一、高等数学
..........................................................................
函数、极限、连续
..........................................................
一元函数微分学
..............................................................
一元函数积分学
.............................................................11
向量代数和空间解析几何
..............................................16
多元函数微分学
.............................................................
多元函数积分学
.............................................................
........................................................................
常微分方程
....................................................................40
二、线性代数
........................................................................45
..........................................................................
...............................................................................
.............................................................................
线性方程组
....................................................................51
矩阵的特征值和特征向量
...............................................52
...........................................................................
三、概率论与数理统计
..........................................................
随机事件和概率
.............................................................
随机变量及其概率分布
...................................................59
多维随机变量及其分布
...................................................61
随机变量的数字特征
......................................................
大数定律和中心极限定理
...............................................
数理统计的基本概念
......................................................
........................................................................69
........................................................................71
经常用到的初等数学公式
......................................................
..............................................................................
一、高等数学
函数、极限、连续
公式、定理、概念
函数：设有两个变量
的定义域为
，如果对于
值，按照一定的法则，变量
有一个确定的值与之对应，
的函数，记作：
形，初等函
数，函数关
系的建立：
基本初等函数包括五类函数
反三角函数
初等函数：由常数
和基本初等函数经过有限次四则运算与有限此复合
步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，称为初等函
及其性质，
关系，无穷
是同阶无穷小，
无穷小的性质
）有限个无穷小的代数和为无穷小
）有限个无穷小的乘积为无穷小
）无穷小乘以有界变量为无穷小
在同一变化趋势下，无穷大的倒数为无穷小；非零的无穷小的倒
数为无穷大
则：单调有
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所需积分：0第一篇:2013考研数学三考试科目：微积分．线性代数．概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟． 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试． 三、试卷内容结构 微积分 56％ 线性代数 22% 概率论与数理统计 22％ 四、试卷题型结构 试卷题型结构为： 单项选择题选题 8 小题，每题 4 分，共 32 分 填空题 6 小题，每题 4 分，共 24 分 解答题（包括证明题） 9 小题，共 94 分 微 积 分 一、 函数、极限、连续 考试内容----- 函数的概念及表示法 函数的有界性．单调性．周 期性和奇偶性 复合函数．反函数．分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷 大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两 个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限： 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性 质 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念． 6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要 极限求极限的方法 7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与 无穷小量的关系． 8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续） ，会判别函数间断点的类型． 9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最 大值和 最小值定理．介值定理)，并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数．反函数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L'Hospital）法则 函数单调性的判别
