相似两个矩阵相似全体构成群吗
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&&矩阵理论与应用----上海交通大学张跃辉---习题解答
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尔雅数学思维方式与创新答案
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尔雅数学思维方式与创新答案
官方公共微信《相似矩阵的性质》_精选优秀范文十篇
相似矩阵的性质
相似矩阵的性质
范文一：1 矩阵的相似1.1 定义
1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形
2 相似的条件3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵
相似矩阵与矩阵的对角化
相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】）矩阵的相似及其应用 1.1
矩阵的相似定义1.1：设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B?X?1AX，就说A相似于B记作A∽B 1.2
相似的性质（1）反身性A∽A：；这是因为A?E?1AE.（2）对称性：如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使B?X?1AX，令Y?X?1，就有A?XBX?1?Y?1BY，所以B∽A。（3）传递性：如果A∽B，B∽C，那么A∽C。已知有X,Y使B?X?1AX，C?Y?1BY。令Z?XY，就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ，因此，A∽C。1.3 相似矩阵的性质 若A,B?Cn?n，A∽B，则： （1）r(A)?r(B)；Q是n?n可逆矩阵，引理：A是一个s?n矩阵，如果P是一个s?s可逆矩阵，那么秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）证明：设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC,由引理2可知，秩?1（B）=秩（B?CAC）=秩（AC）=秩（A）（2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即P?1AP?B?P?1f(A)P?f(B)证明：设f(x)?anx?an?1xnnn?1??a1x?a0 a1A?a0E a1B?a0E于是，f(A)?anAn?an?1An?1?
f(B)?anB?an?1Bn?1kk由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得Bk?X?1AkX，?1?1anAn?an?1An?1?因此 Xf?A?X?X?a1A?a0E?X?anX?1AnX?an?1X?1An?1X?
?anBn?an?1Bn?1?
?f(B) 所以f(A)相似于f(B)。?a1X?1AX?a0Ea1B?a0E（3）相似矩阵有相同的行列式，即A?B,trA?trB；证明：设A与B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC，两边取行列式?1?1AC?AC?1C?A，从而相似矩阵有相同的行列式。 得：B?CAC?C又由性质（2）知，A与B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值?1,?2,A的迹trA??1??2?矩阵有相同的迹,?n，而??n，B的迹trB??1??2???n，从而trA?trB，即相似（4）A与B有相同的Jordan标准形； （5）相似矩阵同时可逆或同时不可逆。证明：设A与B相似，由性质2可知A?B，若A可逆，即A?0，从而B?0，故B可逆；若A不可逆，即A=0，从而B=0,故B不可逆。
（6）若?1证明：A与B相似，即存在可逆矩阵P,使得B?PAP,C与D相似，即存在可逆矩阵Q,A与B相似，B与D相似，则??A0??B0??与??相似。?0C??0D??B0??P?10??A0??P0?使得D?QCQ，由于??=???? ?1??0D0C0Q0Q?????????1?P0??A0??P0?
=??????0Q0C0Q???????1?P0??A0??B0?显然??与??相似。 ?是可逆矩阵。由此可见，则?0C0D0Q??????定理1.1：线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。证明：先证前一部分。设线性空间V中线性变换A 在两组基：?1,?2,,?n （1）
?1,?2,.,?n（2）下的矩阵分别为A和B,从基⑴到基⑵的过渡矩阵为X，则：(A?1,A?2,(A?1,A?2,(?1,?2,于是,A?n)?(?1,?2,.,?n)A，
,A?n)?(?1,?2,,?n)B,?n)?(?1,?2,.,?n)X(A?1,A?2,,A?n)?A(?1,?2,,?n)?A[(?1,?2,.,?n)X]?(A?1,A?2,,A?n)X ?(?1,?2,?1,.?n)AX ?(?1,?2,.,?n)X?1AX由此可得
B?XAX现在证后一部分。设n级矩阵A和B相似，那么它们可以 看作是n维线性空间V中一个线性变换 在基?1,?2,.的矩阵。因为B?X?1AX，令：,?n下(?1,?2,,?n)?(?1,?2,,.?n)X,显然，?1,?2,?n 也是一组基，A在这组基下的矩阵就是B。??1?例一：证明????1,2,?2???i1???与??????n????i2???相似，其中 i,i,12???in??,in是,n的一个排列。证明：设：A(?1,?2,?n)??(?1,?2,??1??n)?????2??????n?，则A(?1?,2?n,??,??)1??i1??(?n2?????,i2,???1???，,.因为)??????in????2???和???n???i1???????i2???是线性变换A在不同基下的矩阵，故它们相似。 ???in??定理2.1：设A,B是数域P上的两个n级矩阵，A与B相似的充要条件是它们的特征矩阵?E?A和?E?B等价。?bca??cab?????例一：设a,b,c是实数，A??cab?，B??abc?,证明A与B相似。?abc??bca?????证明：?a???a?b??c??b????b?c???c?a??????E?A???c??a?b??c??a?b??b?c??a????????a???a??b?c??b??c??a??????b?c????b????c?a?????a??b?c???E?B ??b?c??a???故?E?A和?E?B等价，从而A∽B3，矩阵相似的应用 3.1相似矩阵与特征矩阵定义3.1.1：把矩阵A（或线性变换A ）的每个次数大于零的不变因子分解成互相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换A ）的初等因子。定理3.1.1：数域F上的方阵A与B相似的充要条件是?E?A和?E?B有相同的列式因子。定理3.1.2：两个同级复数矩阵相似充要条件是它们有相同的初等因子。例1：证明：任何方阵A与其转置方阵A? 相似。证明：因为?E?A与?E?A? 互为转置矩阵，它们对应k阶子式互为转置行列式，故相等。从而两者有完全相同的各阶行列式因子，于是两者有完全相同的不变因子。故?E?A与?E?A? 等价，从而A与A? 相似。例2：证明：相似方阵有相同的最小的多项式。证法一：设A与B相似，即可存在可逆矩阵Q，使B?Q?1AQ，又设A与B的最小多项式分别为g1???,g2???，于是：g1?B??g2?Q?1AQ??Q?1g1?A?Q?0,但是，B的最小多项式整除任何以B为根的多项式，故g1????g2???证法二：设A与B相似，则?E?A和?E?B等价，从而有完全相同的不变因子，但最后一个不变因子就是最小多项式，故A与B有相同的最小的多项式。4 相似矩阵与矩阵的对角化矩阵的对角化问题的解法及其应用都有其明显特色，因而线性代数中通常被单独处理，尽管矩阵相似是完全独立的另一概念，但是却与对角化问题有重要的关联。定义3.1.2：数域F上方阵A，如果与一个F上的对角方阵相似，则称A在F上可对角化。定理3.2.3：复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的初等因子全是一次的。定理3.2.4：复数矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是A的不变因子都没有重根。定理3.2.5：复数域上方阵A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是A的最小多项式没有重根。定理3.2.6：设A是n阶方阵，则以下条件是等价的：（1）A相似于对角矩阵；（2）属于A的不同特征值的特征向量线性无关；（3）A有n个线性无关的特征向量；（4）A的每一特征值的代数重数都等于它的几何重数。例4：设复矩阵A的最小多项式f?????2k?1，证明：A与对角阵相似。证明：?f???,f????????2k?1,2k?2k?1??1 ，即A的最小多项式无重根，所以A的初等因子都是一次的，所以A相似于对角阵。例5：设A为n阶方阵，f?????E? 是A的特征多项式，并令：G????f???f???,f????，证明：A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是g?A??0。证明：设f?????E?A?????1?n1????2?n2????r?n，其中?1,?2,...?r互不相等，且n1?n2?nr?n，则：g????????1?????2?????r?。如果A与一个对角矩阵相似，则?E?A的初等因子都是一次的，其中全部不同的初等因子是???1,???2,,???r ，它们的乘积就是?E?A最后一个不变因子但dn??? 就 是?E?A????r??g???。亦即dn????????1?????2?dn???，的 最 小 多 项 式 ， 所 以g?A??dn?A??0。反之，若g?A??0，则A的最小多项式dn???整除g???，因而dn???没有重根，故A与对角矩阵相似。?1?3?1???例7：设A??210? ，试证明：?311???（1）A在复数域上可对角化；（2）A在有理数域上不可对角化。证明：⑴f?????E?A??3?3?2?12??8 ,f?????3?2?6??12,用辗转相除法可证得?f???,f??????1，故在复数域上A相似于对角矩阵。（2）若A在有理数域上可对角化，那么A的特征值必须都是有理数，从而f???有有理根，而f???的首项系数为1，从而f???的有理根必为整数根。由于f???的常数项为-8，如果f???有整数根必为?1,?2,?4,?8，用综合除法验算它们都不是f???的根，因此f???无有理根，从而得证A在有理数域上不可对角化。注：两个矩阵是否相似同数域的大小无关，但是，一个矩阵是否可对角化?0?1?（即与一个对角矩阵相似）却同数域的大小有关，例如，二阶方阵A???在?10?实数域上不可对角化，但在复数域上却可以对角化，因为此时它与对角矩阵?i0??11??1B??? ，即有PAP?B。 ? 相似，事实上，取P????ii??0?i?原文地址：1 矩阵的相似1.1 定义
1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形
2 相似的条件3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵
相似矩阵与矩阵的对角化
相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】）矩阵的相似及其应用 1.1
矩阵的相似定义1.1：设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B?X?1AX，就说A相似于B记作A∽B 1.2
相似的性质（1）反身性A∽A：；这是因为A?E?1AE.（2）对称性：如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使B?X?1AX，令Y?X?1，就有A?XBX?1?Y?1BY，所以B∽A。（3）传递性：如果A∽B，B∽C，那么A∽C。已知有X,Y使B?X?1AX，C?Y?1BY。令Z?XY，就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ，因此，A∽C。1.3 相似矩阵的性质 若A,B?Cn?n，A∽B，则： （1）r(A)?r(B)；Q是n?n可逆矩阵，引理：A是一个s?n矩阵，如果P是一个s?s可逆矩阵，那么秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）证明：设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC,由引理2可知，秩?1（B）=秩（B?CAC）=秩（AC）=秩（A）（2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即P?1AP?B?P?1f(A)P?f(B)证明：设f(x)?anx?an?1xnnn?1??a1x?a0 a1A?a0E a1B?a0E于是，f(A)?anAn?an?1An?1?
f(B)?anB?an?1Bn?1kk由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得Bk?X?1AkX，?1?1anAn?an?1An?1?因此 Xf?A?X?X?a1A?a0E?X?anX?1AnX?an?1X?1An?1X?
?anBn?an?1Bn?1?
?f(B) 所以f(A)相似于f(B)。?a1X?1AX?a0Ea1B?a0E（3）相似矩阵有相同的行列式，即A?B,trA?trB；证明：设A与B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC，两边取行列式?1?1AC?AC?1C?A，从而相似矩阵有相同的行列式。 得：B?CAC?C又由性质（2）知，A与B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值?1,?2,A的迹trA??1??2?矩阵有相同的迹,?n，而??n，B的迹trB??1??2???n，从而trA?trB，即相似（4）A与B有相同的Jordan标准形； （5）相似矩阵同时可逆或同时不可逆。证明：设A与B相似，由性质2可知A?B，若A可逆，即A?0，从而B?0，故B可逆；若A不可逆，即A=0，从而B=0,故B不可逆。
（6）若?1证明：A与B相似，即存在可逆矩阵P,使得B?PAP,C与D相似，即存在可逆矩阵Q,A与B相似，B与D相似，则??A0??B0??与??相似。?0C??0D??B0??P?10??A0??P0?使得D?QCQ，由于??=???? ?1??0D0C0Q0Q?????????1?P0??A0??P0?
=??????0Q0C0Q???????1?P0??A0??B0?显然??与??相似。 ?是可逆矩阵。由此可见，则?0C0D0Q??????定理1.1：线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。证明：先证前一部分。设线性空间V中线性变换A 在两组基：?1,?2,,?n （1）
?1,?2,.,?n（2）下的矩阵分别为A和B,从基⑴到基⑵的过渡矩阵为X，则：(A?1,A?2,(A?1,A?2,(?1,?2,于是,A?n)?(?1,?2,.,?n)A，
,A?n)?(?1,?2,,?n)B,?n)?(?1,?2,.,?n)X(A?1,A?2,,A?n)?A(?1,?2,,?n)?A[(?1,?2,.,?n)X]?(A?1,A?2,,A?n)X ?(?1,?2,?1,.?n)AX ?(?1,?2,.,?n)X?1AX由此可得
B?XAX现在证后一部分。设n级矩阵A和B相似，那么它们可以 看作是n维线性空间V中一个线性变换 在基?1,?2,.的矩阵。因为B?X?1AX，令：,?n下(?1,?2,,?n)?(?1,?2,,.?n)X,显然，?1,?2,?n 也是一组基，A在这组基下的矩阵就是B。??1?例一：证明????1,2,?2???i1???与??????n????i2???相似，其中 i,i,12???in??,in是,n的一个排列。证明：设：A(?1,?2,?n)??(?1,?2,??1??n)?????2??????n?，则A(?1?,2?n,??,??)1??i1??(?n2?????,i2,???1???，,.因为)??????in????2???和???n???i1???????i2???是线性变换A在不同基下的矩阵，故它们相似。 ???in??定理2.1：设A,B是数域P上的两个n级矩阵，A与B相似的充要条件是它们的特征矩阵?E?A和?E?B等价。?bca??cab?????例一：设a,b,c是实数，A??cab?，B??abc?,证明A与B相似。?abc??bca?????证明：?a???a?b??c??b????b?c???c?a??????E?A???c??a?b??c??a?b??b?c??a????????a???a??b?c??b??c??a??????b?c????b????c?a?????a??b?c???E?B ??b?c??a???故?E?A和?E?B等价，从而A∽B3，矩阵相似的应用 3.1相似矩阵与特征矩阵定义3.1.1：把矩阵A（或线性变换A ）的每个次数大于零的不变因子分解成互相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换A ）的初等因子。定理3.1.1：数域F上的方阵A与B相似的充要条件是?E?A和?E?B有相同的列式因子。定理3.1.2：两个同级复数矩阵相似充要条件是它们有相同的初等因子。例1：证明：任何方阵A与其转置方阵A? 相似。证明：因为?E?A与?E?A? 互为转置矩阵，它们对应k阶子式互为转置行列式，故相等。从而两者有完全相同的各阶行列式因子，于是两者有完全相同的不变因子。故?E?A与?E?A? 等价，从而A与A? 相似。例2：证明：相似方阵有相同的最小的多项式。证法一：设A与B相似，即可存在可逆矩阵Q，使B?Q?1AQ，又设A与B的最小多项式分别为g1???,g2???，于是：g1?B??g2?Q?1AQ??Q?1g1?A?Q?0,但是，B的最小多项式整除任何以B为根的多项式，故g1????g2???证法二：设A与B相似，则?E?A和?E?B等价，从而有完全相同的不变因子，但最后一个不变因子就是最小多项式，故A与B有相同的最小的多项式。4 相似矩阵与矩阵的对角化矩阵的对角化问题的解法及其应用都有其明显特色，因而线性代数中通常被单独处理，尽管矩阵相似是完全独立的另一概念，但是却与对角化问题有重要的关联。定义3.1.2：数域F上方阵A，如果与一个F上的对角方阵相似，则称A在F上可对角化。定理3.2.3：复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的初等因子全是一次的。定理3.2.4：复数矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是A的不变因子都没有重根。定理3.2.5：复数域上方阵A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是A的最小多项式没有重根。定理3.2.6：设A是n阶方阵，则以下条件是等价的：（1）A相似于对角矩阵；（2）属于A的不同特征值的特征向量线性无关；（3）A有n个线性无关的特征向量；（4）A的每一特征值的代数重数都等于它的几何重数。例4：设复矩阵A的最小多项式f?????2k?1，证明：A与对角阵相似。证明：?f???,f????????2k?1,2k?2k?1??1 ，即A的最小多项式无重根，所以A的初等因子都是一次的，所以A相似于对角阵。例5：设A为n阶方阵，f?????E? 是A的特征多项式，并令：G????f???f???,f????，证明：A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是g?A??0。证明：设f?????E?A?????1?n1????2?n2????r?n，其中?1,?2,...?r互不相等，且n1?n2?nr?n，则：g????????1?????2?????r?。如果A与一个对角矩阵相似，则?E?A的初等因子都是一次的，其中全部不同的初等因子是???1,???2,,???r ，它们的乘积就是?E?A最后一个不变因子但dn??? 就 是?E?A????r??g???。亦即dn????????1?????2?dn???，的 最 小 多 项 式 ， 所 以g?A??dn?A??0。反之，若g?A??0，则A的最小多项式dn???整除g???，因而dn???没有重根，故A与对角矩阵相似。?1?3?1???例7：设A??210? ，试证明：?311???（1）A在复数域上可对角化；（2）A在有理数域上不可对角化。证明：⑴f?????E?A??3?3?2?12??8 ,f?????3?2?6??12,用辗转相除法可证得?f???,f??????1，故在复数域上A相似于对角矩阵。（2）若A在有理数域上可对角化，那么A的特征值必须都是有理数，从而f???有有理根，而f???的首项系数为1，从而f???的有理根必为整数根。由于f???的常数项为-8，如果f???有整数根必为?1,?2,?4,?8，用综合除法验算它们都不是f???的根，因此f???无有理根，从而得证A在有理数域上不可对角化。注：两个矩阵是否相似同数域的大小无关，但是，一个矩阵是否可对角化?0?1?（即与一个对角矩阵相似）却同数域的大小有关，例如，二阶方阵A???在?10?实数域上不可对角化，但在复数域上却可以对角化，因为此时它与对角矩阵?i0??11??1B??? ，即有PAP?B。 ? 相似，事实上，取P????ii??0?i?
范文二：§3 相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化一、相似矩阵与相似变换的概念定义1使 设 A , B 都是 n 阶矩阵, 若有可逆矩阵 P , P -1 AP = B ,则称 B 是 A 的相似矩阵 , 或说矩阵 A 与 B 相似. 对 A 进行运算 P -1 AP 称为对 A进行相似变换 , 可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B的相似变换矩阵 .二、相似矩阵与相似变换的性质若A与B相似, 则Am 与B m 相似(m 为正整数 ).定理3 若 n 阶矩阵 A 与 B 相似 , 则 A 与 B 的特征多项式相同 , 从而 A 与 B 的特征值亦相同 .证明 ? A与B相似 ,∴ 存在可逆阵 P , 使得 P -1 AP = B ,∴ B - λE = P AP - P = P = P-1 -1-1-1(λ E ) P( A - λE ) PA - λE P= A - λE .推论 若 n 阶方阵A与对角阵? λ1 ? ? ? λ2 ? ? Λ=? ? ? ? ? ? ? λ ? n?相似 , 则λ1 , λ2 ,? , λn 即是 A 的 n 个特征值 .利用对角矩阵计算矩阵多项式 k个 若A = PB P -1 , 则 k A = PB P -1 PB P -1 ? PB P -1PB P -1 = P B k P -1 . A的多项式? ( A) = a 0 An + a1 An-1 + ? + a n-1 A + a n E= a 0 P B n P -1 + a 1 P B n -1 P -1 + ? + a n-1 PB P -1 + a n PE P -1= P ( a 0 B n + a 1 B n -1 + ? + a n -1 B + a n E ) P -1 = P? ( B ) P -1 .特别地 , 若可逆矩阵 P使 P -1 AP = Λ为对角矩阵 , 则k -1 P = A Λ P , k? ( A) = P? ( Λ ) P -1 .对于对角矩阵 Λ , 有k ? λ1 ? ? ? k λ ? ? 2 k , Λ =? ? ? ? ? ? k? λn? ?? ? ? ( λ 1) ? ? ? ( λ 1) ? ? ? (Λ ) = ? , ? ? ? ? ? ? ? ( ) λ1 ? ?利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 的多项式 ? ( A) . 定理 设 f (λ ) 是矩阵 A 的特征多项式, 则 f ( A) = O .三、利用相似变换将方阵对角化对 n 阶方阵 A , 若可找到可逆矩阵 P , 使 P -1 AP = Λ为对角阵 , 这就称为把方阵 A对角化 .定理4 n阶矩阵 A与对角矩阵相似 (即A能对角化 ) 的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量 .推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等， 则 A 与对角阵相似． （A与对角阵相似的充分条件） 说明 如果 A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能 对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， A 还是能对角化．例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？? - 2 1 - 2? ? 1 -2 2 ? ? ? ? ? (1) A = ? - 2 - 2 4 ? ( 2) A = ? - 5 3 - 3 ? ? 1 0 2 ? ? 2 ? ? ? 4 - 2? ? 解 1- λ -2 2 4 (1) 由 A - λE = - 2 - 2 - λ 2 4 -2-λ= - (λ - 2 ) (λ + 7 )2=0得 λ1 = λ2 = 2, λ3 = -7.将 λ1 = λ2 = 2代入( A - λ1 E ) x = 0, 得方程组? - x1 - 2 x2 + 2 x3 = 0 ? ? - 2 x1 - 4 x2 + 4 x3 = 0 ? 2x + 4x - 4x = 0 ? 1 2 3解之得基础解系? 2? ? 0? ? ? ? ? α1 = ? 0 ? , α 2 = ? 1 ?. ? 1? ? 1? ? ? ? ?同理 , 对λ 3 = -7,由( A - λE ) x = 0,求得基础解系 α 3 = (1,2,2 )2 0 1 由于 0 1 2 ≠ 0, 1 1 2T所以 α 1 ,α 2 ,α 3线性无关 .即A有 3个线性无关的特征向量 ,因而 A可对角 化.? - 2 1 - 2? ? ? ( 2) A = ? - 5 3 - 3 ? ? 1 0 2 ? ? ? 2-λ -12 3 = - (λ + 1 ) -2-λ3A - λE =5 -1-3-λ 0所以 A的特征值为 λ1 = λ 2 = λ 3 = -1. 把λ = -1代入( A - λE ) x = 0, 解之得基础解系 T ξ = (1,1,-1) ,故A 不能化为对角矩阵.6 0? ? 4 ? ? 例2 设 A = ? - 3 - 5 0 ? ? - 3 - 6 1? ? ? A能否对角化？若能对角 化, 则求出可逆矩阵 P , 使P -1 AP为对角阵 .解4-λ 6 0 2 ( ) (λ + 2 ) = - λ - 1 A - λE = - 3 - 5 - λ 0 -3 -6 1- λ所以 A的全部特征值为 λ1 = λ2 = 1, λ3 = -2.将λ1 = λ2 = 1代入( A - λE ) x = 0得方程组? 3 x1 + 6 x2 = 0 ? ? - 3 x1 - 6 x2 = 0 ?- 3 x - 6 x = 0 ? 1 2解之得基础解系? - 2? ? ? ξ1 = ? 1 ? , ? 0 ? ? ? ? 0? ? ? ξ2 = ? 0 ? . ? 1? ? ?将λ 3 = -2代入( A - λE ) x = 0, 得方程组的基础 解系ξ 3 = (-1,1,1)T .所以 A 可对角化. 0 - 1? ? 0 1? 1 1? ?0 0 ? ? 1 0 ? . 0 - 2? ?由于 ξ1 ,ξ 2 ,ξ 3 线性无关 . ?- 2 ? 令 P = (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ) = ? 1 ? 0 ? ?1 ? -1 则有 P AP = ? 0 ?0 ??-1 ? 若令 P = (ξ 3 ,ξ 1 ,ξ 2 ) = ? 1 ? 1 ? ? -2 0 ? -1 则有 P AP = ? 0 1 ? 0 0 ?注意-2 0 ? ? 1 0 ?, 0 1 ? ? 0 ? ? 0 ?. 1? ?即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．例 3设?0 0 1? ? ? A = ?1 1 x? ?1 0 0? ? ?问x为何值时，矩阵A能对角化？ 解：-λ A - λE = 1 10 1- λ 01x = (1 - λ ) 1 -λ-λ1 -λ= -(λ - 1) 2 (λ + 1)得λ1 = -1 , λ2 = 1由于A可对角化所以二重根 λ1 = λ2 = 1有两个 线性无关的特征向量于 是R( A - E ) = 1?-1 0 1 ? ?1 0 ? ? ? 所以 A - E = ? 1 0 x ? ~ ? 0 0 ? 1 0 - 1? ? 0 0 ? ? ? -1 ? ? x + 1? 0 ? ?所以x = -1
范文三：浅谈相似矩阵和合同矩阵李 鹏摘 要：矩阵的相似与矩阵的合同是线性代数中两个重要的概念.对它们的定义如何？它们定义 中所表现出来的异同点作了简单阐述.二者都是针对方阵来说的，定义中都是要求存在一个可逆矩阵，但一个是可逆矩阵的逆，一个是可逆矩阵的转置.它们都属于等价关系，即都有反身性、对称性、传递性.两者之间虽然存在某些内在联系，但并不是等价的，只有二者定义中的可逆矩阵是正交矩阵时，二者才等价.关键词： 相似矩阵；
合同矩阵；
特征值1 引言相似矩阵与合同矩阵是线性代数中很重要的两个概念，前人对它们进行了很详尽的研究和比较完美的应用，本文从他们的定义出发对它们进行了简单的介绍并对它们的判断方法进行了总结，用具体例子对它们的判断方法进行贴切的说明.这些对以后的线性代数问题会有很大用处.2 相似矩阵与合同矩阵的定义及性质2．1 相似矩阵的定义及性质2．1．1 相似矩阵的定义 设A、B为两个n阶矩阵，若存在n阶可逆矩阵C，使得C?1AC?B则称A与相B似，记为A～B称可逆矩阵C为相似变换矩阵.在线性变换中，说同一线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的，反过来，若两矩阵相似，则它们可看成同一线性变换在两组不同基下所对应的矩阵.相似是矩阵之间的一种关系，它满足 （1）反身性，即A～A；（2）对称性，即若A～B，则有B～A； （3）传递性，即若A～B且B～C，则A～C.2．1．2 相似矩阵的性质 性质1
若矩阵A~B，则A?B. 证
设A~B，则存在可逆矩阵C，使得C?1AC?B两边同时取行列式，得B?C?1AC?C?1AC?A性质2
可逆的相似矩阵，它们的逆矩阵也相似.证
A，B均为可逆矩阵，且A~B，则存在可逆矩阵C，使得B?1??C?1AC??C?1A?1C，?1即A?1?B?1.性质3
若A~B，则kA?kB，An?Bn其中k是任意常数，m为正整数. 证
设A~B，则存在可逆矩阵C，使得 从而有kB?kC?1AC?C?1?kA?C, 即kA?kB.Bn??C?1AC???C?1AC??C?1AC???C?1AC??C?1AnCn即An?Bn.性质4
若A~B，f?x?是一个多项式，则f?A??f?B?. 证
设f?x??a0?a1x?a2x???anx 因为A~B，所以存在可逆矩阵C，使得f?B??a0E?a1B?a2B2???anBn?a0E?a1?C?1AC??a2?C?1AC???an?C?1AC?2n?C?1?a0E?a1A?a2A2??anAn?C?C?1f?A?C即f?A??f?B?.性质5
相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.
