8 100 0 2 4 6 8 10图 4-35．F 分布 例 4-11&&x = 0:0.01:10; &&y = fpdf(x,5,3); &&plot(x,y)6．非中心 F 分布 例 4-12&&x = (0.01:0.1:10.01)'; &&p1 = ncfpdf(x,5,20,10); &&p = fpdf(x,5,20); &&plot(x,p,'--',x,p1,'-')0.80.80.60.60.40.4 0.2 0 0 2 4 6 8 100.20 0 2 4 6 8 10 12图 4-47．Γ分布 例 4-13&&x = gaminv((0.005:0.01:0.995),100,10); &&y = gampdf(x,100,10); &&y1 = normpdf(x,); &&plot(x,y,'-',x,y1,'-.')8．对数正态分布 例 4-14&&x = (10:)'; &&y = lognpdf(x,log(2); &&plot(x,y) &&set(gca,'xtick',[0
]) &&set(gca,'xticklabel',str2mat('0','$30,000','$60,000',… '$90,000','$120,000'))6 第4章概率统计x 10 3.5 3-5x 10 5 4 3 2 1 0 700-32.5 2 1.5 1 0.5 0 08009001000110012001300$30,000$60,000$90,000$120,000图 4-59．负二项分布 例 4-15&&x = (0:10); &&y = nbinpdf(x,3,0.5); &&plot(x,y,'+')10．正态分布 例 4-16&& x=-3:0.2:3; && y=normpdf(x,0,1); && plot(x,y)0.20.40.150.30.10.20.050.10 0 2 4 6 8 100 -3-2-10123图 4-611．泊松分布 例 4-17&&x = 0:15; &&y = poisspdf(x,5); &&plot(x,y,'+')12．瑞利分布 例 4-18&&x = [0:0.01:2]; &&p = raylpdf(x,0.5); &&plot(x,p)7 MATLAB6.0 数学手册0.21.50.15 1 0.1 0.5 0.050 0 5 10 150 0 0.5 1 1.5 2图 4-713．T 分布 例 4-19&&x = -5:0.1:5; &&y = tpdf(x,5); &&z = normpdf(x,0,1); &&plot(x,y,'-',x,z,'-.')14．威布尔分布 例 4-20&& t=0:0.1:3; && y=weibpdf(t,2,2); && plot(y)0.41.50.310.20.50.10 -500 505101520253035图 4-84.34.3.1随机变量的累积概率值(分布函数值 随机变量的累积概率值 分布函数值) 分布函数值通用函数计算累积概率值 通用函数计算累积概率值命令 通用函数 cdf 用来计算随机变量 X ≤ K 的概率之和（累积概率值） 函数 cdfcdf (′name′, K, A) cdf (′name′, K, A, B) cdf (′name′, K, A, B, C) 说明 返回以 name 为分布、随机变量 X≤K 的概率之和的累积概率值，name 的取值见 表 4-1 常见分布函数表 例 4-21 求标准正态分布随机变量 X 落在区间(-∞，0.4)内的概率（该值就是概率统计格式8 第4章概率统计教材中的附表：标准正态数值表） 。 解：&& cdf('norm',0.4,0,1) ans = 0.6554例 4-22求自由度为 16 的卡方分布随机变量落在[0，6.91]内的概率&& cdf('chi2',6.91,16) ans = 0.02504.3.2专用函数计算累积概率值（ 的概率之和） 专用函数计算累积概率值（随机变量 X ≤ K 的概率之和）命令 二项分布的累积概率值 函数 binocdf 格式 binocdf (k, n, p) %n 为试验总次数，p 为每次试验事件 A 发生的概率，k 为 n 次试验中事件 A 发生的次数， 该命令返回 n 次试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率。 命令 正态分布的累积概率值 函数 normcdf 格式 normcdf( x, mu, sigma ) %返回 F(x)= ∫? ∞ p(t)dt 的值，mu、sigma 为正态分布的 两个参数 例 4-23 设 X~N（3, 2 ）2xP{?4 & X & 10}, P{ X & 2}, P{X & 3} （2）确定 c，使得 P{X & c} = P{X & c} 解（1） p1= P{2 & X & 5} p2= P{?4 & X & 10} p3= P{ X & 2} = 1 ? P{ X ≤ 2} p4= P{ X & 3} = 1 ? P{ X ≤ 3} 则有：&&p1=normcdf(5,3,2)-normcdf(2,3,2) p1 = 0.5328 &&p2=normcdf(10,3,2)-normcdf(-4,3,2) p2 = 0.9995 &&p3=1-normcdf(2,3,2)-normcdf(-2,3,2) p3 = 0.6853 &&p4=1-normcdf(3,3,2) p4 = 0.5000（1）求 P{2 & X & 5},专用函数计算累积概率值函数列表如表 4-4。表 4-4 函数名 unifcdf 调用形式 unifcdf (x, a, b) 专用函数的累积概率值函数表注 释 [a,b]上均匀分布(连续)累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}9 MATLAB6.0 数学手册 unidcdf expcdf normcdf chi2cdf tcdf fcdf gamcdf betacdf logncdf nbincdf ncfcdf nctcdf ncx2cdf raylcdf weibcdf binocdf geocdf hygecdf poisscdf unidcdf(x,n) expcdf(x, Lambda) normcdf(x, mu, sigma) chi2cdf(x, n) tcdf(x, n) fcdf(x, n1, n2) gamcdf(x, a, b) betacdf(x, a, b) logncdf(x, mu, sigma) nbincdf(x, R, P) ncfcdf(x, n1, n2, delta) nctcdf(x, n, delta) ncx2cdf(x, n, delta) raylcdf(x, b) weibcdf(x, a, b) binocdf(x,n,p) geocdf(x,p) hygecdf(x,M,K,N) poisscdf(x,Lambda) 均匀分布（离散）累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 参数为 Lambda 的指数分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 参数为 mu，sigma 的正态分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 自由度为 n 的卡方分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 自由度为 n 的 t 分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 第一自由度为 n1,第二自由度为 n2 的 F 分布累积分布函数值 参数为 a, b 的 γ 分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 参数为 a, b 的 β 分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 参数为 mu, sigma 的对数正态分布累积分布函数值 参数为 R，P 的负二项式分布概累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 参数为 n1，n2，delta 的非中心 F 分布累积分布函数值 参数为 n，delta 的非中心 t 分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 参数为 n，delta 的非中心卡方分布累积分布函数值 参数为 b 的瑞利分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 参数为 a, b 的韦伯分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 参数为 n, p 的二项分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 参数为 p 的几何分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 参数为 M，K，N 的超几何分布的累积分布函数值 参数为 Lambda 的泊松分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}说明 累积概率函数就是分布函数 F(x)=P{X≤x}在 x 处的值。4.4随机变量的逆累积分布函数MATLAB 中的逆累积分布函数是已知 F(x) = P{X ≤ x} ，求 x。 逆累积分布函数值的计算有两种方法4.4.1通用函数计算逆累积分布函数值icdf 计算逆累积分布函数命令格式 icdf (′name′, P, a1, a 2 , a 3) 说明 返回分布为 name，参数为 a1, a 2, a 3 ，累积概率值为 P 的临界值，这里 name 与前 面表 4.1 相同。 如果 P = cdf (′name′, x, a1, a 2 , a 3 ) ，则 x = icdf (′name′, P, a1, a 2 , a 3) 例 4-24 在标准正态分布表中，若已知 Φ(x) =0.975，求 x 解：&& x=icdf('norm',0.975,0,1)x= 1.9600例 4-25在 χ2 分布表中，若自由度为 10， α =0.975，求临界值 Lambda。解：因为表中给出的值满足 P{χ2 & λ} = α ，而逆累积分布函数 icdf 求满足 P{χ2 & λ} = α 的临界值 λ 。所以，这里的 α 取为 0.025，即&& Lambda=icdf('chi2',0.025,10) Lambda = 3.2470例 4-26 在假设检验中，求临界值问题： 已知： α = 0.05 ，查自由度为 10 的双边界检验 t 分布临界值&&lambda=icdf('t',0.025,10)10 第4章 lambda = -2.2281概率统计4.4.2专用函数-inv 计算逆累积分布函数 专用函数命令 正态分布逆累积分布函数 函数 norminv 格式 X=norminv(p,mu,sigma) %p 为累积概率值，mu 为均值，sigma 为标准差，X 为临界值，满足：p=P{X≤x}。 例 4-27 设 X ~ N (3, 2 2) ，确定 c 使得 P{X & c} = P{X & c} 。 解：由 P{X & c} = P{X & c} 得， P{X & c} = P{X & c} =0.5，所以&&X=norminv(0.5, 3, 2) X= 3关于常用临界值函数可查下表 4-5。表 4-5 函数名 unifinv unidinv expinv norminv chi2inv tinv finv gaminv betainv logninv nbininv ncfinv nctinv ncx2inv raylinv weibinv binoinv geoinv hygeinv poissinv 调用形式 x=unifinv (p, a, b) x=unidinv (p,n) x=expinv (p, Lambda) x=Norminv(x,mu,sigma) x=chi2inv (x, n) x=tinv (x, n) x=finv (x, n1, n2) x=gaminv (x, a, b) x=betainv (x, a, b) x=logninv (x, mu, sigma) x=nbininv (x, R, P) x=ncfinv (x, n1, n2, delta) x=nctinv (x, n, delta) x=ncx2inv (x, n, delta) x=raylinv (x, b) x=weibinv (x, a, b) x=binoinv (x,n,p) x=geoinv (x,p) x=hygeinv (x,M,K,N) x=poissinv (x,Lambda) 常用临界值函数表注 释 均匀分布(连续)逆累积分布函数（P=P{X≤x}，求 x） 均匀分布（离散）逆累积分布函数，x 为临界值 指数分布逆累积分布函数 正态分布逆累积分布函数 卡方分布逆累积分布函数 t 分布累积分布函数 F 分布逆累积分布函数 γ 分布逆累积分布函数 β 分布逆累积分布函数 对数正态分布逆累积分布函数 负二项式分布逆累积分布函数 非中心 F 分布逆累积分布函数 非中心 t 分布逆累积分布函数 非中心卡方分布逆累积分布函数 瑞利分布逆累积分布函数 韦伯分布逆累积分布函数 二项分布的逆累积分布函数 几何分布的逆累积分布函数 超几何分布的逆累积分布函数 泊松分布的逆累积分布函数例 4-28 公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过 1%设计的。设男 子身高 X（单位：cm）服从正态分布 N（175，36） ，求车门的最低高度。 解：设 h 为车门高度，X 为身高 求满足条件 P{X & h} ≤ 0.01 的 h，即 P{X & h} ≥ 0.99 ，所以&&h=norminv(0.99, 175, 6) h= 188.9581例 4-29 卡方分布的逆累积分布函数的应用 在 MATLAB 的编辑器下建立 M 文件如下： n=5; a=0.9; %n 为自由度，a 为置信水平或累积概率11 MATLAB6.0 数学手册x_a=chi2inv(a,n)；%x_a 为临界值x=0:0.1:15; yd_c=chi2pdf(x,n)； %计算 χ2 (5) 的概率密度函数值，供绘图用 plot(x,yd_c,'b'), hold on %绘密度函数图形 xxf=0:0.1:x_a; yyf=chi2pdf(xxf,n)； %计算[0，x_a]上的密度函数值，供填色用 fill([xxf,x_a], [yyf,0], 'g') %填色，其中：点(x_a, 0)使得填色区域封闭 text(x_a*1.01,0.01, num2str(x_a)) %标注临界值点 text(10,0.10, ['\fontsize{16}X~{\chi}^2(4)']) %图中标注 text(1.5,0.05, '\fontsize{22}alpha=0.9' ) %图中标注 结果显示如图 4-9。图 4-94.54.5.1 平均值、 平均值、中值随机变量的数字特征命令 利用 mean 求算术平均值 格式 mean(X) %X 为向量，返回 X 中各元素的平均值 mean(A) %A 为矩阵，返回 A 中各列元素的平均值构成的向量 mean(A,dim) %在给出的维数内的平均值 说明 X 为向量时，算术平均值的数学含义是 x = 1 ∑ x i ，即样本均值。 n i =1 例 4-30&& A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5] A= 1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 && mean(A) ans = 1.0 3.0000 && mean(A,1) ans = 1.0 3.0000n5.33335.3333命令 忽略 NaN 计算算术平均值 格式 nanmean(X) %X 为向量，返回 X 中除 NaN 外元素的算术平均值。 nanmean(A) %A 为矩阵，返回 A 中各列除 NaN 外元素的算术平均值向量。 例 4-31&& A=[1 2 3;nan 5 2;3 7 nan] A= 1 2 3 NaN 5 212 第4章 3 7 NaN && nanmean(A) ans = 2.7概率统计2.5000命令 利用 median 计算中值（中位数） 格式 median(X) %X 为向量，返回 X 中各元素的中位数。 median(A) %A 为矩阵，返回 A 中各列元素的中位数构成的向量。 median(A,dim) %求给出的维数内的中位数 例 4-32&& A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5] A= 1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 && median(A) ans = 1 3 4 5命令 忽略 NaN 计算中位数 格式 nanmedian(X) %X 为向量，返回 X 中除 NaN 外元素的中位数。 nanmedian(A) %A 为矩阵，返回 A 中各列除 NaN 外元素的中位数向量。 例 4-33&& A=[1 2 3;nan 5 2;3 7 nan] A= 1 2 3 NaN 5 2 3 7 NaN && nanmedian(A) ans = 2.0 2.5000命令 利用 geomean 计算几何平均数 格式 M=geomean(X) %X 为向量，返回 X 中各元素的几何平均数。 M=geomean(A) %A 为矩阵，返回 A 中各列元素的几何平均数构成的向量。 说明 几何平均数的数学含义是 M = (∏ x i ) n ，其中：样本数据非负，主要用于对数正1ni =1态分布。 例 4-34&& B=[1 3 4 5] B= 1 3 4 5 && M=geomean(B) M= 2.7832 && A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5] A= 1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 && M=geomean(A)13 MATLAB6.0 数学手册 M= 1.0 2.3命令 利用 harmmean 求调和平均值 格式 M=harmmean(X) %X 为向量，返回 X 中各元素的调和平均值。 M=harmmean(A) %A 为矩阵，返回 A 中各列元素的调和平均值构成的向量。 说明 调和平均值的数学含义是 M =n 1 ∑ xi i =1n，其中：样本数据非 0，主要用于严重偏斜分布。 例 4-35&& B=[1 3 4 5] B= 1 3 4 5 && M=harmmean(B) M= 2.2430 && A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5] A= 1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 && M=harmmean(A) M= 1.0 2.00005.29414.5.2数据比较命令 排序 格式 Y=sort(X) %X 为向量，返回 X 按由小到大排序后的向量。 Y=sort(A) %A 为矩阵，返回 A 的各列按由小到大排序后的矩阵。 [Y,I]=sort(A) % Y 为排序的结果，I 中元素表示 Y 中对应元素在 A 中位置。 sort(A,dim) %在给定的维数 dim 内排序 说明 若 X 为复数，则通过|X|排序。 例 4-36&& A=[1 2 3;4 5 2;3 7 0] A= 1 2 3 4 5 2 3 7 0 && sort(A) ans = 1 2 0 3 5 2 4 7 3 && [Y,I]=sort(A) Y= 1 2 0 3 5 2 4 7 314 第4章 I= 1 3 2 1 2 3 3 2 1概率统计%A 为矩阵，返回矩阵 Y，Y 按 A 的第 1 列由小到大，以 行方式排序后生成的矩阵。 Y=sortrows(A, col) %按指定列 col 由小到大进行排序 [Y,I]=sortrows(A, col) % Y 为排序的结果， 表示 Y 中第 col 列元素在 A 中位置。 I 说明 若 X 为复数，则通过|X|的大小排序。 例 4-37&& A=[1 2 3;4 5 2;3 7 0] A= 1 2 3 4 5 2 3 7 0 && sortrows(A) ans = 1 2 3 3 7 0 4 5 2 && sortrows(A,1) ans = 1 2 3 3 7 0 4 5 2 && sortrows(A,3) ans = 3 7 0 4 5 2 1 2 3 && sortrows(A,[3 2]) ans = 3 7 0 4 5 2 1 2 3 && [Y,I]=sortrows(A,3) Y= 3 7 0 4 5 2 1 2 3 I= 3 2 1命令 按行方式排序 函数 sortrows 格式 Y=sortrows(A)命令 求最大值与最小值之差 函数 range 格式 Y=range(X) %X 为向量，返回 X 中的最大值与最小值之差。 