函数的极值 函数图形的凹凸性．拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 考试要求 1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边 际与弹性的概念） ，会求平面曲线的切线方程和法线方程． 2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段 函数的导数 会求反函数与隐函数的导数 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数 4． 了解微分的概念， 导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性， 会求函数的微分． 5．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy) 中值定理，掌握这四个定理的简单应用． 6．会用洛必达法则求极限． 7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的 求法及其应用． 8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间 内，设函数 具有二阶导数．当 时， 的 图形是凹的；当 时， 的图形是凸的） ，会求函数图形的拐点和渐近线． 9．会描述简单函数的图形． 三、一元函数积分学 考试内容 原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式 不定积分和定积分的 换元积分法与分部积分法 反常（广义）积分 定积分的应用 考试要求 1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积 分的换元积分法和分部积分法． 2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的 导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法 3．会利用定积分计算平面图形的面积．旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解 简单的经济应用问题． 4．了解反常积分的概念，会计算反常积分． 四、多元函数微积分学 考试内容 多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数偏导数的概念与计算 多元复合函数的求导法与隐函数求导法 二阶偏导数 全微分 多元函数的极值和条件极值． 最大值和最小值 二重积分的概念． 基本 性质和计算 无界区域上简单的反常二重积 考试要求 1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．
2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质 3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微 分,会求多元隐函数的偏导数． 4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函 数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单 多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题． 5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标．极坐标） ．了 解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算． 五、无穷级数 考试内容 常数项级数收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必 要条件 几何级数与 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 任意项级数的绝对收敛与 条件收敛 交错级数与莱布尼茨定理 幂级数及其收敛半径．收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数 的幂级数展开式 考试要求 1．了解级数的收敛与发散．收敛级数的和的概念． 2．了解级 数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及 级数的收敛与发散的条件，掌握正 项级数收敛性的比较判别法和比值判别法． 3． 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念 以及绝对收敛与收敛的关系， 了解交错级数的莱布尼茨判别法．4． 会求幂级数的收敛半径、 收敛区间及收敛域． 5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求 导和逐项积分） ，会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数． 6．了解 ． ． ． 及 的麦克 劳林（Maclaurin）展开式． 六、常微分方程与差分方程 考试内容 常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方 程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次 线性微分方程 差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 微分方程的简单应用 考试要求 1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念． 