A~B，则存在可逆矩阵C，使得而?E?B??E?C?1AC?C?1??E?A?C?C?1?E?AC??E?A 即矩阵A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.性质6
两个n阶方阵A,B有相同的特征值 ，证明：它们的特征向量之间相差一个可逆矩阵因子.证
若矩阵A,B相似，则存在X，使得B?X?1AX，进而设A的属于?0的特征向量为?，则??0E?A??=0，于是由A?XBX?1知，??0E?A??=??0E?XBX?1??=0用X?1左乘上式，得??0E?B?X?1?=0.这就意味着X?1?是B的属于特征值?0的特征向量. 同理可证，若?为矩阵B的属于特征值?0的特征向量，则X?必为A的属于?0的特征向量.tAtB?另外，相似矩阵有相同的迹.即若A~B，则r?r?且B?diag??1,?2,??n?,??;若A~B，则?1，?2…?n为A的特征值；若矩阵A,B均可逆，且A~B，则A*?B*.2．1．3 相似矩阵的判定定理1 两矩阵相似的充要条件是?E?A等价于?E?B. 为此,引入以下引理引理1 如果有P,Q使得?E?A?P??E?B?Q,则A与B相似.引理2 对于任何不为零的矩阵A和?-矩阵U???，V???, 一定存在Q???，R???，U0，V0，使得U??????E?A?Q????U0 V????R?????E?A??V0.2.2 合同矩阵的定义及性质2．2．1合同矩阵定义 设A,B均为n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得CTAC?B，则称矩阵A与B合同，记A?B合同是矩阵之间的另一种关系，它满足 （1）反身性，即A?ETAE；（2）对称性，即若B?CTAC，则有A??C?1?BC?1；T（3）传递性，若A1?C1TAC1和A2?C2TAC12，则有A2??C1C2?A?C1C2? 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.
在数域P中要使两个二次型等价，充分必要条件就是它们的矩阵合同.2.2.2 合同矩阵的性质性质1
合同的两矩阵有相同的二次型标准型.性质2
在数域P上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵. 性质3
矩阵合同与数域有关.例1
证明：E与?E在复数域上合同，但在实数域上不合同.T?i?证
取C=????00??T?，则有?E?CEC，即E与?E在复数域上合同.又若存在实满?i?秩矩阵R,使?E?RTER?RTR，这是不可能的：因为?E的第一行第一列交叉位置上的元素为-1，而RTR的对应元素却为r112?r212???rn12其中r11,r21,?rn1为R的第一列元素，故r112?r212???rn12不等于-1，因此，E与?E在实数域上不合同.例2
设A,B均为数域F上的n阶矩阵,若A,B合同，则r?A??r?B?,反之，若r?A??r?B?,问在F上是否合同？证
若A与B合同，即存在可逆矩阵C，使B?CTAC.由于任何矩阵乘满秩矩阵不改变矩阵的秩，故A与B有相同的秩.?10??11?反之，若r?A??r?B?，则A与B在F上不一定合同.例如，方阵A=?，=B???0101????的秩相等，而非对称方阵不能与对称方阵合同.?A例3 设=A?1?00??B1，=B??A2??00?证明：如果A1与B1合同，A2与B2合同，则A与B?，B2?合同.证 由于A1与B1合同，A2与B2合同，故存在满秩矩阵C1，C2，使得B1?C1TA1C1，?C10?TB2?C2TA2C2，于是令C???，则有B?CAC，即A与B合同.?0C2?2．2．3 合同矩阵的判定定理1
两复数域上的n阶对称矩阵合同的充分必要条件上是二者有相同的秩. 证
由于二次型通过满秩线性代换时秩不变，故两个二次型能互化时，秩一定相等. 反之，A，B都是n阶对称矩阵，对应的二次型分别是f，g，若f与g的秩相等，都是r，则f与g必可分别通过复满秩线性代换，设为X?C1Z，Y?C2Z化为同一规范形.于是，f便可通过满秩线性代换X?C1C2?1Y化为g，而g又可通过满秩线性代换Y?C2C1?1X化为f，即f与g可以互化.定理2
两实数域上的n阶对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩和符号差. 证
由于实二次型通过实满秩线性代换不改变二次型的秩和符号差，而两个实二次 型能互化的充要条件是两者有相同的规范形，从而两者可互化的充要条件是有相同的秩与符号差.矩阵相似与矩阵合同的一些不同之处，如矩阵A，B相似，有矩阵A，B的行列式的值相等；且A，B有相同的特征值.但若矩阵A，B合同，那么A与B的行列式的值不一定相等；A，B也不一定有相同的特征值.一般情况下，由矩阵A，B相似不一定能得出矩阵A，B合同，反之，由矩阵A，B合同也不一定能得出矩阵A，B相似.例4
设??1A=???1??21????12?，
B=??0?1???0???，
C=?13??4??01?2? ?1?不难验证：CTAC?B，即矩阵A，B合同，但A的特征值为31和.413和；B的特征值为 22相似矩阵与合同矩阵还有着一定的内在联系，即两者都是等价关系.两者都具有反身性、对称性和传递性，且相似或合同的两矩阵分别有相同的秩.另外，在一定条件下 ，两者是等价的.若矩阵A，B正交相似时，则它们既是相似的又是合同的.本题说明矩阵相似与合同在一定条件下是相通的.3 矩阵与合同矩阵的等价条件定理1 如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根.则A，B既相似又合同. 证 设A,B的特征根均为?1,?2,??n，因为A为n阶实对称矩阵，则一定存在一个n阶正交矩阵Q,使得：??1????
Q?1AQ??? ??n?????1????1?1?QAQ?PBP 同理，一定能找到一个正交矩阵P，使得：P?1BP??，从而有：???n????1?1AQP??将上面两边分别左乘P右乘P?1，得B?PQ1QQ?1?E,P?1P?E，有?QP?1??QP?1??QP?PQ?1?1?1?1?1Q?P?1?A??1Q，P由于?QEQQQ?E?，所以，QP?1可逆.又由于?QP?1??QP??1T?QP?1?P??1TQ?QPTT?P?TTQT?QQT?E,所以，QP?1是正交矩阵，故A，B相似且合同.定理2 若n阶矩阵A，B中有一个是正交矩阵，则AB与BA相似且合同. 证 不妨设A是正交矩阵，则A可逆，取U?A,U?1ABU?A?1?AB?A??A?1A??AB???A?1A??BA??E?BA??BA所以，AB与BA相似，由于AB与BA正交相似，故AB与BA合同.?A0??B定理3 若A与B相似且合同，C与D相似且合同，则??与??0C??00??相似且合同. D??1P2?1CP2?D 证 因为A，B相似，C，D相似，故存在可逆矩阵P1AP1?B，1,P2,使得P?P1令
P=??0?10??P1?1?, 则P=?P2??0?1?PAPA00???11?1，且=PP?????0P2?1??0C????B?=?P2?1CP2???000?? D??A0??B故，??与?0C???00??. D?又因为A与B，C与D分别合同，故存在可逆矩阵Q1,Q2，使得Q1TAQ1?B,Q2TCQ2?D?Q1T?Q10?T令
Q=??，则Q=??0Q2??0?Q1T?A0?而Q??Q=?0C???0T0?T?Q2?0??Q10???? Q2T??0Q2?0??A0??Q10??Q1T???=???Q2T??0C??0Q2??00??. D??Q1TAQ10??B=??=?TQ2CQ2??0?0?A0??B故，??与?0C???00??合同 . D?0?? D??A0??B从上面这个定理我们可以得到，若A与B，与分别正交相似，则CD??与??0C??0相似且合同.矩阵的相似或矩阵的合同都有很多性质，但这些性质都是矩阵相似或矩阵合同的必要条件，只能排除矩阵的相似或合同，却不能确定矩阵的相似或合同，对于选择题可以通过排除法来确定合适的答案，否则最终还要由定义来确定有时也可利用等价性质，即对称性，传递性，通过和第三个矩阵相似或合同来确定.相似矩阵用的比较多的性质是相似矩阵有相同的秩，相同的行列式，相同的特征值等.合同矩阵用的比较多的性质是合同矩阵有相同的秩，与对称矩阵合同的矩阵只能是对称 矩阵，与实对称矩阵合同的矩阵除了有相同的秩，还要有相同的正惯性指数等.?400??410??220???????例5 已知A=?040?，B=?041?，C=?220?，试判断A，B，C中哪些?004??000??002???????矩阵相似，哪些矩阵合同？分析 矩阵A的秩和矩阵B,C的秩不等，则A不可能与B，C相似或合同，只有讨论B， C了.解 A的秩为3，而B，C的秩为2，故A和B，C既不相似又不合同.又B的迹是8，而C的迹是6，不相等，故B和C不相似，最后，C是对称矩阵，而B不是，所以，B和C也不合同.所以，矩阵A，B，C相互之间既不相似又不合同.?1?1?例6 A=?1??1111??4??111?0?，B=?0111???111??0000??000?，则A，B满足的关系（）000??000?（A）合同且相似
（B）合同但不相似 （C）相似但不合同
（D）不合同且不相似分析 A是一个实对称阵，B是一个对角矩阵，实对称矩阵总存在一个正交阵使它和对角矩阵既相似又合同.而且这个对角阵的对角元素恰好是这个对称阵的特征值.所以只要A的特征值和B的对角元一样就得A和B相似且合同，否则不相似也不合同. 这样，本题就可归为求矩阵A的特征值，这个矩阵的特征值按常规可用特征方程来求，也可以用特征值的性质来求.??1解法1
?E?A=?1?1?110000001?10?1?1?1?1?1?1?1?1?1?1?1?1?1?1??1?1?1??1?1=（??4）??1??1?1??1??1=（??4）10?=?3（??4）.0?A的特征值是0，0，0，4.故存在正交矩阵Q使Q?1AQ=QTAQ=B，故选（A）.解法2
由矩阵A的秩是1，0是它的特征值，又r?0I?A??r?A??1，所以属于特征值0的线性无关的特征向量有4?1=3个，即0作为A的特征值至少是3重的，而矩阵A是一个4阶的实方阵，所以它有4个特征值，根据矩阵特征值的和等于特征值的迹，又有tr(A)=1+1+1+1=4,根据以上分析，可知矩阵A的特征值是0，0，0，4 故，选（A）.定理4 若实对称矩阵A与B相似，则A与B合同.证 因为A与B相似，故A，B有相同的特征根，设为?1…?n，从而存在正交矩阵??1?0??TTTTAP?PBPP1，P2使得P=?1，则PBP?A.即A与B合同. 1122??，令P?P2P??0?n??但此定理的逆命题不成立.4 结论本文对相似矩阵与合同矩阵的定义，以及它们的判断方法进行了比较，让大家更清楚的了解矩阵的这两种关系，从而更好的应用它们来解决线性代数中的问题.两种矩阵关系都是要求一个可逆矩阵，但一个是可逆矩阵的逆，一个是可逆矩阵的转置.在以后的应用中首先要抓住矩阵相似与合同判定条件的异同点从而更从容地运用它们.参考文献［1］李桂荣．高等代数的方法研究[M]．香港亚太经济出版社．2001. ［2］杨子胥．高等代数习题解（下册）[M]．山东科学技术出版社．2003. ［3］上海交通大学数学系．线性代数习题与精解[M]．上海交通大学出版社．2005. ［4］刘光祖，刘迎洲．线性代数典型题解及自测试题[M]．西北工业大学出版社．2002. ［5］王品超．高等代数新方法（下册）[M]．中国矿业大学出版社．2003.［6］龚德恩，范培华，胡县佑．经济数学基础（第二分册，线性代数）[M]．四川人民出版社．1995. ［7］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数（第二版）[M]．高等教育出版社．1988.第二版．［8］谢国瑞，应用矩阵方法[M].北京:化学工业出版社，.［9］钱志强，线性代数（第三版）[M].北京:中国致公出版社，. ［10］张贤达，矩阵分析与应用[M].京:清华大学出版社，.On the Similar Matrix and Contract MatrixLi Peng(Department of Mathematics,
Dezhou University, Dezhou Shangdong , 253023 )Abstract
The matrix’s similarity and the matrix’s contract are two important conceptions in the linear algebra. This paper makes simple elaboration on their definitions as well as the similarities and differences displayed between their definitions. Both of them aim at square matrix, both of their definitions require a invertible matrix, one of which is it’s counter, which the other is it’s transposing. Both of them belong to the relation of the equal in value, which means they have following properties: the self-examination, the symmetry, the transmission. Although there are certain inner links between them, they are not equal in value. Only when the invertible matrix in the two definitions is the orthogonal matrix, are they equal in value.Keyw
eigenvalue谢辞在经过了一个月的紧张设计后，我的《浅谈相似矩阵与合同矩阵》建设成功．在本文的选题和修改中刘耀斌老师给予真诚的帮助，在此表示最真挚的谢意！
范文四：相似矩阵的性质及应用一.相似矩阵的定义定义：设A、B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=X?1AX，就说A相似于B，记做A~B.二.相似矩阵的重要性质性质1
数域P上的n阶方阵的相似关系是一个等价关系.证明：1〉（反身性） 由于单位矩阵E是可逆矩阵，且A=E?1AE，故任何方阵A与A相似.2〉（对称性） 设A与B相似，即存在数域P上的可逆方阵C，使得B=C?1AC ，由此可得A=CBC?1=(C?1)?1BC?1，显然可逆，所以B与A相似.3〉（传递性）设A与B相似，B与C相似，即存在数域P上的n阶可逆方阵P、Q，使B=P?1AP，C=Q?1BQ，则
C=BQ=Q?1P?1APQ=(PQ)?1A（PQ），从而A与C相似.〈证毕〉 性质2
相似矩阵有相同的行列式.证明：设A与B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B=C?1AC，两边取行列式得：｜B｜=｜C?1AC｜=｜C?1｜｜A｜｜C｜=｜A｜｜C?1C｜=｜A｜.从而相似矩阵有相同的行列式.
〈证毕〉 下面先介绍两个引理引理1：设A是数域P上的n×m矩阵，B是数域P上m×s矩阵，于是秩（AB）≤min[秩（A），秩（B）]
(1)即乘积的秩不超过各因子的秩.证明：为了证明（1），只需要证明秩（AB）≤秩（A），同时，秩（AB）≤秩（B）.现在来分别证明这两个不等式.?a11??a21设A=????a?n1a12a22?an2?a1m??b11???a2m??b21，B=?????????b?anm??m1b12b22?bm2?b1s???b2s??????bms??令B1，B2，…，Bm表示B的行向量，C1，C2，…Cn，表示AB行向量.由计算可知，Ci的第j个分量和ai1B1?ai2B2???aimBm的第j个分量都等于而Ci=ai1B1?ai1B2???aimBm
（i=1，2，…n）.即矩阵AB的行向量组C1,C2,?,Cn 可经B的行向量组线性表出.所以AB的秩不能超过B的秩，也即, 秩（AB）≤秩（B）.同样，令A1,A2?,Am表示A的列向量，D1,D2,?Ds表示AB的列向量，由计算可知Di=b1iA1+b2iA2+…+bmiAm（i=1，2，…，s）.这个式子表明，矩阵AB的列向量可以经矩阵A的列向量组表出，前者的秩不可能超?ak?1mikkj，因b过后者的秩，这就是说，秩（AB）≤秩（A）.引理2:A是一个s×n矩阵,如果P是个s×s可逆矩阵,Q是n×n可逆矩阵,那么秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）.证明:令 B=PA,由引理1知秩（B）≤秩（A）； 但是由A=P?1B,又由秩（A）≤秩（B）,所以秩（A）=秩（B）=秩（PA）.同理可证, 秩（A）=秩（AQ）.从而, 秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）.
〈证毕〉 性质3
相似矩阵有相同秩.证明:设A,B相似即存在数域P上的可逆矩阵C,使得 B=C?1AC , 由引理2可知秩（B）=秩（C?1AC）=秩（AC）=秩（A）.
〈证毕>性质4
相似矩阵或同时可逆或同时不可逆.证明:设A与B相似,由性质3可知A?B .若A可逆,即A?0,从而B?0故B可逆； 若A不可逆,即A?0,从而B?0,故B不可逆.
〈证毕〉性质5
若A与B相似,则An相似于Bn.(n为正整数)证明:由于A与B相似,即存在数域P上的可逆矩阵X,使得B?X?1AX,从而n个??????????????1?1?1XAX?XAX???XAX?X?1AnX,即 An相似于Bn.
〈证毕〉性质6
设A相似于B,f(x)为任一多项式,则f(A)相似于f(B). 证明:设f(x)?anxn?an?1xn?1???a1x?a0
于是f(A)?anAn?an?1An?1???a1A?a0Ef(B)?anB?an?1Bnn?1???a1B?a0E由于A相似于B,由性质5可知Ak相似于Bk,(k为任意正整数) ,即存在可逆矩阵X,使得Bk?X?1AKX,因此X?1f(x)X?X?1(anAn?an?1An?1???a1A?a0E)X?anX?1AnX?an?1X?1An?1X???a1X?1AX?a0E?anB?an?1B?f(B)nn?1???a1B?a0E这就是说f(A)相似于f(B).
〈证毕〉性质7
相似矩阵有相同的特征多项式.证明：设A相似于B，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC， 则?E?B??E?C?1AC??C?1C?C?1AC?C?1?EC?C?1AC?C?1?E?AC??E?ACC??E?A?1由此可见，B与A有相同的特征多项式.
性质8：相似矩阵有相同的迹.证明：设A相似于B。由性质7知，A与B有相同的特征多项式，因而有相同的的特征值?1,?2,?,?n，而A的迹trA=?1??2????n
,B 的迹trB=?1??2????n，从而，trA=trB.即相似矩阵有相同的迹.
性质9：若矩阵A与B相似，则它们有相同的不变因子和初等因子.证明：因为A与B相似，所以它们的特征矩阵?E?A和?E?B等价，因而它们有相同的不变因子，进而有相同的初等因子.?A0??B0?性质10：若A与B相似，B与D相似，则??0D??相似. ?0C??与?????证明：A与B相似，即存在可逆矩阵P，使得B?P?1AP，C与D相似，即存在可逆矩阵Q，使得D?Q?1CQ，由于0??A0??P0??B0??P?1?????0D??0Q?1??0C????0Q?????????????P0????0Q?????1?AO??P0???0C????0Q???????P0??A0??B0???显然?
是可逆矩阵.由此可见，?0D?? 相似. ?0Q??0C??与???????三．相似矩阵性质的简单应用.20??1??20?，
例1：设A??0??2?1?1???分析：该问题若按矩阵乘法直接运算相当复杂，耗费时间，若能找到A的相似对角阵，则该问题就简单化了，解题过程如下：解：（1）求A的特征值与相应的特征向量.由??1fA(A)??E?A?2?200?(??1)(??1)(??2)， ????21所以，A的3个互异特征值为?1??1,?2?1,?3?2，故A可以对角化，对每个?i（i=1，2，3），求得分别属于?1??1,?2?1,?3?2的特征向量为?2??0??1????????1??0?,?2??0?,?3??1?.???1???1???????????012???100?????（2）令P???1?2?3???001?，有P?1AP??010?.???002??1?1??????(3)因为 P?1A100P?(P?1AP)100?100?????010? ?002100???所以A100?100????1?P?010?P
?002100????012?100??1????????001??010??1??100???1?1???0020??????101?01??1?2???100??1?2??002????1?1??2100??01????2?21010??10020?. ?1?21000????1???20??10??1??0? ?0???1???0??0??????例2：已知矩阵R??2??3??33???0? ，在一个直角坐标系里，它按关系式????X??RX定义一个旋转.现在引进一个新的直角坐标系.使得旋转轴为新的坐标轴之一.具体的说，假设新坐标轴方向的单位向量为f1,f2,与f3.其中f1在旋转轴上.现确定??1???1? ,
旋转的旋转角，在这里, f1在旧坐标系中应表为f1???1????这个旋转：
i〉 保持f1不动;ii〉 对f2与f3的作用就象一个二维空间的旋转.0?1?因此，对于基底f1,f2与f3，该旋转的矩阵是B??0cos??0sin?????sin??, 其中?是cos???0旋转角 .则B?C?1RC，其中C是坐标变换矩阵.因为B与R相似，由性质8知，它们的迹相同.但 B的迹s?trR?trB=1?cos??cos??1?2cos? , 因此1?2co?7cos???.现在旋转角可以查表得到.81113????,所以 4224例2中的论证过程是相当一般化的。因此，我们可得到如下结果：设R是3×3的旋转矩阵，则其旋转角?由1?2cos??trR给出.
范文五：矩阵的相似及其应用 矩阵的相似及其应用在实际生活中应用较多，本文主要试图从对矩阵相似的概念、性质 及应用等方面进行阐述，在相似矩阵的应用中，主要概况矩阵的相似与特征矩阵，对角化问 题和二次型之间的联系，利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性，给出相 应的定理和结论，并用例题加以证明。 矩阵相似的定义：设 A,B 为数域 P 上两个 n 级矩阵，如果可以找到数域 P 上的 n 级可逆 矩阵 X,使得 B=X 1 AX,就说 A 相似于 B。 相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质： 1.反身性：A 相似于 A. 2.对称性：如果 A 相似于 B,那么 B 相似于 A. 3.传递性：如果 A 相似于 B,B 相似于 C,那么 A 相似与 C.