Y=range(A) %A 为矩阵，返回 A 中各列元素的最大值与最小值之差。 例 4-38&& A=[1 2 3;4 5 2;3 7 0] A=15 MATLAB6.0 数学手册 1 2 4 5 3 7 && Y=range(A) Y= 3 5 3 2 0 34.5.3期望命令 计算样本均值 函数 mean 格式 用法与前面一样 例 4-39 随机抽取 6 个滚珠测得直径如下： （直径：mm）14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32试求样本平均值 解：&&X=[14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32]；&&mean(X) %计算样本均值则结果如下：ans = 15.0600命令 由分布律计算均值 利用 sum 函数计算 例 4-40 设随机变量 X 的分布律为：X P -2 0.3 -1 0.1 0 0.2 1 0.1 2 0.3求 E (X) E(X2-1) 解：在 Matlab 编辑器中建立 M 文件如下：X=[-2 -1 0 1 2]; p=[0.3 0.1 0.2 0.1 0.3]; EX=sum(X.*p) Y=X.^2-1 EY=sum(Y.*p)运行后结果如下：EX = 0 Y= 3 0 EY = 1. 34.5.4方差命令 求样本方差 函数 varn 格式 D=var(X) %var(X)= s2 = 1 ∑ (x i ? X)2 ,若 X 为向量， 则返回向量的样本方差。 n ? 1 i =1D=var(A) D=var(X, 1)%A 为矩阵，则 D 为 A 的列向量的样本方差构成的行向量。 %返回向量（矩阵）X 的简单方差（即置前因子为 1 的方差） n16 第4章概率统计D=var(X, w) 命令 求标准差 函数 std 格式 std(X)%返回向量（矩阵）X 的以 w 为权重的方差%返回向量（矩阵）X 的样本标准差（置前因子为 1 ）即： n ?1std = 1 n x ?X n ?1∑ i i =1std(X,1)%返回向量（矩阵）X 的标准差（置前因子为1 ） nstd(X, 0) %与 std (X)相同 std(X, flag, dim) %返回向量（矩阵）中维数为 dim 的标准差值，其中 flag=0 时，置前因子为 1 ；否则置前因子为 1 。 n ?1 n 例 4-41 解：&&X=[14.7 15.21 14.9 14.91 15.32 15.32]; &&DX=var(X,1) %方差 DX = 0.0559 &&sigma=std(X,1) %标准差 sigma = 0.2364 &&DX1=var(X) %样本方差 DX1 = 0.0671 &&sigma1=std(X) %样本标准差 sigma1 = 0.2590求下列样本的样本方差和样本标准差，方差和标准差15.32 15.3214.70 15.21 14.90命令 忽略 NaN 的标准差 函数 nanstd 格式 y = nanstd(X) %若 X 为含有元素 NaN 的向量， 则返回除 NaN 外的元素的标准 差，若 X 为含元素 NaN 的矩阵，则返回各列除 NaN 外的标准差 构成的向量。 例 4-42&& M=magic(3) %产生 3 阶魔方阵 M= 8 1 6 3 5 7 4 9 2 && M([1 6 8])=[NaN NaN NaN] %替换 3 阶魔方阵中第 1、6、8 个元素为 NaN M= NaN 1 6 3 5 NaN 4 NaN 2 && y=nanstd(M) %求忽略 NaN 的各列向量的标准差17 MATLAB6.0 数学手册 y= 0.7071 && X=[1 5]; && y2=std(X) y2 = 2.4 2.8284 %忽略 NaN 的第 2 列元素 %验证第 2 列忽略 NaN 元素的标准差%X 为向量，返回 X 的元素的偏斜度；X 为矩阵，返回 X 各 列元素的偏斜度构成的行向量。 y = skewness(X,flag) %flag=0 表示偏斜纠正，flag=1（默认）表示偏斜不纠正。 说明 偏斜度样本数据关于均值不对称的一个测度，如果偏斜度为负，说明均值左边的 数据比均值右边的数据更散； 如果偏斜度为正， 说明均值右边的数据比均值左边的数据更散， 因而正态分布的偏斜度为 0；偏斜度是这样定义的： y =命令 样本的偏斜度 函数 skewness 格式 y = skewness(X)E(x ? ?)3 σ3 其中：μ为 x 的均值，σ为 x 的标准差，E(.)为期望值算子 例 4-43&& X=randn([5,4]) X= 0.0 -1.0 0.7 1.0 -0.1 && y=skewness(X) y= -0.6 && y=skewness(X,0) y= -0.4 -0.0 0.9 1.6 1.5 -0.7-0.8865-0.2652-1.3216-0.39544.5.5常见分布的期望和方差命令 均匀分布（连续）的期望和方差 函数 unifstat 格式 [M,V] = unifstat(A,B) %A、B 为标量时，就是区间上均匀分布的期望和方差， A、B 也可为向量或矩阵，则 M、V 也是向量或矩阵。 例 4-44&&a = 1:6; b = 2.*a; &&[M,V] = unifstat(a,b) M= 1.0 V= 0.34.06.37.39.0命令 正态分布的期望和方差 函数 normstat 格式 [M,V] = normstat(MU,SIGMA)%MU、SIGMA 可为标量也可为向量或矩阵， 则 M=MU，V=SIGMA2。18 第4章概率统计例 4-45&& n=1:4; && [M,V]=normstat(n'*n,n'*n) M= 1 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12 4 8 12 16 V= 1 4 9 16 4 16 36 64 9 36 81 144 16 64 144 256命令 二项分布的均值和方差 函数 binostat 格式 [M,V] = binostat(N,P) 例 4-46%N，P 为二项分布的两个参数，可为标量也可为向量 或矩阵。&&n = logspace(1,5,5) n= 10 100 1000 &&[M,V] = binostat(n,1./n) M= 1 1 1 1 1 V= 0.0 0.9 &&[m,v] = binostat(n,1/2) m= 5 50 500 v= 1.0e+04 * 0.5 0.0100001000001..常见分布的期望和方差见下表 4-6。表 4-6 函数名 unifstat unidstat expstat normstat chi2stat tstat fstat gamstat betastat lognstat nbinstat ncfstat nctstat ncx2stat raylstat 调用形式 [M,V]=unifstat ( a, b) [M,V]=unidstat (n) [M,V]=expstat (p, Lambda) [M,V]=normstat(mu,sigma) [M,V]=chi2stat (x, n) [M,V]=tstat ( n) [M,V]=fstat ( n1, n2) [M,V]=gamstat ( a, b) [M,V]=betastat ( a, b) [M,V]=lognstat ( mu, sigma) [M,V]=nbinstat ( R, P) [M,V]=ncfstat ( n1, n2, delta) [M,V]=nctstat ( n, delta) [M,V]=ncx2stat ( n, delta) [M,V]=raylstat ( b) 常见分布的均值和方差 注 释 均匀分布(连续)的期望和方差，M 为期望，V 为方差 均匀分布（离散）的期望和方差 指数分布的期望和方差 正态分布的期望和方差 卡方分布的期望和方差 t 分布的期望和方差 F 分布的期望和方差 γ 分布的期望和方差 β 分布的期望和方差 对数正态分布的期望和方差 负二项式分布的期望和方差 非中心 F 分布的期望和方差 非中心 t 分布的期望和方差 非中心卡方分布的期望和方差 瑞利分布的期望和方差19 MATLAB6.0 数学手册 Weibstat Binostat Geostat hygestat Poisstat [M,V]=weibstat ( a, b) [M,V]=binostat (n,p) [M,V]=geostat (p) [M,V]=hygestat (M,K,N) [M,V]=poisstat (Lambda) 韦伯分布的期望和方差 二项分布的期望和方差 几何分布的期望和方差 超几何分布的期望和方差 泊松分布的期望和方差4.5.6协方差与相关系数命令 协方差 函数 cov 格式 cov(X) cov(A) cov(X,Y) 例 4-47%求向量 X 的协方差 %求矩阵 A 的协方差矩阵， 该协方差矩阵的对角线元素是 A 的各列的 方差，即：var(A)=diag(cov(A))。 %X,Y 为等长列向量，等同于 cov([X Y])。&& X=[0 -1 1]';Y=[1 2 2]'； && C1=cov(X) %X 的协方差 C1 = 1 && C2=cov(X,Y) %列向量 X、Y 的协方差矩阵，对角线元素为各列向量的方差 C2 = 1. 0.3333 && A=[1 2 3;4 0 -1;1 7 3] A= 1 2 3 4 0 -1 1 7 3 && C1=cov(A) %求矩阵 A 的协方差矩阵 C1 = 3.0 -4.0 13.0 -4.0 5.3333 && C2=var(A(:,1)) %求 A 的第 1 列向量的方差 C2 = 3 && C3=var(A(:,2)) %求 A 的第 2 列向量的方差 C3 = 13 && C4=var(A(:,3)) C4 = 5.3333命令 相关系数 函数 corrcoef 格式 corrcoef(X,Y) corrcoef (A) 例 4-48%返回列向量 X,Y 的相关系数，等同于 corrcoef([X Y])。 %返回矩阵 A 的列向量的相关系数矩阵&& A=[1 2 3;4 0 -1;1 3 9] A= 1 2 3 4 0 -1 1 3 920 第4章概率统计&& C1=corrcoef(A) %求矩阵 A 的相关系数矩阵 C1 = 1.9 -0.9 1.8 -0.8 1.0000 && C1=corrcoef(A(:,2),A(:,3)) %求 A 的第 2 列与第 3 列列向量的相关系数矩阵 C1 = 1.8 0.04.64.6.1 正整数的频率表统计作图命令 正整数的频率表 函数 tabulate 格式 table = tabulate(X) 例 4-49%X 为正整数构成的向量，返回 3 列：第 1 列中包含 X 的值 第 2 列为这些值的个数，第 3 列为这些值的频率。&& A=[1 2 2 5 6 3 8] A= 1 2 2 5 6 && tabulate(A) Value Count Percent 1 1 14.29% 2 2 28.57% 3 1 14.29% 4 0 0.00% 5 1 14.29% 6 1 14.29% 7 0 0.00% 8 1 14.29%384.6.2经验累积分布函数图形%作样本 X（向量）的累积分布函数图形 %h 表示曲线的环柄 %stats 表示样本的一些特征Em pirica l CDF 1 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 F(x) 0 .5 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1 0 -2 -1.5 -1 -0.5 0 x 0.5 1 1.5 2函数 cdfplot 格式 cdfplot(X) h = cdfplot(X) [h,stats] = cdfplot(X) 例 4-50&& X=normrnd (0,1,50,1); && [h,stats]=cdfplot(X) h= 3.0013 stats = min: -1.8740 %样本最小值 max: 1.6924 %最大值 mean: 0.0565 %平均值 median: 0.1032 %中间值 std: 0.7559 %样本标准差图 4-1021 MATLAB6.0 数学手册4.6.3最小二乘拟合直线20函数 lsline 格式 lsline h = lsline 例 4-51%最小二乘拟合直线 %h 为直线的句柄18 16 14 12 10 8 6 4&& X = [2 3.4 5.6 8 11 12.3 13.8 16 18.8 19.9]'; && plot(X,'+') && lsline4.6.4绘制正态分布概率图形2 0246810%若 X 为向量，则显示正态分布概率图形，若 X 为矩阵，则显 示每一列的正态分布概率图形。 h = normplot(X) %返回绘图直线的句柄 说明 样本数据在图中用“+”显示；如果数据来自正态分布，则图形显示为直线，而 其它分布可能在图中产生弯曲。 例 4-53&& X=normrnd(0,1,50,1); && normplot(X)函数 normplot 格式 normplot(X)图 4-11图 4-124.6.5绘制威布尔(Weibull)概率图形 概率图形 绘制威布尔%若 X 为向量，则显示威布尔(Weibull)概率图形，若 X 为矩阵， 则显示每一列的威布尔概率图形。 h = weibplot(X) %返回绘图直线的柄 说明 绘制威布尔(Weibull)概率图形的目的是用图解法估计来自威布尔分布的数据 X， 如果 X 是威布尔分布数据，其图形是直线的，否则图形中可能产生弯曲。 例 4-54&& r = weibrnd(1.2,1.5,50,1); && weibplot(r)函数 weibplot 格式 weibplot(X)22 第4章概率统计W e ibull Probability Plot 0.99 0.96 0.90 0.75 0.50 Probability 0.25 0.10 0.05 0.02 0.01-1 01010 Data图 4-134.6.6样本数据的盒图函数 boxplot 格式 boxplot(X)%产生矩阵 X 的每一列的盒图和“须”图， “须”是从盒的尾部延 伸出来，并表示盒外数据长度的线，如果“须”的外面没有数据， 则在“须”的底部有一个点。 boxplot(X,notch) %当 notch=1 时，产生一凹盒图，notch=0 时产生一矩箱图。 boxplot(X,notch,'sym') %sym 表示图形符号，默认值为“+” 。 boxplot(X,notch,'sym',vert) %当 vert=0 时，生成水平盒图，vert=1 时，生成竖 直盒图（默认值 vert=1） 。 boxplot(X,notch,'sym',vert,whis) %whis 定义“须”图的长度，默认值为 1.5，若 whis=0 则 boxplot 函数通过绘制 sym 符号图来显示盒外的所有数据值。 例 4-55&&x1 = normrnd(5,1,100,1); &&x2 = normrnd(6,1,100,1); &&x = [x1 x2]; && boxplot(x,1,'g+',1,0)图 4-144.6.7给当前图形加一条参考线 给当前图形加一条参考线refline refline(slope,intercept) % slope 表示直线斜率，intercept 表示截距函数 格式23 MATLAB6.0 数学手册refline(slope) 例 4-56slope=[a b]，图中加一条直线：y=b+ax。&&y = [3.2 2.6 3.1 3.4 2.4 2.9 3.0 3.3 3.2 2.1 2.6]'; &&plot(y,'+') &&refline(0,3)图 4-154.6.8在当前图形中加入一条多项式曲线%在图中加入一条多项式曲线，h 为曲线的环柄，p 为多项式系 数向量，p=[p1,p2, p3,…,pn]，其中 p1 为最高幂项系数。 火箭的高度与时间图形，加入一条理论高度曲线，火箭初速为 100m/秒。函数 refcurve 格式 h = refcurve(p) 例 4-57&&h = [85 162 230 289 339 381 413 437 452 458 456 440 400 356]; &&plot(h,'+') &&refcurve([-4.9 100 0])图 4-164.6.9样本的概率图形%data 为所给样本数据， specs 指定范围， 表示在指定 p 范围内的概率。 说明 该函数返回来自于估计分布的随机变量落在指定范围内的概率 例 4-58&& data=normrnd (0,1,30,1); && p=capaplot(data,[-2,2]) p= 0.9199函数 capaplot 格式 p = capaplot(data,specs)24 第4章概率统计图 4-174.6.10附加有正态密度曲线的直方图%data 为向量，返回直方图 和正态曲线。 histfit(data,nbins) % nbins 指定 bar 的个数， 缺省时为 data 中数据个数的平方根。函数 histfit 格式 histfit(data)例 4-59&&r = normrnd (10,1,100,1); &&histfit(r) 图 4-184.6.11在指定的界线之间画正态密度曲线函数 normspec 格式 p = normspec(specs,mu,sigma) 例 4-60&&normspec([10 Inf],11.5,1.25)%specs 指定界线， mu,sigma 为正态分布的参数 p 为样本落在上、下界之间的概率。图 4-194.7参数估计25 MATLAB6.0 数学手册4.7.1常见分布的参数估计命令 β分布的参数 a 和 b 的最大似然估计值和置信区间 函数 betafit 格式 PHAT=betafit(X) [PHAT,PCI]=betafit(X,ALPHA) 说明 PHAT 为样本 X 的β分布的参数 a 和 b 的估计量 PCI 为样本 X 的β分布参数 a 和 b 的置信区间，是一个 2×2 矩阵，其第 1 例为参数 a 的置信下界和上界，第 2 例为 b 的置信下界和上界，ALPHA 为显著水平， （1-α）×100% 为置信度。 例 4-61 随机产生 100 个β分布数据，相应的分布参数真值为 4 和 3。则 4 和 3 的最大 似然估计值和置信度为 99%的置信区间为： 解：&&X = betarnd (4,3,100,1); %产生 100 个β分布的随机数 &&[PHAT,PCI] = betafit(X,0.01) %求置信度为 99%的置信区间和参数 a、b 的估计值结果显示PHAT = 3.9010 PCI = 2.6 2.8 3.4898说明 估计值 3.9010 的置信区间是[2.6]，估计值 2.6193 的置信区间是 [1.8]。 命令 正态分布的参数估计 函数 normfit 格式 [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X) [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha) 说明 muhat,sigmahat 分别为正态分布的参数μ和σ的估计值，muci,sigmaci 分别为置 信区间，其置信度为 (1 ? α) × 100% ；alpha 给出显著水平α，缺省时默认为 0.05，即置信度 为 95%。 例 4-62 有两组(每组 100 个元素)正态随机数据，其均值为 10，均方差为 2，求 95%的 置信区间和参数估计值。 解：&&r = normrnd (10,2,100,2); %产生两列正态随机数据&&[mu,sigma,muci,sigmaci] = normfit(r)则结果为mu = 10.1455 sigma = 1.9072 muci = 9.8 sigmaci = 1.5 10.6 9.6 1.3 %各列的均值的估计值 %各列的均方差的估计值26 第4章概率统计说明 muci，sigmaci 中各列分别为原随机数据各列估计值的置信区间，置信度为 95%。 例 4-63 分别使用金球和铂球测定引力常数 （1）用金球测定观察值为：6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672 （2）用铂球测定观察值为：6.661 6.661 6.667 6.667 6.664 设测定值总体为 N(?, σ2 ) ，μ和σ为未知。对(1)、(2)两种情况分别求μ和σ的置信度为 0.9 的置信区间。 