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内蒙古大学：数学分析选讲 第5讲 无穷级数求和——...
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无穷级数求和的几种常用方法
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无穷级数求和的几种常见方法
无穷级数科技信息○职校论坛○ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ２００８年第１９期
无穷级数求和的几种常见方法
（南京化工职业技术学院江苏
２０１１４８）
摘要】本文将常见的几种无穷级数的求和方法加以归纳，并提出了详细的解题步骤，这样在解题时可做到有的放矢，并根据不同的题型【
选择不同的方法，降低了解题的困难。同时为了便于理解，选取了几个具有典型的例子，更好的掌握求和的方法。
关键词】幂级数；数项级数；求和【
∞ｘｘｘ级数是高等数学的一个重要组成部分，其理论是在生产实践和科２１２ｘｎ＋１ｎ１ｘ＋＋１ｅ。故ｘ＝ｘ（ｘ＋２）ｅ＋ｅ＝学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期杰出的数学家刘ｎ＝０割圆术”徽于公元２６３年创立了“，其要旨是用圆内接正多边形去逐步二、数项级数求和
逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已建立了级数的思想方
１．利用级数和的定义求和拆项法：即把通项拆成两项差的形式，
而今，级数的理论已发展的相当丰富和在求前项和时，除首尾两项外其余各项均对消掉法，即无限多个数的累加问题。
完整，在工程实践中有着广泛的应用，可用来表示函数、研究函数的性∞
１例３：质，也是其进行数值计算的一种工具。
ｎ＝０(（(＋(）
由级数的定义知级数是无穷多项累加的结果，不能直接按照通常
１解：ｕｎ＝１－有限项加法规律把它们逐项相加，通常课本上提供的方法是先作级数
((的前ｎ项和，然后利用极限的方法来解决这个无穷多项累加的问题。
１－１１－１１这个方法很常规，可以解决一些比较简单的级数的求和，但是对于实Ｓｎ＝１－＋＋＋…＋(((((际工程应用中能见到的级数来说，这个方法还是太简单了，很多时候
１－１得不到，本文就将提出几种更有效的求级数和的方法。
一、幂级数求和函数
解题程序如下：
（１）求出给定级数的收敛域，一般讲分母中含有阶乘ｎ！，（２ｎ）！，（２ｎ－１）！，则收敛域为（－∞，＋∞）；
（２）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看出其假设和函数Ｓ（ｘ）与其导数Ｓ＇（ｘ）的关系），从而得到新级数的和函数；
（３）对于得到的和函数作相反的分析运算，便得原幂级数的和函数。
例１：求幂级数
((１＝１－→１，（ｎ→∞）($
ｘ→１－ｎ＝０
ｘ→１－ｎ＝０
２．阿贝尔法（构造幂级数法）
!ａ＝ｌｉｍ!ａｘ，其中幂级数ｌｉｍ!ａｘ
可通过逐项微分或积分
（－１）ｎ＋１ｘ２ｎ＋１的和函数。!ｎ＝０
解：可求出收敛域为（－∞，＋∞），
求得和函数Ｓ（ｘ），因此
例４：求幂级数
!ａ＝ｌｉｍＳ（ｘ）
令Ｓ（ｘ）＝!（－１）ｎ＋１ｘ２ｎ＋１＝
ｎ＋１ｘ２ｎ＋１ｄｘ
＝!（－１）ｎｎ＋１ｘ
（－１）ｎｘ２ｎ＋１
!ｎ＝０（２ｎ＋１）！
解：令Ｓ（ｘ）＝
ｘ２ｎ－２，其收敛域为（－(，(）
Ｓ（ｘ）＝
ｘｓｉｎｘ＝１（ｓｉｎｘ＋ｘｃｏｓｘ）ｘ∈（－∞，＋∞）＝例２：求级数
ｘｎ的和函数：
（解题提示：系数为若干项代数和的幂级数，求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数）。
解：易求出其收敛域为（－∞，＋∞）。
＋１ｘｎ＝ｎ２ｘｎ＋１令Ｓ（ｘ）＝!ｎ!!ｎ＝０ｎ＝０ｎ＝０∞
＝１（ｘ）ｎ＝ｎ＝１２
＝ｘ＋２（）２
ｌｉｍＳ（ｘ）＝ｌｉｍｘ＋２＝３ｘ→１ｘ→１－
!"!%$%$!$$$
２ｎ－１ｘ２ｎ－２ｄｘ＝＇
１ｘ２ｎ－１∞
例５：求幂级数的和。
ｎ２ｘｎ＝ｘｎ２ｘｎ－１＝［ｘ（!!!ｎ＝０ｎ＝１ｎ＝１
ｎ２ｘｎ－１ｄｘ）］＇
（解题提示：凡是通项ｕｎ可拆成代数和形式的，在求和之前一定要拆开，然后分别求各级数的和，最后求它们的代数和）。
＝ｘ［!ｎｘｎ］＇＝ｘ［ｘ!ｎｘｎ－１］＇
ｎ＝１ｎ＝１∞
ｎ！＋１＝ｎ＋１解：!!!ｎ＝１ｎ＝１ｎ＝１令Ｓ１（ｘ）＝!ｎｘｎ－１＝
＝ｘ［ｘ（!（
ｎｘｎ－１ｄｘ）＇］＇＝ｘ［ｘ（ｘｎ）＇］＇
＝ｘ［ｘ（!１
ｎ＝０１!ｎ＝０∞
）］＝ｘ［ｘ（ｅ－１）］＝１ｘ（ｘ＋２）ｅ，
ｎｘｎ－１ｄｘ
ｎ＝ｌｉｍＳ（ｘ）＝ｌｉｍ２＝２∴!１ｘ→１ｘ→１ｎ＝１－
（下转第５８９页）
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无穷级数求和 ∑(n^2)/(2^n)n属于1~无穷
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∑(n^2)/(2^n)=∑(n^2) * (1/2)^n把1/2看成x则得到幂级数∑(n^2) * x^n 显然收敛域为x∈[-1,1)= x *∑(n^2) * x^(n-1)又因为 ∑ n *x^n =x *∑ n *x^(n-1)= x * (∑ (1-->+∞) x^n)′=x^2/(1-x)所以∑(n^2) * x^(n-1)=(∑ n *x^n )′= [x^2/(1-x)]′=(2x-x^2)/(1-x)^2所以∑(n^2) * x^n= x * (2x-x^2)/(1-x)^2=(2x^2-x^3)/(1-x)^2把x=1/2带入得到:∑(n^2)/(2^n)=3/2
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