范文六：等价：存在可逆矩阵P,Q，使PAQ?B，则A与B等价；相似：存在可逆矩阵P，使P?1AP?B，则A与B相似；合同：存在可逆矩阵C，使CTAC?B，则A与B合同.一、相似矩阵的定义及性质定义1 设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使PAP?B，则称B是A的相似矩阵，?1或说矩阵A与B相似，记为A~B.对A进行运算PAP称为对A进行相似变换，可逆矩?1阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.注 矩阵相似是一种等价关系.（1）反身性：A~A.（2）对称性：若A~B，则B~A.（3）传递性：若A~B，B~C，则A~C.性质1 若A~B，则（1）A~B；（2）A?1TT~B?1；（3）A??E?B??E；（4）A?B；（5）R(A)?R(B).??1??推论 若n阶矩阵A与对角矩阵??????特征值.性质2 若A?PBP?1?2????相似，则?1,?2,?,?n是A的n个???n???1，则A的多项式?(A)?P?(B)P.推论 若A与对角矩阵?相似，则?(A)?P?(?)P?1??(?1)????(?)???12?P?. ?P?????(?n)???注 （1）与单位矩阵相似的只有它本身；（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似.二、矩阵可对角化的条件对n阶方阵A，如果可以找到可逆矩阵P，使PAP??为对角阵，就称为把方阵A对角化。定理1
n阶矩阵A可对角化（与对角阵相似）?A有n个线性无关的特征向量。推论 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似.（逆命题不成立） 注：（1）若A～?，则?的主对角元素即为A的特征值，如果不计?i的排列顺序，则?唯一，称之为矩阵A的相似标准形。（2）可逆矩阵P由A的n个线性无关的向量构成。把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。 可对角化的矩阵主要有以下几种应用：三、实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化.即存在可逆矩阵P，使得PAP??.更可找到正交可逆矩阵T，使和T?1?1?1AT??定理2 实对称矩阵的特征值为实数。定理2的意义：因为对称矩阵A的特征值?1为实数，所以齐次线性方程组(A??iE)x?0是实系数方程组。又因为A??iE?0，可知该齐次线性方程组一定有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。定理3：实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量正交。定理4：A为n阶实对称矩阵，?0是A的k重特征值，则对应于?0的特征向量中，线性无关的个数为k，即(A??0E)X?0的基础解系所含向量个数为k。定理5：（实对称矩阵必可对角化）对于任一n阶实对称矩阵A，一定存在n阶正交矩阵T，使得T的n个特征值为对角元素的对角阵。定义2 若二次型f?xAx，则对称矩阵A叫做二次型f的矩阵，也把f叫做对称矩阵A的二次型.对称矩阵A的秩就叫做二次型f的秩.推理 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正.定理3 对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正，即
T?1AT??。其中?是以Aa11?0，a11a21a12a22a11?a1n?0，?,???0； an1?ann对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正1.设A为正定阵，则AT,A?1,A*均为正定矩阵；2.设A,B均为正定矩阵，则A?B也是正定矩阵.四、如果n阶矩阵A与B相似，那么A与B的特征值相同吗？答 一定相同。因为它们有相同的特征多项式。证明 ?A与B相似，即存在可逆矩阵P，使PAP?B， ?1?B??E?P?1AP?P?1(?E)P?P?1(A??E)P?P?1A??E?A??E 但务必注意：1. 即使A与B的特征值都相同，A与B也未必相同。2. 虽然相似矩阵有相同的特征值，但特征向量不一定相同。五、判断矩阵A是否可对角化的基本方法有哪些？答 常有如下四种方法。（1）判断A是不是实对称矩阵，若是一定可对角化。（2）求A的特征值，若n个特征值互异，则A一定可对角化。（3）求A的特征向量，若有n个线性无关的特征向量，则A可对角化，否则不可对角化。（4）方阵A可对角化的充要条件是A的每个重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数。一般来说，常用方法（2）和（4），且（2）中的条件仅仅是充分的。六、已知n阶方阵A可对角化，如何求可逆矩阵P，使得P?1AP?diag(?1,?2,?,?n)? 答 若n阶方阵A可对角化时，则求可逆矩阵P的具体步骤为：（1）求出A的全部特征值?1,?2,?,?s；（2）对每个?i(1?i?s)，求齐次方程组(A??iE)x?0的基础解系，得n个线性无关的特征向量?1,?2,??n；（3）令P?(?1,?2,?,?n)，则P?1AP???diag(?1,?2,?,?n)，其中?1,?2,?,?n为?1,?2,?,?n对应的特征值。七、对于实对称矩阵A，如何求正交矩阵P，使PAP为对角阵？答 若A为n阶实对称矩阵，则一定存在正交阵P，使PAP为对角阵。可按以下步骤求出正交矩阵P。 ?1?1（1）求出方阵A的全部特征值?1,?2,?,?s，其中重根数分别为k1,k2,?,ks。（2）对每一个?i求出齐次线性方程组(A??iE)x?0的基础解系?i1,?i2,?,?ik,i?1,2,?,s。（3）将?i1,?i2,?,?ik,i?1,2,?,s正交化（若ki?1，则只须单位化）得正交单位特征向量组：p1,p2,?pn。令P?(p1,p2,?,pn)??1????2?
??1PAP?（4），其中?是特征向量pi所对应的特征值。 ?
?n???九、如何判断一个二次型f?xTAx是正定的？答 判别二次型f?xTAx正定性的方法通常有（1）用定义，（2）f的标准形中的n个系数全为正，（3）对称矩阵A的特征值全大于0，（4）正惯性指数p?n，（5）计算矩阵A的各阶顺序主子式，各阶顺序主子式均大于0。十三、什么叫矩阵的合同？矩阵合同与矩阵相似有什么区别与联系？答 如果存在可逆矩阵P，使，则称矩阵A与B合同。合同关系是一种等价关系，矩阵合同在证明矩阵正定性和化二次型为标准型中有很广泛的应用，在此给出一个非常有用的结论：如果矩阵A与矩阵E合同，则A为正定矩阵。合同与矩阵相似是有区别的，矩阵A与B相似，则存在可逆矩阵P，使PAP?B。显然，若P为正交矩阵，则P?P，矩阵合同与矩阵相似就有联系了，由此我们可得出： 如果A为n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵P，使PAP??，此时A与?相似，A与?合同。?1T?1?1等价：存在可逆矩阵P,Q，使PAQ?B，则A与B等价；相似：存在可逆矩阵P，使P?1AP?B，则A与B相似；合同：存在可逆矩阵C，使CTAC?B，则A与B合同.一、相似矩阵的定义及性质定义1 设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使PAP?B，则称B是A的相似矩阵，?1或说矩阵A与B相似，记为A~B.对A进行运算PAP称为对A进行相似变换，可逆矩?1阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.注 矩阵相似是一种等价关系.（1）反身性：A~A.（2）对称性：若A~B，则B~A.（3）传递性：若A~B，B~C，则A~C.性质1 若A~B，则（1）A~B；（2）A?1TT~B?1；（3）A??E?B??E；（4）A?B；（5）R(A)?R(B).??1??推论 若n阶矩阵A与对角矩阵??????特征值.性质2 若A?PBP?1?2????相似，则?1,?2,?,?n是A的n个???n???1，则A的多项式?(A)?P?(B)P.推论 若A与对角矩阵?相似，则?(A)?P?(?)P?1??(?1)????(?)???12?P?. ?P?????(?n)???注 （1）与单位矩阵相似的只有它本身；（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似.二、矩阵可对角化的条件对n阶方阵A，如果可以找到可逆矩阵P，使PAP??为对角阵，就称为把方阵A对角化。定理1
n阶矩阵A可对角化（与对角阵相似）?A有n个线性无关的特征向量。推论 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似.（逆命题不成立） 注：（1）若A～?，则?的主对角元素即为A的特征值，如果不计?i的排列顺序，则?唯一，称之为矩阵A的相似标准形。（2）可逆矩阵P由A的n个线性无关的向量构成。把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。 可对角化的矩阵主要有以下几种应用：三、实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化.即存在可逆矩阵P，使得PAP??.更可找到正交可逆矩阵T，使和T?1?1?1AT??定理2 实对称矩阵的特征值为实数。定理2的意义：因为对称矩阵A的特征值?1为实数，所以齐次线性方程组(A??iE)x?0是实系数方程组。又因为A??iE?0，可知该齐次线性方程组一定有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。定理3：实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量正交。定理4：A为n阶实对称矩阵，?0是A的k重特征值，则对应于?0的特征向量中，线性无关的个数为k，即(A??0E)X?0的基础解系所含向量个数为k。定理5：（实对称矩阵必可对角化）对于任一n阶实对称矩阵A，一定存在n阶正交矩阵T，使得T的n个特征值为对角元素的对角阵。定义2 若二次型f?xAx，则对称矩阵A叫做二次型f的矩阵，也把f叫做对称矩阵A的二次型.对称矩阵A的秩就叫做二次型f的秩.推理 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正.定理3 对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正，即
T?1AT??。其中?是以Aa11?0，a11a21a12a22a11?a1n?0，?,???0； an1?ann对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正1.设A为正定阵，则AT,A?1,A*均为正定矩阵；2.设A,B均为正定矩阵，则A?B也是正定矩阵.四、如果n阶矩阵A与B相似，那么A与B的特征值相同吗？答 一定相同。因为它们有相同的特征多项式。证明 ?A与B相似，即存在可逆矩阵P，使PAP?B， ?1?B??E?P?1AP?P?1(?E)P?P?1(A??E)P?P?1A??E?A??E 但务必注意：1. 即使A与B的特征值都相同，A与B也未必相同。2. 虽然相似矩阵有相同的特征值，但特征向量不一定相同。五、判断矩阵A是否可对角化的基本方法有哪些？答 常有如下四种方法。（1）判断A是不是实对称矩阵，若是一定可对角化。（2）求A的特征值，若n个特征值互异，则A一定可对角化。（3）求A的特征向量，若有n个线性无关的特征向量，则A可对角化，否则不可对角化。（4）方阵A可对角化的充要条件是A的每个重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数。一般来说，常用方法（2）和（4），且（2）中的条件仅仅是充分的。六、已知n阶方阵A可对角化，如何求可逆矩阵P，使得P?1AP?diag(?1,?2,?,?n)? 答 若n阶方阵A可对角化时，则求可逆矩阵P的具体步骤为：（1）求出A的全部特征值?1,?2,?,?s；（2）对每个?i(1?i?s)，求齐次方程组(A??iE)x?0的基础解系，得n个线性无关的特征向量?1,?2,??n；（3）令P?(?1,?2,?,?n)，则P?1AP???diag(?1,?2,?,?n)，其中?1,?2,?,?n为?1,?2,?,?n对应的特征值。七、对于实对称矩阵A，如何求正交矩阵P，使PAP为对角阵？答 若A为n阶实对称矩阵，则一定存在正交阵P，使PAP为对角阵。可按以下步骤求出正交矩阵P。 ?1?1（1）求出方阵A的全部特征值?1,?2,?,?s，其中重根数分别为k1,k2,?,ks。（2）对每一个?i求出齐次线性方程组(A??iE)x?0的基础解系?i1,?i2,?,?ik,i?1,2,?,s。（3）将?i1,?i2,?,?ik,i?1,2,?,s正交化（若ki?1，则只须单位化）得正交单位特征向量组：p1,p2,?pn。令P?(p1,p2,?,pn)??1????2?
??1PAP?（4），其中?是特征向量pi所对应的特征值。 ?
?n???九、如何判断一个二次型f?xTAx是正定的？答 判别二次型f?xTAx正定性的方法通常有（1）用定义，（2）f的标准形中的n个系数全为正，（3）对称矩阵A的特征值全大于0，（4）正惯性指数p?n，（5）计算矩阵A的各阶顺序主子式，各阶顺序主子式均大于0。十三、什么叫矩阵的合同？矩阵合同与矩阵相似有什么区别与联系？答 如果存在可逆矩阵P，使，则称矩阵A与B合同。合同关系是一种等价关系，矩阵合同在证明矩阵正定性和化二次型为标准型中有很广泛的应用，在此给出一个非常有用的结论：如果矩阵A与矩阵E合同，则A为正定矩阵。合同与矩阵相似是有区别的，矩阵A与B相似，则存在可逆矩阵P，使PAP?B。显然，若P为正交矩阵，则P?P，矩阵合同与矩阵相似就有联系了，由此我们可得出： 如果A为n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵P，使PAP??，此时A与?相似，A与?合同。?1T?1?1
范文七：第五章 相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度、正交性 一、向量空间的内积、长度和夹角 1．内积的定义：内积的符号：括号或方括号证（3）二、向量空间的单位正交基1．正交向量组定义2．定理1
正交向量组线性无关P113解 设a3= (x1, x2, x3), 由正交的定义, a3应满足
（a1,a3）= 0,
（a2, a3）= 0即
x1 ＋ x2 ＋x3 = 0,
x1－2x2 ＋x3=0这是一个齐次线性方程组AX= 0,?x1??111????0?即??1?21???x2????0??， ???x????3??111??111??101?由A???1?21??~??0?30??~??010??，???????x1??c?x1???1??????x1??x3?得?，方程组的通解为?x2?0，即?x2??c?0?x?0?2?x??1??x?c?3?3?????1???取c = 1, 则a3=?0?即为所求。?1???3．正交基、规范正交基（单位正交基） 正交基——由正交向量组构成的基称为正交基。规范正交基（单位正交基）——正交基中的向量是单位向量。 4．向量正交化施密特方法：将基改造为正交基（P114）例2
用施密特方法把基正交化（P114）例3 已知 a1?(1,1,1)T，求一组非零向量a2,a3，使a1,a2,a3两两正交。T解
a2,a3应满足1ax?0，即x1?x2?x3?0??x1?x2，通解为解这个齐次线性方程组得x3?x1?c1?x1??1??0?????????x2?c2，即?x2??c1?0??c2?1?，基础解系为 ??x???1???1??????3??x3??c1?c2?1??0??????1??0?,?2??1?，把基础解系正交化??1???1?????(?1,?2)a2??1,a3??2??1，于是得(?1,?1)?1?????1??0??1??2?????1??a2??0?,a3??1???0???1???1???1?2??1??1?????2????????2?三、正交矩阵 1．定义4因为A?1A?ET?1A?A
所以 A是正交矩阵←→ （充分必要）2．正交矩阵的构造定理证
（略）3．正交矩阵的性质P1164．正交变换的保形性（略）定义5 若P为正交矩阵，则线性变换Y= PX称为正交变换 正交变换保持向量的内积、长度、夹角 P---正交矩阵5. 矩阵的QR分解 （略）定理5.8 设A是满秩n阶矩阵，则存在n阶正交矩阵Q和上三角矩阵R，使得A=QR 证明：
方阵的特征值与特征向量 1. 定义6 (P117)2. 特征矩阵、特征多项式、特征方程3. 求特征值和特征向量的步骤例 （类似P118 例6）13作业P134
3，4，5，例 8 设?是方阵A的特征值，证明22?（1）是A的特征值；1（2）当A可逆时，?是A的特征值?1证 （1）因为?是方阵A的特征值，设p是?对应的特征向量，故有Ap??p，A2p?A(Ap)?A(?p)??(Ap)??2p22所以?是A的特征值。?1?1Ap??pp??Ap， A
（2）当A可逆时，存在，由，得11?1p，即是A?1的特征值。 因为p?0,??0，所以有Ap???3．特征向量的性质例9 设三阶矩阵A的特征值为1，-1，2，求 A*+3A- 2E的特征值。
解 因为A的特征值不为0，所以A可逆，由1**?1A?AA，得A?A，而A??1?2?3??2，所以?1A*+3A- 2E= ?2A?3A?2E??(A)?1令?(?)??2??1?3??2从而得?(A)的特征值为?(1)??1,?(?1)??3,?(2)?3。（即P120的定理2）§3 相似矩阵 1． 定义7 （P121）2． 性质（即定理3 P121）3． 矩阵可对角化的条件定理4推论4 例11 （P123）若A?P?P?1，那么AK?P?KP?1（第二章 P45例13）§4 对称矩阵的对角化 1． 定理
定理5定理6定理73．例?011?1???10?11?已知实对称矩阵 ??1?101?????1110???求正交矩阵Q, 使QTAQ为对角矩阵。 解验证上述结果。例13 设A????2?1?nA?，求。 ???12?解 因A是对称矩阵，所以可对角化，即有可逆矩阵P使P?1AP??， 于是A?P?P?1，从而An?P?nP?1。（下面求A的特征值及特征向量，由特征向量组成P） 由A??E??1?1,?2?3。 2???1??2?4??3?(??1)(??3)，得A的特征值 ?12??对应?1?1，由A?E????1?1??1?1??1??????，得特征向量； ~??1???????11??00??1?对应?2?3，由A?3E???并有P???n??1?1??11??1??????，得特征向量； ~??1???????1?1??00???1??11?1?11??1???，在求出，所以 P????2?1?1??1?1?n?1?11??1n0?1?11?1?1?3n1?3n????。 ?A?P?P?????1?1????nn??03n?2???????1?1?2?1?31?3?14作业 P135
17，19（1） §5 二次型及其标准形1． 定义二次型的矩阵记号其中aij?aji，即A是对称矩阵。对称矩阵A与二次型f存在一一对应的关系：例2． 二次型的标准型（只含平方项）22
f?k1y12?k2y2 ??knyn?k1??y1?????k2???y2?