解：建立 M 文件：LX0833.mX=[6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672]; Y=[6.661 6.661 6.667 6.667 6.664]; [mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(X,0.1) %金球测定的估计 [MU,SIGMA,MUCI,SIGMACI]=normfit(Y,0.1) %铂球测定的估计运行后结果显示如下：mu = 6.6782 sigma = 0.0039 muci = 6.3 sigmaci = 0.1 MU = 6.6640 SIGMA = 0.0030 MUCI = 6.9 SIGMACI = 0.1由上可知，金球测定的μ估计值为 6.6782，置信区间为[6.3]； σ的估计值为 0.0039，置信区间为[0.1]。 泊球测定的μ估计值为 6.6640，置信区间为[6.9]； σ的估计值为 0.0030，置信区间为[0.1]。 命令 利用 mle 函数进行参数估计 函数 mle 格式 phat=mle (′dist′, X) %返回用 dist 指定分布的最大似然估计值 [phat, pci]=mle (′dist′, X) %置信度为 95% [phat, pci]=mle (′dist′, X, alpha) %置信度由 alpha 确定 [phat, pci]=mle (′dist′, X, alpha, pl) %仅用于二项分布，pl 为试验次数。 说明 dist 为分布函数名，如：beta( β 分布)、bino（二项分布）等，X 为数据样本，alpha 为显著水平α， (1 ? α) × 100% 为置信度。 例 4-64&& X=binornd(20,0.75) X= %产生二项分布的随机数27 MATLAB6.0 数学手册 16 && [p,pci]=mle('bino',X,0.05,20) p= 0.8000 pci = 0.7%求概率的估计值和置信区间，置信度为 95%常用分布的参数估计函数表 4-7 函数名 binofit poissfit normfit betafit unifit expfit gamfit weibfit 参数估计函数表 函 数 说 明 二项分布的概率的最大似然估计 置信度为 95%的参数估计和置信区间 返回水平α的参数估计和置信区间 泊松分布的参数的最大似然估计 置信度为 95%的参数估计和置信区间 返回水平α的λ参数和置信区间 正态分布的最大似然估计，置信度为 95% 返回水平α的期望、方差值和置信区间 返回β分布参数 a 和 b 的最大似然估计 返回最大似然估计值和水平α的置信区间 均匀分布参数的最大似然估计 置信度为 95%的参数估计和置信区间 返回水平α的参数估计和置信区间 指数分布参数的最大似然估计 置信度为 95%的参数估计和置信区间 返回水平α的参数估计和置信区间 γ分布参数的最大似然估计 置信度为 95%的参数估计和置信区间 返回最大似然估计值和水平α的置信区间 韦伯分布参数的最大似然估计 置信度为 95%的参数估计和置信区间 返回水平α的参数估计及其区间估计 分布函数名为 dist 的最大似然估计 置信度为 95%的参数估计和置信区间 返回水平α的最大似然估计值和置信区间 仅用于二项分布，pl 为试验总次数Mle调 用 形 式 PHAT= binofit(X, N) [PHAT, PCI] = binofit(X,N) [PHAT, PCI]= binofit (X, N, ALPHA) Lambdahat=poissfit(X) [Lambdahat, Lambdaci] = poissfit(X) [Lambdahat, Lambdaci]= poissfit (X, ALPHA) [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X) [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X, ALPHA) PHAT =betafit (X) [PHAT, PCI]= betafit (X, ALPHA) [ahat,bhat] = unifit(X) [ahat,bhat,ACI,BCI] = unifit(X) [ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(X, ALPHA) muhat =expfit(X) [muhat,muci] = expfit(X) [muhat,muci] = expfit(X,alpha) phat =gamfit(X) [phat,pci] = gamfit(X) [phat,pci] = gamfit(X,alpha) phat = weibfit(X) [phat,pci] = weibfit(X) [phat,pci] = weibfit(X,alpha) phat = mle('dist',data) [phat,pci] = mle('dist',data) [phat,pci] = mle('dist',data,alpha) [phat,pci] = mle('dist',data,alpha,p1)说明 各函数返回已给数据向量 X 的参数最大似然估计值和置信度为（1-α）×100% 的置信区间。α的默认值为 0.05，即置信度为 95%。4.7.2非线性模型置信区间预测命令 高斯―牛顿法的非线性最小二乘数据拟合 函数 nlinfit 格式 beta = nlinfit(X,y,FUN,beta0) %返回在 FUN 中描述的非线性函数的系数。FUN ? 为用户提供形如 y = f (β , X) 的函数， 该函数返回已给初始参数估计 ? 值β和自变量 X 的 y 的预测值 y 。 [beta,r,J] = nlinfit(X,y,FUN,beta0) %beta 为拟合系数，r 为残差，J 为 Jacobi 矩 阵，beta0 为初始预测值。 说明 若 X 为矩阵， X 的每一列为自变量的取值， 是一个相应的列向量。 则 y 如果 FUN 中使用了@，则表示函数的柄。 例 4-65 调用 MATLAB 提供的数据文件 reaction.mat28 第4章概率统计&&load reaction &&betafit = nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta) betafit = 1.8 0.4 1.1914命令 非线性模型的参数估计的置信区间 函数 nlparci 格式 ci = nlparci(beta,r,J) %返回置信度为 95%的置信区间，beta 为非线性最小二乘 法估计的参数值，r 为残差，J 为 Jacobian 矩阵。nlparci 可以用 nlinfit 函数的输出作为其输入。 例 4-66 调用 MATLAB 中的数据 reaction。&&load reaction &&[beta,resids,J] = nlinfit(reactants,rate,'hougen',beta) beta = 1.8 0.4 1.1914 resids = 0.2 -0.0 0.8 -0.5 -0.6 0.1 -0.3026 J= 6.6 -57.8 0.4 -48.0 -1.4 5.9 -26.7 1.0 0.6 0.3 2.8 -6.7 0.0 -89.45 -8.0 4.2 -11.0 2.1 -41.7 -5.2 11.1 -154.0 1.4 -25.4 -30.0 3.0 0.0 3.3 -102.27 -3.0 4.1 -16.2 2.1141 &&ci = nlparci(beta,resids,J) ci = -0.9 -0.2 -0.3 -0.7 -0.829 MATLAB6.0 数学手册命令 非线性拟合和显示交互图形 函数 nlintool 格式 nlintool(x,y,FUN,beta0) %返回数据(x,y)的非线性曲线的预测图形，它用 2 条红 色曲线预测全局置信区间。beta0 为参数的初始预测值，置信度为 95%。 nlintool(x,y,FUN,beta0,alpha) %置信度为(1-alpha)×100% 例 4-67 调用 MATLAB 数据&& load reaction && nlintool(reactants,rate,'hougen',beta)图 4-20命令 非线性模型置信区间预测 函数 nlpredci 格式 ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J) % ypred 为预测值， FUN 与前面相同， beta 为给出的适当参数，r 为残差，J 为 Jacobian 矩阵，inputs 为非线 性函数中的独立变量的矩阵值。 [ypred,delta] = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J) %delta 为非线性最小二乘法估计 的置信区间长度的一半， r 长度超过 beta 的长度并且 J 的列满 当 秩时，置信区间的计算是有效的。[ypred-delta,ypred+delta]为置 信度为 95%的不同步置信区间。 ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J,alpha,'simopt','predopt') %控制置信区间的 类型，置信度为 100(1-alpha)%。'simopt' = 'on' 或'off' (默认值)分 别表示同步或不同步置信区间。 'predopt'='curve' (默认值) 表示输 入函数值的置信区间， 'predopt'='observation' 表示新响应值的置 信区间。nlpredci 可以用 nlinfit 函数的输出作为其输入。 例 4-68 续前例，在[100 300 80]处的预测函数值 ypred 和置信区间一半宽度 delta&& load reaction && [beta,resids,J] = nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta); && [ypred,delta] = nlpredci(@hougen,[100 300 80],beta,resids,J)结果为：ypred = 10.9113 delta = 0.3195命令 非负最小二乘30 第4章概率统计函数 nnls（该函数已被函数 lsnonneg 代替，在 6.0 版中使用 nnls 将产生警告信息） 格式 x = nnls(A,b) %最小二乘法判断方程 A×x=b 的解，返回在 x≥0 的条件下使得 || A × x ? b || 最小的向量 x，其中 A 和 b 必须为实矩阵或向量。 x = nnls(A,b,tol) [x,w] = nnls(A,b) [x,w] = nnls(A,b,tol) 例 4- 69&& A =[0.9;0.1;0.5;0.0]； && b=[0.1 0.5]'； && x=nnls(A,b) Warning: NNLS is obsolete and has been replaced by LSQNONNEG. NNLS now calls LSQNONNEG which uses the following syntax: [X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA] =lsqnonneg(A,b,X0, Options) ; Use OPTIMSET to define optimization options, or type 'edit nnls' to view the code used here. NNLS will be r please use NNLS with the new syntax. x= 0 0.6929% tol 为指定的误差 %当 x 中元素 x i = 0 时， w i ≤ 0 ，当 x i & 0 时 w i ? 0 。命令 有非负限制的最小二乘 函数 lsqnonneg 格式 x = lsqnonneg(C,d) %返回在 x≥0 的条件下使得 || C × x ? d || 最小的向量 x， 其中 C 和 d 必须为实矩阵或向量。 x = lsqnonneg(C,d,x0) % x0 为初始点，x0≥0 x = lsqnonneg(C,d,x0,options) %options 为指定的优化参数，参见 options 函数。 [x,resnorm] = lsqnonneg(…) %resnorm 表示 norm(C*x-d).^2 的残差 [x,resnorm,residual] = lsqnonneg(…) %residual 表示 C*x-d 的残差 例 4- 70&& A =[0.9;0.1;0.5;0.0]； && b=[0.1 0.5]'； && [x,resnorm,residual] = lsqnonneg(A,b) x= 0 0.6929 resnorm = 0.8315 residual = 0.9 -0.04.7.3对数似然函数命令 负 β 分布的对数似然函数 函数 Betalike 格式 logL=betalike(params,data) %返回负 β 分布的对数似然函数，params 为向量[a,31 MATLAB6.0 数学手册b]，是 β 分布的参数，data 为样本数据。 [logL,info]=betalike(params,data) %返回 Fisher 逆信息矩阵 info。 如果 params 中 输入的参数是极大似然估计值， 那么 info 的对角元 素为相应参数的渐近方差。 元素相互独立。因为 betalike 返回负 β 对数似然函数，用 fmins 函数最小化 betalike 与最大 似然估计的功能是相同的。 例 4-71 本例所取的数据是随机产生的 β 分布数据。&&r = betarnd(3,3,100,1); &&[logL,info] = betalike([2.7],r) logL = -12.4340 info = 0.4 0.1说明 betalike 是 β 分布最大似然估计的实用函数。似然函数假设数据样本中，所有的命令 负 γ 分布的对数似然估计 函数 Gamlike 格式 logL=gamlike(params,data) %返回由给定样本数据 data 确定的 γ 分布的参数为 params（即[a，b]）的负对数似然函数值 [logL,info]=gamlike(params,data) %返回 Fisher 逆信息矩阵 info。如果 params 中输入的参数是极大似然估计值， 那么 info 的对角元 素为相应参数的渐近方差。 说明 gamlike 是 γ 分布的最大似然估计函数。 因为 gamlike 返回 γ 对数似然函数值， 故 用 fmins 函数将 gamlike 最小化后，其结果与最大似然估计是相同的。 例 4-72&&r=gamrnd(2,3,100,1); &&[logL,info]=gamlike([2.0],r) logL = 275.4602 info = 0.8 -0.7%返回由给定样本数据data确定的、 负正态分布的、 参数为params(即[mu，sigma])的对数似然函数值。 [logL,info]=normlike(params,data) %返回 Fisher 逆信息矩阵 info。如果 params 中输入的参数是极大似然估计值， 那么 info 的对角 元素为相应参数的渐近方差。 命令 威布尔分布的对数似然函数 函数 Weiblike 格式 logL = weiblike(params,data) %返回由给定样本数据 data 确定的、威布尔分布 的、参数为 params(即[a，b])的对数似然函数值。命令 负正态分布的对数似然函数 函数 normlike 格式 logL=normlike(params,data)32 第4章概率统计[logL,info]=weiblike(params,data) %返回 Fisher 逆信息矩阵 info。 如果 params 中 输入的参数是极大似然估计值， 那么 info 的对 角元素为相应参数的渐近方差。 说明 威布尔分布的负对数似然函数定义为? log L = ? log ∏ f (a, b | xi ) = ?∑ log f (a, b | xi )i =1 i =1nn例 4-73&&r=weibrnd(0.4,0.98,100,1); &&[logL,info]=weiblike([0.6],r) logL = 237.6682 info = 0.2 -0.84.84.8.1假设检验σ 2 已知，单个正态总体的均值μ的假设检验（U 检验法） 已知，单个正态总体的均值μ的假设检验（ 检验法）函数 ztest 格式 h = ztest(x,m,sigma)% x 为正态总体的样本，m 为均值μ0，sigma 为标准差， 显著性水平为 0.05(默认值) h = ztest(x,m,sigma,alpha) %显著性水平为 alpha [h,sig,ci,zval] = ztest(x,m,sigma,alpha,tail) %sig 为观察值的概率，当 sig 为小概 率时则对原假设提出质疑，ci 为真正均值μ的 1-alpha 置 信区间，zval 为统计量的值。 说明 若 h=0，表示在显著性水平 alpha 下，不能拒绝原假设； 若 h=1，表示在显著性水平 alpha 下，可以拒绝原假设。 原假设： H 0 : ? = ?0 = m ， 若 tail=0，表示备择假设： H 1 : ? ≠ ?0 = m （默认，双边检验） ； tail=1，表示备择假设： H 1 : ? & ?0 = m （单边检验） ；tail=-1，表示备择假设： H 1 : ? & ?0 = m （单边检验） 。 例 4-74 某车间用一台包装机包装葡萄糖， 包得的袋装糖重是一个随机变量，它服从正 态分布。当机器正常时，其均值为 0.5 公斤，标准差为 0.015。某日开工后检验包装机是否 正常，随机地抽取所包装的糖 9 袋，称得净重为（公斤）0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.52, 0.515, 0.512问机器是否正常？ 解：总体μ和σ已知，该问题是当 σ 2 为已知时，在水平 α = 0.05 下，根据样本值判断 μ=0.5 还是 ? ≠ 0.5 。为此提出假设：H 0 : ? = ? 0 = 0 .5 备择假设： H 1 : ? ≠ 0.5原假设：33 MATLAB6.0 数学手册 && X=[0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.52,0.515,0.512]; && [h,sig,ci,zval]=ztest(X,0.5,0.015,0.05,0)结果显示为h= 1 sig = 0.0248 ci = 0.5014 zval = 2.0 %置信区间，均值 0.5 在此区间之外 %统计量的值 %样本观察值的概率结果表明：h=1，说明在水平 α = 0.05 下，可拒绝原假设，即认为包装机工作不正常。4.8.2σ 2 未知，单个正态总体的均值μ的假设检验 t 检验法 未知，单个正态总体的均值μ的假设检验( 验法)函数 ttest 格式 h = ttest(x,m) % x 为正态总体的样本，m 为均值μ0，显著性水平为 0.05 h = ttest(x,m,alpha) %alpha 为给定显著性水平 [h,sig,ci] = ttest(x,m,alpha,tail) %sig 为观察值的概率，当 sig 为小概率时则对原 假设提出质疑，ci 为真正均值μ的 1-alpha 置信区间。 说明 若 h=0，表示在显著性水平 alpha 下，不能拒绝原假设； 若 h=1，表示在显著性水平 alpha 下，可以拒绝原假设。 原假设： H 0 : ? = ?0 = m ， 若 tail=0，表示备择假设： H 1 : ? ≠ ?0 = m （默认，双边检验） ； tail=1，表示备择假设： H 1 : ? & ?0 = m （单边检验） ； tail=-1，表示备择假设： H 1 : ? & ?0 = m （单边检验） 。 例 4-75 某种电子元件的寿命 X（以小时计）服从正态分布， ? 、σ2 均未知。现测得 16 只元件的寿命如下159 149 280 260 101 485 212 170 224 379 179 264 222 362 168 250问是否有理由认为元件的平均寿命大于 225（小时）？ 解：未知 σ2 ，在水平 α = 0.05 下检验假设： H 0 ： ? & ?0 = 225 ， H1 ： ? & 225&& X=[159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170]; && [h,sig,ci]=ttest(X,225,0.05,1)结果显示为：h= 0 sig = 0.2570 ci = 198.2321Inf%均值 225 在该置信区间内结果表明：H=0 表示在水平 α = 0.05 下应该接受原假设 H 0 ，即认为元件的平均寿命不 大于 225 小时。