【图文】第五章 定积分的换元法_百度文库
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第五章 定积分的换元法
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定积分的题…应该是换元法
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第三节 定积分的换元法和分部积分法 例题 习题 小结
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高等教育出版社享有中国大学精品开放课程信息网络传播的专有使用权 未经书面允许，请勿转播定积分典型例题；例1；lim；1n；n??；?．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数；积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1；解将区间[0,1]n等分，则每个小区间长为?x?；1n；11?nn；的一个因子1乘入和式中各项．于是将所求；极限转化为求定积分．即lim例2；1n；n??；lim；1n；n??；34；=_________．；解法1；
定积分典型例题
将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被
积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．
将区间[0,1]n等分，则每个小区间长为?x?1，然后把
的一个因子1乘入和式中各项．于是将所求
极限转化为求定积分．即lim例2
=_________．
由定积分的几何意义知，
等于上半圆周(x?1)
轴所围成的图形的面积．故
本题也可直接用换元法求解．令x?1=sint（??
edx，?exdx，?(1?x)dx．分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无
法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．
在[1,2]上，有ex
．而令f(x)?exx
?(x?1)，则f?(x)?e?1．当x?0
时，f?(x)?0，f(x)在(0,??)上单调
递增，从而f(x)?f(0)，可知在[1,2]上，有ex
f(x)dx???f(x)dx
?(1?x)dx??edx?
在[1,2]上，有ex?ex．由泰勒中值定理e
得ex?1?x．注意到
?f(x)dx???f(x)dx
例4 估计定积分解
设 f(x)?ex
(1?x)dx??edx?
dx的值．分析
要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．
, 因为 f?(x)?ex
, 令f?(x)?0，求得驻点1, 而 f(0)?e0
?1, f(2)?e
?f(x)?e,x?[0,2],从而2e
,所以 ?2e2
设f(x)，g(x)在[a,b]上连续，且g(x)?0，f(x)?
由于f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有最大值M和最小值m．由f(x)?0知M?0，m?0．又
g(x)dx．由于n?n?
, p,n为自然数．分析
这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用
方法是利用积分中值定理与夹逼准则．
利用积分中值定理设
, 显然f(x)在[n,n?p]上连续, 由积分中值定理得
当n??时, ?
??, 而sin??1, 故lim
利用积分不等式因为
由积分中值定理
f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx
．于是可得
设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且4
f(x)dx?f(0)
．证明在(0,1)内存在一点c，使f?(c)?0．分
由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件f(?)?f(0)即可．
由题设f(x)在[0,1]上连续，由积分中值定理，可得f(0)?4
f(x)dx?4f(?)(1?
其中??[3,1]?[0,1]．于是由罗尔定理，存在c?(0,?)?(0,1)，使得f?(c)?0．证毕．
，则f?(x)=___；（2）若f(x)
，求f?(x)=___．分析
这是求变限函数导数的问题，
利用下面的公式即可d
f(t)dt?f[v(x)]v?(x)?f[u(x)]u?(x)．
（1）f?(x)=2xe?x?e?x；
（2） 由于在被积函数中x不是积分变量，故可提到积分号外即f(x)?
，则可得 f?(x)=x
f(t)dt?xf(x)
设f(x)连续，且
f(t)dt?x，则f(26)=_________．
两边关于x求导得f(x3?1)?3x2?1，故
，令x3?1?26得x所以?3，
的单调递减开区间为_________．
F?(x)?3F?(x)?
，即(0,1)为所求．
(1?t)arctantdt
的极值点．
由题意先求驻点．于是
?=．令0，得x?1，x
．列表如下：
已知两曲线y?
故x?1为f(x)的极大值点，x?0为极小值点．
，x?[?1,1]，
f(x)与y?g(x)在点(0,0)处的切线相同，其中g(x)?
试求该切线的方程并求极限
f?(0)?g?(0)．
两曲线y?f(x)
limnf()n??n
与y?g(x)在点(0,0)处的切线相同，隐含条件f(0)?
由已知条件得f(0)?
，且由两曲线在(0,0)
处切线斜率相同知
f?(0)?g?(0)?