?(y1,y2,?,yn)????? ????????kn????yn?3. 把二次型化为标准形例14§6 用配方法把二次型化为标准形§7 正定二次型15作业P135
26作业主要问题一 行列式范德蒙行列式余子式，代数余子式 P21 例13行列式性质
8(2)二 矩阵矩阵乘法，矩阵方程
11(2)(4)求逆阵：初等变换方法(P64 例2)，伴随矩阵方法
证明逆阵存在并求逆阵
21方阵的行列式三 初等变换 方程组解的讨论 通解求秩
1(4)方程组解的讨论四 向量组的线性相关性判断具体向量组的相关性（计算秩） P107 4(1)
证明向量组的相关性，从定义出发
证明向量组等价
P109 28五 相似矩阵
二次型求?a00???A??0a0??00a?，的特征值与特征向量 ??（有三个自由未知量，n, r, s）
范文八：第３ 第４ 卷 期哈 尔 滨 理 工 大 学 学 报Ｖ １ Ｎｏ． ｏ３ ４．有关矩阵协相似性的某些问题宋迎春（ 尔滨理工大学） 暗０ ｜ ＼阐述 了协相 似 性 的 理论背景、矩阵可对角化与可协对角化的关系、Ａ 的特征值与 Ａ的协特征值的关 系 同 时， ，摘 要 对有 美协相似 问题尚未证 明的某些结论给 出 了证 明对相是的问题进行 了分析和总结，为工程应用提供 了理论依据．关 键￣！ 苎堡； 竺 鱼 线 变 苎 苎 兰反 性 换一 一ｅ－ ０ｌ１ １ ＆ｗ 荚号 ５． ２戈１ 定义和定理支中的＾ 表示所有 Ｈ阶复方阵组成的集合， ∈ ＾ 表示 Ａ的共轭 ． 使得，，定义 １ 设 ∈ ，Ｂ∈ ，如果 存在非奇异矩 阵 雎 旭 Ｍ ＾＝’疗 那么ｌ矩阵 Ａ和 Ｂ是 协相似 的，如果矩 阵 可取 为酉矩 阵 Ａ和 Ｂ叫做 酉协相 似 ． ｛ ＝ 定义 ２ 设 ＾ ，如果存在 非奇异矩 阵 Ｓ 者 使得 一 是上三角矩阵， ’ 则称矩阵 Ａ是可协三， ，角化的；若使得是对角矩阵，则称矩阵 Ａ是可协对角化的；特别地，．如果矩 阵 可 取 为酉矩阵，则分别称 是可酉协三角化的或可酉协对角化的定义 ３ 设 剐 ，如果对某一数值 Ａ Ｃ，存在非零向量 ｃ 使得 ｃ － － Ｃ， ＝ｈ．则称 ＾ Ａ的协特征值 ，称 是 Ａ的相对于协特征值 ＾ 为 的协特征向量 定理 １ 设 ∈ ，则 Ａ可酉协三角化的充分必要条件是 Ａ 的所有特征值都是非负实数 ＾ Ｘ，在此条件下得到的三角矩阵的所有主对角元可以挑选成为非负实数 定理 ２ 设 Ｍ ，则 Ａ可协对角化的充分必要条件是．是 可对角化的，具 有 非 负 实特 征２ 两个矩 阵协相似的理论背景矩阵相似理论的产生源于研究不同基下的线性变换的结果；协相似性源于研究不同基下反线 性变换的结果 ．定义 ４ 设变换 Ｔ是从一个复向量空间 到另一个复 向量空间 的变换 若满足 （ （＋ ） Ｔ ＋ ｙ 墨 Ｊ ； ｉ ｘ ｙ＝ ｘ Ｔ ）Ｔ ， ∈，收稿 日 １ ７ １— ９ 期：９ — ２ ２ ９ 宋迎春 １６年 出生 讲师 ９３ 应用科学学 院 １ ００ ５ ４ ０１４ Ｏ （） 曲 瞳 ｉＴ ｉ Ｔ哈 尔 滨 理 工 大 学 学 报 俚Ｃ ∈ ∈ Ｖ，第 ３卷则称变换 Ｔ是反线性变换 ． 设 ｓ ， 是 ｎ Ｉ ， …， 维复 向量 空间 Ｖ的一组基，变换 Ｔ — 为一反线性变换，把基象 ，： １ …， 在这组基下的坐标按列依次排成矩阵 Ａ ， Ｔ ，则称矩阵 为反线性变换 Ｔ在基 ， ， …，下的矩 阵，即【￡ Ｔ【 … 】 ｓ ＝［ … 【 】 定理 ３ 设反线性变换 Ｔ在基 自 ， 下的矩阵为 ，向量 和它 的象 ｙ Ｔ 在此基下的坐 ， …， ＝ ｘ标分别为 ， ， ， ）和Ｊ Ｏ ， ２ … Ｙ 则有 ＝ … ， ． ｙ， ， Ｓ， ＝Ｊ＝ ，证明 已知ｙ Ｉｆ Ｔ Ｔ … Ｔ 】 ＝… 】Ｉ— —Ｉ一方面 Ｊ 晶 … 】 ， ＝【另一方面， ｙ Ｔ ＝ Ｔ Ｔ … Ｔ ＝ ｘ 【 ］２＝［ｌ ８… 】２所以有 Ｊ ｘ， ， ＝Ａ同一反线性变换在不同基下的矩阵不同． 定理 ４ 设复向量空间 上的反线性变换 Ｔ在旧基 ｓ ， 和新基 ｓ， ， 下的矩阵 …， 。 …， 分别为 和 Ｂ 则 和 Ｂ是协相似的 ，证 明 设 Ｍ 是从 旧基 到新基 的过 渡矩 阵， 一方面Ｔｓ ［’另一方面’’ 】 ＝【… ’ ＝ 】 【 Ｂ ‘… 】Ｂ ｓ ‘ 】 ＳＴｓ 【故Ｓ ＝ Ｂ ，即 Ａ＝ ～．’ ‘ 】 Ｔ Ｉ ‘ ＝ 【ｌ ８】】 ［ ＝ｓ Ｉ矩 阵协相 似是矩 阵间 的一种等价 关系 ．３ 矩阵的可对角化与可协对角化的比较定理 ５ 在所有 ｎ阶方阵中，可协对角化的包括下面几种矩阵的集合： （ 所有的对称矩阵； ｉ ）（ 只有实特征值的所有可对角化 的实矩阵； Ⅱ ） （） ｉ 具有 ｎ个线性无关的实特征向量的所有可对角化的矩阵；（） ｉ 所有 的 Ｈｍｎ 正定矩 阵； ｖ（） ｖ 形式为 Ａ Ｂ的所有矩阵，其中 是 Ｈ ｍ 正定非奇异矩阵，Ｂ是对称矩阵． ｅ证 明 （ 设 Ａ是实对称矩阵， ｉ ） 则存在正交矩阵 Ｐ 和对角矩阵人 ，使 Ａ表示为Ａ＝ＰＡＰ Ｉ －＝Ｐ人 ｇ １ －故 』 可协对角化 ． ４设 是复对称矩阵，则存在酉矩阵 ｕ和对角元为非负实数 的对角阵 人Ｉ ｌ ，使 Ａ表示为Ａ＝ Ｕ 人 Ｕ Ｕ 人 一 ＝故 可协对角化 ．（ 设 是只有实特征值的可对角化的实矩阵， 则存在非奇异矩阵 ｓ ，使 Ａ 人 ＝Ｓ ，其中 人是实对角阵．由于 Ａ＝ ，所以Ａ＝Ａ ＝Ｓ一 人Ｓ ‘ ‘ Ｓ一 人 ＝Ｓ一 人 ‘Ａ Ａ是可对角化的，且有非负实特征值，显然第４ 期宋迎春：有关矩阵协相似性的某些问题ｒ ｎ Ａ＝Ｆｌ ＡＡａｋ ＆ｌ Ｋ１５ ０故由 定理 ２ 可协对角化 ． ， （） ｉ 设 有 ｎ个线性 无关的 实特 征 向量 ， ２ ，令 一【 ２… 】 ｉ ｉ ，…， ，则有 ＝ 且 ＳＡ Ｓ － — ＡＳ’所以 （】 设 是正定的 Ｈ ｍａ 矩阵，则有 ｖ ｅ ｉ ｌ ｅＡ Ｓ 丽 Ａ＝ Ａ１ Ｓ ＸＳｌ ＝Ａ —是可对角化的，且有非负实特征值，而 ｍ ｋ ｒｎ Ａ ｎ Ａ＝ ａｋ ，由定理 ２ 可协对角化． ， Ａ Ｈ＝ （ Ｈ １ ＝Ｈ Ｈ Ｈ 百日是 Ｈ ｒ ｉ 非奇异矩阵 ． ｅ ｔ ｍｅ 显然 Ｈ Ｈ 是复对称矩阵，故存在酉矩阵 Ｌ和对角元为非负实效的对角阵 Ａ，使 ，： Ｕ Ａ 篁 Ｕ Ａ ， ’ Ｌ 一所以 可协对角化 ．类似， 易得 Ａ Ｂ是可协对角化的．一旧ｔ Ａ（—）? Ｏ —Ｕ 一 Ｈ（ Ａ ＝ＨＢ Ｈ Ｈ Ｈｒ 一，而（ Ｈ ） ＝ ＢＨｒ Ｈ Ｈ ， Ｂ ｛是复对称矩阵，同（ ） ｖ Ｂ ２＝ （Ｂ ＂ ） ） ＨＢ ｒ Ｈ ＇ ＂ Ｂ ＂ Ｈ Ｉ ｒ ＝ ｒ ｒ ｉ 的证明 ｖｒ １ — １ － ］可 角 的 阵 一 可 对 化 如－ 一Ｊ 协 角 的 阵 不 定 对 化 如 对 化 矩 不 定 协 角 ， ｌ‘ ：； 对 化 矩 也 一 可 角 ， １ 可［一；的阵不对化又能对 二 １有矩既能角，不协 ：］４对协相似理论起着重要作用．说明由：的特征值 与Ａ的协特征值 以及协相似性 的关系的特征值与 Ａ的协特征值也是密切相关的．的特征值不为非负情况，有下面定理：命 设 ６ ２ ０ 若 的 征 题 ＾ ， ＞ ， 是 ｔ 特 值，则√ 的 特 ［ 是 协 征值１ Ｊ ．的非负特征值可求得 Ａ的协特征值，而对定理 ６ 设．２Ｃ但 非 【，＋∞ ） ，ｃ － － ０ ，且 是 Ａ 相应于特征值 的一个特征向量，则必存 Ｚ在 相应于特征值 的一个特征向量 ｙ ，且 和Ｊ ， 线性无关．证明 记 ＝ ，由 Ａ ＝ ｙ ｘ Ｙ 定义向量 则有 一 ．由 ａ＝ ｉｘ 有 ｘ Ａ ＝∞吉 ｈ又由 故有Ａｘ＝ｏ ｇ ￣ ｙＡｙ 一ｘ Ａ ＝ — ＝￣一 Ａ— ＝２ Ａｙ 一 ｙＡｘ ＝ｇ＝ ?下面用反证法证 明 和 Ｊ ， 是线性无关的． 若不然，假设 Ｊ ，记 ＝ ／ ， ＝ －￣ ｄ ，则有ＡＡ ｘ Ａｘ＝ ＝ｇ所以 一ｌＩ ０ 与定 理 中的假 设 矛盾 ，故 和 Ｊ线性无 关 ． Ｏ。 ， ｔ ＞ ，推论 若存在负特征值．则的负特征值的几何重散至少为 ２ ．．定理 ７ 如果 Ｅ ， 使得 Ａ Ａ＝Ａ一 ０ ０‘ ０ ，其中 ≠ 句） ? ’ Ｏ ，而 ≥０ｉ ， （ ＝ｉ ２ …， ） ， ｋ，则 Ａ是可酉协兰角化的． 证明 只需证存在矩阵 【 ， ６，，使得Ａ＝Ｕ ＡＵ而△： ＿ ２ ０ ，其中 Ｍ Ｏ ， ， 是上三角阵．因为 △０△０… 一１ ２ …，．一一 Ａ 一．所以 Ａ ＝— Ａ Ａ 一 Ａ＝Ａ为实矩阵，故 Ａｈ＝ （－） ａ ） ＡＡＡ＝（ＸＡ＝ＡＡ．这说明 Ａ和 Ａ可交换将 按 Ａ＝ ｔ④ ０…④＾ ． ‘ ． ‘方式分块 ＝ ） 则由ＡＡ＝ＡＡ可得 Ⅱ ｊ１６ ０哈 尔 滨 理 工 大 学 学 报＝第３ 卷． ，＾ 』 ．因此Ａ， ０ （ ， ＝ ｉ ） ≠ 这表 明矩阵 Ａ是块对 角矩 阵．由定理 ２ ，对 Ａ Ｍ 存 在 酉 矩 阵 Ｕ∈ 及 一 个 上 三 角 矩 阵 ｉ Ａ∈ ，使得 ．．．Ａ ＝ＵＡ 。 ．研（ ， ，?， ｆ ２ ． ＝ｌ － ）△设 Ｕ＝，则 Ｕｅ 为 酉矩 阵，设 Ａ＝ Ｍ，则 Ａ Ｍ 为上 三 角矩 ｅ阵 从 而有 Ａ＝Ｕ ＇ ＡＵｒ ，即 是 可 酉 协三 角 化 的 ．最后需要 指出的一点是，矩阵特 征值 的个 数等于矩阵 的阶数，而矩 阵 的协特 征值 却是有无 穷多个或是没有．当＾ Ａ的协特征值时，对所有 的 Ｏ Ｒ ｅ 也是 的协特征值 ． 是 ｅ ，参 考 文 献１ Ｈ ｒ ｏ ｎ Ｒ Ａ．Ｊ ｈ ｓ ｎ Ｃ Ｒ ｏ ｎ ｏ Ｍ ａ ｒ ａｙ ｉ Ｃ ｍｂ ｉ ｇ ｉｅ ｓ ｙ Ｐ ｅ ｔｉ Ａｎ ｌｓｓ ａ ｒ ｃ Ｕｎ ｖ ｒｉ ｒ％ ｘ ｄ ｔ，１ ８５ ９ ￣２ 吴海窖 ?宋迎春 ．复对称矩 阵在 数值 计算 中 的几 个需要 Ｉ 明的问题 ．电机与 控制学报 ， １９ （ Ｉ １ ９７，Ｓ ｍｅ Ｑｕ ｓｉｎ ｆＣ ｎ ｉ ｌｒ ｙ ｉ Ｍａｒ ｏ ｅ ｔ ｓ ｏ ｏ ｓ ａｉ ｎ ｏ ｍｉ ｔ ｔｘ ｉＹｉｇ ｈ ｎ ｎ ｃｕＡｂ ｔａ ｔ ｏ ｎ ｒ ｖ ｄ ｃ ｎｃｕ ｉ ｓ ａ ｏ ｔｃ ｎ ｉ ｌ ｒｔ ｆｍａ ｒｘ ａ ｅ ｐ ｏｖ ｄ ｓ ｍｅｂ ｃ ． ｓｒ ｃ Ｓ ｍｅ ｕ ｐ ｏ ｅ ｏ ｌ ｓｏｎ ｂ ｕ ｏ ｓｍｉ ｉ ｏ ｔｉ ｌ ｒ ｅ ｏ ａ ｋ ａ ｙ，ｇｏ ｎ ｔｅ ｒｔ ａ ａｅ， ｅａｉｎ ｈ ｐ ｅｗ ｅ ｄａ ｏ ａｉ ｂｌ ｙ ｎ ｃ ｎ ｉｇ ｎ ｌ ａ ｉｔ ｆ ｒ ｕ ｄ ｈ ｏ ｅｉ ｌ ｂ ｓｓ ｒｌｔ ｓ ｉ ｂ ｔ ｅ ｎ ｉｇ ｎ ｌ ａ ｉ ｔ ａ ｄ ｏ ｄａ ｏ ａｉ ｂｌｙ ｏ ｃ ｏ ｚ ｉ ｚ ｉｍａｒ ， ｈ ｒｅ ｒ ｔ ｆＡ ｎ ｏ ｅｇ ｎ ａｕ ｆＡ ａ ｅｇｖ ｎ ａ ｄ ｒｌ ｔ ｅ ｑｅｔｏ ｓａ ｅ ａ ａ ｔ ｘ ｃ ａａ ｔ ｉ ｉ ｏ Ａ ａ ｄ ｃ ｎ ｉｅ ｖ ｌｅｏ ｒ ｉｅ ｉ ｅｓｃ ｎ ｅａ ｉ ｕ ｉｎ ｒ ｎ － ｖ ｓ．ｌ ｚｄ ａ ｄ ｓ ｍｍｒ ｅ ｙｅ ｎ ｕ ｉ ｄ． ｚＫｅ ｗ ｒｓ ｃ ｎ ｉ ｌｒ ｃ ｎ ｉｇ ｎ ｌ ａ ｌ； ｃ ｎ ｉ ｎ ａｕ ； ｃ ｎｉｅ ｖ ｃｏ ： ａ ｔ ｌｅ ｒ ｙ ｏ ｄ ｏ ｓ ｍｉ ； ｏ ｄａ ｏ ａｉ ｂ￣ ａ ｚ ｏ ｅ ｅ ｖ ｌｅ ｇ ｏ ｅｇｎ ｅ ｔｒ ｎ ｉｎ ａ ｌｔａ ｆ ｒ ｔ ｎ ｒ ｍ ｏ ｍａ ｉ ｏ（ 审稿： 昊海客教授，付昶林教授；编辑： 王剑波）
范文九：矩阵的相似和相合一、特征值与特征向量的概念定义1
设A是n阶矩阵,如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立,那末,这样的数λ称为方阵A的特征值,非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量.说明1.特征向量x≠0,特征值问题是对方阵而言的.2.n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组(λI-A)x=0有非零解的λ值,即满足方程λI-Aλ都是矩阵A的特征值.=0的3.λI-A=0λ-a11-a12阅读详情：-a21λ-a22阅读详情：阅读详情：-an1阅读详情：-an2阅读详情：-a1n-a2n=0阅读详情：阅读详情：λ-ann称以λ为未知数的一元n次方程λI-A=0为A的
.特征方程记fA(λ)=λI-A,它是λ的n次多项式,称其特征多项式为方阵A的
.令λ1,λ2,阅读详情：,λs为fA(λ)=0的全部互异根，则
fA(λ)=(λ-λ1)(λ-λ2)阅读详情：(λ-λs),其中k1+k2+阅读详情：+ks=n,,称ki为λi(i=1,2,阅读详情：,s)的重数。k1k2ks二、特征值和特征向量的性质1.
n阶方阵A与它的转置矩阵A的特征值相同。证明： |λI-A|=|(λI-A)|=|λI-A|. 2.设n阶方阵A=(aij)的特征值为λ1,λ2,阅读详情：,TTTλn,则有(1)λ1+λ2+阅读详情：+λn=a11+a22+阅读详情：+(2)λ1λ2阅读详情：λn=A.A的迹，记为tr(A)1A为3阶方阵，且|A-I|=0,|2A-I|=0,|3A-I|=0,|A|=.63.
n阶方阵A的可逆的充要条件是0不是A的特征值。4.若λ是矩阵A的特征值，的特征值，x是A的属于λ的特征向量，的特征向量，则mmm(1)λ是A的特征值(m是任意正整数)，x是属于A对应于λ的特征向量.-1-1-1(2)当A可逆时,λ是A的特征值，x是属于A的对应于λ的特征向量.证明(1)∵Ax=λx22∴A(Ax)=A(λx)=λ(Ax)=λ(λx)=>Ax=λxmm再继续施行上述步骤m-2次，就得Ax=λx-1m故λ是矩阵A的特征值,且x是A对应于λ的特征向量.mmmm(2)当A可逆时,λ≠0,由Ax=λx可得A-1(Ax)=A(λx)=λAx-1-1-1-1=>Ax=λx故λ是矩阵A的特征值,且x是A对应于λ的特征向量.-1-1-1-12例三阶矩阵A的特征值为1，2，3，则A-2A+3I的行列式为多少？解：令f(x)=x-2x+3,我们有A-2A+3I的特征值是：22f(1)=2，f(2)=3，f(3)=6.所以|A-2A+3I|的行列式是2×3×6=36.2?A11A12阅读详情：A1p???A22阅读详情：A2p?,其中A为n(i=1,阅读详情：,p)阶方阵，则5.
设A=?iii阅读详情：????App??每个Aii的特征值也是A的特征值，且Aii(i=1,阅读详情：,p)的所有特征值即为A的全部特征值。特别的，三角阵对角线上元素构成其全部的特征值。6.
设λ1,λ2,阅读详情：,λm是方阵A的m个特征值,p1,p2,阅读详情：,pm依次是与之对应的特征向量.如果λ1,λ2,阅读详情：,λm各不相等,则p1,p2,阅读详情：,pm线性无关.证明则设有常数x1,x2,阅读详情：,xm使x1p1+x2p2+阅读详情：+xmpm=0.A(x1p1+x2p2+阅读详情：+xmpm)=0,k111k22即λ1x1p1+λ2x2p2+阅读详情：+λmxmpm=0,类推之，类推之，有λxp+λxp2+阅读详情：+λxpm=0.(k=1,2,阅读详情：,m-1)kmm把上列各式合写成矩阵形式，把上列各式合写成矩阵形式，得m-1?1λ1阅读详情：λ1??m-1?1阅读详情：λλ22??=0,0,阅读详情：,0xp,xp,阅读详情：,xp()(1122)mm?阅读详情：??m-1??1λm阅读详情：λm?上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式,当各λi不相等时,该行列式不等于0,从而该矩阵可逆.于是有(x1p1,x2p2,阅读详情：,xmpm)=(0,0,阅读详情：,0),即xjpj=0(j=1,2,阅读详情：,m).但pj≠0,故xj=0(j=1,2,阅读详情：,m).所以向量组p1,p2,阅读详情：,pm线性无关.注意１.的．属于不同特征值的特征向量是线性无关２.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．组合仍是属于这个特征值的特征向量．３.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．一个特征向量不能属于不同的特征值．因为,如果设x同时是A的属于特征值λ1,λ2的(λ1≠λ2)的特征向量,即有Ax=λ1x,=>λ1x=λ2x=>(λ1-λ2)x=0,由于λ1-λ2≠0,则x=0,与定义矛盾.Ax=λ2x三、特征值与特征向量的求法求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：1.
计算A的特征多项式det(λI-A);2.
求特征方程det(λI-A)=0的全部根λ1,λ2,阅读详情：,λn,就是A的全部特征值;3.
对于特征值λi,求齐次方程组(λiI-A)x=0的非零解,就是对应于λi的特征向量.?3-1?例1求A=??的特征值和特征向量.?-13?解A的特征多项式为λ-312=(λ-3)-11λ-32=λ-6λ+8=(λ-4)(λ-2)所以A的特征值为λ1=2,λ2=4.当λ1=2时,对应的特征向量应满足1??x1??0??-11??2-3?-11?=,??→???1???????2-3??x2??0??1-1???00??1? 所以对应的特征向量可取为p1=??.?1?所以kp1(k≠0)是对应于λ1=2的全部特征值.当λ2=4时,由1??x1??0??11??4-3?11???→?,??=??,??1???4-3??x2??0??11???00?所以对应的特征向量可取为?-1?
p2=??.?1?所以kp2(k≠0)是对应于λ2=4的全部特征值.?-110???例2求矩阵A=?-430?的特征值和特征向量.?102???解
A的特征多项式为λ+1λI-A=4-100=(λ-2)(λ-1),2λ-3-10λ-2所以A的特征值为λ1=2,λ2=λ3=1.当λ1=2时,解方程(2I-A)x=0.由?3-1?2I-A=4-1??-10??0???得基础解系
p1=?0?,?1???所以kp1(k≠0)是对应于λ1=2的全部特征值.当λ2=λ3=1时,解方程(I-A)x=0.由?2-10??101?????I-A=4-20~012,?????-10-1??000?????100??0????0~010,????0???000???-1???得基础解系
p2=?-2?,?1???所以kp2(k≠0)是对应于λ2=λ3=1的全部特征值.?-211???的特征值与特征向量．例3设A=?020?,求A的特征值与特征向量．?-413???解-1-1λI-A=0λ-204-1λ-32=(λ+1)(λ-2),2令(λ+1)(λ-2)=0λ+2得A的特征值为λ1=-1,λ2=λ3=2.当λ1=-1时,解方程(I+A)x=0.由?-111??10-1?????I+A=030~010,?????-414??000??????1???得基础解系p1=?0?,?1???故对应于λ1=-1的全体特征向量为kp1
(k≠0).当λ2=λ3=2时,解方程(2I-A)x=0.由?4-1-1??4-1-1?????2I-A=000~000,?????4-1-1??000?????得基础解系为：得基础解系为：?0??1?????p2=?1?,
p3=?0?,?-1??4?????所以对应于λ2=λ3=2的全部特征向量为:k2p2+k3p3
(k2,k3不同时为0).四、小结求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：1.
计算A的特征多项式det(λI-A);2.
求特征方程det(λI-A)=0的全部根λ1,λ2,阅读详情：,λn,就是A的全部特征值;3.
对于特征值λi,求齐次方程组
(λiI-A)x=0的非零解,就是对应于λi的特征向量.思考题设4阶方阵A满足条件: det(3I+A)=0,AA=2I,detAT*思考题解答解
因为detA-1-3是A的一个特征值,从而-3是A的一个特征值.
又由 AAT=2I得 det(AAT)=det(2I)=16,即(detA)=16,于是detA=±4,但detA4故A*有一个特征值为.32***一、矩阵的对角化定义1
设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使
PAP=B,则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.对A进行运算PAP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.-1-1定理1
若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.-1证明A与B相似=>?可逆阵P,使得PAP=B-1-1∴λI-B=P(λI)P-PAP=P-1(λI-A)P-1=λI-AP=λI-A.注意：若A与B有相同的特征多项式，但A与B不相似。?11??10?2例如：和?有相同的特征多项式f(λ)=(λ-1), ????1??01?但它们不相似。推论1若n阶方阵A与对角阵（与对角阵（三角阵）三角阵）??λ1??Λ=?λ????λ1*阅读详情：*???2???Λ=?λ2阅读详情：*????阅读详情：??阅读详情：????λ???λ??n???n??相似,则λ1,λ2,阅读详情：,λn即是A的n个特征值.例?1ac???*设矩阵A与2b相似，求|A-3A+2I|.????-3??*解：|A|=1×2×(-3)=-6. 又AA=|A|I|A||A-3A+2I|=|A|I-3A+2A
=-6I-3A+2A 令f(x)=-3x+2x-6-6I-3A+2A的特征值是f(1)=-7，f(2)=-14，f(-3)=-39|A-3A+2I|=(-7)×(-14)×(-39)/(-6)=637.*222*2二、利用相似变换将方阵对角化对n阶方阵A,若可找到可逆矩阵P,使PAP=Λ为对角阵,这就称为把方阵A对角化.-1定理2
n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.证明假设存在可逆阵P,使PAP=Λ为对角阵,把P用其列向量表示为P=(p1,p2,阅读详情：,pn).-1?λ1???λ2??即A(p1,p2,阅读详情：,pn)=(p1,p2,阅读详情：,pn)阅读详情：????λn??由PAP=Λ,得AP=PΛ,-1=(λ1p1,λ2p2,阅读详情：,λnpn).∴A(p1,p2,阅读详情：,pn)=(Ap1,Ap2,阅读详情：,Apn)=(λ1p1,λp2,阅读详情：,λpn)于是有Api=λipi(i=1,2,阅读详情：,n).可见λi是A的特征值,而P的列向量pi就是A的对应于特征值λi的特征向量.又由于P可逆,所以p1,p2,阅读详情：,pn线性无关.反之,由于A恰好有n个线性无关的特征向量,并对应地有n个特征值,这n个特征向量即可构成可逆矩阵P,使AP=PΛ，即PAP=Λ.-1命题得证.推论2如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，个特征值互不相等，则A与对角阵相似．与对角阵相似．说明如果A的特征方程有重根，的特征方程有重根，此时不一定有n个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化，对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，A还是能对角化．还是能对角化．例1判断下列实矩阵能否化为对角阵判断下列实矩阵能否化为对角阵？？?1-22??-21-2?????(1)A=?-2-24?(2)A=?-53-3??2???4-2???102?解λ-12-2(1)由λI-A=2λ+2-42-4-2λ+2=0=(λ-2)(λ+7)得λ1=λ2=2,λ3=-7.将λ1=λ2=2代入, 得方程组
(2I-A)x=0解之得基础解系?2??0?????α1=?0?,α2=?1?.?1??1?????同理,对λ3=-7,由(-7I-A)x=0,求得基础解系α3=(1,2,2)T201由于
012≠0,112所以α1,α2,α3线性无关.即A有3个线性无关的特征向量,因而A可对角化.?-21-2???(2)A=?-53-3??102???λ-21-2-3=(λ+1)3λI-A=-51λ+3λ+2所以A的特征值为λ1=λ2=λ3=-1.把λ=-1代入(λI-A)x=0,解之得基础解系Tξ=(1,1,-1),故A不能化为对角矩阵.60??4??例2设A=?-3-50??-3-61???A能否对角化？能否对角化？若能对角化,则求出可逆矩阵P,-1使PAP为对角阵.解λ-4λI-A=33-600λ+56=(λ-1)(λ+2)2λ-所以A的全部特征值为λ1=λ2=1,λ3=-2.当λ1=λ2=1时，
(I-A)x=0解之得基础解系?-2???ξ1=?1?,?0????0???ξ2=?0?.?1???将λ3=-2代入(λI-A)x=0,得方程组的基础解系ξ3=(-1,1,1).T由于ξ1,ξ2,ξ3线性无关.?-2?令
P=(ξ1,ξ2,ξ3)=?1?0??1?-1则有
PAP=?0?0?所以A可对角化.0-1??01??11?00??10?.?0-2?-1-2
??若令P=(ξ3,ξ1,ξ2)=?11?10?-
PAP=?010?.?001???注意0
??0?,1??即矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．要相互对应．定理3
n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化)的充分必要条件是对A的每个特征值λ有
r(λI-A)=n-s,其中s为λ的重数.
范文十：第五章
矩阵的相抵与相似一、填空题1．Z/(5)?