34 第4章概率统计4.8.3两个正态总体均值差的检验（ 检验） 两个正态总体均值差的检验（t 检验）两个正态总体方差未知但等方差时，比较两正态总体样本均值的假设检验 函数 ttest2 格式 [h,sig,ci]=ttest2(X,Y) %X，Y 为两个正态总体的样本，显著性水平为 0.05 [h,sig,ci]=ttest2(X,Y,alpha) %alpha 为显著性水平 [h,sig,ci]=ttest2(X,Y,alpha,tail) %sig 为当原假设为真时得到观察值的概率，当 sig 为小概率时则对原假设提出质疑，ci 为真正 均值μ的 1-alpha 置信区间。 说明 若 h=0，表示在显著性水平 alpha 下，不能拒绝原假设； 若 h=1，表示在显著性水平 alpha 下，可以拒绝原假设。 原假设： H 0 : ?1 = ?2 ， ( ?1 为 X 为期望值， ? 2 为 Y 的期望值) 若 tail=0，表示备择假设： H 1 : ?1 ≠ ?2 （默认，双边检验） ； tail=1，表示备择假设： H 1 : ?1 & ? 2 （单边检验） ； tail=-1，表示备择假设： H 1 : ?1 & ?2 （单边检验） 。 例 4-76 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的产率， 试验 是在同一只平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外，其他条件都尽可能做到相同。先用 标准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼一炉，以后交替进行，各炼 10 炉，其产率分别为 （1）标准方法：78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3 （2）新方法： 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1 设这两个样本相互独立，且分别来自正态总体 N(?1, σ2 ) 和 N(?2 , σ2 ) ， ?1 、 ? 2 、 σ2 均未 知。问建议的新操作方法能否提高产率？（取α=0.05） 解：两个总体方差不变时，在水平 α = 0.05 下检验假设： H 0 ： ?1 = ?2 ， H1 ： ?1 & ?2&& X=[78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3]; &&Y=[79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1]; && [h,sig,ci]=ttest2(X,Y,0.05,-1)结果显示为：h= 1 sig = 2. %说明两个总体均值相等的概率很小 ci = -Inf -1.9083结果表明：H=1 表示在水平 α = 0.05 下，应该拒绝原假设，即认为建议的新操作方法提 高了产率，因此，比原方法好。4.8.4两个总体一致性的检验― 秩和检验 两个总体一致性的检验――秩和检验%x、y 为两个总体的样本，可以不等长，alpha 为显著 性水平 [p,h] = ranksum(x,y,alpha) % h 为检验结果，h=0 表示 X 与 Y 的总体差别不显 著 h=1 表示 X 与 Y 的总体差别显著 [p,h,stats] = ranksum(x,y,alpha) %stats 中包括：ranksum 为秩和统计量的值以及函数 ranksum 格式 p = ranksum(x,y,alpha)35 MATLAB6.0 数学手册zval 为过去计算 p 的正态统计量的值 说明 P 为两个总体样本 X 和 Y 为一致的显著性概率， P 接近于 0， 若 则不一致较明显。 例 4-77 某商店为了确定向公司 A 或公司 B 购买某种商品，将 A 和 B 公司以往的各次 进货的次品率进行比较，数据如下所示，设两样本独立。问两公司的商品的质量有无显著差 异。设两公司的商品的次品的密度最多只差一个平移，取α=0.05。 A：7.0 3.5 9.6 8.1 6.2 5.1 10.4 4.0 2.0 10.5 B：5.7 3.2 4.1 11.0 9.7 6.9 3.6 4.8 5.6 8.4 10.1 5.5 12.3 解：设 ?A 、 ?B 分别为 A、B 两个公司的商品次品率总体的均值。则该问题为在水平α =0.05 下检验假设： H 0 ： ?A = ? B ， H1 ： ?A ≠ ?B&& A=[7.0 3.5 9.6 8.1 6.2 5.1 10.4 4.0 2.0 10.5]; && B=[5.7 3.2 4.1 11.0 9.7 6.9 3.6 4.8 5.6 8.4 10.1 5.5 12.3]; && [p,h,stats]=ranksum(A,B,0.05)结果为：p= 0.8041 h= 0 stats = zval: -0.2481 ranksum: 116结果表明：一方面，两样本总体均值相等的概率为 0.8041，不接近于 0；另一方面，H=0 也说明可以接受原假设 H 0 ，即认为两个公司的商品的质量无明显差异。4.8.5两个总体中位数相等的假设检验――符号秩检验 个总体中位数相等的假设检验―函数 signrank 格式 p = signrank(X,Y,alpha)% X、Y 为两个总体的样本，长度必须相同，alpha 为 显著性水平，P 两个样本 X 和 Y 的中位数相等的概 率，p 接近于 0 则可对原假设质疑。 [p,h] = signrank(X,Y,alpha) % h 为检验结果：h=0 表示 X 与 Y 的中位数之差不 显著，h=1 表示 X 与 Y 的中位数之差显著。 [p,h,stats] = signrank(x,y,alpha) % stats 中包括： signrank 为符号秩统计量的值以 及 zval 为过去计算 p 的正态统计量的值。 例 4-78 两个正态随机样本的中位数相等的假设检验&& x=normrnd(0,1,20,1); && y=normrnd(0,2,20,1); && [p,h,stats]=signrank(x,y,0.05) p= 0.3703 h= 0 stats = zval: -0.8960 signedrank: 81结果表明：h=0 表示 X 与 Y 的中位数之差不显著36 第4章概率统计4.8.6两个总体中位数相等的假设检验 两个总体中位数相等的假设检验――符号检验 位数相等的假设检验 符号检验函数 signtest 格式 p=signtest(X, Y, alpha)% X、Y 为两个总体的样本，长度必须相同，alpha 为显 著性水平，P 两个样本 X 和 Y 的中位数相等的概率，p 接近于 0 则可对原假设质疑。 [p, h]=signtest(X, Y, alpha) % h 为检验结果： h=0 表示 X 与 Y 的中位数之差不显 著，h=1 表示 X 与 Y 的中位数之差显著。 [p,h,stats] = signtest(X,Y,alpha) % stats 中 sign 为符号统计量的值 例 4-79 两个正态随机样本的中位数相等的假设检验&& X=normrnd(0,1,20,1); && Y=normrnd(0,2,20,1); && [p,h,stats]=signtest(X,Y,0.05) p= 0.2632 h= 0 stats = sign: 7结果表明：h=0 表示 X 与 Y 的中位数之差不显著4.8.7正态分布的拟合优度测试函数 jbtest 格式 H = jbtest(X) %对输入向量 X 进行 Jarque-Bera 测试，显著性水平为 0.05。 H = jbtest(X,alpha) %在水平 alpha 而非 5%下施行 Jarque-Bera 测试，alpha 在 0 和 1 之间。 [H,P,JBSTAT,CV] = jbtest(X,alpha) %P 为接受假设的概率值，P 越接近于 0，则 可以拒绝是正态分布的原假设；JBSTAT 为测试统计量的值，CV 为是否拒绝原假设的临界值。 说明 H 为测试结果，若 H=0，则可以认为 X 是服从正态分布的；若 X=1，则可以否 定 X 服从正态分布。X 为大样本，对于小样本用 lillietest 函数。 例 4-80 调用 MATLAB 中关于汽车重量的数据，测试该数据是否服从正态分布&& load carsmall && [h,p,j,cv]=jbtest(Weight) h= 1 p= 0.0267 j= 7.2448 cv = 5.9915说明 p=2.67%表示应该拒绝服从正态分布的假设；h=1 也可否定服从正态分布；统计 量的值 j = 7.2448 大于接受假设的临界值 cv =5.9915，因而拒绝假设(测试水平为 5%)。37 MATLAB6.0 数学手册4.8.8正态分布的拟合优度测试函数 lillietest 格式 H = lillietest(X) %对输入向量 X 进行 Lilliefors 测试，显著性水平为 0.05。 H = lillietest(X,alpha) %在水平 alpha 而非 5%下施行 Lilliefors 测试，alpha 在 0.01 和 0.2 之间。 [H,P,LSTAT,CV] = lillietest(X,alpha) %P 为接受假设的概率值，P 越接近于 0， 则可以拒绝是正态分布的原假设；LSTAT 为测试统计量的值， CV 为是否拒绝原假设的临界值。 说明 H 为测试结果，若 H=0，则可以认为 X 是服从正态分布的；若 X=1，则可以否定 X 服从正态分布。 例 4-81&& Y=chi2rnd(10,100,1); && [h,p,l,cv]=lillietest(Y) h= 1 p= 0.0175 l= 0.1062 cv = 0.0886图 4-21说明 h=1 表示拒绝正态分布的假设；p = 0.0175 表示服从正态分布的概率很小；统计 量的值 l = 0.1062 大于接受假设的临界值 cv =0.0886，因而拒绝假设(测试水平为 5%)。&&hist(Y)从图中看出，数据 Y 不服从正态分布。4.8.9单个样本分布的 Kolmogorov-Smirnov 测试kstest函数%测试向量 X 是否服从标准正态分布，测试水平为 5%。 %指定累积分布函数为 cdf 的测试(cdf=[ ]时表示标准正态分 布)，测试水平为 5% H = kstest(X,cdf,alpha) % alpha 为指定测试水平 [H,P,KSSTAT,CV] = kstest(X,cdf,alpha) %P 为原假设成立的概率， KSSTAT 为测 试统计量的值，CV 为是否接受假设的临界值。 说明 原假设为 X 服从标准正态分布。若 H=0 则不能拒绝原假设，H=1 则可以拒绝原 假设。 例 4-82 产生 100 个威布尔随机数，测试该随机数服从的分布&& x=weibrnd(1,2,100,1); && [H,p,ksstat,cv]=kstest(x,[x weibcdf(x,1,2)],0.05) H= 0 p= 0.3022 ksstat = %测试是否服从威布尔分布格式 H = kstest(X) H = kstest(X,cdf)38 第4章 0.0959 cv = 0.1340概率统计说明 H=0 表示接受原假设，统计量 ksstat 小于临界值表示接受原假设。 && [H,p,ksstat,cv]=kstest(x,[x expcdf(x,1)],0.05) %测试是否服从指数分布H= 1 p= 0.0073 ksstat = 0.1653 cv = 0.1340说明 H=1 表明拒绝服从指数分布的假设。&& [H,p,ksstat,cv]=kstest(x,[ ],0.05) H= 1 p= 3. ksstat = 0.5380 cv = 0.1340 %测试是否服从标准正态分布说明 H=1 表明不服从标准正态分布。4.8.10两个样本具有相同的连续分布的假设检验%测试向量 X1 与 X2 是具有相同的连续分布，测试水 平为 5%。 H = kstest2(X1,X2,alpha) % alpha 为测试水平 [H,P,KSSTAT] = kstest(X,cdf,alpha) %与指定累积分布 cdf 相同的连续分布，P 为假设成立的概率，KSSTAT 为测试统计量的值。 说明 原假设为具有相同连续分布。测试结果为 H，若 H=0，表示应接受原假设；若 H=1，表示可以拒绝原假设。这是 Kolmogorov-Smirnov 测试方法。 例 4-83&& x=-1:1:5; && y=randn(20,1); && [h,p,k]=kstest2(x,y) h= 1 p= 0.0444 k= 0.5643函数 kstest2 格式 H = kstest2(X1,X2)说明 h=1 表示可以认为向量 x 与 y 的分布不相同，相同的概率只有 4.4%。4.9方差分析39 MATLAB6.0 数学手册4.9.1单因素方差分析单因素方差分析是比较两组或多组数据的均值，它返回原假设――均值相等的概率 函数 anova1 格式 p = anova1(X) %X 的各列为彼此独立的样本观察值，其元素个数相同，p 为各 列均值相等的概率值，若 p 值接近于 0，则原假设受到怀疑， 说明至少有一列均值与其余列均值有明显不同。 p = anova1(X,group) %X 和 group 为向量且 group 要与 X 对应 p = anova1(X,group,'displayopt') % displayopt=on/off 表示显示与隐藏方差分析 表图和盒图 [p,table] = anova1(…) % table 为方差分析表 [p,table,stats] = anova1(…) % stats 为分析结果的构造 说明 anova1 函数产生两个图：标准的方差分析表图和盒图。 方差分析表中有 6 列：第 1 列(source)显示：X 中数据可变性的来源；第 2 列(SS)显示： 用于每一列的平方和；第 3 列(df)显示：与每一种可变性来源有关的自由度；第 4 列(MS)显 示：是 SS/df 的比值；第 5 列(F)显示：F 统计量数值，它是 MS 的比率；第 6 列显示：从 F 累积分布中得到的概率，当 F 增加时，p 值减少。 例 4-84 设有 3 台机器，用来生产规格相同的铝合金薄板。取样测量薄板的厚度，精确 至‰厘米。得结果如下： 机器 1：0.236 0.238 0.248 0.245 0.243 机器 2：0.257 0.253 0.255 0.254 0.261 机器 3：0.258 0.264 0.259 0.267 0.262 检验各台机器所生产的薄板的厚度有无显著的差异？ 解：&& X=[0.236 0.238 0.248 0.258 0.264 0.259 && P=anova1(X') 0.245 0.243; 0.257 0.253 0.267 0.262]; 0.255 0.254 0.261;…结果为：P= 1.还有两个图，即图 4-22 和图 4-23。0.265 0.26 0.255 Values 0.25 0.245 0.24 0.235 1 2 Colum n Num ber 3图 4-22图 4-2340 第4章概率统计例 4-85 建筑横梁强度的研究：3000 磅力量作用在一英寸的横梁上来测量横梁的挠度， 钢筋横梁的测试强度是：82 86 79 83 84 85 86 87；其余两种更贵的合金横梁强度 测试为合金 1：74 82 78 75 76 77；合金 2：79 79 77 78 82 79]。 检验这些合金强度有无明显差异？ 解：&& strength = [82 86 79 83 84 85 86 87 74 82 78 75 76 77 79 79 77 78 82 79]; &&alloy = {'st','st','st','st','st','st','st','st', 'al1','al1','al1','al1','al1','al1',… 'al2','al2','al2','al2','al2','al2'}; && [p,table,stats] = anova1(strength,alloy,'on')结果为p= 1. table = 'Source' 'SS' 'Groups' [184.8000] 'Error' [102.0000] 'Total' [286.8000] stats = gnames: {3x1 cell} n: [8 6 6] source: 'anova1' means: [84 77 79] df: 17 s: 2.4495'df' [ 2] [17] [19]'MS' [92.4000] [ 6.0000] []'F' [15.4000] [] []'Prob&F' [1.] [] []86 84 82 V alues 80 78 76 74 st al1 al2图 4-24图 4-25说明 p 值显示，3 种合金是明显不同的，盒图显示钢横梁的挠度大于另两种合金横梁 的挠度。4.9.2双因素方差分析函数 anova2 格式 p = anova2(X,reps) p = anova2(X,reps,'displayopt') [p,table] = anova2(…) [p,table,stats] = anova2(…) 说明 执行平衡的双因素试验的方差分析来比较 X 中两个或多个列（行）的均值，不 同列的数据表示因素 A 的差异，不同行的数据表示另一因素 B 的差异。如果行列对有多于 一个的观察点，则变量 reps 指出每一单元观察点的数目，每一单元包含 reps 行，如：41 MATLAB6.0 数学手册A =1 A = 2? x111 x112 ? }B = 1 ?x x122 ? ? 121 ? ?x 211 x 212 ? ? ? }B = 2 ?x 221 x 222 ? ?x 311 x 312 ? ? ? }B = 3 ?x 321 x 322 ?reps=2 其余参数与单因素方差分析参数相似。 例 4-86 一火箭使用了 4 种燃料，3 种推进器作射程试验，每种燃料与每种推进器的组 合各发射火箭 2 次，得到结果如下：推进器（B） A1 A2 燃料 A A3 A4 B1 58.0 49.0 60.0 75.0 B2 56.0 54.0 70.0 58.0 B3 65.0 51.0 39.0 48.0考察推进器和燃料这两个因素对射程是否有显著的影响？ 解：建立 M 文件X=[58.0 49.0 60.0 75.0 P=anova2(X,2) 56.0 54.0 70.0 58.0 65.0 51.0 39.0 48.0];结果为：P= 0.0 0.0001显示方差分析图为图 4-26。图 4-2642
第4 章 概率统计 第4章 概率统计 本章介绍 MATLAB 在概率统计中的若干命令和使用格式,这些命令存放于 MatlabR12\Toolbox\Stats 中。 4.1 随机数的产生 4.1.1 ...概率统计实验报告_数学_自然科学_专业资料。使用...(2)、用 Matlab 的命令求解,正确确定表达式中 n,...实验报告格式排版 分值 2分 6分 6分 4分 2分 ...“随机变量及其分布”相关,通过 Matlab 中的函数来...通过本实验学习一些经常使用的统计数据的作图命令, ...计算正态分布的概率密度函数值,调用格式: y=normpdf...概率统计实验报告_数学_自然科学_专业资料。概率论与...解 在命令窗口中输入 normrnd(0,1,1,10) 在命令...其基本格式为 hist(y,m), 其功能为将 y 的数值...格式:doc 关键词:暂无1/2 相关文档推荐 ...的上 0.05 分位数为 3.2039 实验二 概率作图 ...掌握 MATLAB 画图命令 plot 2.掌握常见分布的概率...23 18 28 15 24 28 29 16 17 19 18) 问题分析本题主要就是对于样本的各种相关概率统计,而已用 matlab 中概率统计相关的函数进行解 决,思路和方法都很明确...第8章 Matlab 在概率统计中的应用 概率论与数理统计是研究和应用随机现象统计...(累积概率值) 命令:cdf 格式:cdf (‘name’, k, A) cdf (‘name’, k...概率统计中的MatLab操作_数学_自然科学_专业资料。概率统计中的 MatLab 操作(一...区间上的均匀分布,则可以使用下面方法 4 ⑷指数分布 格式 exprnd(mu,m,n) ...格式:doc 关键词:暂无同系列文档 朝鲜历届领导人资料...用 MATLAB 软件辅助《概率论与数理统计》课程的教学...并且统计工具箱中的命令调用格式极为简单方便, 对财务...MATLAB 中取整的几个函数命令: (1) 命令格式: fix(x) 功能: 对 x 朝零...那么,这个概率就不能建立在等可能基础上,即不能使用古 典概率的定义。 而统计...