2．掌握变量可分离的微分方程．齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法． 3．会解二阶常系数齐次线性微分方程． 4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式．指数函数．正弦函 数．余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程． 5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念． 6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法． 7．会用微分方程求解简单的经济应用问题． 线 性 代 数 一、行列式 考试内容 行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理 考试要求 1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质． 2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式． 二、矩阵 考试内容 矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列 式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算 考试要求 1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，
了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质． 2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积 的行列式的性质． 3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩 阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵. 4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用 初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法． 5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则． 三、向量 考试内容 向量的概念 向量的线性组合与线性表示 向量组的线性相关与线性无 关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 考试要求 1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则． 2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量 组线性相关、线性无关的有关性质及判别法 3．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩． 4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系． 5．了解内积的概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法． 四、线性方程组 考试内容 线性方程组的克莱姆（Cramer）法 线性方程组有解和无解的判定 齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组（导出组）的解之间的关系 非齐次 线性方程组的通解 考试要求 1.会用克莱姆法则解线性方程组． 2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法 3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念， 掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法． 4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念． 5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法． 五、 矩阵的特征值和特征向量 考试内容 矩阵的特征值和特征向量的概念、 性质 相似矩阵 的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值和 特征向量及相似对角矩阵 考试要求 1. 理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和 特征向量的方法 2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件， 掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法． 3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质． 六、二次型 考试内容 二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定 性 考试要求 1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念． 2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正