.2．设A 是s?n矩阵，A的秩为r，则其相抵标准形为___________.3．设A与diag{1,2,3}相似，则tr(A2)?___________.4．设三阶矩阵A的特征值为1,2,3，则行列式4I?A?___________.5. n阶矩阵A可对角化的充要条件为__________________________________． ６．设A?为矩阵A的广义逆，则非齐次线性方程组AX??有解时，它的通解为________．二、计算题?13?20???1．求矩阵?3?201?的相抵标准形．?41?21????32?n２．已知A???，计算A． ?41?３．设?2?20???A???21?2??0?20???求正交矩阵U，使U'AU为对角形．?200??1?11?????４．1．设A??24?2?与B??020?相似．?00b???3?3a?????（1）求a,b的值；（2）求可逆矩阵，使P?1AP?B．四、证明题1．设A是n?n矩阵，且rank(A)?r，证明：存在一n?n可逆矩阵P使PAP?1的后n?r行全为零．２．A为n阶实对称矩阵，且A2?I．证明：存在正交矩阵U，使?IrUAU???0??10?? ?In?r??其中r为A的正特征值的个数．}
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第一章参考答案
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&&矩阵理论与应用----上海交通大学张跃辉---习题解答
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官方公共微信《相似矩阵的性质》_精选优秀范文十篇
相似矩阵的性质
相似矩阵的性质
范文一：1 矩阵的相似1.1 定义
1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形
2 相似的条件3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵
相似矩阵与矩阵的对角化
相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】）矩阵的相似及其应用 1.1
矩阵的相似定义1.1：设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B?X?1AX，就说A相似于B记作A∽B 1.2
相似的性质（1）反身性A∽A：；这是因为A?E?1AE.（2）对称性：如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使B?X?1AX，令Y?X?1，就有A?XBX?1?Y?1BY，所以B∽A。（3）传递性：如果A∽B，B∽C，那么A∽C。已知有X,Y使B?X?1AX，C?Y?1BY。令Z?XY，就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ，因此，A∽C。1.3 相似矩阵的性质 若A,B?Cn?n，A∽B，则： （1）r(A)?r(B)；Q是n?n可逆矩阵，引理：A是一个s?n矩阵，如果P是一个s?s可逆矩阵，那么秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）证明：设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC,由引理2可知，秩?1（B）=秩（B?CAC）=秩（AC）=秩（A）（2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即P?1AP?B?P?1f(A)P?f(B)证明：设f(x)?anx?an?1xnnn?1??a1x?a0 a1A?a0E a1B?a0E于是，f(A)?anAn?an?1An?1?
f(B)?anB?an?1Bn?1kk由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得Bk?X?1AkX，?1?1anAn?an?1An?1?因此 Xf?A?X?X?a1A?a0E?X?anX?1AnX?an?1X?1An?1X?
?anBn?an?1Bn?1?
?f(B) 所以f(A)相似于f(B)。?a1X?1AX?a0Ea1B?a0E（3）相似矩阵有相同的行列式，即A?B,trA?trB；证明：设A与B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC，两边取行列式?1?1AC?AC?1C?A，从而相似矩阵有相同的行列式。 得：B?CAC?C又由性质（2）知，A与B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值?1,?2,A的迹trA??1??2?矩阵有相同的迹,?n，而??n，B的迹trB??1??2???n，从而trA?trB，即相似（4）A与B有相同的Jordan标准形； （5）相似矩阵同时可逆或同时不可逆。证明：设A与B相似，由性质2可知A?B，若A可逆，即A?0，从而B?0，故B可逆；若A不可逆，即A=0，从而B=0,故B不可逆。
（6）若?1证明：A与B相似，即存在可逆矩阵P,使得B?PAP,C与D相似，即存在可逆矩阵Q,A与B相似，B与D相似，则??A0??B0??与??相似。?0C??0D??B0??P?10??A0??P0?使得D?QCQ，由于??=???? ?1??0D0C0Q0Q?????????1?P0??A0??P0?
=??????0Q0C0Q???????1?P0??A0??B0?显然??与??相似。 ?是可逆矩阵。由此可见，则?0C0D0Q??????定理1.1：线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。证明：先证前一部分。设线性空间V中线性变换A 在两组基：?1,?2,,?n （1）
?1,?2,.,?n（2）下的矩阵分别为A和B,从基⑴到基⑵的过渡矩阵为X，则：(A?1,A?2,(A?1,A?2,(?1,?2,于是,A?n)?(?1,?2,.,?n)A，
,A?n)?(?1,?2,,?n)B,?n)?(?1,?2,.,?n)X(A?1,A?2,,A?n)?A(?1,?2,,?n)?A[(?1,?2,.,?n)X]?(A?1,A?2,,A?n)X ?(?1,?2,?1,.?n)AX ?(?1,?2,.,?n)X?1AX由此可得
B?XAX现在证后一部分。设n级矩阵A和B相似，那么它们可以 看作是n维线性空间V中一个线性变换 在基?1,?2,.的矩阵。因为B?X?1AX，令：,?n下(?1,?2,,?n)?(?1,?2,,.?n)X,显然，?1,?2,?n 也是一组基，A在这组基下的矩阵就是B。??1?例一：证明????1,2,?2???i1???与??????n????i2???相似，其中 i,i,12???in??,in是,n的一个排列。证明：设：A(?1,?2,?n)??(?1,?2,??1??n)?????2??????n?，则A(?1?,2?n,??,??)1??i1??(?n2?????,i2,???1???，,.因为)??????in????2???和???n???i1???????i2???是线性变换A在不同基下的矩阵，故它们相似。 ???in??定理2.1：设A,B是数域P上的两个n级矩阵，A与B相似的充要条件是它们的特征矩阵?E?A和?E?B等价。?bca??cab?????例一：设a,b,c是实数，A??cab?，B??abc?,证明A与B相似。?abc??bca?????证明：?a???a?b??c??b????b?c???c?a??????E?A???c??a?b??c??a?b??b?c??a????????a???a??b?c??b??c??a??????b?c????b????c?a?????a??b?c???E?B ??b?c??a???故?E?A和?E?B等价，从而A∽B3，矩阵相似的应用 3.1相似矩阵与特征矩阵定义3.1.1：把矩阵A（或线性变换A ）的每个次数大于零的不变因子分解成互相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换A ）的初等因子。定理3.1.1：数域F上的方阵A与B相似的充要条件是?E?A和?E?B有相同的列式因子。定理3.1.2：两个同级复数矩阵相似充要条件是它们有相同的初等因子。例1：证明：任何方阵A与其转置方阵A? 相似。证明：因为?E?A与?E?A? 互为转置矩阵，它们对应k阶子式互为转置行列式，故相等。从而两者有完全相同的各阶行列式因子，于是两者有完全相同的不变因子。故?E?A与?E?A? 等价，从而A与A? 相似。例2：证明：相似方阵有相同的最小的多项式。证法一：设A与B相似，即可存在可逆矩阵Q，使B?Q?1AQ，又设A与B的最小多项式分别为g1???,g2???，于是：g1?B??g2?Q?1AQ??Q?1g1?A?Q?0,但是，B的最小多项式整除任何以B为根的多项式，故g1????g2???证法二：设A与B相似，则?E?A和?E?B等价，从而有完全相同的不变因子，但最后一个不变因子就是最小多项式，故A与B有相同的最小的多项式。4 相似矩阵与矩阵的对角化矩阵的对角化问题的解法及其应用都有其明显特色，因而线性代数中通常被单独处理，尽管矩阵相似是完全独立的另一概念，但是却与对角化问题有重要的关联。定义3.1.2：数域F上方阵A，如果与一个F上的对角方阵相似，则称A在F上可对角化。定理3.2.3：复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的初等因子全是一次的。定理3.2.4：复数矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是A的不变因子都没有重根。定理3.2.5：复数域上方阵A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是A的最小多项式没有重根。定理3.2.6：设A是n阶方阵，则以下条件是等价的：（1）A相似于对角矩阵；（2）属于A的不同特征值的特征向量线性无关；（3）A有n个线性无关的特征向量；（4）A的每一特征值的代数重数都等于它的几何重数。例4：设复矩阵A的最小多项式f?????2k?1，证明：A与对角阵相似。证明：?f???,f????????2k?1,2k?2k?1??1 ，即A的最小多项式无重根，所以A的初等因子都是一次的，所以A相似于对角阵。例5：设A为n阶方阵，f?????E? 是A的特征多项式，并令：G????f???f???,f????，证明：A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是g?A??0。证明：设f?????E?A?????1?n1????2?n2????r?n，其中?1,?2,...?r互不相等，且n1?n2?nr?n，则：g????????1?????2?????r?。如果A与一个对角矩阵相似，则?E?A的初等因子都是一次的，其中全部不同的初等因子是???1,???2,,???r ，它们的乘积就是?E?A最后一个不变因子但dn??? 就 是?E?A????r??g???。亦即dn????????1?????2?dn???，的 最 小 多 项 式 ， 所 以g?A??dn?A??0。反之，若g?A??0，则A的最小多项式dn???整除g???，因而dn???没有重根，故A与对角矩阵相似。?1?3?1???例7：设A??210? ，试证明：?311???（1）A在复数域上可对角化；（2）A在有理数域上不可对角化。证明：⑴f?????E?A??3?3?2?12??8 ,f?????3?2?6??12,用辗转相除法可证得?f???,f??????1，故在复数域上A相似于对角矩阵。（2）若A在有理数域上可对角化，那么A的特征值必须都是有理数，从而f???有有理根，而f???的首项系数为1，从而f???的有理根必为整数根。由于f???的常数项为-8，如果f???有整数根必为?1,?2,?4,?8，用综合除法验算它们都不是f???的根，因此f???无有理根，从而得证A在有理数域上不可对角化。注：两个矩阵是否相似同数域的大小无关，但是，一个矩阵是否可对角化?0?1?（即与一个对角矩阵相似）却同数域的大小有关，例如，二阶方阵A???在?10?实数域上不可对角化，但在复数域上却可以对角化，因为此时它与对角矩阵?i0??11??1B??? ，即有PAP?B。 ? 相似，事实上，取P????ii??0?i?原文地址：1 矩阵的相似1.1 定义
1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形
2 相似的条件3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵
相似矩阵与矩阵的对角化
相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】）矩阵的相似及其应用 1.1
矩阵的相似定义1.1：设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B?X?1AX，就说A相似于B记作A∽B 1.2
相似的性质（1）反身性A∽A：；这是因为A?E?1AE.（2）对称性：如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使B?X?1AX，令Y?X?1，就有A?XBX?1?Y?1BY，所以B∽A。（3）传递性：如果A∽B，B∽C，那么A∽C。已知有X,Y使B?X?1AX，C?Y?1BY。令Z?XY，就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ，因此，A∽C。1.3 相似矩阵的性质 若A,B?Cn?n，A∽B，则： （1）r(A)?r(B)；Q是n?n可逆矩阵，引理：A是一个s?n矩阵，如果P是一个s?s可逆矩阵，那么秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）证明：设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC,由引理2可知，秩?1（B）=秩（B?CAC）=秩（AC）=秩（A）（2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即P?1AP?B?P?1f(A)P?f(B)证明：设f(x)?anx?an?1xnnn?1??a1x?a0 a1A?a0E a1B?a0E于是，f(A)?anAn?an?1An?1?
f(B)?anB?an?1Bn?1kk由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得Bk?X?1AkX，?1?1anAn?an?1An?1?因此 Xf?A?X?X?a1A?a0E?X?anX?1AnX?an?1X?1An?1X?
?anBn?an?1Bn?1?
?f(B) 所以f(A)相似于f(B)。?a1X?1AX?a0Ea1B?a0E（3）相似矩阵有相同的行列式，即A?B,trA?trB；证明：设A与B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC，两边取行列式?1?1AC?AC?1C?A，从而相似矩阵有相同的行列式。 得：B?CAC?C又由性质（2）知，A与B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值?1,?2,A的迹trA??1??2?矩阵有相同的迹,?n，而??n，B的迹trB??1??2???n，从而trA?trB，即相似（4）A与B有相同的Jordan标准形； （5）相似矩阵同时可逆或同时不可逆。证明：设A与B相似，由性质2可知A?B，若A可逆，即A?0，从而B?0，故B可逆；若A不可逆，即A=0，从而B=0,故B不可逆。
（6）若?1证明：A与B相似，即存在可逆矩阵P,使得B?PAP,C与D相似，即存在可逆矩阵Q,A与B相似，B与D相似，则??A0??B0??与??相似。?0C??0D??B0??P?10??A0??P0?使得D?QCQ，由于??=???? ?1??0D0C0Q0Q?????????1?P0??A0??P0?
=??????0Q0C0Q???????1?P0??A0??B0?显然??与??相似。 ?是可逆矩阵。由此可见，则?0C0D0Q??????定理1.1：线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。证明：先证前一部分。设线性空间V中线性变换A 在两组基：?1,?2,,?n （1）
?1,?2,.,?n（2）下的矩阵分别为A和B,从基⑴到基⑵的过渡矩阵为X，则：(A?1,A?2,(A?1,A?2,(?1,?2,于是,A?n)?(?1,?2,.,?n)A，
,A?n)?(?1,?2,,?n)B,?n)?(?1,?2,.,?n)X(A?1,A?2,,A?n)?A(?1,?2,,?n)?A[(?1,?2,.,?n)X]?(A?1,A?2,,A?n)X ?(?1,?2,?1,.?n)AX ?(?1,?2,.,?n)X?1AX由此可得
B?XAX现在证后一部分。设n级矩阵A和B相似，那么它们可以 看作是n维线性空间V中一个线性变换 在基?1,?2,.的矩阵。因为B?X?1AX，令：,?n下(?1,?2,,?n)?(?1,?2,,.?n)X,显然，?1,?2,?n 也是一组基，A在这组基下的矩阵就是B。??1?例一：证明????1,2,?2???i1???与??????n????i2???相似，其中 i,i,12???in??,in是,n的一个排列。证明：设：A(?1,?2,?n)??(?1,?2,??1??n)?????2??????n?，则A(?1?,2?n,??,??)1??i1??(?n2?????,i2,???1???，,.因为)??????in????2???和???n???i1???????i2???是线性变换A在不同基下的矩阵，故它们相似。 ???in??定理2.1：设A,B是数域P上的两个n级矩阵，A与B相似的充要条件是它们的特征矩阵?E?A和?E?B等价。?bca??cab?????例一：设a,b,c是实数，A??cab?，B??abc?,证明A与B相似。?abc??bca?????证明：?a???a?b??c??b????b?c???c?a??????E?A???c??a?b??c??a?b??b?c??a????????a???a??b?c??b??c??a??????b?c????b????c?a?????a??b?c???E?B ??b?c??a???故?E?A和?E?B等价，从而A∽B3，矩阵相似的应用 3.1相似矩阵与特征矩阵定义3.1.1：把矩阵A（或线性变换A ）的每个次数大于零的不变因子分解成互相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换A ）的初等因子。定理3.1.1：数域F上的方阵A与B相似的充要条件是?E?A和?E?B有相同的列式因子。定理3.1.2：两个同级复数矩阵相似充要条件是它们有相同的初等因子。例1：证明：任何方阵A与其转置方阵A? 相似。证明：因为?E?A与?E?A? 互为转置矩阵，它们对应k阶子式互为转置行列式，故相等。从而两者有完全相同的各阶行列式因子，于是两者有完全相同的不变因子。故?E?A与?E?A? 等价，从而A与A? 相似。例2：证明：相似方阵有相同的最小的多项式。证法一：设A与B相似，即可存在可逆矩阵Q，使B?Q?1AQ，又设A与B的最小多项式分别为g1???,g2???，于是：g1?B??g2?Q?1AQ??Q?1g1?A?Q?0,但是，B的最小多项式整除任何以B为根的多项式，故g1????g2???证法二：设A与B相似，则?E?A和?E?B等价，从而有完全相同的不变因子，但最后一个不变因子就是最小多项式，故A与B有相同的最小的多项式。4 相似矩阵与矩阵的对角化矩阵的对角化问题的解法及其应用都有其明显特色，因而线性代数中通常被单独处理，尽管矩阵相似是完全独立的另一概念，但是却与对角化问题有重要的关联。定义3.1.2：数域F上方阵A，如果与一个F上的对角方阵相似，则称A在F上可对角化。定理3.2.3：复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的初等因子全是一次的。定理3.2.4：复数矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是A的不变因子都没有重根。定理3.2.5：复数域上方阵A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是A的最小多项式没有重根。定理3.2.6：设A是n阶方阵，则以下条件是等价的：（1）A相似于对角矩阵；（2）属于A的不同特征值的特征向量线性无关；（3）A有n个线性无关的特征向量；（4）A的每一特征值的代数重数都等于它的几何重数。例4：设复矩阵A的最小多项式f?????2k?1，证明：A与对角阵相似。证明：?f???,f????????2k?1,2k?2k?1??1 ，即A的最小多项式无重根，所以A的初等因子都是一次的，所以A相似于对角阵。例5：设A为n阶方阵，f?????E? 是A的特征多项式，并令：G????f???f???,f????，证明：A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是g?A??0。证明：设f?????E?A?????1?n1????2?n2????r?n，其中?1,?2,...?r互不相等，且n1?n2?nr?n，则：g????????1?????2?????r?。如果A与一个对角矩阵相似，则?E?A的初等因子都是一次的，其中全部不同的初等因子是???1,???2,,???r ，它们的乘积就是?E?A最后一个不变因子但dn??? 就 是?E?A????r??g???。亦即dn????????1?????2?dn???，的 最 小 多 项 式 ， 所 以g?A??dn?A??0。反之，若g?A??0，则A的最小多项式dn???整除g???，因而dn???没有重根，故A与对角矩阵相似。?1?3?1???例7：设A??210? ，试证明：?311???（1）A在复数域上可对角化；（2）A在有理数域上不可对角化。证明：⑴f?????E?A??3?3?2?12??8 ,f?????3?2?6??12,用辗转相除法可证得?f???,f??????1，故在复数域上A相似于对角矩阵。（2）若A在有理数域上可对角化，那么A的特征值必须都是有理数，从而f???有有理根，而f???的首项系数为1，从而f???的有理根必为整数根。由于f???的常数项为-8，如果f???有整数根必为?1,?2,?4,?8，用综合除法验算它们都不是f???的根，因此f???无有理根，从而得证A在有理数域上不可对角化。注：两个矩阵是否相似同数域的大小无关，但是，一个矩阵是否可对角化?0?1?（即与一个对角矩阵相似）却同数域的大小有关，例如，二阶方阵A???在?10?实数域上不可对角化，但在复数域上却可以对角化，因为此时它与对角矩阵?i0??11??1B??? ，即有PAP?B。 ? 相似，事实上，取P????ii??0?i?
范文二：§3 相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化一、相似矩阵与相似变换的概念定义1使 设 A , B 都是 n 阶矩阵, 若有可逆矩阵 P , P -1 AP = B ,则称 B 是 A 的相似矩阵 , 或说矩阵 A 与 B 相似. 对 A 进行运算 P -1 AP 称为对 A进行相似变换 , 可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B的相似变换矩阵 .二、相似矩阵与相似变换的性质若A与B相似, 则Am 与B m 相似(m 为正整数 ).定理3 若 n 阶矩阵 A 与 B 相似 , 则 A 与 B 的特征多项式相同 , 从而 A 与 B 的特征值亦相同 .证明 ? A与B相似 ,∴ 存在可逆阵 P , 使得 P -1 AP = B ,∴ B - λE = P AP - P = P = P-1 -1-1-1(λ E ) P( A - λE ) PA - λE P= A - λE .推论 若 n 阶方阵A与对角阵? λ1 ? ? ? λ2 ? ? Λ=? ? ? ? ? ? ? λ ? n?相似 , 则λ1 , λ2 ,? , λn 即是 A 的 n 个特征值 .利用对角矩阵计算矩阵多项式 k个 若A = PB P -1 , 则 k A = PB P -1 PB P -1 ? PB P -1PB P -1 = P B k P -1 . A的多项式? ( A) = a 0 An + a1 An-1 + ? + a n-1 A + a n E= a 0 P B n P -1 + a 1 P B n -1 P -1 + ? + a n-1 PB P -1 + a n PE P -1= P ( a 0 B n + a 1 B n -1 + ? + a n -1 B + a n E ) P -1 = P? ( B ) P -1 .特别地 , 若可逆矩阵 P使 P -1 AP = Λ为对角矩阵 , 则k -1 P = A Λ P , k? ( A) = P? ( Λ ) P -1 .对于对角矩阵 Λ , 有k ? λ1 ? ? ? k λ ? ? 2 k , Λ =? ? ? ? ? ? k? λn? ?? ? ? ( λ 1) ? ? ? ( λ 1) ? ? ? (Λ ) = ? , ? ? ? ? ? ? ? ( ) λ1 ? ?利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 的多项式 ? ( A) . 定理 设 f (λ ) 是矩阵 A 的特征多项式, 则 f ( A) = O .三、利用相似变换将方阵对角化对 n 阶方阵 A , 若可找到可逆矩阵 P , 使 P -1 AP = Λ为对角阵 , 这就称为把方阵 A对角化 .定理4 n阶矩阵 A与对角矩阵相似 (即A能对角化 ) 的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量 .推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等， 则 A 与对角阵相似． （A与对角阵相似的充分条件） 说明 如果 A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能 对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， A 还是能对角化．例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？? - 2 1 - 2? ? 1 -2 2 ? ? ? ? ? (1) A = ? - 2 - 2 4 ? ( 2) A = ? - 5 3 - 3 ? ? 1 0 2 ? ? 2 ? ? ? 4 - 2? ? 解 1- λ -2 2 4 (1) 由 A - λE = - 2 - 2 - λ 2 4 -2-λ= - (λ - 2 ) (λ + 7 )2=0得 λ1 = λ2 = 2, λ3 = -7.将 λ1 = λ2 = 2代入( A - λ1 E ) x = 0, 得方程组? - x1 - 2 x2 + 2 x3 = 0 ? ? - 2 x1 - 4 x2 + 4 x3 = 0 ? 2x + 4x - 4x = 0 ? 1 2 3解之得基础解系? 2? ? 0? ? ? ? ? α1 = ? 0 ? , α 2 = ? 1 ?. ? 1? ? 1? ? ? ? ?同理 , 对λ 3 = -7,由( A - λE ) x = 0,求得基础解系 α 3 = (1,2,2 )2 0 1 由于 0 1 2 ≠ 0, 1 1 2T所以 α 1 ,α 2 ,α 3线性无关 .即A有 3个线性无关的特征向量 ,因而 A可对角 化.? - 2 1 - 2? ? ? ( 2) A = ? - 5 3 - 3 ? ? 1 0 2 ? ? ? 2-λ -12 3 = - (λ + 1 ) -2-λ3A - λE =5 -1-3-λ 0所以 A的特征值为 λ1 = λ 2 = λ 3 = -1. 把λ = -1代入( A - λE ) x = 0, 解之得基础解系 T ξ = (1,1,-1) ,故A 不能化为对角矩阵.6 0? ? 4 ? ? 例2 设 A = ? - 3 - 5 0 ? ? - 3 - 6 1? ? ? A能否对角化？若能对角 化, 则求出可逆矩阵 P , 使P -1 AP为对角阵 .解4-λ 6 0 2 ( ) (λ + 2 ) = - λ - 1 A - λE = - 3 - 5 - λ 0 -3 -6 1- λ所以 A的全部特征值为 λ1 = λ2 = 1, λ3 = -2.将λ1 = λ2 = 1代入( A - λE ) x = 0得方程组? 3 x1 + 6 x2 = 0 ? ? - 3 x1 - 6 x2 = 0 ?- 3 x - 6 x = 0 ? 1 2解之得基础解系? - 2? ? ? ξ1 = ? 1 ? , ? 0 ? ? ? ? 0? ? ? ξ2 = ? 0 ? . ? 1? ? ?将λ 3 = -2代入( A - λE ) x = 0, 得方程组的基础 解系ξ 3 = (-1,1,1)T .所以 A 可对角化. 0 - 1? ? 0 1? 1 1? ?0 0 ? ? 1 0 ? . 0 - 2? ?由于 ξ1 ,ξ 2 ,ξ 3 线性无关 . ?- 2 ? 令 P = (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ) = ? 1 ? 0 ? ?1 ? -1 则有 P AP = ? 0 ?0 ??-1 ? 若令 P = (ξ 3 ,ξ 1 ,ξ 2 ) = ? 1 ? 1 ? ? -2 0 ? -1 则有 P AP = ? 0 1 ? 0 0 ?注意-2 0 ? ? 1 0 ?, 0 1 ? ? 0 ? ? 0 ?. 1? ?即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．例 3设?0 0 1? ? ? A = ?1 1 x? ?1 0 0? ? ?问x为何值时，矩阵A能对角化？ 解：-λ A - λE = 1 10 1- λ 01x = (1 - λ ) 1 -λ-λ1 -λ= -(λ - 1) 2 (λ + 1)得λ1 = -1 , λ2 = 1由于A可对角化所以二重根 λ1 = λ2 = 1有两个 线性无关的特征向量于 是R( A - E ) = 1?-1 0 1 ? ?1 0 ? ? ? 所以 A - E = ? 1 0 x ? ~ ? 0 0 ? 1 0 - 1? ? 0 0 ? ? ? -1 ? ? x + 1? 0 ? ?所以x = -1
范文三：浅谈相似矩阵和合同矩阵李 鹏摘 要：矩阵的相似与矩阵的合同是线性代数中两个重要的概念.对它们的定义如何？它们定义 中所表现出来的异同点作了简单阐述.二者都是针对方阵来说的，定义中都是要求存在一个可逆矩阵，但一个是可逆矩阵的逆，一个是可逆矩阵的转置.它们都属于等价关系，即都有反身性、对称性、传递性.两者之间虽然存在某些内在联系，但并不是等价的，只有二者定义中的可逆矩阵是正交矩阵时，二者才等价.关键词： 相似矩阵；
合同矩阵；
特征值1 引言相似矩阵与合同矩阵是线性代数中很重要的两个概念，前人对它们进行了很详尽的研究和比较完美的应用，本文从他们的定义出发对它们进行了简单的介绍并对它们的判断方法进行了总结，用具体例子对它们的判断方法进行贴切的说明.这些对以后的线性代数问题会有很大用处.2 相似矩阵与合同矩阵的定义及性质2．1 相似矩阵的定义及性质2．1．1 相似矩阵的定义 设A、B为两个n阶矩阵，若存在n阶可逆矩阵C，使得C?1AC?B则称A与相B似，记为A～B称可逆矩阵C为相似变换矩阵.在线性变换中，说同一线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的，反过来，若两矩阵相似，则它们可看成同一线性变换在两组不同基下所对应的矩阵.相似是矩阵之间的一种关系，它满足 （1）反身性，即A～A；（2）对称性，即若A～B，则有B～A； （3）传递性，即若A～B且B～C，则A～C.2．1．2 相似矩阵的性质 性质1
若矩阵A~B，则A?B. 证
设A~B，则存在可逆矩阵C，使得C?1AC?B两边同时取行列式，得B?C?1AC?C?1AC?A性质2
可逆的相似矩阵，它们的逆矩阵也相似.证
A，B均为可逆矩阵，且A~B，则存在可逆矩阵C，使得B?1??C?1AC??C?1A?1C，?1即A?1?B?1.性质3
若A~B，则kA?kB，An?Bn其中k是任意常数，m为正整数. 证
设A~B，则存在可逆矩阵C，使得 从而有kB?kC?1AC?C?1?kA?C, 即kA?kB.Bn??C?1AC???C?1AC??C?1AC???C?1AC??C?1AnCn即An?Bn.性质4
若A~B，f?x?是一个多项式，则f?A??f?B?. 证
设f?x??a0?a1x?a2x???anx 因为A~B，所以存在可逆矩阵C，使得f?B??a0E?a1B?a2B2???anBn?a0E?a1?C?1AC??a2?C?1AC???an?C?1AC?2n?C?1?a0E?a1A?a2A2??anAn?C?C?1f?A?C即f?A??f?B?.性质5
相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.