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MATLAB在概率统计中的命令和使用格式
第4章概率统计第4章概率统计本 章 介 绍 MATLAB 在 概 率 统 计 中 的 若 干 命 令 和 使 用 格 式 ， 这 些 命 令 存 放 于 MatlabR12\Toolbox\Stats 中。4.14.1.1随机
数的产生?n? 二项分布的随机数据的产生（ 二项分布的随机数据的产生（ P ( x = k ) = b(k , n, p ) = ? ? p k q n ? k , k = 1,L , n ； ?k ?记作 x ~ B ( n, p ) 即 x 服从参数为 n,p 的二项分布。 命令 参数为 N，P 的二项随机数据 函数 binornd 格式 R = binornd(N,P) %N、P 为二项分布的两个参数，返回服从参数为 N、P 的二 项分布的随机数。 R = binornd(N,P,m,n) %m,n 分别表示 R 的行数和列数 例 4-1&& R=binornd(10,0.5) R= 3 && R=binornd(10,0.5,1,6) R= 8 1 3 7 && R=binornd(10,0.5,[1,10]) R= 6 8 4 6 && R=binornd(10,0.5,[2,3]) R= 7 5 8 6 5 6 &&n = 10:10:60; &&r1 = binornd(n,1./n) r1 = 2 1 0 1 &&r2 = binornd(n,1./n,[1 6]) r2 = 0 1 2 16475356212311 MATLAB6.0 数学手册4.1.2? 1 正态分布的随机数据的产生（ e 正态分布的随机数据的产生（ p ( x ) = 2πσ( x ? ? )22σ 2, x ∈ R ）,记作 记作x ~ N (? , σ )命令 参数为μ、σ的正态分布的随机数据 函数 normrnd 格式 R = normrnd(MU,SIGMA) %返回均值为 MU，标准差为 SIGMA 的正态分布的 随机数据。 R = normrnd(MU,SIGMA,m,n) %m,n 分别表示 R 的行数和列数 例 4-2&&n1 = normrnd(1:6,1./(1:6)) n1 = 2.4 3.9 4.7 &&n2 = normrnd(0,1,[1 5]) n2 = 0.1 0.7 -1.4462 &&n3 = normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3) %mu 为均值矩阵 n3 = 0.1 2.6 5.4 && R=normrnd(10,0.5,[2,3]) %mu 为 10，sigma 为 0.5 的 2 行 3 列个正态随机数 R= 9.7 9.2 10.54.1.3常见分布的随机数产生常见分布的随机数的使用格式与上面相同表 4-1 函数名 Unifrnd Unidrnd Exprnd Normrnd chi2rnd Trnd Frnd gamrnd betarnd lognrnd nbinrnd ncfrnd nctrnd ncx2rnd raylrnd weibrnd 调用形式 unifrnd ( A,B,m,n) unidrnd(N,m,n) exprnd(Lamda,m,n) normrnd(MU,SIGMA,m,n) chi2rnd(N,m,n) trnd(N,m,n) frnd(N1, N2,m,n) gamrnd(A, B,m,n) betarnd(A, B,m,n) lognrnd(MU, SIGMA,m,n) nbinrnd(R, P,m,n) ncfrnd(N1, N2, delta,m,n) nctrnd(N, delta,m,n) ncx2rnd(N, delta,m,n) raylrnd(B,m,n) weibrnd(A, B,m,n) 随机数产生函数表 注 释 [A,B]上均匀分布(连续) 随机数 均匀分布（离散）随机数 参数为 Lamda 的指数分布随机数 参数为 MU，SIGMA 的正态分布随机数 自由度为 N 的卡方分布随机数 自由度为 N 的 t 分布随机数 第一自由度为 N1,第二自由度为 N2 的 F 分布随机数 参数为 A, B 的 γ 分布随机数 参数为 A, B 的 β 分布随机数 参数为 MU, SIGMA 的对数正态分布随机数 参数为 R，P 的负二项式分布随机数 参数为 N1，N2，delta 的非中心 F 分布随机数 参数为 N，delta 的非中心 t 分布随机数 参数为 N，delta 的非中心卡方分布随机数 参数为 B 的瑞利分布随机数 参数为 A, B 的韦伯分布随机数2 第4章 binornd geornd hygernd Poissrnd binornd(N,P,m,n) geornd(P,m,n) hygernd(M,K,N,m,n) poissrnd(Lambda,m,n)概率统计参数为 N, p 的二项分布随机数 参数为 p 的几何分布随机数 参数为 M，K，N 的超几何分布随机数 参数为 Lambda 的泊松分布随机数4.1.4通用函数求各分布的随机数据命令 求指定分布的随机数 函数 random 格式 y = random('name',A1,A2,A3,m,n) 例 4-3%name 的取值见表 4-2；A1，A2，A3 为分 布的参数；m，n 指定随机数的行和列 产生 12（3 行 4 列）个均值为 2，标准差为 0.3 的正态分布随机数2.0 2.0178&& y=random('norm',2,0.3,3,4) y= 2.4 1.7 1.0 2.7 1.95914.24.2.1随机变量的概率密度计算通用函数计算概率密度函数值命令 通用函数计算概率密度函数值 函数 pdf 格式 Y=pdf(‘name’，K，A)Y=pdf(‘name’，K，A，B) Y=pdf(‘name’，K，A，B，C)说明 返回在 X=K 处、参数为 A、B、C 的概率密度值，对于不同的分布，参数个数是 不同；name 为分布函数名，其取值如表 4-2。表 4-2 'beta' 'bino' 'chi2' 'exp' 'f' 'gam' 'geo' 'hyge' 'logn' 'nbin' 'ncf' 'nct' 'ncx2' 'norm' 'poiss' 或 或 或 或 或 或 或 或 或 或 或 或 或 或 或 常见分布函数表 函数说明 Beta 分布 二项分布 卡方分布 指数分布 F 分布 GAMMA 分布 几何分布 超几何分布 对数正态分布 负二项式分布 非中心 F 分布 非中心 t 分布 非中心卡方分布 正态分布 泊松分布name 的取值 'Beta' 'Binomial' 'Chisquare' 'Exponential' 'F' 'Gamma' 'Geometric' 'Hypergeometric' 'Lognormal' 'Negative Binomial' 'Noncentral F' 'Noncentral t' 'Noncentral Chi-square' 'Normal' 'Poisson'3 MATLAB6.0 数学手册 'rayl' 't' 'unif' 'unid' 'weib' 或 或 或 或 或 'Rayleigh' 'T' 'Uniform' 'Discrete Uniform' 'Weibull' 瑞利分布 T 分布 均匀分布 离散均匀分布 Weibull 分布例如二项分布：设一次试验，事件 A 发生的概率为 p，那么，在 n 次独立重复试验中， 事件 A 恰好发生 K 次的概率 P_K 为：P_K=P{X=K}=pdf('bino'，K，n，p) 例 4-4 计算正态分布 N（0，1）的随机变量 X 在点 0.6578 的密度函数值。 解：&& pdf('norm',0.)ans = 0.3213例 4-5 自由度为 8 的卡方分布，在点 2.18 处的密度函数值。 解：&& pdf('chi2',2.18,8)ans = 0.03634.2.2专用函数计算概率密度函数值命令 二项分布的概率值 函数 binopdf 格式 binopdf (k, n, p) %等同于 pdf (′ bino′ K, n, p) ， p ― 每次试验事件 A 发生的概 率；K―事件 A 发生 K 次；n―试验总次数 命令 泊松分布的概率值 函数 poisspdf 格式 poisspdf(k, Lambda) %等同于 pdf (′poiss′, K, Lamda) 命令 正态分布的概率值 函数 normpdf(K,mu,sigma) %计算参数为μ=mu，σ=sigma 的正态分布密度函数在 K 处的值 专用函数计算概率密度函数列表如表 4-3。表 4-3 函数名 Unifpdf unidpdf Exppdf normpdf chi2pdf Tpdf Fpdf gampdf betapdf lognpdf nbinpdf Ncfpdf Nctpdf ncx2pdf raylpdf 调用形式 unifpdf (x, a, b) Unidpdf(x,n) exppdf(x, Lambda) normpdf(x, mu, sigma) chi2pdf(x, n) tpdf(x, n) fpdf(x, n1, n2) gampdf(x, a, b) betapdf(x, a, b) lognpdf(x, mu, sigma) nbinpdf(x, R, P) ncfpdf(x, n1, n2, delta) nctpdf(x, n, delta) ncx2pdf(x, n, delta) raylpdf(x, b) 专用函数计算概率密度函数表注 释 [a,b]上均匀分布(连续)概率密度在 X=x 处的函数值 均匀分布（离散）概率密度函数值 参数为 Lambda 的指数分布概率密度函数值 参数为 mu，sigma 的正态分布概率密度函数值 自由度为 n 的卡方分布概率密度函数值 自由度为 n 的 t 分布概率密度函数值 第一自由度为 n1,第二自由度为 n2 的 F 分布概率密度函数值 参数为 a, b 的 γ 分布概率密度函数值 参数为 a, b 的 β 分布概率密度函数值 参数为 mu, sigma 的对数正态分布概率密度函数值 参数为 R，P 的负二项式分布概率密度函数值 参数为 n1，n2，delta 的非中心 F 分布概率密度函数值 参数为 n，delta 的非中心 t 分布概率密度函数值 参数为 n，delta 的非中心卡方分布概率密度函数值 参数为 b 的瑞利分布概率密度函数值4 第4章 weibpdf binopdf geopdf hygepdf poisspdf weibpdf(x, a, b) binopdf(x,n,p) geopdf(x,p) hygepdf(x,M,K,N) poisspdf(x,Lambda)概率统计参数为 a, b 的韦伯分布概率密度函数值 参数为 n, p 的二项分布的概率密度函数值 参数为 p 的几何分布的概率密度函数值 参数为 M，K，N 的超几何分布的概率密度函数值 参数为 Lambda 的泊松分布的概率密度函数值例 4-6绘制卡方分布密度函数在自由度分别为 1、5、15 的图形&& x=0:0.1:30; && y1=chi2pdf(x,1); plot(x,y1,':') && hold on && y2=chi2pdf(x,5);plot(x,y2,'+') && y3=chi2pdf(x,15);plot(x,y3,'o') && axis([0,30,0,0.2]) %指定显示的图形区域则图形为图 4-1。4.2.3常见分布的密度函数作图1．二项分布 例 4-7&&x = 0:10; &&y = binopdf(x,10,0.5); &&plot(x,y,'+') 图 4-12．卡方分布 例 4-8&& x = 0:0.2:15; &&y = chi2pdf(x,4); &&plot(x,y)0.25 0.2 0.150.20.150.10.1 0.05 0 0 2 4 6 8 100.050 0 5 10 15图 4-23．非中心卡方分布 例 4-9&&x = (0:0.1:10)'; &&p1 = ncx2pdf(x,4,2); &&p = chi2pdf(x,4); &&plot(x,p,'--',x,p1,'-')4．指数分布 例 4-10&&x = 0:0.1:10; &&y = exppdf(x,2); &&plot(x,y)5 MATLAB6.0 数学手册0.20.50.150.40.10.3 0.20.050.10 0 2 4 6 8 100 0 2 4 6 8 10图 4-35．F 分布 例 4-11&&x = 0:0.01:10; &&y = fpdf(x,5,3); &&plot(x,y)6．非中心 F 分布 例 4-12&&x = (0.01:0.1:10.01)'; &&p1 = ncfpdf(x,5,20,10); &&p = fpdf(x,5,20); &&plot(x,p,'--',x,p1,'-')0.80.80.60.60.40.4 0.2 0 0 2 4 6 8 100.20 0 2 4 6 8 10 12图 4-47．Γ分布 例 4-13&&x = gaminv((0.005:0.01:0.995),100,10); &&y = gampdf(x,100,10); &&y1 = normpdf(x,); &&plot(x,y,'-',x,y1,'-.')8．对数正态分布 例 4-14&&x = (10:)'; &&y = lognpdf(x,log(2); &&plot(x,y) &&set(gca,'xtick',[0
]) &&set(gca,'xticklabel',str2mat('0','$30,000','$60,000',… '$90,000','$120,000'))6 第4章概率统计x 10 3.5 3-5x 10 5 4 3 2 1 0 700-32.5 2 1.5 1 0.5 0 08009001000110012001300$30,000$60,000$90,000$120,000图 4-59．负二项分布 例 4-15&&x = (0:10); &&y = nbinpdf(x,3,0.5); &&plot(x,y,'+')10．正态分布 例 4-16&& x=-3:0.2:3; && y=normpdf(x,0,1); && plot(x,y)0.20.40.150.30.10.20.050.10 0 2 4 6 8 100 -3-2-10123图 4-611．泊松分布 例 4-17&&x = 0:15; &&y = poisspdf(x,5); &&plot(x,y,'+')12．瑞利分布 例 4-18&&x = [0:0.01:2]; &&p = raylpdf(x,0.5); &&plot(x,p)7 MATLAB6.0 数学手册0.21.50.15 1 0.1 0.5 0.050 0 5 10 150 0 0.5 1 1.5 2图 4-713．T 分布 例 4-19&&x = -5:0.1:5; &&y = tpdf(x,5); &&z = normpdf(x,0,1); &&plot(x,y,'-',x,z,'-.')14．威布尔分布 例 4-20&& t=0:0.1:3; && y=weibpdf(t,2,2); && plot(y)0.41.50.310.20.50.10 -500 505101520253035图 4-84.34.3.1随机变量的累积概率值(分布函数值 随机变量的累积概率值 分布函数值) 分布函数值通用函数计算累积概率值 通用函数计算累积概率值命令 通用函数 cdf 用来计算随机变量 X ≤ K 的概率之和（累积概率值） 函数 cdfcdf (′name′, K, A) cdf (′name′, K, A, B) cdf (′name′, K, A, B, C) 说明 返回以 name 为分布、随机变量 X≤K 的概率之和的累积概率值，name 的取值见 表 4-1 常见分布函数表 例 4-21 求标准正态分布随机变量 X 落在区间(-∞，0.4)内的概率（该值就是概率统计格式8 第4章概率统计教材中的附表：标准正态数值表） 。 解：&& cdf('norm',0.4,0,1) ans = 0.6554例 4-22求自由度为 16 的卡方分布随机变量落在[0，6.91]内的概率&& cdf('chi2',6.91,16) ans = 0.02504.3.2专用函数计算累积概率值（ 的概率之和） 专用函数计算累积概率值（随机变量 X ≤ K 的概率之和）命令 二项分布的累积概率值 函数 binocdf 格式 binocdf (k, n, p) %n 为试验总次数，p 为每次试验事件 A 发生的概率，k 为 n 次试验中事件 A 发生的次数， 该命令返回 n 次试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率。 命令 正态分布的累积概率值 函数 normcdf 格式 normcdf( x, mu, sigma ) %返回 F(x)= ∫? ∞ p(t)dt 的值，mu、sigma 为正态分布的 两个参数 例 4-23 设 X~N（3, 2 ）2xP{?4 & X & 10}, P{ X & 2}, P{X & 3} （2）确定 c，使得 P{X & c} = P{X & c} 解（1） p1= P{2 & X & 5} p2= P{?4 & X & 10} p3= P{ X & 2} = 1 ? P{ X ≤ 2} p4= P{ X & 3} = 1 ? P{ X ≤ 3} 则有：&&p1=normcdf(5,3,2)-normcdf(2,3,2) p1 = 0.5328 &&p2=normcdf(10,3,2)-normcdf(-4,3,2) p2 = 0.9995 &&p3=1-normcdf(2,3,2)-normcdf(-2,3,2) p3 = 0.6853 &&p4=1-normcdf(3,3,2) p4 = 0.5000（1）求 P{2 & X & 5},专用函数计算累积概率值函数列表如表 4-4。表 4-4 函数名 unifcdf 调用形式 unifcdf (x, a, b) 专用函数的累积概率值函数表注 释 [a,b]上均匀分布(连续)累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}9 MATLAB6.0 数学手册 unidcdf expcdf normcdf chi2cdf tcdf fcdf gamcdf betacdf logncdf nbincdf ncfcdf nctcdf ncx2cdf raylcdf weibcdf binocdf geocdf hygecdf poisscdf unidcdf(x,n) expcdf(x, Lambda) normcdf(x, mu, sigma) chi2cdf(x, n) tcdf(x, n) fcdf(x, n1, n2) gamcdf(x, a, b) betacdf(x, a, b) logncdf(x, mu, sigma) nbincdf(x, R, P) ncfcdf(x, n1, n2, delta) nctcdf(x, n, delta) ncx2cdf(x, n, delta) raylcdf(x, b) weibcdf(x, a, b) binocdf(x,n,p) geocdf(x,p) hygecdf(x,M,K,N) poisscdf(x,Lambda) 均匀分布（离散）累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 参数为 Lambda 的指数分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 参数为 mu，sigma 的正态分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 自由度为 n 的卡方分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 自由度为 n 的 t 分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 第一自由度为 n1,第二自由度为 n2 的 F 分布累积分布函数值 参数为 a, b 的 γ 分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 参数为 a, b 的 β 分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 参数为 mu, sigma 的对数正态分布累积分布函数值 参数为 R，P 的负二项式分布概累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 参数为 n1，n2，delta 的非中心 F 分布累积分布函数值 参数为 n，delta 的非中心 t 分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 参数为 n，delta 的非中心卡方分布累积分布函数值 参数为 b 的瑞利分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 参数为 a, b 的韦伯分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 参数为 n, p 的二项分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 参数为 p 的几何分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 参数为 M，K，N 的超几何分布的累积分布函数值 参数为 Lambda 的泊松分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}说明 累积概率函数就是分布函数 F(x)=P{X≤x}在 x 处的值。4.4随机变量的逆累积分布函数MATLAB 中的逆累积分布函数是已知 F(x) = P{X ≤ x} ，求 x。 逆累积分布函数值的计算有两种方法4.4.1通用函数计算逆累积分布函数值icdf 计算逆累积分布函数命令格式 icdf (′name′, P, a1, a 2 , a 3) 说明 返回分布为 name，参数为 a1, a 2, a 3 ，累积概率值为 P 的临界值，这里 name 与前 面表 4.1 相同。 如果 P = cdf (′name′, x, a1, a 2 , a 3 ) ，则 x = icdf (′name′, P, a1, a 2 , a 3) 例 4-24 在标准正态分布表中，若已知 Φ(x) =0.975，求 x 解：&& x=icdf('norm',0.975,0,1)x= 1.9600例 4-25在 χ2 分布表中，若自由度为 10， α =0.975，求临界值 Lambda。解：因为表中给出的值满足 P{χ2 & λ} = α ，而逆累积分布函数 icdf 求满足 P{χ2 & λ} = α 的临界值 λ 。所以，这里的 α 取为 0.025，即&& Lambda=icdf('chi2',0.025,10) Lambda = 3.2470例 4-26 在假设检验中，求临界值问题： 已知： α = 0.05 ，查自由度为 10 的双边界检验 t 分布临界值&&lambda=icdf('t',0.025,10)10 第4章 lambda = -2.2281概率统计4.4.2专用函数-inv 计算逆累积分布函数 专用函数命令 正态分布逆累积分布函数 函数 norminv 格式 X=norminv(p,mu,sigma) %p 为累积概率值，mu 为均值，sigma 为标准差，X 为临界值，满足：p=P{X≤x}。 例 4-27 设 X ~ N (3, 2 2) ，确定 c 使得 P{X & c} = P{X & c} 。 解：由 P{X & c} = P{X & c} 得， P{X & c} = P{X & c} =0.5，所以&&X=norminv(0.5, 3, 2) X= 3关于常用临界值函数可查下表 4-5。