交变换和配方法化二次型为标准形． 3.理解正定二次型．正定矩阵的概念，并掌握其判别法． 概率论与数理统计 一、 随机事件和概率 考试内容 古典型概率 随机事件与样本空间 几何型概率 事件的关系与运算 条件概率 完备事件组 概率的基本公式 概率的概念 事件的独立性 概率的基本性质 独立重复试验 考试要求 1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运 算． 2． 理解概率、 条件概率的概念， 掌握概率的基本性质， 会计算古典型概率和几何型概率， 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等． 3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概 念，掌握计算有关事件概率的方法． 二、随机变量及其分布 考试内容 随机变量 随机变量的分布函数的概念及其性质 离散 型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数 的分布 考试要求 1．理解随机变量的概念，理解分布函数 的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率 ． 2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握 0－1 分布、二项分布 、几何分布、 超几何分布、泊松（Poisson）分布 及其应用． 3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布． 4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布 、正态分布 、指数分布及其 应用，其中参数为 的指数分布 的概率密度为 5．会求随机变量函数的分布． 三、 多维随机变量及其分布 考试内容 多维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量的 概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密 度 随机变量的独立性和不相关性 常见二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量的函 数的分布 考试要求 1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质． 2． 理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、 掌握二维随机 变量的边缘分布和条件分布． 3．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变 量的不相关性与独立性的关系． 4．掌握二维均匀分布和二维正态分布 ，理解其中参数的概率意义． 5． 会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布， 会根据多个相互独立随机变量的联合 分布求其函数的分布． 四、随机变量的数字特征 考试内容 随机变量的数学期望（均值） 、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 切比雪夫（Chebyshev）不等式 矩、协方差、相关系数及其性质
考试要求 1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念， 会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征． 2．会求随机变量函数的数学期望． 3．了解切比雪夫不等式． 五、大数定律和中心极限定理 考试内容 切比雪夫大数定律 伯努利（Bernoulli）大数定律 辛钦（Khinchine）大数定律 棣莫弗―拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理 列维―林德伯格（Levy－Lindberg）定理 考试要求 1．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的 大数定律） ． 2．了解棣莫弗―拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布） 、列维―林德 伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理） ，并会用相关定理近似计算 有关随机事 六、数理统计的基本概念 考试内容 总体 个体 简单随机样本 统计量 经验分布函数 样本均值 样本方差和样本矩 分布 分布 分布 分位数 正态总体的常用抽样分布 考试要求 1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方 差定义为 2．了解产生 变量、 变量和 变量的典型模式；了解标准正态分布 分布、 分布和 分布得上侧 分位数，会查相应的数值表． 3．掌握正态总体的样本均值．样本方差．样本矩的抽样分布． 4.了解经验分布函数的概 念和性质． 七、参数估计 考试内容 点估计的概念 矩估计法 估计量与估计值 最大似然估计法 考试要求 1． 了解参数的点估计、估计量与估计值的概念 2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法
第一篇:2013考研数学三近期有不少童鞋都在向我询问考研的事情，由于政治、日语和专业课没什么必要说，数学复 习是最讲效率和技巧的。尤其在考研这种大型考试中，数学更是拉分的关键，总分高不高， 关键就是看数学。数学只要有效率的复习，理工科一般能到 110+，而经管数学能到 130+。本人考的是数学三， 看到网上的统计结果， 2013 年数学三相对前几年难度略上升， 数学一、 二计算量有明显上升。2013 考研初试成绩出来，虽然与自己预期的满分相差 5 分，但至少是个令人能接受的 结果。先说一下考研数学的难度。考研数学自从 2008 年数学三、四合并后分为数一、数二、 数三，分别是工科、理科或工学专硕、经管类。数学一、二侧重计算能力，数学三侧重概念 的理解，所以一般是数一、二的选择填空的难度小，大题计算量大，相对困难；而数学三的 选择填空相对难，而大题一般较为简单。每年的成绩都是呈正态分布规律。考研数学的考察内容概括为三句话：基础基础再基础、计算能力是关键、技巧只是做陪 衬。纵观 2003 年考研数学改革以来的 11 年真题，以本次 13 年数学三为例，考察的都是一 些最基本的知识，比如无穷小的比较、级数的判敛、矩阵或向量秩的性质、统计量的性质等 等。没有任何超纲或者非常规的出题模式。同时计算也是关键，因为我没有对过答案，如果要扣分就可能是二重积分算错了。近年来， 数学三的计算难度逐渐加大， 二的计算量更是不能忽略。一、 考研数学同时不是不注重技巧， 技巧肯定是要的，尤其是数学三，有技巧之后解题非常快，这次考研，我数学的时间做了一 个半小时，剩下一个小时又把整张试卷做了一遍，提前了半小时交卷，相信其他考北京、上 海的孩纸们基本也是这样。但是技巧这东西不能一味的花时间在这个上， 否则忽略了基础就 一定拿不到 90+。关于考研数学怎么复习是关键。首先是教材的选择：出题的教材是：《高等数学》（同济 6 版）《线性代数》（同济 5 版）《概率论与数理统计》（浙大四版）。