A~B，则存在可逆矩阵C，使得而?E?B??E?C?1AC?C?1??E?A?C?C?1?E?AC??E?A 即矩阵A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.性质6
两个n阶方阵A,B有相同的特征值 ，证明：它们的特征向量之间相差一个可逆矩阵因子.证
若矩阵A,B相似，则存在X，使得B?X?1AX，进而设A的属于?0的特征向量为?，则??0E?A??=0，于是由A?XBX?1知，??0E?A??=??0E?XBX?1??=0用X?1左乘上式，得??0E?B?X?1?=0.这就意味着X?1?是B的属于特征值?0的特征向量. 同理可证，若?为矩阵B的属于特征值?0的特征向量，则X?必为A的属于?0的特征向量.tAtB?另外，相似矩阵有相同的迹.即若A~B，则r?r?且B?diag??1,?2,??n?,??;若A~B，则?1，?2…?n为A的特征值；若矩阵A,B均可逆，且A~B，则A*?B*.2．1．3 相似矩阵的判定定理1 两矩阵相似的充要条件是?E?A等价于?E?B. 为此,引入以下引理引理1 如果有P,Q使得?E?A?P??E?B?Q,则A与B相似.引理2 对于任何不为零的矩阵A和?-矩阵U???，V???, 一定存在Q???，R???，U0，V0，使得U??????E?A?Q????U0 V????R?????E?A??V0.2.2 合同矩阵的定义及性质2．2．1合同矩阵定义 设A,B均为n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得CTAC?B，则称矩阵A与B合同，记A?B合同是矩阵之间的另一种关系，它满足 （1）反身性，即A?ETAE；（2）对称性，即若B?CTAC，则有A??C?1?BC?1；T（3）传递性，若A1?C1TAC1和A2?C2TAC12，则有A2??C1C2?A?C1C2? 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.
在数域P中要使两个二次型等价，充分必要条件就是它们的矩阵合同.2.2.2 合同矩阵的性质性质1
合同的两矩阵有相同的二次型标准型.性质2
在数域P上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵. 性质3
矩阵合同与数域有关.例1
证明：E与?E在复数域上合同，但在实数域上不合同.T?i?证
取C=????00??T?，则有?E?CEC，即E与?E在复数域上合同.又若存在实满?i?秩矩阵R,使?E?RTER?RTR，这是不可能的：因为?E的第一行第一列交叉位置上的元素为-1，而RTR的对应元素却为r112?r212???rn12其中r11,r21,?rn1为R的第一列元素，故r112?r212???rn12不等于-1，因此，E与?E在实数域上不合同.例2
设A,B均为数域F上的n阶矩阵,若A,B合同，则r?A??r?B?,反之，若r?A??r?B?,问在F上是否合同？证
若A与B合同，即存在可逆矩阵C，使B?CTAC.由于任何矩阵乘满秩矩阵不改变矩阵的秩，故A与B有相同的秩.?10??11?反之，若r?A??r?B?，则A与B在F上不一定合同.例如，方阵A=?，=B???0101????的秩相等，而非对称方阵不能与对称方阵合同.?A例3 设=A?1?00??B1，=B??A2??00?证明：如果A1与B1合同，A2与B2合同，则A与B?，B2?合同.证 由于A1与B1合同，A2与B2合同，故存在满秩矩阵C1，C2，使得B1?C1TA1C1，?C10?TB2?C2TA2C2，于是令C???，则有B?CAC，即A与B合同.?0C2?2．2．3 合同矩阵的判定定理1
两复数域上的n阶对称矩阵合同的充分必要条件上是二者有相同的秩. 证
由于二次型通过满秩线性代换时秩不变，故两个二次型能互化时，秩一定相等. 反之，A，B都是n阶对称矩阵，对应的二次型分别是f，g，若f与g的秩相等，都是r，则f与g必可分别通过复满秩线性代换，设为X?C1Z，Y?C2Z化为同一规范形.于是，f便可通过满秩线性代换X?C1C2?1Y化为g，而g又可通过满秩线性代换Y?C2C1?1X化为f，即f与g可以互化.定理2
两实数域上的n阶对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩和符号差. 证
由于实二次型通过实满秩线性代换不改变二次型的秩和符号差，而两个实二次 型能互化的充要条件是两者有相同的规范形，从而两者可互化的充要条件是有相同的秩与符号差.矩阵相似与矩阵合同的一些不同之处，如矩阵A，B相似，有矩阵A，B的行列式的值相等；且A，B有相同的特征值.但若矩阵A，B合同，那么A与B的行列式的值不一定相等；A，B也不一定有相同的特征值.一般情况下，由矩阵A，B相似不一定能得出矩阵A，B合同，反之，由矩阵A，B合同也不一定能得出矩阵A，B相似.例4
设??1A=???1??21????12?，
B=??0?1???0???，
C=?13??4??01?2? ?1?不难验证：CTAC?B，即矩阵A，B合同，但A的特征值为31和.413和；B的特征值为 22相似矩阵与合同矩阵还有着一定的内在联系，即两者都是等价关系.两者都具有反身性、对称性和传递性，且相似或合同的两矩阵分别有相同的秩.另外，在一定条件下 ，两者是等价的.若矩阵A，B正交相似时，则它们既是相似的又是合同的.本题说明矩阵相似与合同在一定条件下是相通的.3 矩阵与合同矩阵的等价条件定理1 如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根.则A，B既相似又合同. 证 设A,B的特征根均为?1,?2,??n，因为A为n阶实对称矩阵，则一定存在一个n阶正交矩阵Q,使得：??1????
Q?1AQ??? ??n?????1????1?1?QAQ?PBP 同理，一定能找到一个正交矩阵P，使得：P?1BP??，从而有：???n????1?1AQP??将上面两边分别左乘P右乘P?1，得B?PQ1QQ?1?E,P?1P?E，有?QP?1??QP?1??QP?PQ?1?1?1?1?1Q?P?1?A??1Q，P由于?QEQQQ?E?，所以，QP?1可逆.又由于?QP?1??QP??1T?QP?1?P??1TQ?QPTT?P?TTQT?QQT?E,所以，QP?1是正交矩阵，故A，B相似且合同.定理2 若n阶矩阵A，B中有一个是正交矩阵，则AB与BA相似且合同. 证 不妨设A是正交矩阵，则A可逆，取U?A,U?1ABU?A?1?AB?A??A?1A??AB???A?1A??BA??E?BA??BA所以，AB与BA相似，由于AB与BA正交相似，故AB与BA合同.?A0??B定理3 若A与B相似且合同，C与D相似且合同，则??与??0C??00??相似且合同. D??1P2?1CP2?D 证 因为A，B相似，C，D相似，故存在可逆矩阵P1AP1?B，1,P2,使得P?P1令
P=??0?10??P1?1?, 则P=?P2??0?1?PAPA00???11?1，且=PP?????0P2?1??0C????B?=?P2?1CP2???000?? D??A0??B故，??与?0C???00??. D?又因为A与B，C与D分别合同，故存在可逆矩阵Q1,Q2，使得Q1TAQ1?B,Q2TCQ2?D?Q1T?Q10?T令
Q=??，则Q=??0Q2??0?Q1T?A0?而Q??Q=?0C???0T0?T?Q2?0??Q10???? Q2T??0Q2?0??A0??Q10??Q1T???=???Q2T??0C??0Q2??00??. D??Q1TAQ10??B=??=?TQ2CQ2??0?0?A0??B故，??与?0C???00??合同 . D?0?? D??A0??B从上面这个定理我们可以得到，若A与B，与分别正交相似，则CD??与??0C??0相似且合同.矩阵的相似或矩阵的合同都有很多性质，但这些性质都是矩阵相似或矩阵合同的必要条件，只能排除矩阵的相似或合同，却不能确定矩阵的相似或合同，对于选择题可以通过排除法来确定合适的答案，否则最终还要由定义来确定有时也可利用等价性质，即对称性，传递性，通过和第三个矩阵相似或合同来确定.相似矩阵用的比较多的性质是相似矩阵有相同的秩，相同的行列式，相同的特征值等.合同矩阵用的比较多的性质是合同矩阵有相同的秩，与对称矩阵合同的矩阵只能是对称 矩阵，与实对称矩阵合同的矩阵除了有相同的秩，还要有相同的正惯性指数等.?400??410??220???????例5 已知A=?040?，B=?041?，C=?220?，试判断A，B，C中哪些?004??000??002???????矩阵相似，哪些矩阵合同？分析 矩阵A的秩和矩阵B,C的秩不等，则A不可能与B，C相似或合同，只有讨论B， C了.解 A的秩为3，而B，C的秩为2，故A和B，C既不相似又不合同.又B的迹是8，而C的迹是6，不相等，故B和C不相似，最后，C是对称矩阵，而B不是，所以，B和C也不合同.所以，矩阵A，B，C相互之间既不相似又不合同.?1?1?例6 A=?1??1111??4??111?0?，B=?0111???111??0000??000?，则A，B满足的关系（）000??000?（A）合同且相似
（B）合同但不相似 （C）相似但不合同
（D）不合同且不相似分析 A是一个实对称阵，B是一个对角矩阵，实对称矩阵总存在一个正交阵使它和对角矩阵既相似又合同.而且这个对角阵的对角元素恰好是这个对称阵的特征值.所以只要A的特征值和B的对角元一样就得A和B相似且合同，否则不相似也不合同. 这样，本题就可归为求矩阵A的特征值，这个矩阵的特征值按常规可用特征方程来求，也可以用特征值的性质来求.??1解法1
?E?A=?1?1?110000001?10?1?1?1?1?1?1?1?1?1?1?1?1?1?1??1?1?1??1?1=（??4）??1??1?1??1??1=（??4）10?=?3（??4）.0?A的特征值是0，0，0，4.故存在正交矩阵Q使Q?1AQ=QTAQ=B，故选（A）.解法2
由矩阵A的秩是1，0是它的特征值，又r?0I?A??r?A??1，所以属于特征值0的线性无关的特征向量有4?1=3个，即0作为A的特征值至少是3重的，而矩阵A是一个4阶的实方阵，所以它有4个特征值，根据矩阵特征值的和等于特征值的迹，又有tr(A)=1+1+1+1=4,根据以上分析，可知矩阵A的特征值是0，0，0，4 故，选（A）.定理4 若实对称矩阵A与B相似，则A与B合同.证 因为A与B相似，故A，B有相同的特征根，设为?1…?n，从而存在正交矩阵??1?0??TTTTAP?PBPP1，P2使得P=?1，则PBP?A.即A与B合同. 1122??，令P?P2P??0?n??但此定理的逆命题不成立.4 结论本文对相似矩阵与合同矩阵的定义，以及它们的判断方法进行了比较，让大家更清楚的了解矩阵的这两种关系，从而更好的应用它们来解决线性代数中的问题.两种矩阵关系都是要求一个可逆矩阵，但一个是可逆矩阵的逆，一个是可逆矩阵的转置.在以后的应用中首先要抓住矩阵相似与合同判定条件的异同点从而更从容地运用它们.参考文献［1］李桂荣．高等代数的方法研究[M]．香港亚太经济出版社．2001. ［2］杨子胥．高等代数习题解（下册）[M]．山东科学技术出版社．2003. ［3］上海交通大学数学系．线性代数习题与精解[M]．上海交通大学出版社．2005. ［4］刘光祖，刘迎洲．线性代数典型题解及自测试题[M]．西北工业大学出版社．2002. ［5］王品超．高等代数新方法（下册）[M]．中国矿业大学出版社．2003.［6］龚德恩，范培华，胡县佑．经济数学基础（第二分册，线性代数）[M]．四川人民出版社．1995. ［7］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数（第二版）[M]．高等教育出版社．1988.第二版．［8］谢国瑞，应用矩阵方法[M].北京:化学工业出版社，.［9］钱志强，线性代数（第三版）[M].北京:中国致公出版社，. ［10］张贤达，矩阵分析与应用[M].京:清华大学出版社，.On the Similar Matrix and Contract MatrixLi Peng(Department of Mathematics,
Dezhou University, Dezhou Shangdong , 253023 )Abstract
The matrix’s similarity and the matrix’s contract are two important conceptions in the linear algebra. This paper makes simple elaboration on their definitions as well as the similarities and differences displayed between their definitions. Both of them aim at square matrix, both of their definitions require a invertible matrix, one of which is it’s counter, which the other is it’s transposing. Both of them belong to the relation of the equal in value, which means they have following properties: the self-examination, the symmetry, the transmission. Although there are certain inner links between them, they are not equal in value. Only when the invertible matrix in the two definitions is the orthogonal matrix, are they equal in value.Keyw
eigenvalue谢辞在经过了一个月的紧张设计后，我的《浅谈相似矩阵与合同矩阵》建设成功．在本文的选题和修改中刘耀斌老师给予真诚的帮助，在此表示最真挚的谢意！
范文四：相似矩阵的性质及应用一.相似矩阵的定义定义：设A、B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=X?1AX，就说A相似于B，记做A~B.二.相似矩阵的重要性质性质1
数域P上的n阶方阵的相似关系是一个等价关系.证明：1〉（反身性） 由于单位矩阵E是可逆矩阵，且A=E?1AE，故任何方阵A与A相似.2〉（对称性） 设A与B相似，即存在数域P上的可逆方阵C，使得B=C?1AC ，由此可得A=CBC?1=(C?1)?1BC?1，显然可逆，所以B与A相似.3〉（传递性）设A与B相似，B与C相似，即存在数域P上的n阶可逆方阵P、Q，使B=P?1AP，C=Q?1BQ，则
C=BQ=Q?1P?1APQ=(PQ)?1A（PQ），从而A与C相似.〈证毕〉 性质2
相似矩阵有相同的行列式.证明：设A与B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B=C?1AC，两边取行列式得：｜B｜=｜C?1AC｜=｜C?1｜｜A｜｜C｜=｜A｜｜C?1C｜=｜A｜.从而相似矩阵有相同的行列式.
〈证毕〉 下面先介绍两个引理引理1：设A是数域P上的n×m矩阵，B是数域P上m×s矩阵，于是秩（AB）≤min[秩（A），秩（B）]
(1)即乘积的秩不超过各因子的秩.证明：为了证明（1），只需要证明秩（AB）≤秩（A），同时，秩（AB）≤秩（B）.现在来分别证明这两个不等式.?a11??a21设A=????a?n1a12a22?an2?a1m??b11???a2m??b21，B=?????????b?anm??m1b12b22?bm2?b1s???b2s??????bms??令B1，B2，…，Bm表示B的行向量，C1，C2，…Cn，表示AB行向量.由计算可知，Ci的第j个分量和ai1B1?ai2B2???aimBm的第j个分量都等于而Ci=ai1B1?ai1B2???aimBm
（i=1，2，…n）.即矩阵AB的行向量组C1,C2,?,Cn 可经B的行向量组线性表出.所以AB的秩不能超过B的秩，也即, 秩（AB）≤秩（B）.同样，令A1,A2?,Am表示A的列向量，D1,D2,?Ds表示AB的列向量，由计算可知Di=b1iA1+b2iA2+…+bmiAm（i=1，2，…，s）.这个式子表明，矩阵AB的列向量可以经矩阵A的列向量组表出，前者的秩不可能超?ak?1mikkj，因b过后者的秩，这就是说，秩（AB）≤秩（A）.引理2:A是一个s×n矩阵,如果P是个s×s可逆矩阵,Q是n×n可逆矩阵,那么秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）.证明:令 B=PA,由引理1知秩（B）≤秩（A）； 但是由A=P?1B,又由秩（A）≤秩（B）,所以秩（A）=秩（B）=秩（PA）.同理可证, 秩（A）=秩（AQ）.从而, 秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）.
〈证毕〉 性质3
相似矩阵有相同秩.证明:设A,B相似即存在数域P上的可逆矩阵C,使得 B=C?1AC , 由引理2可知秩（B）=秩（C?1AC）=秩（AC）=秩（A）.
〈证毕>性质4
相似矩阵或同时可逆或同时不可逆.证明:设A与B相似,由性质3可知A?B .若A可逆,即A?0,从而B?0故B可逆； 若A不可逆,即A?0,从而B?0,故B不可逆.
〈证毕〉性质5
若A与B相似,则An相似于Bn.(n为正整数)证明:由于A与B相似,即存在数域P上的可逆矩阵X,使得B?X?1AX,从而n个??????????????1?1?1XAX?XAX???XAX?X?1AnX,即 An相似于Bn.
〈证毕〉性质6
设A相似于B,f(x)为任一多项式,则f(A)相似于f(B). 证明:设f(x)?anxn?an?1xn?1???a1x?a0
于是f(A)?anAn?an?1An?1???a1A?a0Ef(B)?anB?an?1Bnn?1???a1B?a0E由于A相似于B,由性质5可知Ak相似于Bk,(k为任意正整数) ,即存在可逆矩阵X,使得Bk?X?1AKX,因此X?1f(x)X?X?1(anAn?an?1An?1???a1A?a0E)X?anX?1AnX?an?1X?1An?1X???a1X?1AX?a0E?anB?an?1B?f(B)nn?1???a1B?a0E这就是说f(A)相似于f(B).
〈证毕〉性质7
相似矩阵有相同的特征多项式.证明：设A相似于B，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC， 则?E?B??E?C?1AC??C?1C?C?1AC?C?1?EC?C?1AC?C?1?E?AC??E?ACC??E?A?1由此可见，B与A有相同的特征多项式.
性质8：相似矩阵有相同的迹.证明：设A相似于B。由性质7知，A与B有相同的特征多项式，因而有相同的的特征值?1,?2,?,?n，而A的迹trA=?1??2????n
,B 的迹trB=?1??2????n，从而，trA=trB.即相似矩阵有相同的迹.
性质9：若矩阵A与B相似，则它们有相同的不变因子和初等因子.证明：因为A与B相似，所以它们的特征矩阵?E?A和?E?B等价，因而它们有相同的不变因子，进而有相同的初等因子.?A0??B0?性质10：若A与B相似，B与D相似，则??0D??相似. ?0C??与?????证明：A与B相似，即存在可逆矩阵P，使得B?P?1AP，C与D相似，即存在可逆矩阵Q，使得D?Q?1CQ，由于0??A0??P0??B0??P?1?????0D??0Q?1??0C????0Q?????????????P0????0Q?????1?AO??P0???0C????0Q???????P0??A0??B0???显然?
是可逆矩阵.由此可见，?0D?? 相似. ?0Q??0C??与???????三．相似矩阵性质的简单应用.20??1??20?，
例1：设A??0??2?1?1???分析：该问题若按矩阵乘法直接运算相当复杂，耗费时间，若能找到A的相似对角阵，则该问题就简单化了，解题过程如下：解：（1）求A的特征值与相应的特征向量.由??1fA(A)??E?A?2?200?(??1)(??1)(??2)， ????21所以，A的3个互异特征值为?1??1,?2?1,?3?2，故A可以对角化，对每个?i（i=1，2，3），求得分别属于?1??1,?2?1,?3?2的特征向量为?2??0??1????????1??0?,?2??0?,?3??1?.???1???1???????????012???100?????（2）令P???1?2?3???001?，有P?1AP??010?.???002??1?1??????(3)因为 P?1A100P?(P?1AP)100?100?????010? ?002100???所以A100?100????1?P?010?P
?002100????012?100??1????????001??010??1??100???1?1???0020??????101?01??1?2???100??1?2??002????1?1??2100??01????2?21010??10020?. ?1?21000????1???20??10??1??0? ?0???1???0??0??????例2：已知矩阵R??2??3??33???0? ，在一个直角坐标系里，它按关系式????X??RX定义一个旋转.现在引进一个新的直角坐标系.使得旋转轴为新的坐标轴之一.具体的说，假设新坐标轴方向的单位向量为f1,f2,与f3.其中f1在旋转轴上.现确定??1???1? ,
旋转的旋转角，在这里, f1在旧坐标系中应表为f1???1????这个旋转：
i〉 保持f1不动;ii〉 对f2与f3的作用就象一个二维空间的旋转.0?1?因此，对于基底f1,f2与f3，该旋转的矩阵是B??0cos??0sin?????sin??, 其中?是cos???0旋转角 .则B?C?1RC，其中C是坐标变换矩阵.因为B与R相似，由性质8知，它们的迹相同.但 B的迹s?trR?trB=1?cos??cos??1?2cos? , 因此1?2co?7cos???.现在旋转角可以查表得到.81113????,所以 4224例2中的论证过程是相当一般化的。因此，我们可得到如下结果：设R是3×3的旋转矩阵，则其旋转角?由1?2cos??trR给出.
范文五：矩阵的相似及其应用 矩阵的相似及其应用在实际生活中应用较多，本文主要试图从对矩阵相似的概念、性质 及应用等方面进行阐述，在相似矩阵的应用中，主要概况矩阵的相似与特征矩阵，对角化问 题和二次型之间的联系，利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性，给出相 应的定理和结论，并用例题加以证明。 矩阵相似的定义：设 A,B 为数域 P 上两个 n 级矩阵，如果可以找到数域 P 上的 n 级可逆 矩阵 X,使得 B=X 1 AX,就说 A 相似于 B。 相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质： 1.反身性：A 相似于 A. 2.对称性：如果 A 相似于 B,那么 B 相似于 A. 3.传递性：如果 A 相似于 B,B 相似于 C,那么 A 相似与 C.