表 4-5 函数名 unifinv unidinv expinv norminv chi2inv tinv finv gaminv betainv logninv nbininv ncfinv nctinv ncx2inv raylinv weibinv binoinv geoinv hygeinv poissinv 调用形式 x=unifinv (p, a, b) x=unidinv (p,n) x=expinv (p, Lambda) x=Norminv(x,mu,sigma) x=chi2inv (x, n) x=tinv (x, n) x=finv (x, n1, n2) x=gaminv (x, a, b) x=betainv (x, a, b) x=logninv (x, mu, sigma) x=nbininv (x, R, P) x=ncfinv (x, n1, n2, delta) x=nctinv (x, n, delta) x=ncx2inv (x, n, delta) x=raylinv (x, b) x=weibinv (x, a, b) x=binoinv (x,n,p) x=geoinv (x,p) x=hygeinv (x,M,K,N) x=poissinv (x,Lambda) 常用临界值函数表注 释 均匀分布(连续)逆累积分布函数（P=P{X≤x}，求 x） 均匀分布（离散）逆累积分布函数，x 为临界值 指数分布逆累积分布函数 正态分布逆累积分布函数 卡方分布逆累积分布函数 t 分布累积分布函数 F 分布逆累积分布函数 γ 分布逆累积分布函数 β 分布逆累积分布函数 对数正态分布逆累积分布函数 负二项式分布逆累积分布函数 非中心 F 分布逆累积分布函数 非中心 t 分布逆累积分布函数 非中心卡方分布逆累积分布函数 瑞利分布逆累积分布函数 韦伯分布逆累积分布函数 二项分布的逆累积分布函数 几何分布的逆累积分布函数 超几何分布的逆累积分布函数 泊松分布的逆累积分布函数例 4-28 公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过 1%设计的。设男 子身高 X（单位：cm）服从正态分布 N（175，36） ，求车门的最低高度。 解：设 h 为车门高度，X 为身高 求满足条件 P{X & h} ≤ 0.01 的 h，即 P{X & h} ≥ 0.99 ，所以&&h=norminv(0.99, 175, 6) h= 188.9581例 4-29 卡方分布的逆累积分布函数的应用 在 MATLAB 的编辑器下建立 M 文件如下： n=5; a=0.9; %n 为自由度，a 为置信水平或累积概率11 MATLAB6.0 数学手册x_a=chi2inv(a,n)；%x_a 为临界值x=0:0.1:15; yd_c=chi2pdf(x,n)； %计算 χ2 (5) 的概率密度函数值，供绘图用 plot(x,yd_c,'b'), hold on %绘密度函数图形 xxf=0:0.1:x_a; yyf=chi2pdf(xxf,n)； %计算[0，x_a]上的密度函数值，供填色用 fill([xxf,x_a], [yyf,0], 'g') %填色，其中：点(x_a, 0)使得填色区域封闭 text(x_a*1.01,0.01, num2str(x_a)) %标注临界值点 text(10,0.10, ['\fontsize{16}X~{\chi}^2(4)']) %图中标注 text(1.5,0.05, '\fontsize{22}alpha=0.9' ) %图中标注 结果显示如图 4-9。图 4-94.54.5.1 平均值、 平均值、中值随机变量的数字特征命令 利用 mean 求算术平均值 格式 mean(X) %X 为向量，返回 X 中各元素的平均值 mean(A) %A 为矩阵，返回 A 中各列元素的平均值构成的向量 mean(A,dim) %在给出的维数内的平均值 说明 X 为向量时，算术平均值的数学含义是 x = 1 ∑ x i ，即样本均值。 n i =1 例 4-30&& A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5] A= 1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 && mean(A) ans = 1.0 3.0000 && mean(A,1) ans = 1.0 3.0000n5.33335.3333命令 忽略 NaN 计算算术平均值 格式 nanmean(X) %X 为向量，返回 X 中除 NaN 外元素的算术平均值。 nanmean(A) %A 为矩阵，返回 A 中各列除 NaN 外元素的算术平均值向量。 例 4-31&& A=[1 2 3;nan 5 2;3 7 nan] A= 1 2 3 NaN 5 212 第4章 3 7 NaN && nanmean(A) ans = 2.7概率统计2.5000命令 利用 median 计算中值（中位数） 格式 median(X) %X 为向量，返回 X 中各元素的中位数。 median(A) %A 为矩阵，返回 A 中各列元素的中位数构成的向量。 median(A,dim) %求给出的维数内的中位数 例 4-32&& A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5] A= 1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 && median(A) ans = 1 3 4 5命令 忽略 NaN 计算中位数 格式 nanmedian(X) %X 为向量，返回 X 中除 NaN 外元素的中位数。 nanmedian(A) %A 为矩阵，返回 A 中各列除 NaN 外元素的中位数向量。 例 4-33&& A=[1 2 3;nan 5 2;3 7 nan] A= 1 2 3 NaN 5 2 3 7 NaN && nanmedian(A) ans = 2.0 2.5000命令 利用 geomean 计算几何平均数 格式 M=geomean(X) %X 为向量，返回 X 中各元素的几何平均数。 M=geomean(A) %A 为矩阵，返回 A 中各列元素的几何平均数构成的向量。 说明 几何平均数的数学含义是 M = (∏ x i ) n ，其中：样本数据非负，主要用于对数正1ni =1态分布。 例 4-34&& B=[1 3 4 5] B= 1 3 4 5 && M=geomean(B) M= 2.7832 && A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5] A= 1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 && M=geomean(A)13 MATLAB6.0 数学手册 M= 1.0 2.3命令 利用 harmmean 求调和平均值 格式 M=harmmean(X) %X 为向量，返回 X 中各元素的调和平均值。 M=harmmean(A) %A 为矩阵，返回 A 中各列元素的调和平均值构成的向量。 说明 调和平均值的数学含义是 M =n 1 ∑ xi i =1n，其中：样本数据非 0，主要用于严重偏斜分布。 例 4-35&& B=[1 3 4 5] B= 1 3 4 5 && M=harmmean(B) M= 2.2430 && A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5] A= 1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 && M=harmmean(A) M= 1.0 2.00005.29414.5.2数据比较命令 排序 格式 Y=sort(X) %X 为向量，返回 X 按由小到大排序后的向量。 Y=sort(A) %A 为矩阵，返回 A 的各列按由小到大排序后的矩阵。 [Y,I]=sort(A) % Y 为排序的结果，I 中元素表示 Y 中对应元素在 A 中位置。 sort(A,dim) %在给定的维数 dim 内排序 说明 若 X 为复数，则通过|X|排序。 例 4-36&& A=[1 2 3;4 5 2;3 7 0] A= 1 2 3 4 5 2 3 7 0 && sort(A) ans = 1 2 0 3 5 2 4 7 3 && [Y,I]=sort(A) Y= 1 2 0 3 5 2 4 7 314 第4章 I= 1 3 2 1 2 3 3 2 1概率统计%A 为矩阵，返回矩阵 Y，Y 按 A 的第 1 列由小到大，以 行方式排序后生成的矩阵。 Y=sortrows(A, col) %按指定列 col 由小到大进行排序 [Y,I]=sortrows(A, col) % Y 为排序的结果， 表示 Y 中第 col 列元素在 A 中位置。 I 说明 若 X 为复数，则通过|X|的大小排序。 例 4-37&& A=[1 2 3;4 5 2;3 7 0] A= 1 2 3 4 5 2 3 7 0 && sortrows(A) ans = 1 2 3 3 7 0 4 5 2 && sortrows(A,1) ans = 1 2 3 3 7 0 4 5 2 && sortrows(A,3) ans = 3 7 0 4 5 2 1 2 3 && sortrows(A,[3 2]) ans = 3 7 0 4 5 2 1 2 3 && [Y,I]=sortrows(A,3) Y= 3 7 0 4 5 2 1 2 3 I= 3 2 1命令 按行方式排序 函数 sortrows 格式 Y=sortrows(A)命令 求最大值与最小值之差 函数 range 格式 Y=range(X) %X 为向量，返回 X 中的最大值与最小值之差。 Y=range(A) %A 为矩阵，返回 A 中各列元素的最大值与最小值之差。 例 4-38&& A=[1 2 3;4 5 2;3 7 0] A=15 MATLAB6.0 数学手册 1 2 4 5 3 7 && Y=range(A) Y= 3 5 3 2 0 34.5.3期望命令 计算样本均值 函数 mean 格式 用法与前面一样 例 4-39 随机抽取 6 个滚珠测得直径如下： （直径：mm）14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32试求样本平均值 解：&&X=[14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32]；&&mean(X) %计算样本均值则结果如下：ans = 15.0600命令 由分布律计算均值 利用 sum 函数计算 例 4-40 设随机变量 X 的分布律为：X P -2 0.3 -1 0.1 0 0.2 1 0.1 2 0.3求 E (X) E(X2-1) 解：在 Matlab 编辑器中建立 M 文件如下：X=[-2 -1 0 1 2]; p=[0.3 0.1 0.2 0.1 0.3]; EX=sum(X.*p) Y=X.^2-1 EY=sum(Y.*p)运行后结果如下：EX = 0 Y= 3 0 EY = 1. 34.5.4方差命令 求样本方差 函数 varn 格式 D=var(X) %var(X)= s2 = 1 ∑ (x i ? X)2 ,若 X 为向量， 则返回向量的样本方差。 n ? 1 i =1D=var(A) D=var(X, 1)%A 为矩阵，则 D 为 A 的列向量的样本方差构成的行向量。 %返回向量（矩阵）X 的简单方差（即置前因子为 1 的方差） n16 第4章概率统计D=var(X, w) 命令 求标准差 函数 std 格式 std(X)%返回向量（矩阵）X 的以 w 为权重的方差%返回向量（矩阵）X 的样本标准差（置前因子为 1 ）即： n ?1std = 1 n x ?X n ?1∑ i i =1std(X,1)%返回向量（矩阵）X 的标准差（置前因子为1 ） nstd(X, 0) %与 std (X)相同 std(X, flag, dim) %返回向量（矩阵）中维数为 dim 的标准差值，其中 flag=0 时，置前因子为 1 ；否则置前因子为 1 。 n ?1 n 例 4-41 解：&&X=[14.7 15.21 14.9 14.91 15.32 15.32]; &&DX=var(X,1) %方差 DX = 0.0559 &&sigma=std(X,1) %标准差 sigma = 0.2364 &&DX1=var(X) %样本方差 DX1 = 0.0671 &&sigma1=std(X) %样本标准差 sigma1 = 0.2590求下列样本的样本方差和样本标准差，方差和标准差15.32 15.3214.70 15.21 14.90命令 忽略 NaN 的标准差 函数 nanstd 格式 y = nanstd(X) %若 X 为含有元素 NaN 的向量， 则返回除 NaN 外的元素的标准 差，若 X 为含元素 NaN 的矩阵，则返回各列除 NaN 外的标准差 构成的向量。 例 4-42&& M=magic(3) %产生 3 阶魔方阵 M= 8 1 6 3 5 7 4 9 2 && M([1 6 8])=[NaN NaN NaN] %替换 3 阶魔方阵中第 1、6、8 个元素为 NaN M= NaN 1 6 3 5 NaN 4 NaN 2 && y=nanstd(M) %求忽略 NaN 的各列向量的标准差17 MATLAB6.0 数学手册 y= 0.7071 && X=[1 5]; && y2=std(X) y2 = 2.4 2.8284 %忽略 NaN 的第 2 列元素 %验证第 2 列忽略 NaN 元素的标准差%X 为向量，返回 X 的元素的偏斜度；X 为矩阵，返回 X 各 列元素的偏斜度构成的行向量。 y = skewness(X,flag) %flag=0 表示偏斜纠正，flag=1（默认）表示偏斜不纠正。 说明 偏斜度样本数据关于均值不对称的一个测度，如果偏斜度为负，说明均值左边的 数据比均值右边的数据更散； 如果偏斜度为正， 说明均值右边的数据比均值左边的数据更散， 因而正态分布的偏斜度为 0；偏斜度是这样定义的： y =命令 样本的偏斜度 函数 skewness 格式 y = skewness(X)E(x ? ?)3 σ3 其中：μ为 x 的均值，σ为 x 的标准差，E(.)为期望值算子 例 4-43&& X=randn([5,4]) X= 0.0 -1.0 0.7 1.0 -0.1 && y=skewness(X) y= -0.6 && y=skewness(X,0) y= -0.4 -0.0 0.9 1.6 1.5 -0.7-0.8865-0.2652-1.3216-0.39544.5.5常见分布的期望和方差命令 均匀分布（连续）的期望和方差 函数 unifstat 格式 [M,V] = unifstat(A,B) %A、B 为标量时，就是区间上均匀分布的期望和方差， A、B 也可为向量或矩阵，则 M、V 也是向量或矩阵。 例 4-44&&a = 1:6; b = 2.*a; &&[M,V] = unifstat(a,b) M= 1.0 V= 0.34.06.37.39.0命令 正态分布的期望和方差 函数 normstat 格式 [M,V] = normstat(MU,SIGMA)%MU、SIGMA 可为标量也可为向量或矩阵， 则 M=MU，V=SIGMA2。18 第4章概率统计例 4-45&& n=1:4; && [M,V]=normstat(n'*n,n'*n) M= 1 2 3 4 2 4 6 8 3 6 9 12 4 8 12 16 V= 1 4 9 16 4 16 36 64 9 36 81 144 16 64 144 256命令 二项分布的均值和方差 函数 binostat 格式 [M,V] = binostat(N,P) 例 4-46%N，P 为二项分布的两个参数，可为标量也可为向量 或矩阵。&&n = logspace(1,5,5) n= 10 100 1000 &&[M,V] = binostat(n,1./n) M= 1 1 1 1 1 V= 0.0 0.9 &&[m,v] = binostat(n,1/2) m= 5 50 500 v= 1.0e+04 * 0.5 0.0100001000001..常见分布的期望和方差见下表 4-6。表 4-6 函数名 unifstat unidstat expstat normstat chi2stat tstat fstat gamstat betastat lognstat nbinstat ncfstat nctstat ncx2stat raylstat 调用形式 [M,V]=unifstat ( a, b) [M,V]=unidstat (n) [M,V]=expstat (p, Lambda) [M,V]=normstat(mu,sigma) [M,V]=chi2stat (x, n) [M,V]=tstat ( n) [M,V]=fstat ( n1, n2) [M,V]=gamstat ( a, b) [M,V]=betastat ( a, b) [M,V]=lognstat ( mu, sigma) [M,V]=nbinstat ( R, P) [M,V]=ncfstat ( n1, n2, delta) [M,V]=nctstat ( n, delta) [M,V]=ncx2stat ( n, delta) [M,V]=raylstat ( b) 常见分布的均值和方差 注 释 均匀分布(连续)的期望和方差，M 为期望，V 为方差 均匀分布（离散）的期望和方差 指数分布的期望和方差 正态分布的期望和方差 卡方分布的期望和方差 t 分布的期望和方差 F 分布的期望和方差 γ 分布的期望和方差 β 分布的期望和方差 对数正态分布的期望和方差 负二项式分布的期望和方差 非中心 F 分布的期望和方差 非中心 t 分布的期望和方差 非中心卡方分布的期望和方差 瑞利分布的期望和方差19 MATLAB6.0 数学手册 Weibstat Binostat Geostat hygestat Poisstat [M,V]=weibstat ( a, b) [M,V]=binostat (n,p) [M,V]=geostat (p) [M,V]=hygestat (M,K,N) [M,V]=poisstat (Lambda) 韦伯分布的期望和方差 二项分布的期望和方差 几何分布的期望和方差 超几何分布的期望和方差 泊松分布的期望和方差4.5.6协方差与相关系数命令 协方差 函数 cov 格式 cov(X) cov(A) cov(X,Y) 例 4-47%求向量 X 的协方差 %求矩阵 A 的协方差矩阵， 该协方差矩阵的对角线元素是 A 的各列的 方差，即：var(A)=diag(cov(A))。 %X,Y 为等长列向量，等同于 cov([X Y])。&& X=[0 -1 1]';Y=[1 2 2]'； && C1=cov(X) %X 的协方差 C1 = 1 && C2=cov(X,Y) %列向量 X、Y 的协方差矩阵，对角线元素为各列向量的方差 C2 = 1. 0.3333 && A=[1 2 3;4 0 -1;1 7 3] A= 1 2 3 4 0 -1 1 7 3 && C1=cov(A) %求矩阵 A 的协方差矩阵 C1 = 3.0 -4.0 13.0 -4.0 5.3333 && C2=var(A(:,1)) %求 A 的第 1 列向量的方差 C2 = 3 && C3=var(A(:,2)) %求 A 的第 2 列向量的方差 C3 = 13 && C4=var(A(:,3)) C4 = 5.3333命令 相关系数 函数 corrcoef 格式 corrcoef(X,Y) corrcoef (A) 例 4-48%返回列向量 X,Y 的相关系数，等同于 corrcoef([X Y])。 %返回矩阵 A 的列向量的相关系数矩阵&& A=[1 2 3;4 0 -1;1 3 9] A= 1 2 3 4 0 -1 1 3 920 第4章概率统计&& C1=corrcoef(A) %求矩阵 A 的相关系数矩阵 C1 = 1.9 -0.9 1.8 -0.8 1.0000 && C1=corrcoef(A(:,2),A(:,3)) %求 A 的第 2 列与第 3 列列向量的相关系数矩阵 C1 = 1.8 0.04.64.6.1 正整数的频率表统计作图命令 正整数的频率表 函数 tabulate 格式 table = tabulate(X) 例 4-49%X 为正整数构成的向量，返回 3 列：第 1 列中包含 X 的值 第 2 列为这些值的个数，第 3 列为这些值的频率。&& A=[1 2 2 5 6 3 8] A= 1 2 2 5 6 && tabulate(A) Value Count Percent 1 1 14.29% 2 2 28.57% 3 1 14.29% 4 0 0.00% 5 1 14.29% 6 1 14.29% 7 0 0.00% 8 1 14.29%384.6.2经验累积分布函数图形%作样本 X（向量）的累积分布函数图形 %h 表示曲线的环柄 %stats 表示样本的一些特征Em pirica l CDF 1 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 F(x) 0 .5 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1 0 -2 -1.5 -1 -0.5 0 x 0.5 1 1.5 2函数 cdfplot 格式 cdfplot(X) h = cdfplot(X) [h,stats] = cdfplot(X) 例 4-50&& X=normrnd (0,1,50,1); && [h,stats]=cdfplot(X) h= 3.0013 stats = min: -1.8740 %样本最小值 max: 1.6924 %最大值 mean: 0.0565 %平均值 median: 0.1032 %中间值 std: 0.7559 %样本标准差图 4-1021 MATLAB6.0 数学手册4.6.3最小二乘拟合直线20函数 lsline 格式 lsline h = lsline 例 4-51%最小二乘拟合直线 %h 为直线的句柄18 16 14 12 10 8 6 4&& X = [2 3.4 5.6 8 11 12.3 13.8 16 18.8 19.9]'; && plot(X,'+') && lsline4.6.4绘制正态分布概率图形2 0246810%若 X 为向量，则显示正态分布概率图形，若 X 为矩阵，则显 示每一列的正态分布概率图形。 h = normplot(X) %返回绘图直线的句柄 说明 样本数据在图中用“+”显示；如果数据来自正态分布，则图形显示为直线，而 其它分布可能在图中产生弯曲。 例 4-53&& X=normrnd(0,1,50,1); && normplot(X)函数 normplot 格式 normplot(X)图 4-11图 4-124.6.5绘制威布尔(Weibull)概率图形 概率图形 绘制威布尔%若 X 为向量，则显示威布尔(Weibull)概率图形，若 X 为矩阵， 则显示每一列的威布尔概率图形。 h = weibplot(X) %返回绘图直线的柄 说明 绘制威布尔(Weibull)概率图形的目的是用图解法估计来自威布尔分布的数据 X， 如果 X 是威布尔分布数据，其图形是直线的，否则图形中可能产生弯曲。 例 4-54&& r = weibrnd(1.2,1.5,50,1); && weibplot(r)函数 weibplot 格式 weibplot(X)22 第4章概率统计W e ibull Probability Plot 0.99 0.96 0.90 0.75 0.50 Probability 0.25 0.10 0.05 0.02 0.01-1 01010 Data图 4-134.6.6样本数据的盒图函数 boxplot 格式 boxplot(X)%产生矩阵 X 的每一列的盒图和“须”图， “须”是从盒的尾部延 伸出来，并表示盒外数据长度的线，如果“须”的外面没有数据， 则在“须”的底部有一个点。 boxplot(X,notch) %当 notch=1 时，产生一凹盒图，notch=0 时产生一矩箱图。 