其中高数部分在教材上好几年出现过原题：10 年关于拉格朗日中值定理的证明、11 年关于扩展的积分中值定理的证明等等均来自于课后 习题或者教材例题。复习资料：考研数学资料不在多，在于精。在看完教材后按顺序使用：《高等数学 18 讲》（张宇）、《李永乐复习全书》、《李永乐 660 题》（今年直接命中数三选择填空）、 《10 年真题试卷》（试卷集，套题训练的）、《李永乐模拟 400 题》（上下两册，每册 5 套试卷）。这些辅导书足够让你上 130+。复习的进度安排： 4 月份之前看教材，选择性的做课后习题。高数的上册必须重视！！因为每年的难点不 会是计算，而是概念的理解。高数上册涵盖了微积分基本原理，尤其是 1、2、3、4、5 章， 之后都是微积分的应用。例如 2013 年数学三考察了无穷区间中的罗尔定理，必须要把无穷 大极限转化成一个确定的数值，就用到了极限描述语言（第一章），否则一个大题几乎是没 分的，而高数第一章很多人以为就是算极限，那就错了。高数第一章是高数部分最难的，也 是整一个考研数学最难的地方， 需要掌握极限描述语言、 极限的基本性质、 无穷大小的定义、 极限的基本运算（次之）、极限基本定理（介值和零点定理）、闭续函数有界定理等等。每 一个都可能是选择题和大题里的关键步骤。高数第一章的所有定理证明必须一一过关， 对照 教材答案反复操练，直到弄清原理，找到数学的感觉。得第一章者得考研数学。三本教材看完后，《高数 18 讲》和线性代数、概率论的视频，三者同时进行。《高等 数学 18 讲》被誉为是里考研数学的圣经，我在参加考研时，几乎 90%以上的高数题在 18 讲 中均有题型，尤其是泰勒公式的运用，今年张宇老师命中了原题，中值定理证明中开闭有别 的证明法则的论述尤为精辟，每一个例题都要做下去，不会做就抄着做，弄懂，回头不会的
题做第二遍，那本书挺薄的，做做挺快。线性代数和概率论我用的是海天的视频，跟着老师 做笔记，很快就能拿下。差不多 5 月开始就要进入复习全书的状态了，复习全书我只做了一 遍，但是要精做，每一道题会做的直接过，不会做的，找原因，找考点，做批注，学会总结 解题思路。我记得复习全是我一共做了 4 个月，而有些人 1 个月就能做完，所以复习效果可 想而知。在做复习全书的同时配合做李永乐的 660，660 都是选择和填空，难度较大，很适 合数三的童鞋，也一样要精做，弄懂每一个选项的出题思路。9 月份起开始练真题（当然也要配合复习全书看一看、知识点过一过，不过此时的重点 已经不是复习数学了），我记得一开始做真题时因为真题相对比较简单，但成绩并不好，我 大概每一个星期做 1 套左右，给自己限时 3 个小时，除了 11 年的 141 分，其他都在 130 左 右徘徊。有些同学会问已经能考这么高了么？实际情况是只要你按照前面步骤踏踏实实， 肯 定可以。原因其实是在于计算能力不过关， 因为考研数学评分标准里大题的一个小题一般是 5 分，而答案的正确与否占到 2-3 分，在北京这种批卷相当严的考区中，答案错就全错。大 概到 10 月底左右，数学的测试结果基本在 135 左右。11 月开始真题停，开始做李永乐 400 题（上），这套题难度相当大，当时我被打击的 体无完肤， 不仅对概念的理解需要相当深入， 计算量非常大， 同时一个题融进了 3-4 个考点， 当然不是 3 个小时做的，而是每天做半套试卷左右。差不多上册练完的时候，再把错题做一 遍， 计算量大的做一遍。之后再做真题， 有了质的提升， 除了 06 年 140-之外， 其余都是 140+， 高的有 147,150 都出现过。12 月真题一般停了，然后开始做李永乐的 400 题（下），难度和上册差不多，也是一 样的方法。差不多 一个星期就做完了。然后回过去再过真题，这次做真题是要做有疑惑、做错的、思路和答案 不相符合的。因为真题的出题思路每年都差不多，今年考完后很多同学在说 13 年的完全不 按常规，实际上是基础不扎实，没有踏实的复习所有的知识点，形成不了知识体系而已。真 题是个很好的工具，在自己不会的题上写思路、做批注。有些经典的题反复做。接着就上考场了，其实考研数学三的正常完成时间是在 2 个小时-2 个半小时，所以速 度一定要放慢，肯定来得及，我有点心急，每次都做的太快，其实这是不可取的。数学一、 二要满打满算的来做，今年一个数一的 136 分（对数一来说很高）的考生就是满打满算做了 3 个小时。考试的时候轻松点就好，就是在 杭州考天气不太好，太冷了，考前稍微运动一下，热身也很关键，否则进去人会跟冰块 一样。下面是给 2014 同学的几个关于考研数学的疑惑和误区： 1、要不要报班？ 关于考研数学我认为没有必要报面授班，买视频就可以，提高效率。2、报班后考研机构发的资料要不要看？ 大致过一下就行， 没必要多看， 浪费时间， 李永乐的复习全书和张宇老师的 18 讲上全都有， 就算题目变，题型也是一样的，老师有明确说重点的再做一做就行。3、复习全书是否要做 2 遍以上？ 没必要，按上面精做就行，一遍通关。否则浪费时间。4、教材不重要？ 高数第一章、第二章、第三章、第五章非常重要，其它顺利过下来就行，我当初是线性代数 和概率论随 便过了一下。高数下册直接没看书，因为都是计算的，但是级数那边还是要做做题，建议级 数把判敛和幂级数求和精做。一定要控制时间。5、求极限用罗比达法则？
一般考研数学命题组出的试卷，求极限用罗比达都是错的，或者是求不出的，参照《高数 18 讲》第一讲，泰勒公式的求极限，可以让你口算大题极限。今年有原题命中，说明该书 的确是圣经。6、应用数学可以忽略？ 绝对不可以，数学一、二侧重物理应用（这个不太懂）、数学三侧重经济应用，一般数学三 的经济应用参照高鸿业的《微观经济学》第五章成本论的课后习题就行，需要知道价格需求 弹性、收入需求弹性、固定成本、可变成本、平均成本、边际成本、总成本、总收益、平均 收益、边际收益、边际利润、平均利润、总利润、经济利润、会计利润、正常利润之间的相 互关系。一般这种题目都是用拉格朗日数乘法做的，一般不需要提前判断函数的拟凹性，相 对比较简单，是送分题，但是基本概念不知道就会乱来。填空题考察弹性较多，求解弹性的 题要熟悉全微分的知识。偏一点的话会涉及差分方程，不过只要知道基本计算就可以。7、数学不用背？ 当然，靠理解为主，需要背的我说一下：求导公式、积分公式、微分方程的求解、差分方程 的求解、基本函数的泰勒展开式、统计量及其性质，能背下来的就不要去推导，否则浪费时 间。8、重视高数，轻视线代和概率？ 线代和概率重在计算，但是线性代数前后衔接慎密，秩这个概念可以联系正本书的知识点， 所以线代中对秩的理解尤为重要，并且学线代的时候要会举一反三，一般性质都有很多条， 一个定理的背后可能涉及行列式、向量组的秩、特征值、二次型等性质都是有可能的。概率 重在计算，一般大题会出二维离散、二维连续、参数估计三种题型，每年基本不会变，但是 计算量却年年增加。9、考研数学哪些技巧？ 求极限的泰勒公式运用、 （不） 定积分的计算方法 （不过这个是靠练出来的， 自然会有感觉， 有奇偶换、全局替换、三角换元、分部一类换元等等）。好像没了，我记得自己考试的时候 只有泰勒公式勉强算作技巧吧，其它都是再基础不过的概念和计算了。10、考研数学的时间是不是要花很多？ 前期即 6 月份前，大量投入！6 月后逐渐减少，9 月后一般在上午，做真题的话就三个 小时，不做的话 1-2 个小时就可以考研复习讲求的是效率，没时间给你去做无用功，什么看 几遍，做好几遍全都是没用的，一遍过关就行，古人有云：一鼓作气、再而衰、三而竭，可 想而知多做几遍会牺牲其它科目的时间！最后祝 2014 年的 童鞋们取得好成绩哈，复习好好加油！