范文六：等价：存在可逆矩阵P,Q，使PAQ?B，则A与B等价；相似：存在可逆矩阵P，使P?1AP?B，则A与B相似；合同：存在可逆矩阵C，使CTAC?B，则A与B合同.一、相似矩阵的定义及性质定义1 设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使PAP?B，则称B是A的相似矩阵，?1或说矩阵A与B相似，记为A~B.对A进行运算PAP称为对A进行相似变换，可逆矩?1阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.注 矩阵相似是一种等价关系.（1）反身性：A~A.（2）对称性：若A~B，则B~A.（3）传递性：若A~B，B~C，则A~C.性质1 若A~B，则（1）A~B；（2）A?1TT~B?1；（3）A??E?B??E；（4）A?B；（5）R(A)?R(B).??1??推论 若n阶矩阵A与对角矩阵??????特征值.性质2 若A?PBP?1?2????相似，则?1,?2,?,?n是A的n个???n???1，则A的多项式?(A)?P?(B)P.推论 若A与对角矩阵?相似，则?(A)?P?(?)P?1??(?1)????(?)???12?P?. ?P?????(?n)???注 （1）与单位矩阵相似的只有它本身；（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似.二、矩阵可对角化的条件对n阶方阵A，如果可以找到可逆矩阵P，使PAP??为对角阵，就称为把方阵A对角化。定理1
n阶矩阵A可对角化（与对角阵相似）?A有n个线性无关的特征向量。推论 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似.（逆命题不成立） 注：（1）若A～?，则?的主对角元素即为A的特征值，如果不计?i的排列顺序，则?唯一，称之为矩阵A的相似标准形。（2）可逆矩阵P由A的n个线性无关的向量构成。把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。 可对角化的矩阵主要有以下几种应用：三、实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化.即存在可逆矩阵P，使得PAP??.更可找到正交可逆矩阵T，使和T?1?1?1AT??定理2 实对称矩阵的特征值为实数。定理2的意义：因为对称矩阵A的特征值?1为实数，所以齐次线性方程组(A??iE)x?0是实系数方程组。又因为A??iE?0，可知该齐次线性方程组一定有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。定理3：实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量正交。定理4：A为n阶实对称矩阵，?0是A的k重特征值，则对应于?0的特征向量中，线性无关的个数为k，即(A??0E)X?0的基础解系所含向量个数为k。定理5：（实对称矩阵必可对角化）对于任一n阶实对称矩阵A，一定存在n阶正交矩阵T，使得T的n个特征值为对角元素的对角阵。定义2 若二次型f?xAx，则对称矩阵A叫做二次型f的矩阵，也把f叫做对称矩阵A的二次型.对称矩阵A的秩就叫做二次型f的秩.推理 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正.定理3 对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正，即
T?1AT??。其中?是以Aa11?0，a11a21a12a22a11?a1n?0，?,???0； an1?ann对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正1.设A为正定阵，则AT,A?1,A*均为正定矩阵；2.设A,B均为正定矩阵，则A?B也是正定矩阵.四、如果n阶矩阵A与B相似，那么A与B的特征值相同吗？答 一定相同。因为它们有相同的特征多项式。证明 ?A与B相似，即存在可逆矩阵P，使PAP?B， ?1?B??E?P?1AP?P?1(?E)P?P?1(A??E)P?P?1A??E?A??E 但务必注意：1. 即使A与B的特征值都相同，A与B也未必相同。2. 虽然相似矩阵有相同的特征值，但特征向量不一定相同。五、判断矩阵A是否可对角化的基本方法有哪些？答 常有如下四种方法。（1）判断A是不是实对称矩阵，若是一定可对角化。（2）求A的特征值，若n个特征值互异，则A一定可对角化。（3）求A的特征向量，若有n个线性无关的特征向量，则A可对角化，否则不可对角化。（4）方阵A可对角化的充要条件是A的每个重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数。一般来说，常用方法（2）和（4），且（2）中的条件仅仅是充分的。六、已知n阶方阵A可对角化，如何求可逆矩阵P，使得P?1AP?diag(?1,?2,?,?n)? 答 若n阶方阵A可对角化时，则求可逆矩阵P的具体步骤为：（1）求出A的全部特征值?1,?2,?,?s；（2）对每个?i(1?i?s)，求齐次方程组(A??iE)x?0的基础解系，得n个线性无关的特征向量?1,?2,??n；（3）令P?(?1,?2,?,?n)，则P?1AP???diag(?1,?2,?,?n)，其中?1,?2,?,?n为?1,?2,?,?n对应的特征值。七、对于实对称矩阵A，如何求正交矩阵P，使PAP为对角阵？答 若A为n阶实对称矩阵，则一定存在正交阵P，使PAP为对角阵。可按以下步骤求出正交矩阵P。 ?1?1（1）求出方阵A的全部特征值?1,?2,?,?s，其中重根数分别为k1,k2,?,ks。（2）对每一个?i求出齐次线性方程组(A??iE)x?0的基础解系?i1,?i2,?,?ik,i?1,2,?,s。（3）将?i1,?i2,?,?ik,i?1,2,?,s正交化（若ki?1，则只须单位化）得正交单位特征向量组：p1,p2,?pn。令P?(p1,p2,?,pn)??1????2?
??1PAP?（4），其中?是特征向量pi所对应的特征值。 ?
?n???九、如何判断一个二次型f?xTAx是正定的？答 判别二次型f?xTAx正定性的方法通常有（1）用定义，（2）f的标准形中的n个系数全为正，（3）对称矩阵A的特征值全大于0，（4）正惯性指数p?n，（5）计算矩阵A的各阶顺序主子式，各阶顺序主子式均大于0。十三、什么叫矩阵的合同？矩阵合同与矩阵相似有什么区别与联系？答 如果存在可逆矩阵P，使，则称矩阵A与B合同。合同关系是一种等价关系，矩阵合同在证明矩阵正定性和化二次型为标准型中有很广泛的应用，在此给出一个非常有用的结论：如果矩阵A与矩阵E合同，则A为正定矩阵。合同与矩阵相似是有区别的，矩阵A与B相似，则存在可逆矩阵P，使PAP?B。显然，若P为正交矩阵，则P?P，矩阵合同与矩阵相似就有联系了，由此我们可得出： 如果A为n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵P，使PAP??，此时A与?相似，A与?合同。?1T?1?1等价：存在可逆矩阵P,Q，使PAQ?B，则A与B等价；相似：存在可逆矩阵P，使P?1AP?B，则A与B相似；合同：存在可逆矩阵C，使CTAC?B，则A与B合同.一、相似矩阵的定义及性质定义1 设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使PAP?B，则称B是A的相似矩阵，?1或说矩阵A与B相似，记为A~B.对A进行运算PAP称为对A进行相似变换，可逆矩?1阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.注 矩阵相似是一种等价关系.（1）反身性：A~A.（2）对称性：若A~B，则B~A.（3）传递性：若A~B，B~C，则A~C.性质1 若A~B，则（1）A~B；（2）A?1TT~B?1；（3）A??E?B??E；（4）A?B；（5）R(A)?R(B).??1??推论 若n阶矩阵A与对角矩阵??????特征值.性质2 若A?PBP?1?2????相似，则?1,?2,?,?n是A的n个???n???1，则A的多项式?(A)?P?(B)P.推论 若A与对角矩阵?相似，则?(A)?P?(?)P?1??(?1)????(?)???12?P?. ?P?????(?n)???注 （1）与单位矩阵相似的只有它本身；（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似.二、矩阵可对角化的条件对n阶方阵A，如果可以找到可逆矩阵P，使PAP??为对角阵，就称为把方阵A对角化。定理1
n阶矩阵A可对角化（与对角阵相似）?A有n个线性无关的特征向量。推论 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似.（逆命题不成立） 注：（1）若A～?，则?的主对角元素即为A的特征值，如果不计?i的排列顺序，则?唯一，称之为矩阵A的相似标准形。（2）可逆矩阵P由A的n个线性无关的向量构成。把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。 可对角化的矩阵主要有以下几种应用：三、实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化.即存在可逆矩阵P，使得PAP??.更可找到正交可逆矩阵T，使和T?1?1?1AT??定理2 实对称矩阵的特征值为实数。定理2的意义：因为对称矩阵A的特征值?1为实数，所以齐次线性方程组(A??iE)x?0是实系数方程组。又因为A??iE?0，可知该齐次线性方程组一定有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。定理3：实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量正交。定理4：A为n阶实对称矩阵，?0是A的k重特征值，则对应于?0的特征向量中，线性无关的个数为k，即(A??0E)X?0的基础解系所含向量个数为k。定理5：（实对称矩阵必可对角化）对于任一n阶实对称矩阵A，一定存在n阶正交矩阵T，使得T的n个特征值为对角元素的对角阵。定义2 若二次型f?xAx，则对称矩阵A叫做二次型f的矩阵，也把f叫做对称矩阵A的二次型.对称矩阵A的秩就叫做二次型f的秩.推理 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正.定理3 对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的各阶主子式都为正，即
T?1AT??。其中?是以Aa11?0，a11a21a12a22a11?a1n?0，?,???0； an1?ann对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正1.设A为正定阵，则AT,A?1,A*均为正定矩阵；2.设A,B均为正定矩阵，则A?B也是正定矩阵.四、如果n阶矩阵A与B相似，那么A与B的特征值相同吗？答 一定相同。因为它们有相同的特征多项式。证明 ?A与B相似，即存在可逆矩阵P，使PAP?B， ?1?B??E?P?1AP?P?1(?E)P?P?1(A??E)P?P?1A??E?A??E 但务必注意：1. 即使A与B的特征值都相同，A与B也未必相同。2. 虽然相似矩阵有相同的特征值，但特征向量不一定相同。五、判断矩阵A是否可对角化的基本方法有哪些？答 常有如下四种方法。（1）判断A是不是实对称矩阵，若是一定可对角化。（2）求A的特征值，若n个特征值互异，则A一定可对角化。（3）求A的特征向量，若有n个线性无关的特征向量，则A可对角化，否则不可对角化。（4）方阵A可对角化的充要条件是A的每个重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数。一般来说，常用方法（2）和（4），且（2）中的条件仅仅是充分的。六、已知n阶方阵A可对角化，如何求可逆矩阵P，使得P?1AP?diag(?1,?2,?,?n)? 答 若n阶方阵A可对角化时，则求可逆矩阵P的具体步骤为：（1）求出A的全部特征值?1,?2,?,?s；（2）对每个?i(1?i?s)，求齐次方程组(A??iE)x?0的基础解系，得n个线性无关的特征向量?1,?2,??n；（3）令P?(?1,?2,?,?n)，则P?1AP???diag(?1,?2,?,?n)，其中?1,?2,?,?n为?1,?2,?,?n对应的特征值。七、对于实对称矩阵A，如何求正交矩阵P，使PAP为对角阵？答 若A为n阶实对称矩阵，则一定存在正交阵P，使PAP为对角阵。可按以下步骤求出正交矩阵P。 ?1?1（1）求出方阵A的全部特征值?1,?2,?,?s，其中重根数分别为k1,k2,?,ks。（2）对每一个?i求出齐次线性方程组(A??iE)x?0的基础解系?i1,?i2,?,?ik,i?1,2,?,s。（3）将?i1,?i2,?,?ik,i?1,2,?,s正交化（若ki?1，则只须单位化）得正交单位特征向量组：p1,p2,?pn。令P?(p1,p2,?,pn)??1????2?
??1PAP?（4），其中?是特征向量pi所对应的特征值。 ?
?n???九、如何判断一个二次型f?xTAx是正定的？答 判别二次型f?xTAx正定性的方法通常有（1）用定义，（2）f的标准形中的n个系数全为正，（3）对称矩阵A的特征值全大于0，（4）正惯性指数p?n，（5）计算矩阵A的各阶顺序主子式，各阶顺序主子式均大于0。十三、什么叫矩阵的合同？矩阵合同与矩阵相似有什么区别与联系？答 如果存在可逆矩阵P，使，则称矩阵A与B合同。合同关系是一种等价关系，矩阵合同在证明矩阵正定性和化二次型为标准型中有很广泛的应用，在此给出一个非常有用的结论：如果矩阵A与矩阵E合同，则A为正定矩阵。合同与矩阵相似是有区别的，矩阵A与B相似，则存在可逆矩阵P，使PAP?B。显然，若P为正交矩阵，则P?P，矩阵合同与矩阵相似就有联系了，由此我们可得出： 如果A为n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵P，使PAP??，此时A与?相似，A与?合同。?1T?1?1
范文七：第五章 相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度、正交性 一、向量空间的内积、长度和夹角 1．内积的定义：内积的符号：括号或方括号证（3）二、向量空间的单位正交基1．正交向量组定义2．定理1
正交向量组线性无关P113解 设a3= (x1, x2, x3), 由正交的定义, a3应满足
（a1,a3）= 0,
（a2, a3）= 0即
x1 ＋ x2 ＋x3 = 0,
x1－2x2 ＋x3=0这是一个齐次线性方程组AX= 0,?x1??111????0?即??1?21???x2????0??， ???x????3??111??111??101?由A???1?21??~??0?30??~??010??，???????x1??c?x1???1??????x1??x3?得?，方程组的通解为?x2?0，即?x2??c?0?x?0?2?x??1??x?c?3?3?????1???取c = 1, 则a3=?0?即为所求。?1???3．正交基、规范正交基（单位正交基） 正交基——由正交向量组构成的基称为正交基。规范正交基（单位正交基）——正交基中的向量是单位向量。 4．向量正交化施密特方法：将基改造为正交基（P114）例2
用施密特方法把基正交化（P114）例3 已知 a1?(1,1,1)T，求一组非零向量a2,a3，使a1,a2,a3两两正交。T解
a2,a3应满足1ax?0，即x1?x2?x3?0??x1?x2，通解为解这个齐次线性方程组得x3?x1?c1?x1??1??0?????????x2?c2，即?x2??c1?0??c2?1?，基础解系为 ??x???1???1??????3??x3??c1?c2?1??0??????1??0?,?2??1?，把基础解系正交化??1???1?????(?1,?2)a2??1,a3??2??1，于是得(?1,?1)?1?????1??0??1??2?????1??a2??0?,a3??1???0???1???1???1?2??1??1?????2????????2?三、正交矩阵 1．定义4因为A?1A?ET?1A?A
所以 A是正交矩阵←→ （充分必要）2．正交矩阵的构造定理证
（略）3．正交矩阵的性质P1164．正交变换的保形性（略）定义5 若P为正交矩阵，则线性变换Y= PX称为正交变换 正交变换保持向量的内积、长度、夹角 P---正交矩阵5. 矩阵的QR分解 （略）定理5.8 设A是满秩n阶矩阵，则存在n阶正交矩阵Q和上三角矩阵R，使得A=QR 证明：
方阵的特征值与特征向量 1. 定义6 (P117)2. 特征矩阵、特征多项式、特征方程3. 求特征值和特征向量的步骤例 （类似P118 例6）13作业P134
3，4，5，例 8 设?是方阵A的特征值，证明22?（1）是A的特征值；1（2）当A可逆时，?是A的特征值?1证 （1）因为?是方阵A的特征值，设p是?对应的特征向量，故有Ap??p，A2p?A(Ap)?A(?p)??(Ap)??2p22所以?是A的特征值。?1?1Ap??pp??Ap， A
（2）当A可逆时，存在，由，得11?1p，即是A?1的特征值。 因为p?0,??0，所以有Ap???3．特征向量的性质例9 设三阶矩阵A的特征值为1，-1，2，求 A*+3A- 2E的特征值。
解 因为A的特征值不为0，所以A可逆，由1**?1A?AA，得A?A，而A??1?2?3??2，所以?1A*+3A- 2E= ?2A?3A?2E??(A)?1令?(?)??2??1?3??2从而得?(A)的特征值为?(1)??1,?(?1)??3,?(2)?3。（即P120的定理2）§3 相似矩阵 1． 定义7 （P121）2． 性质（即定理3 P121）3． 矩阵可对角化的条件定理4推论4 例11 （P123）若A?P?P?1，那么AK?P?KP?1（第二章 P45例13）§4 对称矩阵的对角化 1． 定理
定理5定理6定理73．例?011?1???10?11?已知实对称矩阵 ??1?101?????1110???求正交矩阵Q, 使QTAQ为对角矩阵。 解验证上述结果。例13 设A????2?1?nA?，求。 ???12?解 因A是对称矩阵，所以可对角化，即有可逆矩阵P使P?1AP??， 于是A?P?P?1，从而An?P?nP?1。（下面求A的特征值及特征向量，由特征向量组成P） 由A??E??1?1,?2?3。 2???1??2?4??3?(??1)(??3)，得A的特征值 ?12??对应?1?1，由A?E????1?1??1?1??1??????，得特征向量； ~??1???????11??00??1?对应?2?3，由A?3E???并有P???n??1?1??11??1??????，得特征向量； ~??1???????1?1??00???1??11?1?11??1???，在求出，所以 P????2?1?1??1?1?n?1?11??1n0?1?11?1?1?3n1?3n????。 ?A?P?P?????1?1????nn??03n?2???????1?1?2?1?31?3?14作业 P135
17，19（1） §5 二次型及其标准形1． 定义二次型的矩阵记号其中aij?aji，即A是对称矩阵。对称矩阵A与二次型f存在一一对应的关系：例2． 二次型的标准型（只含平方项）22
f?k1y12?k2y2 ??knyn?k1??y1?????k2???y2?