boxplot(X,notch,'sym') %sym 表示图形符号，默认值为“+” 。 boxplot(X,notch,'sym',vert) %当 vert=0 时，生成水平盒图，vert=1 时，生成竖 直盒图（默认值 vert=1） 。 boxplot(X,notch,'sym',vert,whis) %whis 定义“须”图的长度，默认值为 1.5，若 whis=0 则 boxplot 函数通过绘制 sym 符号图来显示盒外的所有数据值。 例 4-55&&x1 = normrnd(5,1,100,1); &&x2 = normrnd(6,1,100,1); &&x = [x1 x2]; && boxplot(x,1,'g+',1,0)图 4-144.6.7给当前图形加一条参考线 给当前图形加一条参考线refline refline(slope,intercept) % slope 表示直线斜率，intercept 表示截距函数 格式23 MATLAB6.0 数学手册refline(slope) 例 4-56slope=[a b]，图中加一条直线：y=b+ax。&&y = [3.2 2.6 3.1 3.4 2.4 2.9 3.0 3.3 3.2 2.1 2.6]'; &&plot(y,'+') &&refline(0,3)图 4-154.6.8在当前图形中加入一条多项式曲线%在图中加入一条多项式曲线，h 为曲线的环柄，p 为多项式系 数向量，p=[p1,p2, p3,…,pn]，其中 p1 为最高幂项系数。 火箭的高度与时间图形，加入一条理论高度曲线，火箭初速为 100m/秒。函数 refcurve 格式 h = refcurve(p) 例 4-57&&h = [85 162 230 289 339 381 413 437 452 458 456 440 400 356]; &&plot(h,'+') &&refcurve([-4.9 100 0])图 4-164.6.9样本的概率图形%data 为所给样本数据， specs 指定范围， 表示在指定 p 范围内的概率。 说明 该函数返回来自于估计分布的随机变量落在指定范围内的概率 例 4-58&& data=normrnd (0,1,30,1); && p=capaplot(data,[-2,2]) p= 0.9199函数 capaplot 格式 p = capaplot(data,specs)24 第4章概率统计图 4-174.6.10附加有正态密度曲线的直方图%data 为向量，返回直方图 和正态曲线。 histfit(data,nbins) % nbins 指定 bar 的个数， 缺省时为 data 中数据个数的平方根。函数 histfit 格式 histfit(data)例 4-59&&r = normrnd (10,1,100,1); &&histfit(r) 图 4-184.6.11在指定的界线之间画正态密度曲线函数 normspec 格式 p = normspec(specs,mu,sigma) 例 4-60&&normspec([10 Inf],11.5,1.25)%specs 指定界线， mu,sigma 为正态分布的参数 p 为样本落在上、下界之间的概率。图 4-194.7参数估计25 MATLAB6.0 数学手册4.7.1常见分布的参数估计命令 β分布的参数 a 和 b 的最大似然估计值和置信区间 函数 betafit 格式 PHAT=betafit(X) [PHAT,PCI]=betafit(X,ALPHA) 说明 PHAT 为样本 X 的β分布的参数 a 和 b 的估计量 PCI 为样本 X 的β分布参数 a 和 b 的置信区间，是一个 2×2 矩阵，其第 1 例为参数 a 的置信下界和上界，第 2 例为 b 的置信下界和上界，ALPHA 为显著水平， （1-α）×100% 为置信度。 例 4-61 随机产生 100 个β分布数据，相应的分布参数真值为 4 和 3。则 4 和 3 的最大 似然估计值和置信度为 99%的置信区间为： 解：&&X = betarnd (4,3,100,1); %产生 100 个β分布的随机数 &&[PHAT,PCI] = betafit(X,0.01) %求置信度为 99%的置信区间和参数 a、b 的估计值结果显示PHAT = 3.9010 PCI = 2.6 2.8 3.4898说明 估计值 3.9010 的置信区间是[2.6]，估计值 2.6193 的置信区间是 [1.8]。 命令 正态分布的参数估计 函数 normfit 格式 [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X) [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha) 说明 muhat,sigmahat 分别为正态分布的参数μ和σ的估计值，muci,sigmaci 分别为置 信区间，其置信度为 (1 ? α) × 100% ；alpha 给出显著水平α，缺省时默认为 0.05，即置信度 为 95%。 例 4-62 有两组(每组 100 个元素)正态随机数据，其均值为 10，均方差为 2，求 95%的 置信区间和参数估计值。 解：&&r = normrnd (10,2,100,2); %产生两列正态随机数据&&[mu,sigma,muci,sigmaci] = normfit(r)则结果为mu = 10.1455 sigma = 1.9072 muci = 9.8 sigmaci = 1.5 10.6 9.6 1.3 %各列的均值的估计值 %各列的均方差的估计值26 第4章概率统计说明 muci，sigmaci 中各列分别为原随机数据各列估计值的置信区间，置信度为 95%。 例 4-63 分别使用金球和铂球测定引力常数 （1）用金球测定观察值为：6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672 （2）用铂球测定观察值为：6.661 6.661 6.667 6.667 6.664 设测定值总体为 N(?, σ2 ) ，μ和σ为未知。对(1)、(2)两种情况分别求μ和σ的置信度为 0.9 的置信区间。 解：建立 M 文件：LX0833.mX=[6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672]; Y=[6.661 6.661 6.667 6.667 6.664]; [mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(X,0.1) %金球测定的估计 [MU,SIGMA,MUCI,SIGMACI]=normfit(Y,0.1) %铂球测定的估计运行后结果显示如下：mu = 6.6782 sigma = 0.0039 muci = 6.3 sigmaci = 0.1 MU = 6.6640 SIGMA = 0.0030 MUCI = 6.9 SIGMACI = 0.1由上可知，金球测定的μ估计值为 6.6782，置信区间为[6.3]； σ的估计值为 0.0039，置信区间为[0.1]。 泊球测定的μ估计值为 6.6640，置信区间为[6.9]； σ的估计值为 0.0030，置信区间为[0.1]。 命令 利用 mle 函数进行参数估计 函数 mle 格式 phat=mle (′dist′, X) %返回用 dist 指定分布的最大似然估计值 [phat, pci]=mle (′dist′, X) %置信度为 95% [phat, pci]=mle (′dist′, X, alpha) %置信度由 alpha 确定 [phat, pci]=mle (′dist′, X, alpha, pl) %仅用于二项分布，pl 为试验次数。 说明 dist 为分布函数名，如：beta( β 分布)、bino（二项分布）等，X 为数据样本，alpha 为显著水平α， (1 ? α) × 100% 为置信度。 例 4-64&& X=binornd(20,0.75) X= %产生二项分布的随机数27 MATLAB6.0 数学手册 16 && [p,pci]=mle('bino',X,0.05,20) p= 0.8000 pci = 0.7%求概率的估计值和置信区间，置信度为 95%常用分布的参数估计函数表 4-7 函数名 binofit poissfit normfit betafit unifit expfit gamfit weibfit 参数估计函数表 函 数 说 明 二项分布的概率的最大似然估计 置信度为 95%的参数估计和置信区间 返回水平α的参数估计和置信区间 泊松分布的参数的最大似然估计 置信度为 95%的参数估计和置信区间 返回水平α的λ参数和置信区间 正态分布的最大似然估计，置信度为 95% 返回水平α的期望、方差值和置信区间 返回β分布参数 a 和 b 的最大似然估计 返回最大似然估计值和水平α的置信区间 均匀分布参数的最大似然估计 置信度为 95%的参数估计和置信区间 返回水平α的参数估计和置信区间 指数分布参数的最大似然估计 置信度为 95%的参数估计和置信区间 返回水平α的参数估计和置信区间 γ分布参数的最大似然估计 置信度为 95%的参数估计和置信区间 返回最大似然估计值和水平α的置信区间 韦伯分布参数的最大似然估计 置信度为 95%的参数估计和置信区间 返回水平α的参数估计及其区间估计 分布函数名为 dist 的最大似然估计 置信度为 95%的参数估计和置信区间 返回水平α的最大似然估计值和置信区间 仅用于二项分布，pl 为试验总次数Mle调 用 形 式 PHAT= binofit(X, N) [PHAT, PCI] = binofit(X,N) [PHAT, PCI]= binofit (X, N, ALPHA) Lambdahat=poissfit(X) [Lambdahat, Lambdaci] = poissfit(X) [Lambdahat, Lambdaci]= poissfit (X, ALPHA) [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X) [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X, ALPHA) PHAT =betafit (X) [PHAT, PCI]= betafit (X, ALPHA) [ahat,bhat] = unifit(X) [ahat,bhat,ACI,BCI] = unifit(X) [ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(X, ALPHA) muhat =expfit(X) [muhat,muci] = expfit(X) [muhat,muci] = expfit(X,alpha) phat =gamfit(X) [phat,pci] = gamfit(X) [phat,pci] = gamfit(X,alpha) phat = weibfit(X) [phat,pci] = weibfit(X) [phat,pci] = weibfit(X,alpha) phat = mle('dist',data) [phat,pci] = mle('dist',data) [phat,pci] = mle('dist',data,alpha) [phat,pci] = mle('dist',data,alpha,p1)说明 各函数返回已给数据向量 X 的参数最大似然估计值和置信度为（1-α）×100% 的置信区间。α的默认值为 0.05，即置信度为 95%。4.7.2非线性模型置信区间预测命令 高斯―牛顿法的非线性最小二乘数据拟合 函数 nlinfit 格式 beta = nlinfit(X,y,FUN,beta0) %返回在 FUN 中描述的非线性函数的系数。FUN ? 为用户提供形如 y = f (β , X) 的函数， 该函数返回已给初始参数估计 ? 值β和自变量 X 的 y 的预测值 y 。 [beta,r,J] = nlinfit(X,y,FUN,beta0) %beta 为拟合系数，r 为残差，J 为 Jacobi 矩 阵，beta0 为初始预测值。 说明 若 X 为矩阵， X 的每一列为自变量的取值， 是一个相应的列向量。 则 y 如果 FUN 中使用了@，则表示函数的柄。 例 4-65 调用 MATLAB 提供的数据文件 reaction.mat28 第4章概率统计&&load reaction &&betafit = nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta) betafit = 1.8 0.4 1.1914命令 非线性模型的参数估计的置信区间 函数 nlparci 格式 ci = nlparci(beta,r,J) %返回置信度为 95%的置信区间，beta 为非线性最小二乘 法估计的参数值，r 为残差，J 为 Jacobian 矩阵。nlparci 可以用 nlinfit 函数的输出作为其输入。 例 4-66 调用 MATLAB 中的数据 reaction。&&load reaction &&[beta,resids,J] = nlinfit(reactants,rate,'hougen',beta) beta = 1.8 0.4 1.1914 resids = 0.2 -0.0 0.8 -0.5 -0.6 0.1 -0.3026 J= 6.6 -57.8 0.4 -48.0 -1.4 5.9 -26.7 1.0 0.6 0.3 2.8 -6.7 0.0 -89.45 -8.0 4.2 -11.0 2.1 -41.7 -5.2 11.1 -154.0 1.4 -25.4 -30.0 3.0 0.0 3.3 -102.27 -3.0 4.1 -16.2 2.1141 &&ci = nlparci(beta,resids,J) ci = -0.9 -0.2 -0.3 -0.7 -0.829 MATLAB6.0 数学手册命令 非线性拟合和显示交互图形 函数 nlintool 格式 nlintool(x,y,FUN,beta0) %返回数据(x,y)的非线性曲线的预测图形，它用 2 条红 色曲线预测全局置信区间。beta0 为参数的初始预测值，置信度为 95%。 nlintool(x,y,FUN,beta0,alpha) %置信度为(1-alpha)×100% 例 4-67 调用 MATLAB 数据&& load reaction && nlintool(reactants,rate,'hougen',beta)图 4-20命令 非线性模型置信区间预测 函数 nlpredci 格式 ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J) % ypred 为预测值， FUN 与前面相同， beta 为给出的适当参数，r 为残差，J 为 Jacobian 矩阵，inputs 为非线 性函数中的独立变量的矩阵值。 [ypred,delta] = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J) %delta 为非线性最小二乘法估计 的置信区间长度的一半， r 长度超过 beta 的长度并且 J 的列满 当 秩时，置信区间的计算是有效的。[ypred-delta,ypred+delta]为置 信度为 95%的不同步置信区间。 ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J,alpha,'simopt','predopt') %控制置信区间的 类型，置信度为 100(1-alpha)%。'simopt' = 'on' 或'off' (默认值)分 别表示同步或不同步置信区间。 'predopt'='curve' (默认值) 表示输 入函数值的置信区间， 'predopt'='observation' 表示新响应值的置 信区间。nlpredci 可以用 nlinfit 函数的输出作为其输入。 例 4-68 续前例，在[100 300 80]处的预测函数值 ypred 和置信区间一半宽度 delta&& load reaction && [beta,resids,J] = nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta); && [ypred,delta] = nlpredci(@hougen,[100 300 80],beta,resids,J)结果为：ypred = 10.9113 delta = 0.3195命令 非负最小二乘30 第4章概率统计函数 nnls（该函数已被函数 lsnonneg 代替，在 6.0 版中使用 nnls 将产生警告信息） 格式 x = nnls(A,b) %最小二乘法判断方程 A×x=b 的解，返回在 x≥0 的条件下使得 || A × x ? b || 最小的向量 x，其中 A 和 b 必须为实矩阵或向量。 x = nnls(A,b,tol) [x,w] = nnls(A,b) [x,w] = nnls(A,b,tol) 例 4- 69&& A =[0.9;0.1;0.5;0.0]； && b=[0.1 0.5]'； && x=nnls(A,b) Warning: NNLS is obsolete and has been replaced by LSQNONNEG. NNLS now calls LSQNONNEG which uses the following syntax: [X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA] =lsqnonneg(A,b,X0, Options) ; Use OPTIMSET to define optimization options, or type 'edit nnls' to view the code used here. NNLS will be r please use NNLS with the new syntax. x= 0 0.6929% tol 为指定的误差 %当 x 中元素 x i = 0 时， w i ≤ 0 ，当 x i & 0 时 w i ? 0 。命令 有非负限制的最小二乘 函数 lsqnonneg 格式 x = lsqnonneg(C,d) %返回在 x≥0 的条件下使得 || C × x ? d || 最小的向量 x， 其中 C 和 d 必须为实矩阵或向量。 x = lsqnonneg(C,d,x0) % x0 为初始点，x0≥0 x = lsqnonneg(C,d,x0,options) %options 为指定的优化参数，参见 options 函数。 [x,resnorm] = lsqnonneg(…) %resnorm 表示 norm(C*x-d).^2 的残差 [x,resnorm,residual] = lsqnonneg(…) %residual 表示 C*x-d 的残差 例 4- 70&& A =[0.9;0.1;0.5;0.0]； && b=[0.1 0.5]'； && [x,resnorm,residual] = lsqnonneg(A,b) x= 0 0.6929 resnorm = 0.8315 residual = 0.9 -0.04.7.3对数似然函数命令 负 β 分布的对数似然函数 函数 Betalike 格式 logL=betalike(params,data) %返回负 β 分布的对数似然函数，params 为向量[a,31 MATLAB6.0 数学手册b]，是 β 分布的参数，data 为样本数据。 [logL,info]=betalike(params,data) %返回 Fisher 逆信息矩阵 info。 如果 params 中 输入的参数是极大似然估计值， 那么 info 的对角元 素为相应参数的渐近方差。 元素相互独立。因为 betalike 返回负 β 对数似然函数，用 fmins 函数最小化 betalike 与最大 似然估计的功能是相同的。 例 4-71 本例所取的数据是随机产生的 β 分布数据。&&r = betarnd(3,3,100,1); &&[logL,info] = betalike([2.7],r) logL = -12.4340 info = 0.4 0.1说明 betalike 是 β 分布最大似然估计的实用函数。似然函数假设数据样本中，所有的命令 负 γ 分布的对数似然估计 函数 Gamlike 格式 logL=gamlike(params,data) %返回由给定样本数据 data 确定的 γ 分布的参数为 params（即[a，b]）的负对数似然函数值 [logL,info]=gamlike(params,data) %返回 Fisher 逆信息矩阵 info。如果 params 中输入的参数是极大似然估计值， 那么 info 的对角元 素为相应参数的渐近方差。 说明 gamlike 是 γ 分布的最大似然估计函数。 因为 gamlike 返回 γ 对数似然函数值， 故 用 fmins 函数将 gamlike 最小化后，其结果与最大似然估计是相同的。 例 4-72&&r=gamrnd(2,3,100,1); &&[logL,info]=gamlike([2.0],r) logL = 275.4602 info = 0.8 -0.7%返回由给定样本数据data确定的、 负正态分布的、 参数为params(即[mu，sigma])的对数似然函数值。 [logL,info]=normlike(params,data) %返回 Fisher 逆信息矩阵 info。如果 params 中输入的参数是极大似然估计值， 那么 info 的对角 元素为相应参数的渐近方差。 命令 威布尔分布的对数似然函数 函数 Weiblike 格式 logL = weiblike(params,data) %返回由给定样本数据 data 确定的、威布尔分布 的、参数为 params(即[a，b])的对数似然函数值。命令 负正态分布的对数似然函数 函数 normlike 格式 logL=normlike(params,data)32 第4章概率统计[logL,info]=weiblike(params,data) %返回 Fisher 逆信息矩阵 info。 如果 params 中 输入的参数是极大似然估计值， 那么 info 的对 角元素为相应参数的渐近方差。 说明 威布尔分布的负对数似然函数定义为? log L = ? log ∏ f (a, b | xi ) = ?∑ log f (a, b | xi )i =1 i =1nn例 4-73&&r=weibrnd(0.4,0.98,100,1); &&[logL,info]=weiblike([0.6],r) logL = 237.6682 info = 0.2 -0.84.84.8.1假设检验σ 2 已知，单个正态总体的均值μ的假设检验（U 检验法） 已知，单个正态总体的均值μ的假设检验（ 检验法）函数 ztest 格式 h = ztest(x,m,sigma)% x 为正态总体的样本，m 为均值μ0，sigma 为标准差， 显著性水平为 0.05(默认值) h = ztest(x,m,sigma,alpha) %显著性水平为 alpha [h,sig,ci,zval] = ztest(x,m,sigma,alpha,tail) %sig 为观察值的概率，当 sig 为小概 率时则对原假设提出质疑，ci 为真正均值μ的 1-alpha 置 信区间，zval 为统计量的值。 说明 若 h=0，表示在显著性水平 alpha 下，不能拒绝原假设； 若 h=1，表示在显著性水平 alpha 下，可以拒绝原假设。 原假设： H 0 : ? = ?0 = m ， 若 tail=0，表示备择假设： H 1 : ? ≠ ?0 = m （默认，双边检验） ； tail=1，表示备择假设： H 1 : ? & ?0 = m （单边检验） ；tail=-1，表示备择假设： H 1 : ? & ?0 = m （单边检验） 。 例 4-74 某车间用一台包装机包装葡萄糖， 包得的袋装糖重是一个随机变量，它服从正 态分布。当机器正常时，其均值为 0.5 公斤，标准差为 0.015。