第一篇:2013考研数学三2013 年考研数学三真题及答案
一、选择题 1―8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
１．当 x ? 0 时，用 o(x) 表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ （A） x ? o( x 2 ) ? o( x 3 ) （C） o( x 2 ) ? o( x 2 ) ? o( x 2 ) （B） o( x)o( x 2 ) ? o( x 3 ) （D） o( x) ? o( x 2 ) ? o( x 2 )
【详解】由高阶无穷小的定义可知（A） （B） （C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例如当 x ? 0 时 ． f ( x) ? x 2 ? x 3 ? o( x), g ( x) ? x 3 ? o( x 2 ) ，但 f ( x) ? g ( x) ? o( x) 而不是 o( x 2 ) 故应该选（D） 2．函数 f ( x) ? （A）0
x( x ? 1) ln x
的可去间断点的个数为（ （C）2
【详解】当 x ln x ? 0 时， x ? 1 ? e
? 1 ~ x ln x ，
lim f ( x) ? lim
x( x ? 1) ln x x ?1
x ln x x ln x x ln x
? 1 ，所以 x ? 0 是函数 f (x) 的可去间断点． 1 ，所以 x ? 1 是函数 f (x) 的可去间断点． 2 ? ? ，所以所以 x ? ?1 不是函数 f (x) 的可去间断点．
lim f ( x) ? lim
x( x ? 1) ln x x ?1
lim f ( x) ? lim
x( x ? 1) ln x
x ln x ? ( x ? 1) ln x
故应该选（C） ．
2 2 ３．设 Dk 是圆域 D ? ( x, y) | x ? y ? 1 的第 k 象限的部分，记 I k ?
?? ( y ? x)dxdy ，则（
（A） I1 ? 0
（B） I 2 ? 0
（C） I 3 ? 0
（D） I 4 ? 0
【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
I k ? ?? ( y ? x)dxdy ? ?
2 ? d? ? (sin ? ? cos? ) r dr ? 0 2
1 2? k ?1 (sin ? ? sin ? ) d? 3? 2 ?
? 1 ?sin ? ? cos? ? | k2?1? 3 2
所以 I 1 ? I 3 ? 0, I 2 ?
2 2 ? , I 4 ? ? ? ，应该选（B） ． 3 3
４．设 ?an ? 为正项数列，则下列选择项正确的是（
（A）若 a n ? a n ?1 ，则
a n 收敛；
a n 收敛，则 an ? an?1 ；
p 收敛．则存在常数 P ? 1 ，使 lim n a n 存在； n??
p （D）若存在常数 P ? 1 ，使 lim n a n 存在，则 n??
【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ） ． 此小题的（A） （B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A） ，但少一条件 lim a n ? 0 ，
显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B）也不正确，反例自 己去构造． ５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为 n 阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则 （A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价． （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价． （C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价． （D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价． 【详解】把矩阵 A，C 列分块如下： A ? ??1 ,? 2 ,?,? n ?, C ? ?? 1 , ? 2 ,?, ? n ? ，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知 得到矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示． 同 ? i ? bi1?1 ? bi 2? 2 ? ? ? bin? n (i ? 1,2,?, n) ， 时由于 B 可逆，即 A ? CB ，同理可知矩阵 A 的列向量组可用矩阵 C 的列向量组线性表示，所以矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价．应该选（B） ．
?1 a 1? ? 2 0 0? ? ? ? ? 6．矩阵 ? a b a ? 与矩阵 ? 0 b 0 ? 相似的充分必要条件是 ? 0 0 0? ?1 a 1? ? ? ? ?
（A） a ? 0, b ? 2 （C） a ? 2, b ? 0 （B） a ? 0 ， b 为任意常数 （D） a ? 2 ， b 为任意常数
? 2 0 0? ?1 a 1? ? 2 0 0? ? ? ? ? ? ? 【详解】注意矩阵 ? 0 b 0 ? 是对角矩阵，所以矩阵 A= ? a b a ? 与矩阵 ? 0 b 0 ? 相似的充分必要 ? 0 0 0? ? 0 0 0? ?1 a 1? ? ? ? ? ? ?