故所求切线方程为y?x．而
f()?f(0)nlimnf()?lim3??3f?(0)?3
该极限属于0型未定式，可用洛必达法则．
t(t?sint)dt
t(t?sint)dt
(?1)?x?(x?sinx)
=(?2)?lim(x)
=(?2)?lim12x=0．
此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则． 例15
试求正数a与b
，使等式lim达法则．
?1成立．分析
易见该极限属于
型的未定式，可用洛必
由此可知必有lim(1?bcosx)?0，得b?1．又由
．即a?4，b?1为所求．
例16 设f(x)?
sintdt，g(x)?x?x
，则当x?0时，f(x)是g(x)的（
A．等价无穷小． B．同阶但非等价的无穷小．
C．高阶无穷小． D．低阶无穷小． 解法1
由于 lim小．选B．
将sint2展成t的幂级数，再逐项积分，得到f(x)?则lim
sin(sinx)?cosx
．故f(x)是g(x)同阶但非等价的无穷
证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续且单调增加，则有
，当t?[a,x]时，f(t)?f(x)，则
F?(x)=xf(x)?
故F(x)单调增加．即 F(x)?F(a)，又F(a)?0，所以F(x)?0，其中x?[a,b]． 从而F(b)=
由于f(x)单调增加，有(x?a?b)[f(x)?
被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．
xdx＝[?x]0?[x]2＝．注
在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分?10
区间上满足可积条件．如区间内无界. 例19 计算
，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数
在x?0处间断且在被积
max{x,x}dx
被积函数在积分区间上实际是分段函数
max{x,x}dx?
设f(x)是连续函数，且f(x)?数（a,b为常数）．
x?3?f(t)dt
，则f(x)?________．分析
本题只需要注意到定积分
因f(x)连续，f(x)必可积，从而所以[1
是常数，记
，则f(x)?x?3a，且1(x?3a)dx
，从而a??1，所以
0?x?1，F(x)?f(x)??
5?2x,1?x?2?
f(t)dt，0?x?2
，求F(x), 并讨论F(x)的连续性．分析
由于f(x)是分段函
数, 故对F(x)也要分段讨论．
（1）求F(x)的表达式．
F(x)的定义域为[0,2]．当x?[0,1]时，[0,x]?[0,1], 因此F(x)?
当x?(1,2]时，[0,x]?[0,1]?[1,x], 因此, 则F(x)?
0?x?1． F(x)??
???3?5x?x,1?x?2
3tdt?[t]0?x
=[t3]1?[5t?t]1=?3?5x?x， 0
(2) F(x)在[0,1)及(1,2]上连续, 在x?1处，由于
lim?F(x)?lim?(?3?5x?x)?1, limF(x)?limx3?1,
因此, F(x)在x?1处连续, 从而F(x)在[0,2]上连续．
（1）求F(x)的表达式,
当x?[0,1)时，F(x)?故由上可知
3tdt?[t]0?x
．当x?[1,2]时，有F(x)?
0?x?1． F(x)??
??5x?x,1?x?2
(2) F(x)在[0,1)及(1,2]上连续, 在x?1处，由于limF(x)?
lim?(5x?x)?4
lim?F(x)?lim?x?1, F(1)?1．
因此, F(x)在x?1处不连续, 从而F(x)在[0,2]上不连续．错解分析
上述解法虽然注意到了f(x)是分段函数，但（1）中的解法是错误的，因为当
中的积分变量f(t)dt
t的取值范围是[0,2]，
是分段函数，
由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．
是奇函数，
由定积分的几何意义可知
被积函数中含有1及lnx，考虑凑微分．
sinx1?sinx
sinx1?sinx
sinx(1?sinx)1?sinx
(secx?1)dx
]04?[tanx?
此题为三角有理式积分的类型，也可用万能代换公式来求解，请读者不妨一试． 例25
，其中a?0．
(1?sint)costdt
costdt?0=?
x?asint或x?acost．
costsint?cost
(sint?cos)t?(cos
(sint?cos)t?
?t?ln|sint?cost|?02=．
costsint?cost
costsint?cost
sinusinu?cosu
sintsint?cost
costsint?cost
如果先计算不定积分
，再利用牛顿?
莱布尼兹公式求解,则比较复杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一． 例27
被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式．
设ux?ln(u2?1)，dx?
，其中f(x)连续．分析
要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有x，因此不能直接求
导，必须先换元使被积函数中不含x，然后再求导．
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