某日开工后检验包装机是否 正常，随机地抽取所包装的糖 9 袋，称得净重为（公斤）0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.52, 0.515, 0.512问机器是否正常？ 解：总体μ和σ已知，该问题是当 σ 2 为已知时，在水平 α = 0.05 下，根据样本值判断 μ=0.5 还是 ? ≠ 0.5 。为此提出假设：H 0 : ? = ? 0 = 0 .5 备择假设： H 1 : ? ≠ 0.5原假设：33 MATLAB6.0 数学手册 && X=[0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.52,0.515,0.512]; && [h,sig,ci,zval]=ztest(X,0.5,0.015,0.05,0)结果显示为h= 1 sig = 0.0248 ci = 0.5014 zval = 2.0 %置信区间，均值 0.5 在此区间之外 %统计量的值 %样本观察值的概率结果表明：h=1，说明在水平 α = 0.05 下，可拒绝原假设，即认为包装机工作不正常。4.8.2σ 2 未知，单个正态总体的均值μ的假设检验 t 检验法 未知，单个正态总体的均值μ的假设检验( 验法)函数 ttest 格式 h = ttest(x,m) % x 为正态总体的样本，m 为均值μ0，显著性水平为 0.05 h = ttest(x,m,alpha) %alpha 为给定显著性水平 [h,sig,ci] = ttest(x,m,alpha,tail) %sig 为观察值的概率，当 sig 为小概率时则对原 假设提出质疑，ci 为真正均值μ的 1-alpha 置信区间。 说明 若 h=0，表示在显著性水平 alpha 下，不能拒绝原假设； 若 h=1，表示在显著性水平 alpha 下，可以拒绝原假设。 原假设： H 0 : ? = ?0 = m ， 若 tail=0，表示备择假设： H 1 : ? ≠ ?0 = m （默认，双边检验） ； tail=1，表示备择假设： H 1 : ? & ?0 = m （单边检验） ； tail=-1，表示备择假设： H 1 : ? & ?0 = m （单边检验） 。 例 4-75 某种电子元件的寿命 X（以小时计）服从正态分布， ? 、σ2 均未知。现测得 16 只元件的寿命如下159 149 280 260 101 485 212 170 224 379 179 264 222 362 168 250问是否有理由认为元件的平均寿命大于 225（小时）？ 解：未知 σ2 ，在水平 α = 0.05 下检验假设： H 0 ： ? & ?0 = 225 ， H1 ： ? & 225&& X=[159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170]; && [h,sig,ci]=ttest(X,225,0.05,1)结果显示为：h= 0 sig = 0.2570 ci = 198.2321Inf%均值 225 在该置信区间内结果表明：H=0 表示在水平 α = 0.05 下应该接受原假设 H 0 ，即认为元件的平均寿命不 大于 225 小时。34 第4章概率统计4.8.3两个正态总体均值差的检验（ 检验） 两个正态总体均值差的检验（t 检验）两个正态总体方差未知但等方差时，比较两正态总体样本均值的假设检验 函数 ttest2 格式 [h,sig,ci]=ttest2(X,Y) %X，Y 为两个正态总体的样本，显著性水平为 0.05 [h,sig,ci]=ttest2(X,Y,alpha) %alpha 为显著性水平 [h,sig,ci]=ttest2(X,Y,alpha,tail) %sig 为当原假设为真时得到观察值的概率，当 sig 为小概率时则对原假设提出质疑，ci 为真正 均值μ的 1-alpha 置信区间。 说明 若 h=0，表示在显著性水平 alpha 下，不能拒绝原假设； 若 h=1，表示在显著性水平 alpha 下，可以拒绝原假设。 原假设： H 0 : ?1 = ?2 ， ( ?1 为 X 为期望值， ? 2 为 Y 的期望值) 若 tail=0，表示备择假设： H 1 : ?1 ≠ ?2 （默认，双边检验） ； tail=1，表示备择假设： H 1 : ?1 & ? 2 （单边检验） ； tail=-1，表示备择假设： H 1 : ?1 & ?2 （单边检验） 。 例 4-76 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的产率， 试验 是在同一只平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外，其他条件都尽可能做到相同。先用 标准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼一炉，以后交替进行，各炼 10 炉，其产率分别为 （1）标准方法：78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3 （2）新方法： 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1 设这两个样本相互独立，且分别来自正态总体 N(?1, σ2 ) 和 N(?2 , σ2 ) ， ?1 、 ? 2 、 σ2 均未 知。问建议的新操作方法能否提高产率？（取α=0.05） 解：两个总体方差不变时，在水平 α = 0.05 下检验假设： H 0 ： ?1 = ?2 ， H1 ： ?1 & ?2&& X=[78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3]; &&Y=[79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1]; && [h,sig,ci]=ttest2(X,Y,0.05,-1)结果显示为：h= 1 sig = 2. %说明两个总体均值相等的概率很小 ci = -Inf -1.9083结果表明：H=1 表示在水平 α = 0.05 下，应该拒绝原假设，即认为建议的新操作方法提 高了产率，因此，比原方法好。4.8.4两个总体一致性的检验― 秩和检验 两个总体一致性的检验――秩和检验%x、y 为两个总体的样本，可以不等长，alpha 为显著 性水平 [p,h] = ranksum(x,y,alpha) % h 为检验结果，h=0 表示 X 与 Y 的总体差别不显 著 h=1 表示 X 与 Y 的总体差别显著 [p,h,stats] = ranksum(x,y,alpha) %stats 中包括：ranksum 为秩和统计量的值以及函数 ranksum 格式 p = ranksum(x,y,alpha)35 MATLAB6.0 数学手册zval 为过去计算 p 的正态统计量的值 说明 P 为两个总体样本 X 和 Y 为一致的显著性概率， P 接近于 0， 若 则不一致较明显。 例 4-77 某商店为了确定向公司 A 或公司 B 购买某种商品，将 A 和 B 公司以往的各次 进货的次品率进行比较，数据如下所示，设两样本独立。问两公司的商品的质量有无显著差 异。设两公司的商品的次品的密度最多只差一个平移，取α=0.05。 A：7.0 3.5 9.6 8.1 6.2 5.1 10.4 4.0 2.0 10.5 B：5.7 3.2 4.1 11.0 9.7 6.9 3.6 4.8 5.6 8.4 10.1 5.5 12.3 解：设 ?A 、 ?B 分别为 A、B 两个公司的商品次品率总体的均值。则该问题为在水平α =0.05 下检验假设： H 0 ： ?A = ? B ， H1 ： ?A ≠ ?B&& A=[7.0 3.5 9.6 8.1 6.2 5.1 10.4 4.0 2.0 10.5]; && B=[5.7 3.2 4.1 11.0 9.7 6.9 3.6 4.8 5.6 8.4 10.1 5.5 12.3]; && [p,h,stats]=ranksum(A,B,0.05)结果为：p= 0.8041 h= 0 stats = zval: -0.2481 ranksum: 116结果表明：一方面，两样本总体均值相等的概率为 0.8041，不接近于 0；另一方面，H=0 也说明可以接受原假设 H 0 ，即认为两个公司的商品的质量无明显差异。4.8.5两个总体中位数相等的假设检验――符号秩检验 个总体中位数相等的假设检验―函数 signrank 格式 p = signrank(X,Y,alpha)% X、Y 为两个总体的样本，长度必须相同，alpha 为 显著性水平，P 两个样本 X 和 Y 的中位数相等的概 率，p 接近于 0 则可对原假设质疑。 [p,h] = signrank(X,Y,alpha) % h 为检验结果：h=0 表示 X 与 Y 的中位数之差不 显著，h=1 表示 X 与 Y 的中位数之差显著。 [p,h,stats] = signrank(x,y,alpha) % stats 中包括： signrank 为符号秩统计量的值以 及 zval 为过去计算 p 的正态统计量的值。 例 4-78 两个正态随机样本的中位数相等的假设检验&& x=normrnd(0,1,20,1); && y=normrnd(0,2,20,1); && [p,h,stats]=signrank(x,y,0.05) p= 0.3703 h= 0 stats = zval: -0.8960 signedrank: 81结果表明：h=0 表示 X 与 Y 的中位数之差不显著36 第4章概率统计4.8.6两个总体中位数相等的假设检验 两个总体中位数相等的假设检验――符号检验 位数相等的假设检验 符号检验函数 signtest 格式 p=signtest(X, Y, alpha)% X、Y 为两个总体的样本，长度必须相同，alpha 为显 著性水平，P 两个样本 X 和 Y 的中位数相等的概率，p 接近于 0 则可对原假设质疑。 [p, h]=signtest(X, Y, alpha) % h 为检验结果： h=0 表示 X 与 Y 的中位数之差不显 著，h=1 表示 X 与 Y 的中位数之差显著。 [p,h,stats] = signtest(X,Y,alpha) % stats 中 sign 为符号统计量的值 例 4-79 两个正态随机样本的中位数相等的假设检验&& X=normrnd(0,1,20,1); && Y=normrnd(0,2,20,1); && [p,h,stats]=signtest(X,Y,0.05) p= 0.2632 h= 0 stats = sign: 7结果表明：h=0 表示 X 与 Y 的中位数之差不显著4.8.7正态分布的拟合优度测试函数 jbtest 格式 H = jbtest(X) %对输入向量 X 进行 Jarque-Bera 测试，显著性水平为 0.05。 H = jbtest(X,alpha) %在水平 alpha 而非 5%下施行 Jarque-Bera 测试，alpha 在 0 和 1 之间。 [H,P,JBSTAT,CV] = jbtest(X,alpha) %P 为接受假设的概率值，P 越接近于 0，则 可以拒绝是正态分布的原假设；JBSTAT 为测试统计量的值，CV 为是否拒绝原假设的临界值。 说明 H 为测试结果，若 H=0，则可以认为 X 是服从正态分布的；若 X=1，则可以否 定 X 服从正态分布。X 为大样本，对于小样本用 lillietest 函数。 例 4-80 调用 MATLAB 中关于汽车重量的数据，测试该数据是否服从正态分布&& load carsmall && [h,p,j,cv]=jbtest(Weight) h= 1 p= 0.0267 j= 7.2448 cv = 5.9915说明 p=2.67%表示应该拒绝服从正态分布的假设；h=1 也可否定服从正态分布；统计 量的值 j = 7.2448 大于接受假设的临界值 cv =5.9915，因而拒绝假设(测试水平为 5%)。37 MATLAB6.0 数学手册4.8.8正态分布的拟合优度测试函数 lillietest 格式 H = lillietest(X) %对输入向量 X 进行 Lilliefors 测试，显著性水平为 0.05。 H = lillietest(X,alpha) %在水平 alpha 而非 5%下施行 Lilliefors 测试，alpha 在 0.01 和 0.2 之间。 [H,P,LSTAT,CV] = lillietest(X,alpha) %P 为接受假设的概率值，P 越接近于 0， 则可以拒绝是正态分布的原假设；LSTAT 为测试统计量的值， CV 为是否拒绝原假设的临界值。 说明 H 为测试结果，若 H=0，则可以认为 X 是服从正态分布的；若 X=1，则可以否定 X 服从正态分布。 例 4-81&& Y=chi2rnd(10,100,1); && [h,p,l,cv]=lillietest(Y) h= 1 p= 0.0175 l= 0.1062 cv = 0.0886图 4-21说明 h=1 表示拒绝正态分布的假设；p = 0.0175 表示服从正态分布的概率很小；统计 量的值 l = 0.1062 大于接受假设的临界值 cv =0.0886，因而拒绝假设(测试水平为 5%)。&&hist(Y)从图中看出，数据 Y 不服从正态分布。4.8.9单个样本分布的 Kolmogorov-Smirnov 测试kstest函数%测试向量 X 是否服从标准正态分布，测试水平为 5%。 %指定累积分布函数为 cdf 的测试(cdf=[ ]时表示标准正态分 布)，测试水平为 5% H = kstest(X,cdf,alpha) % alpha 为指定测试水平 [H,P,KSSTAT,CV] = kstest(X,cdf,alpha) %P 为原假设成立的概率， KSSTAT 为测 试统计量的值，CV 为是否接受假设的临界值。 说明 原假设为 X 服从标准正态分布。若 H=0 则不能拒绝原假设，H=1 则可以拒绝原 假设。 例 4-82 产生 100 个威布尔随机数，测试该随机数服从的分布&& x=weibrnd(1,2,100,1); && [H,p,ksstat,cv]=kstest(x,[x weibcdf(x,1,2)],0.05) H= 0 p= 0.3022 ksstat = %测试是否服从威布尔分布格式 H = kstest(X) H = kstest(X,cdf)38 第4章 0.0959 cv = 0.1340概率统计说明 H=0 表示接受原假设，统计量 ksstat 小于临界值表示接受原假设。 && [H,p,ksstat,cv]=kstest(x,[x expcdf(x,1)],0.05) %测试是否服从指数分布H= 1 p= 0.0073 ksstat = 0.1653 cv = 0.1340说明 H=1 表明拒绝服从指数分布的假设。&& [H,p,ksstat,cv]=kstest(x,[ ],0.05) H= 1 p= 3. ksstat = 0.5380 cv = 0.1340 %测试是否服从标准正态分布说明 H=1 表明不服从标准正态分布。4.8.10两个样本具有相同的连续分布的假设检验%测试向量 X1 与 X2 是具有相同的连续分布，测试水 平为 5%。 H = kstest2(X1,X2,alpha) % alpha 为测试水平 [H,P,KSSTAT] = kstest(X,cdf,alpha) %与指定累积分布 cdf 相同的连续分布，P 为假设成立的概率，KSSTAT 为测试统计量的值。 说明 原假设为具有相同连续分布。测试结果为 H，若 H=0，表示应接受原假设；若 H=1，表示可以拒绝原假设。这是 Kolmogorov-Smirnov 测试方法。 例 4-83&& x=-1:1:5; && y=randn(20,1); && [h,p,k]=kstest2(x,y) h= 1 p= 0.0444 k= 0.5643函数 kstest2 格式 H = kstest2(X1,X2)说明 h=1 表示可以认为向量 x 与 y 的分布不相同，相同的概率只有 4.4%。4.9方差分析39 MATLAB6.0 数学手册4.9.1单因素方差分析单因素方差分析是比较两组或多组数据的均值，它返回原假设――均值相等的概率 函数 anova1 格式 p = anova1(X) %X 的各列为彼此独立的样本观察值，其元素个数相同，p 为各 列均值相等的概率值，若 p 值接近于 0，则原假设受到怀疑， 说明至少有一列均值与其余列均值有明显不同。 p = anova1(X,group) %X 和 group 为向量且 group 要与 X 对应 p = anova1(X,group,'displayopt') % displayopt=on/off 表示显示与隐藏方差分析 表图和盒图 [p,table] = anova1(…) % table 为方差分析表 [p,table,stats] = anova1(…) % stats 为分析结果的构造 说明 anova1 函数产生两个图：标准的方差分析表图和盒图。 方差分析表中有 6 列：第 1 列(source)显示：X 中数据可变性的来源；第 2 列(SS)显示： 用于每一列的平方和；第 3 列(df)显示：与每一种可变性来源有关的自由度；第 4 列(MS)显 示：是 SS/df 的比值；第 5 列(F)显示：F 统计量数值，它是 MS 的比率；第 6 列显示：从 F 累积分布中得到的概率，当 F 增加时，p 值减少。 例 4-84 设有 3 台机器，用来生产规格相同的铝合金薄板。取样测量薄板的厚度，精确 至‰厘米。得结果如下： 机器 1：0.236 0.238 0.248 0.245 0.243 机器 2：0.257 0.253 0.255 0.254 0.261 机器 3：0.258 0.264 0.259 0.267 0.262 检验各台机器所生产的薄板的厚度有无显著的差异？ 解：&& X=[0.236 0.238 0.248 0.258 0.264 0.259 && P=anova1(X') 0.245 0.243; 0.257 0.253 0.267 0.262]; 0.255 0.254 0.261;…结果为：P= 1.还有两个图，即图 4-22 和图 4-23。0.265 0.26 0.255 Values 0.25 0.245 0.24 0.235 1 2 Colum n Num ber 3图 4-22图 4-2340 第4章概率统计例 4-85 建筑横梁强度的研究：3000 磅力量作用在一英寸的横梁上来测量横梁的挠度， 钢筋横梁的测试强度是：82 86 79 83 84 85 86 87；其余两种更贵的合金横梁强度 测试为合金 1：74 82 78 75 76 77；合金 2：79 79 77 78 82 79]。 检验这些合金强度有无明显差异？ 解：&& strength = [82 86 79 83 84 85 86 87 74 82 78 75 76 77 79 79 77 78 82 79]; &&alloy = {'st','st','st','st','st','st','st','st', 'al1','al1','al1','al1','al1','al1',… 'al2','al2','al2','al2','al2','al2'}; && [p,table,stats] = anova1(strength,alloy,'on')结果为p= 1. table = 'Source' 'SS' 'Groups' [184.8000] 'Error' [102.0000] 'Total' [286.8000] stats = gnames: {3x1 cell} n: [8 6 6] source: 'anova1' means: [84 77 79] df: 17 s: 2.4495'df' [ 2] [17] [19]'MS' [92.4000] [ 6.0000] []'F' [15.4000] [] []'Prob&F' [1.] [] []86 84 82 V alues 80 78 76 74 st al1 al2图 4-24图 4-25说明 p 值显示，3 种合金是明显不同的，盒图显示钢横梁的挠度大于另两种合金横梁 的挠度。4.9.2双因素方差分析函数 anova2 格式 p = anova2(X,reps) p = anova2(X,reps,'displayopt') [p,table] = anova2(…) [p,table,stats] = anova2(…) 说明 执行平衡的双因素试验的方差分析来比较 X 中两个或多个列（行）的均值，不 同列的数据表示因素 A 的差异，不同行的数据表示另一因素 B 的差异。如果行列对有多于 一个的观察点，则变量 reps 指出每一单元观察点的数目，每一单元包含 reps 行，如：41 MATLAB6.0 数学手册A =1 A = 2? x111 x112 ? }B = 1 ?x x122 ? ? 121 ? ?x 211 x 212 ? ? ? }B = 2 ?x 221 x 222 ? ?x 311 x 312 ? ? ? }B = 3 ?x 321 x 322 ?reps=2 其余参数与单因素方差分析参数相似。 例 4-86 一火箭使用了 4 种燃料，3 种推进器作射程试验，每种燃料与每种推进器的组 合各发射火箭 2 次，得到结果如下：推进器（B） A1 A2 燃料 A A3 A4 B1 58.0 49.0 60.0 75.0 B2 56.0 54.0 70.0 58.0 B3 65.0 51.0 39.0 48.0考察推进器和燃料这两个因素对射程是否有显著的影响？ 解：建立 M 文件X=[58.0 49.0 60.0 75.0 P=anova2(X,2) 56.0 54.0 70.0 58.0 65.0 51.0 39.0 48.0];结果为：P= 0.0 0.0001显示方差分析图为图 4-26。图 4-2642
第4 章 概率统计 第4章 概率统计 本章介绍 MATLAB 在概率统计中的若干命令和使用格式,这些命令存放于 MatlabR12\Toolbox\Stats 中。 4.1 随机数的产生 4.1.1 ...概率统计实验报告_数学_自然科学_专业资料。使用...(2)、用 Matlab 的命令求解,正确确定表达式中 n,...实验报告格式排版 分值 2分 6分 6分 4分 2分 ...“随机变量及其分布”相关,通过 Matlab 中的函数来...通过本实验学习一些经常使用的统计数据的作图命令, ...计算正态分布的概率密度函数值,调用格式: y=normpdf...概率统计实验报告_数学_自然科学_专业资料。概率论与...解 在命令窗口中输入 normrnd(0,1,1,10) 在命令...其基本格式为 hist(y,m), 其功能为将 y 的数值...格式:doc 关键词:暂无1/2 相关文档推荐 ...的上 0.05 分位数为 3.2039 实验二 概率作图 ...掌握 MATLAB 画图命令 plot 2.掌握常见分布的概率...23 18 28 15 24 28 29 16 17 19 18) 问题分析本题主要就是对于样本的各种相关概率统计,而已用 matlab 中概率统计相关的函数进行解 决,思路和方法都很明确...第8章 Matlab 在概率统计中的应用 概率论与数理统计是研究和应用随机现象统计...(累积概率值) 命令:cdf 格式:cdf (‘name’, k, A) cdf (‘name’, k...概率统计中的MatLab操作_数学_自然科学_专业资料。概率统计中的 MatLab 操作(一...区间上的均匀分布,则可以使用下面方法 4 ⑷指数分布 格式 exprnd(mu,m,n) ...格式:doc 关键词:暂无同系列文档 朝鲜历届领导人资料...用 MATLAB 软件辅助《概率论与数理统计》课程的教学...并且统计工具箱中的命令调用格式极为简单方便, 对财务...MATLAB 中取整的几个函数命令: (1) 命令格式: fix(x) 功能: 对 x 朝零...那么,这个概率就不能建立在等可能基础上,即不能使用古 典概率的定义。 而统计...
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