条件是两个矩阵的特征值对应相等．
? ?1 ?E ? A ? ? a
?1 ? a ? ?? (?2 ? (b ? 2)? ? 2b ? 2a 2 ) ? ?1
2 从而可知 2b ? 2a ? 2b ，即 a ? 0 ， b 为任意常数，故选择（B） ．
7．设 X 1 , X 2 , X 3 是随机变量，且 X1 ~ N (0,1), X 2 ~ N (0,22 ), X 3 ~ N (5,32 ) ， P ? P?? 2 ? X i ? 2?，则 i （A） P ? P2 ? P3 1 （C） P3 ? P2 ? P 1 【详解】若 X ~ N (? ,? 2 ) ，则 （B） P2 ? P ? P 1 3 （D） P ? P3 ? P2 1
X ? ? P ? 2?(2) ? 1， P2 ? P?? 2 ? X 2 ? 2? ? P?? 1 ? 2 ? 1? ? 2?(1) ? 1 ， 1 2 ? ? ?? 2 ? 5 X 3 ? 5 2 ? 5? ? 7? ?7? P3 ? P?? 2 ? X 3 ? 2? ? P? ? ? ? ? ?(?1) ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??1)? ， 3 3 ? ? 3? ?3? ? 3 ?7? P3 ? P2 ? 1 ? ?? ? ? 3?(1) ? 2 ? 3?(1) ? 0 ． ?3?
故选择（A） ． 8．设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 X 和 Y 的概率分布分别为 X P Y P 则 P?X ? Y ? 2? ? （ （A） ） （B） 0 1/2 -1 1/3 1 1/4 0 1/3 2 1/8 1 1/3 3P 1/8
1 2 1 1 1 1 ? ? ? ， 12 24 24 6
【详解】 P?X ? Y ? 2? ? P?X ? 1, Y ? 1? ? P?X ? 2, Y ? 0? ? P?X ? 3, Y ? ?1? ? 故选择（C） ．
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
2 9．设曲线 y ? f (x) 和 y ? x ? x 在点 ?1,0? 处有切线，则 lim nf ?
? n ? ?? ? n ? 2?
【详解】由条件可知 f ?1? ? 0, f ' (1) ? 1．所以
?2 ? ? f ?1 ? ? ? f (1) ? n ? ? n? 2? lim nf ? ? ?2 f ' (1) ? ?2 ? ? lim n ?? ?2 n?2 ? n ? 2 ? n ?? ? n ? 2 ? 2n
10．设函数 z ? z ?x, y ? 是由方程 ?z ? y ? ? xy 确定，则
?z | (1, 2 ) ? ?x
【详解】 设 F ?x, y, z ? ? ( z ? y) x ? xy ，则 Fx ?x, y, z ? ? ( z ? y) x ln(z ? y) ? y, Fz ( x, y, z) ? x( z ? y) x?1 ， 当 x ? 1, y ? 2 时， z ? 0 ，所以
?z |(1, 2 ) ? 2 ? 2 ln 2 ． ?x
ln x dx ? (1 ? x) 2
?? ?? ln x 1 ln x ?? 1 x ?? d x ? ?? ln xd ?? |1 ? ? dx ? ln |1 ? ln 2 2 1 1 1? x 1? x x(1 ? x) x ?1 (1 ? x)
12．微分方程 y ?? ? y ? ?
1 y ? 0 的通解为 4
【详解】方程的特征方程为 ? ? ? ?