?(y1,y2,?,yn)????? ????????kn????yn?3. 把二次型化为标准形例14§6 用配方法把二次型化为标准形§7 正定二次型15作业P135
26作业主要问题一 行列式范德蒙行列式余子式，代数余子式 P21 例13行列式性质
8(2)二 矩阵矩阵乘法，矩阵方程
11(2)(4)求逆阵：初等变换方法(P64 例2)，伴随矩阵方法
证明逆阵存在并求逆阵
21方阵的行列式三 初等变换 方程组解的讨论 通解求秩
1(4)方程组解的讨论四 向量组的线性相关性判断具体向量组的相关性（计算秩） P107 4(1)
证明向量组的相关性，从定义出发
证明向量组等价
P109 28五 相似矩阵
二次型求?a00???A??0a0??00a?，的特征值与特征向量 ??（有三个自由未知量，n, r, s）
范文八：第３ 第４ 卷 期哈 尔 滨 理 工 大 学 学 报Ｖ １ Ｎｏ． ｏ３ ４．有关矩阵协相似性的某些问题宋迎春（ 尔滨理工大学） 暗０ ｜ ＼阐述 了协相 似 性 的 理论背景、矩阵可对角化与可协对角化的关系、Ａ 的特征值与 Ａ的协特征值的关 系 同 时， ，摘 要 对有 美协相似 问题尚未证 明的某些结论给 出 了证 明对相是的问题进行 了分析和总结，为工程应用提供 了理论依据．关 键￣！ 苎堡； 竺 鱼 线 变 苎 苎 兰反 性 换一 一ｅ－ ０ｌ１ １ ＆ｗ 荚号 ５． ２戈１ 定义和定理支中的＾ 表示所有 Ｈ阶复方阵组成的集合， ∈ ＾ 表示 Ａ的共轭 ． 使得，，定义 １ 设 ∈ ，Ｂ∈ ，如果 存在非奇异矩 阵 雎 旭 Ｍ ＾＝’疗 那么ｌ矩阵 Ａ和 Ｂ是 协相似 的，如果矩 阵 可取 为酉矩 阵 Ａ和 Ｂ叫做 酉协相 似 ． ｛ ＝ 定义 ２ 设 ＾ ，如果存在 非奇异矩 阵 Ｓ 者 使得 一 是上三角矩阵， ’ 则称矩阵 Ａ是可协三， ，角化的；若使得是对角矩阵，则称矩阵 Ａ是可协对角化的；特别地，．如果矩 阵 可 取 为酉矩阵，则分别称 是可酉协三角化的或可酉协对角化的定义 ３ 设 剐 ，如果对某一数值 Ａ Ｃ，存在非零向量 ｃ 使得 ｃ － － Ｃ， ＝ｈ．则称 ＾ Ａ的协特征值 ，称 是 Ａ的相对于协特征值 ＾ 为 的协特征向量 定理 １ 设 ∈ ，则 Ａ可酉协三角化的充分必要条件是 Ａ 的所有特征值都是非负实数 ＾ Ｘ，在此条件下得到的三角矩阵的所有主对角元可以挑选成为非负实数 定理 ２ 设 Ｍ ，则 Ａ可协对角化的充分必要条件是．是 可对角化的，具 有 非 负 实特 征２ 两个矩 阵协相似的理论背景矩阵相似理论的产生源于研究不同基下的线性变换的结果；协相似性源于研究不同基下反线 性变换的结果 ．定义 ４ 设变换 Ｔ是从一个复向量空间 到另一个复 向量空间 的变换 若满足 （ （＋ ） Ｔ ＋ ｙ 墨 Ｊ ； ｉ ｘ ｙ＝ ｘ Ｔ ）Ｔ ， ∈，收稿 日 １ ７ １— ９ 期：９ — ２ ２ ９ 宋迎春 １６年 出生 讲师 ９３ 应用科学学 院 １ ００ ５ ４ ０１４ Ｏ （） 曲 瞳 ｉＴ ｉ Ｔ哈 尔 滨 理 工 大 学 学 报 俚Ｃ ∈ ∈ Ｖ，第 ３卷则称变换 Ｔ是反线性变换 ． 设 ｓ ， 是 ｎ Ｉ ， …， 维复 向量 空间 Ｖ的一组基，变换 Ｔ — 为一反线性变换，把基象 ，： １ …， 在这组基下的坐标按列依次排成矩阵 Ａ ， Ｔ ，则称矩阵 为反线性变换 Ｔ在基 ， ， …，下的矩 阵，即【￡ Ｔ【 … 】 ｓ ＝［ … 【 】 定理 ３ 设反线性变换 Ｔ在基 自 ， 下的矩阵为 ，向量 和它 的象 ｙ Ｔ 在此基下的坐 ， …， ＝ ｘ标分别为 ， ， ， ）和Ｊ Ｏ ， ２ … Ｙ 则有 ＝ … ， ． ｙ， ， Ｓ， ＝Ｊ＝ ，证明 已知ｙ Ｉｆ Ｔ Ｔ … Ｔ 】 ＝… 】Ｉ— —Ｉ一方面 Ｊ 晶 … 】 ， ＝【另一方面， ｙ Ｔ ＝ Ｔ Ｔ … Ｔ ＝ ｘ 【 ］２＝［ｌ ８… 】２所以有 Ｊ ｘ， ， ＝Ａ同一反线性变换在不同基下的矩阵不同． 定理 ４ 设复向量空间 上的反线性变换 Ｔ在旧基 ｓ ， 和新基 ｓ， ， 下的矩阵 …， 。 …， 分别为 和 Ｂ 则 和 Ｂ是协相似的 ，证 明 设 Ｍ 是从 旧基 到新基 的过 渡矩 阵， 一方面Ｔｓ ［’另一方面’’ 】 ＝【… ’ ＝ 】 【 Ｂ ‘… 】Ｂ ｓ ‘ 】 ＳＴｓ 【故Ｓ ＝ Ｂ ，即 Ａ＝ ～．’ ‘ 】 Ｔ Ｉ ‘ ＝ 【ｌ ８】】 ［ ＝ｓ Ｉ矩 阵协相 似是矩 阵间 的一种等价 关系 ．３ 矩阵的可对角化与可协对角化的比较定理 ５ 在所有 ｎ阶方阵中，可协对角化的包括下面几种矩阵的集合： （ 所有的对称矩阵； ｉ ）（ 只有实特征值的所有可对角化 的实矩阵； Ⅱ ） （） ｉ 具有 ｎ个线性无关的实特征向量的所有可对角化的矩阵；（） ｉ 所有 的 Ｈｍｎ 正定矩 阵； ｖ（） ｖ 形式为 Ａ Ｂ的所有矩阵，其中 是 Ｈ ｍ 正定非奇异矩阵，Ｂ是对称矩阵． ｅ证 明 （ 设 Ａ是实对称矩阵， ｉ ） 则存在正交矩阵 Ｐ 和对角矩阵人 ，使 Ａ表示为Ａ＝ＰＡＰ Ｉ －＝Ｐ人 ｇ １ －故 』 可协对角化 ． ４设 是复对称矩阵，则存在酉矩阵 ｕ和对角元为非负实数 的对角阵 人Ｉ ｌ ，使 Ａ表示为Ａ＝ Ｕ 人 Ｕ Ｕ 人 一 ＝故 可协对角化 ．（ 设 是只有实特征值的可对角化的实矩阵， 则存在非奇异矩阵 ｓ ，使 Ａ 人 ＝Ｓ ，其中 人是实对角阵．由于 Ａ＝ ，所以Ａ＝Ａ ＝Ｓ一 人Ｓ ‘ ‘ Ｓ一 人 ＝Ｓ一 人 ‘Ａ Ａ是可对角化的，且有非负实特征值，显然第４ 期宋迎春：有关矩阵协相似性的某些问题ｒ ｎ Ａ＝Ｆｌ ＡＡａｋ ＆ｌ Ｋ１５ ０故由 定理 ２ 可协对角化 ． ， （） ｉ 设 有 ｎ个线性 无关的 实特 征 向量 ， ２ ，令 一【 ２… 】 ｉ ｉ ，…， ，则有 ＝ 且 ＳＡ Ｓ － — ＡＳ’所以 （】 设 是正定的 Ｈ ｍａ 矩阵，则有 ｖ ｅ ｉ ｌ ｅＡ Ｓ 丽 Ａ＝ Ａ１ Ｓ ＸＳｌ ＝Ａ —是可对角化的，且有非负实特征值，而 ｍ ｋ ｒｎ Ａ ｎ Ａ＝ ａｋ ，由定理 ２ 可协对角化． ， Ａ Ｈ＝ （ Ｈ １ ＝Ｈ Ｈ Ｈ 百日是 Ｈ ｒ ｉ 非奇异矩阵 ． ｅ ｔ ｍｅ 显然 Ｈ Ｈ 是复对称矩阵，故存在酉矩阵 Ｌ和对角元为非负实效的对角阵 Ａ，使 ，： Ｕ Ａ 篁 Ｕ Ａ ， ’ Ｌ 一所以 可协对角化 ．类似， 易得 Ａ Ｂ是可协对角化的．一旧ｔ Ａ（—）? Ｏ —Ｕ 一 Ｈ（ Ａ ＝ＨＢ Ｈ Ｈ Ｈｒ 一，而（ Ｈ ） ＝ ＢＨｒ Ｈ Ｈ ， Ｂ ｛是复对称矩阵，同（ ） ｖ Ｂ ２＝ （Ｂ ＂ ） ） ＨＢ ｒ Ｈ ＇ ＂ Ｂ ＂ Ｈ Ｉ ｒ ＝ ｒ ｒ ｉ 的证明 ｖｒ １ — １ － ］可 角 的 阵 一 可 对 化 如－ 一Ｊ 协 角 的 阵 不 定 对 化 如 对 化 矩 不 定 协 角 ， ｌ‘ ：； 对 化 矩 也 一 可 角 ， １ 可［一；的阵不对化又能对 二 １有矩既能角，不协 ：］４对协相似理论起着重要作用．说明由：的特征值 与Ａ的协特征值 以及协相似性 的关系的特征值与 Ａ的协特征值也是密切相关的．的特征值不为非负情况，有下面定理：命 设 ６ ２ ０ 若 的 征 题 ＾ ， ＞ ， 是 ｔ 特 值，则√ 的 特 ［ 是 协 征值１ Ｊ ．的非负特征值可求得 Ａ的协特征值，而对定理 ６ 设．２Ｃ但 非 【，＋∞ ） ，ｃ － － ０ ，且 是 Ａ 相应于特征值 的一个特征向量，则必存 Ｚ在 相应于特征值 的一个特征向量 ｙ ，且 和Ｊ ， 线性无关．证明 记 ＝ ，由 Ａ ＝ ｙ ｘ Ｙ 定义向量 则有 一 ．由 ａ＝ ｉｘ 有 ｘ Ａ ＝∞吉 ｈ又由 故有Ａｘ＝ｏ ｇ ￣ ｙＡｙ 一ｘ Ａ ＝ — ＝￣一 Ａ— ＝２ Ａｙ 一 ｙＡｘ ＝ｇ＝ ?下面用反证法证 明 和 Ｊ ， 是线性无关的． 若不然，假设 Ｊ ，记 ＝ ／ ， ＝ －￣ ｄ ，则有ＡＡ ｘ Ａｘ＝ ＝ｇ所以 一ｌＩ ０ 与定 理 中的假 设 矛盾 ，故 和 Ｊ线性无 关 ． Ｏ。 ， ｔ ＞ ，推论 若存在负特征值．则的负特征值的几何重散至少为 ２ ．．定理 ７ 如果 Ｅ ， 使得 Ａ Ａ＝Ａ一 ０ ０‘ ０ ，其中 ≠ 句） ? ’ Ｏ ，而 ≥０ｉ ， （ ＝ｉ ２ …， ） ， ｋ，则 Ａ是可酉协兰角化的． 证明 只需证存在矩阵 【 ， ６，，使得Ａ＝Ｕ ＡＵ而△： ＿ ２ ０ ，其中 Ｍ Ｏ ， ， 是上三角阵．因为 △０△０… 一１ ２ …，．一一 Ａ 一．所以 Ａ ＝— Ａ Ａ 一 Ａ＝Ａ为实矩阵，故 Ａｈ＝ （－） ａ ） ＡＡＡ＝（ＸＡ＝ＡＡ．这说明 Ａ和 Ａ可交换将 按 Ａ＝ ｔ④ ０…④＾ ． ‘ ． ‘方式分块 ＝ ） 则由ＡＡ＝ＡＡ可得 Ⅱ ｊ１６ ０哈 尔 滨 理 工 大 学 学 报＝第３ 卷． ，＾ 』 ．因此Ａ， ０ （ ， ＝ ｉ ） ≠ 这表 明矩阵 Ａ是块对 角矩 阵．由定理 ２ ，对 Ａ Ｍ 存 在 酉 矩 阵 Ｕ∈ 及 一 个 上 三 角 矩 阵 ｉ Ａ∈ ，使得 ．．．Ａ ＝ＵＡ 。 ．研（ ， ，?， ｆ ２ ． ＝ｌ － ）△设 Ｕ＝，则 Ｕｅ 为 酉矩 阵，设 Ａ＝ Ｍ，则 Ａ Ｍ 为上 三 角矩 ｅ阵 从 而有 Ａ＝Ｕ ＇ ＡＵｒ ，即 是 可 酉 协三 角 化 的 ．最后需要 指出的一点是，矩阵特 征值 的个 数等于矩阵 的阶数，而矩 阵 的协特 征值 却是有无 穷多个或是没有．当＾ Ａ的协特征值时，对所有 的 Ｏ Ｒ ｅ 也是 的协特征值 ． 是 ｅ ，参 考 文 献１ Ｈ ｒ ｏ ｎ Ｒ Ａ．Ｊ ｈ ｓ ｎ Ｃ Ｒ ｏ ｎ ｏ Ｍ ａ ｒ ａｙ ｉ Ｃ ｍｂ ｉ ｇ ｉｅ ｓ ｙ Ｐ ｅ ｔｉ Ａｎ ｌｓｓ ａ ｒ ｃ Ｕｎ ｖ ｒｉ ｒ％ ｘ ｄ ｔ，１ ８５ ９ ￣２ 吴海窖 ?宋迎春 ．复对称矩 阵在 数值 计算 中 的几 个需要 Ｉ 明的问题 ．电机与 控制学报 ， １９ （ Ｉ １ ９７，Ｓ ｍｅ Ｑｕ ｓｉｎ ｆＣ ｎ ｉ ｌｒ ｙ ｉ Ｍａｒ ｏ ｅ ｔ ｓ ｏ ｏ ｓ ａｉ ｎ ｏ ｍｉ ｔ ｔｘ ｉＹｉｇ ｈ ｎ ｎ ｃｕＡｂ ｔａ ｔ ｏ ｎ ｒ ｖ ｄ ｃ ｎｃｕ ｉ ｓ ａ ｏ ｔｃ ｎ ｉ ｌ ｒｔ ｆｍａ ｒｘ ａ ｅ ｐ ｏｖ ｄ ｓ ｍｅｂ ｃ ． ｓｒ ｃ Ｓ ｍｅ ｕ ｐ ｏ ｅ ｏ ｌ ｓｏｎ ｂ ｕ ｏ ｓｍｉ ｉ ｏ ｔｉ ｌ ｒ ｅ ｏ ａ ｋ ａ ｙ，ｇｏ ｎ ｔｅ ｒｔ ａ ａｅ， ｅａｉｎ ｈ ｐ ｅｗ ｅ ｄａ ｏ ａｉ ｂｌ ｙ ｎ ｃ ｎ ｉｇ ｎ ｌ ａ ｉｔ ｆ ｒ ｕ ｄ ｈ ｏ ｅｉ ｌ ｂ ｓｓ ｒｌｔ ｓ ｉ ｂ ｔ ｅ ｎ ｉｇ ｎ ｌ ａ ｉ ｔ ａ ｄ ｏ ｄａ ｏ ａｉ ｂｌｙ ｏ ｃ ｏ ｚ ｉ ｚ ｉｍａｒ ， ｈ ｒｅ ｒ ｔ ｆＡ ｎ ｏ ｅｇ ｎ ａｕ ｆＡ ａ ｅｇｖ ｎ ａ ｄ ｒｌ ｔ ｅ ｑｅｔｏ ｓａ ｅ ａ ａ ｔ ｘ ｃ ａａ ｔ ｉ ｉ ｏ Ａ ａ ｄ ｃ ｎ ｉｅ ｖ ｌｅｏ ｒ ｉｅ ｉ ｅｓｃ ｎ ｅａ ｉ ｕ ｉｎ ｒ ｎ － ｖ ｓ．ｌ ｚｄ ａ ｄ ｓ ｍｍｒ ｅ ｙｅ ｎ ｕ ｉ ｄ． ｚＫｅ ｗ ｒｓ ｃ ｎ ｉ ｌｒ ｃ ｎ ｉｇ ｎ ｌ ａ ｌ； ｃ ｎ ｉ ｎ ａｕ ； ｃ ｎｉｅ ｖ ｃｏ ： ａ ｔ ｌｅ ｒ ｙ ｏ ｄ ｏ ｓ ｍｉ ； ｏ ｄａ ｏ ａｉ ｂ￣ ａ ｚ ｏ ｅ ｅ ｖ ｌｅ ｇ ｏ ｅｇｎ ｅ ｔｒ ｎ ｉｎ ａ ｌｔａ ｆ ｒ ｔ ｎ ｒ ｍ ｏ ｍａ ｉ ｏ（ 审稿： 昊海客教授，付昶林教授；编辑： 王剑波）
范文九：矩阵的相似和相合一、特征值与特征向量的概念定义1
设A是n阶矩阵,如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立,那末,这样的数λ称为方阵A的特征值,非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量.说明1.特征向量x≠0,特征值问题是对方阵而言的.2.n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组(λI-A)x=0有非零解的λ值,即满足方程λI-Aλ都是矩阵A的特征值.=0的3.λI-A=0λ-a11-a12阅读详情：-a21λ-a22阅读详情：阅读详情：-an1阅读详情：-an2阅读详情：-a1n-a2n=0阅读详情：阅读详情：λ-ann称以λ为未知数的一元n次方程λI-A=0为A的
.特征方程记fA(λ)=λI-A,它是λ的n次多项式,称其特征多项式为方阵A的
.令λ1,λ2,阅读详情：,λs为fA(λ)=0的全部互异根，则
fA(λ)=(λ-λ1)(λ-λ2)阅读详情：(λ-λs),其中k1+k2+阅读详情：+ks=n,,称ki为λi(i=1,2,阅读详情：,s)的重数。k1k2ks二、特征值和特征向量的性质1.
n阶方阵A与它的转置矩阵A的特征值相同。证明： |λI-A|=|(λI-A)|=|λI-A|. 2.设n阶方阵A=(aij)的特征值为λ1,λ2,阅读详情：,TTTλn,则有(1)λ1+λ2+阅读详情：+λn=a11+a22+阅读详情：+(2)λ1λ2阅读详情：λn=A.A的迹，记为tr(A)1A为3阶方阵，且|A-I|=0,|2A-I|=0,|3A-I|=0,|A|=.63.
n阶方阵A的可逆的充要条件是0不是A的特征值。4.若λ是矩阵A的特征值，的特征值，x是A的属于λ的特征向量，的特征向量，则mmm(1)λ是A的特征值(m是任意正整数)，x是属于A对应于λ的特征向量.-1-1-1(2)当A可逆时,λ是A的特征值，x是属于A的对应于λ的特征向量.证明(1)∵Ax=λx22∴A(Ax)=A(λx)=λ(Ax)=λ(λx)=>Ax=λxmm再继续施行上述步骤m-2次，就得Ax=λx-1m故λ是矩阵A的特征值,且x是A对应于λ的特征向量.mmmm(2)当A可逆时,λ≠0,由Ax=λx可得A-1(Ax)=A(λx)=λAx-1-1-1-1=>Ax=λx故λ是矩阵A的特征值,且x是A对应于λ的特征向量.-1-1-1-12例三阶矩阵A的特征值为1，2，3，则A-2A+3I的行列式为多少？解：令f(x)=x-2x+3,我们有A-2A+3I的特征值是：22f(1)=2，f(2)=3，f(3)=6.所以|A-2A+3I|的行列式是2×3×6=36.2?A11A12阅读详情：A1p???A22阅读详情：A2p?,其中A为n(i=1,阅读详情：,p)阶方阵，则5.
设A=?iii阅读详情：????App??每个Aii的特征值也是A的特征值，且Aii(i=1,阅读详情：,p)的所有特征值即为A的全部特征值。特别的，三角阵对角线上元素构成其全部的特征值。6.
设λ1,λ2,阅读详情：,λm是方阵A的m个特征值,p1,p2,阅读详情：,pm依次是与之对应的特征向量.如果λ1,λ2,阅读详情：,λm各不相等,则p1,p2,阅读详情：,pm线性无关.证明则设有常数x1,x2,阅读详情：,xm使x1p1+x2p2+阅读详情：+xmpm=0.A(x1p1+x2p2+阅读详情：+xmpm)=0,k111k22即λ1x1p1+λ2x2p2+阅读详情：+λmxmpm=0,类推之，类推之，有λxp+λxp2+阅读详情：+λxpm=0.(k=1,2,阅读详情：,m-1)kmm把上列各式合写成矩阵形式，把上列各式合写成矩阵形式，得m-1?1λ1阅读详情：λ1??m-1?1阅读详情：λλ22??=0,0,阅读详情：,0xp,xp,阅读详情：,xp()(1122)mm?阅读详情：??m-1??1λm阅读详情：λm?上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式,当各λi不相等时,该行列式不等于0,从而该矩阵可逆.于是有(x1p1,x2p2,阅读详情：,xmpm)=(0,0,阅读详情：,0),即xjpj=0(j=1,2,阅读详情：,m).但pj≠0,故xj=0(j=1,2,阅读详情：,m).所以向量组p1,p2,阅读详情：,pm线性无关.注意１.的．属于不同特征值的特征向量是线性无关２.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．组合仍是属于这个特征值的特征向量．３.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．一个特征向量不能属于不同的特征值．因为,如果设x同时是A的属于特征值λ1,λ2的(λ1≠λ2)的特征向量,即有Ax=λ1x,=>λ1x=λ2x=>(λ1-λ2)x=0,由于λ1-λ2≠0,则x=0,与定义矛盾.Ax=λ2x三、特征值与特征向量的求法求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：1.
计算A的特征多项式det(λI-A);2.
求特征方程det(λI-A)=0的全部根λ1,λ2,阅读详情：,λn,就是A的全部特征值;3.
对于特征值λi,求齐次方程组(λiI-A)x=0的非零解,就是对应于λi的特征向量.?3-1?例1求A=??的特征值和特征向量.?-13?解A的特征多项式为λ-312=(λ-3)-11λ-32=λ-6λ+8=(λ-4)(λ-2)所以A的特征值为λ1=2,λ2=4.当λ1=2时,对应的特征向量应满足1??x1??0??-11??2-3?-11?=,??→???1???????2-3??x2??0??1-1???00??1? 所以对应的特征向量可取为p1=??.?1?所以kp1(k≠0)是对应于λ1=2的全部特征值.当λ2=4时,由1??x1??0??11??4-3?11???→?,??=??,??1???4-3??x2??0??11???00?所以对应的特征向量可取为?-1?
p2=??.?1?所以kp2(k≠0)是对应于λ2=4的全部特征值.?-110???例2求矩阵A=?-430?的特征值和特征向量.?102???解
A的特征多项式为λ+1λI-A=4-100=(λ-2)(λ-1),2λ-3-10λ-2所以A的特征值为λ1=2,λ2=λ3=1.当λ1=2时,解方程(2I-A)x=0.由?3-1?2I-A=4-1??-10??0???得基础解系
p1=?0?,?1???所以kp1(k≠0)是对应于λ1=2的全部特征值.当λ2=λ3=1时,解方程(I-A)x=0.由?2-10??101?????I-A=4-20~012,?????-10-1??000?????100??0????0~010,????0???000???-1???得基础解系
p2=?-2?,?1???所以kp2(k≠0)是对应于λ2=λ3=1的全部特征值.?-211???的特征值与特征向量．例3设A=?020?,求A的特征值与特征向量．?-413???解-1-1λI-A=0λ-204-1λ-32=(λ+1)(λ-2),2令(λ+1)(λ-2)=0λ+2得A的特征值为λ1=-1,λ2=λ3=2.当λ1=-1时,解方程(I+A)x=0.由?-111??10-1?????I+A=030~010,?????-414??000??????1???得基础解系p1=?0?,?1???故对应于λ1=-1的全体特征向量为kp1
(k≠0).当λ2=λ3=2时,解方程(2I-A)x=0.由?4-1-1??4-1-1?????2I-A=000~000,?????4-1-1??000?????得基础解系为：得基础解系为：?0??1?????p2=?1?,
p3=?0?,?-1??4?????所以对应于λ2=λ3=2的全部特征向量为:k2p2+k3p3
(k2,k3不同时为0).四、小结求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：1.
计算A的特征多项式det(λI-A);2.
求特征方程det(λI-A)=0的全部根λ1,λ2,阅读详情：,λn,就是A的全部特征值;3.
对于特征值λi,求齐次方程组
(λiI-A)x=0的非零解,就是对应于λi的特征向量.思考题设4阶方阵A满足条件: det(3I+A)=0,AA=2I,detAT*思考题解答解
因为detA-1-3是A的一个特征值,从而-3是A的一个特征值.
又由 AAT=2I得 det(AAT)=det(2I)=16,即(detA)=16,于是detA=±4,但detA4故A*有一个特征值为.32***一、矩阵的对角化定义1
设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使
PAP=B,则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.对A进行运算PAP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.-1-1定理1
若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.-1证明A与B相似=>?可逆阵P,使得PAP=B-1-1∴λI-B=P(λI)P-PAP=P-1(λI-A)P-1=λI-AP=λI-A.注意：若A与B有相同的特征多项式，但A与B不相似。?11??10?2例如：和?有相同的特征多项式f(λ)=(λ-1), ????1??01?但它们不相似。推论1若n阶方阵A与对角阵（与对角阵（三角阵）三角阵）??λ1??Λ=?λ????λ1*阅读详情：*???2???Λ=?λ2阅读详情：*????阅读详情：??阅读详情：????λ???λ??n???n??相似,则λ1,λ2,阅读详情：,λn即是A的n个特征值.例?1ac???*设矩阵A与2b相似，求|A-3A+2I|.????-3??*解：|A|=1×2×(-3)=-6. 又AA=|A|I|A||A-3A+2I|=|A|I-3A+2A
=-6I-3A+2A 令f(x)=-3x+2x-6-6I-3A+2A的特征值是f(1)=-7，f(2)=-14，f(-3)=-39|A-3A+2I|=(-7)×(-14)×(-39)/(-6)=637.*222*2二、利用相似变换将方阵对角化对n阶方阵A,若可找到可逆矩阵P,使PAP=Λ为对角阵,这就称为把方阵A对角化.-1定理2
n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.证明假设存在可逆阵P,使PAP=Λ为对角阵,把P用其列向量表示为P=(p1,p2,阅读详情：,pn).-1?λ1???λ2??即A(p1,p2,阅读详情：,pn)=(p1,p2,阅读详情：,pn)阅读详情：????λn??由PAP=Λ,得AP=PΛ,-1=(λ1p1,λ2p2,阅读详情：,λnpn).∴A(p1,p2,阅读详情：,pn)=(Ap1,Ap2,阅读详情：,Apn)=(λ1p1,λp2,阅读详情：,λpn)于是有Api=λipi(i=1,2,阅读详情：,n).可见λi是A的特征值,而P的列向量pi就是A的对应于特征值λi的特征向量.又由于P可逆,所以p1,p2,阅读详情：,pn线性无关.反之,由于A恰好有n个线性无关的特征向量,并对应地有n个特征值,这n个特征向量即可构成可逆矩阵P,使AP=PΛ，即PAP=Λ.-1命题得证.推论2如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，个特征值互不相等，则A与对角阵相似．与对角阵相似．说明如果A的特征方程有重根，的特征方程有重根，此时不一定有n个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化，对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，A还是能对角化．还是能对角化．例1判断下列实矩阵能否化为对角阵判断下列实矩阵能否化为对角阵？？?1-22??-21-2?????(1)A=?-2-24?(2)A=?-53-3??2???4-2???102?解λ-12-2(1)由λI-A=2λ+2-42-4-2λ+2=0=(λ-2)(λ+7)得λ1=λ2=2,λ3=-7.将λ1=λ2=2代入, 得方程组
(2I-A)x=0解之得基础解系?2??0?????α1=?0?,α2=?1?.?1??1?????同理,对λ3=-7,由(-7I-A)x=0,求得基础解系α3=(1,2,2)T201由于
012≠0,112所以α1,α2,α3线性无关.即A有3个线性无关的特征向量,因而A可对角化.?-21-2???(2)A=?-53-3??102???λ-21-2-3=(λ+1)3λI-A=-51λ+3λ+2所以A的特征值为λ1=λ2=λ3=-1.把λ=-1代入(λI-A)x=0,解之得基础解系Tξ=(1,1,-1),故A不能化为对角矩阵.60??4??例2设A=?-3-50??-3-61???A能否对角化？能否对角化？若能对角化,则求出可逆矩阵P,-1使PAP为对角阵.解λ-4λI-A=33-600λ+56=(λ-1)(λ+2)2λ-所以A的全部特征值为λ1=λ2=1,λ3=-2.当λ1=λ2=1时，
(I-A)x=0解之得基础解系?-2???ξ1=?1?,?0????0???ξ2=?0?.?1???将λ3=-2代入(λI-A)x=0,得方程组的基础解系ξ3=(-1,1,1).T由于ξ1,ξ2,ξ3线性无关.?-2?令
P=(ξ1,ξ2,ξ3)=?1?0??1?-1则有
PAP=?0?0?所以A可对角化.0-1??01??11?00??10?.?0-2?-1-2
??若令P=(ξ3,ξ1,ξ2)=?11?10?-
PAP=?010?.?001???注意0
??0?,1??即矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．要相互对应．定理3
n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化)的充分必要条件是对A的每个特征值λ有
r(λI-A)=n-s,其中s为λ的重数.
范文十：第五章
矩阵的相抵与相似一、填空题1．Z/(5)?
.2．设A 是s?n矩阵，A的秩为r，则其相抵标准形为___________.3．设A与diag{1,2,3}相似，则tr(A2)?___________.4．设三阶矩阵A的特征值为1,2,3，则行列式4I?A?___________.5. n阶矩阵A可对角化的充要条件为__________________________________． ６．设A?为矩阵A的广义逆，则非齐次线性方程组AX??有解时，它的通解为________．二、计算题?13?20???1．求矩阵?3?201?的相抵标准形．?41?21????32?n２．已知A???，计算A． ?41?３．设?2?20???A???21?2??0?20???求正交矩阵U，使U'AU为对角形．?200??1?11?????４．1．设A??24?2?与B??020?相似．?00b???3?3a?????（1）求a,b的值；（2）求可逆矩阵，使P?1AP?B．四、证明题1．设A是n?n矩阵，且rank(A)?r，证明：存在一n?n可逆矩阵P使PAP?1的后n?r行全为零．２．A为n阶实对称矩阵，且A2?I．证明：存在正交矩阵U，使?IrUAU???0??10?? ?In?r??其中r为A的正特征值的个数．}
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