1 1 ? 0 ， 两 个 特 征 根 分 别 为 ?1 ? ? 2 ? ， 所 以 方 程 通 解 为 4 2
y ? (C1 ? C2 x)e
x 2 ，其中
C1 ,C2 为任意常数．
13 ． 设 A ? aij 是 三 阶 非 零 矩 阵 ， A 为 其 行 列 式 ， Aij 为 元 素 aij 的 代 数 余 子 式 ， 且 满 足
Aij ? aij ? 0(i, j ? 1,2,3) ，则 A =
【详解】由条件 Aij ? aij ? 0(i, j ? 1,2,3) 可知 A ? A * ? 0 ，其中 A * 为 A 的伴随矩阵，从而可知
A * ? A* ? A
? ? A ，所以 A 可能为 ? 1 或 0．
?n, r ( A) ? n ? T 但由结论 r ( A ) ? ?1, r ( A) ? n ? 1 可知， A ? A * ? 0 可知 r ( A) ? r ( A*) ,伴随矩阵的秩只能为 3，所以 ?0, r ( A) ? n ? 1 ?
14．设随机变量 X 服从标准正分布 X ~ N (0,1) ，则 E Xe2 X ? 【详解】
( x ?2) 2 ?2 2
( x ? 2 ? 2)e
( x ?2) 2 2
t t ? ?? ? e 2 ? ?? ? 2 ? ? te dt ? 2? e 2 dt ? ? e 2 E ( X ) ? 2e 2 ? 2e 2 ． ? ?? ?? ? 2? ? ? ?
所以为 2e ．
三、解答题
15． （本题满分 10 分）
n 当 x ? 0 时， 1 ? cos x cos 2 x cos 3 x 与 ax 是等价无穷小，求常数 a, n ．
【分析】主要是考查 x ? 0 时常见函数的马克劳林展开式． 【 详 解 】 当 x ? 0 时 ， cos x ? 1 ?
1 2 1 x ? o( x 2 ) ， cos 2 x ? 1 ? (2 x) 2 ? o( x 2 ) ? 1 ? 2 x 2 ? o( x 2 ) ， 2 2
1 9 cos 3 x ? 1 ? (3 x) 2 ? o( x 2 ) ? 1 ? x 2 ? o( x 2 ) ， 2 2 1 2 9 2 2 2 2 2 2 2 所以 1 ? cos x cos 2 x cos 3x ? 1 ? (1 ? x ? o( x ))(1 ? 2 x ? o( x ))(1 ? x ? o( x )) ? 7 x ? o( x ) ， 2 2
n 由于 1 ? cos x cos 2 x cos 3 x 与 ax 是等价无穷小，所以 a ? 7, n ? 2 ．
16． （本题满分 10 分） 设 D 是由曲线 y ?
直线 x ? a (a ? 0) 及 x 轴所转成的平面图形，Vx ,Vy 分别是 D 绕 x 轴和 y 轴旋转 x，
一周所形成的立体的体积，若 10 x ? Vy ，求 a 的值． V 【详解】由微元法可知
Vx ? ? ? y dx ? ? ?
3 x dx ? a 3 ? ； 5
V y ? 2? ? xf ( x)dx ? 2? ?
6 x dx ? a 3 ? ； 7
由条件 10 x ? Vy ，知 a ? 7 7 ． V 17． （本题满分 10 分） 设平面区域 D 是由曲线 x ? 3 y, y ? 3x, x ? y ? 8 所围成，求 【详解】
2 2 2 2 2 ?? x dxdy ? ?? x dxdy ? ?? x dxdy ? ? x dx?x dy ? ? x dx?x dy ? 0 D D1 D2 3 2 3 2 3x 6 8?x
?? x dxdy．
Q , （P 是单价，单 1000
18． （本题满分 10 分） 设生产某产品的固定成本为 6000 元，可变成本为 20 元/件，价格函数为 P ? 60 ? 位：元，Q 是销量，单位：件） ，已知产销平衡，求： （1）该的边际利润． （2）当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义． （3）使得利润最大的定价 P． 【详解】 （1）设利润为 y ，则 y ? PQ ? (6000? 20Q) ? 40Q ?
Q2 ? 6000， 1000
边际利润为 y ' ? 40 ?
（2）当 P=50 时，Q=10000，边际利润为 20． 经济意义为：当 P=50 时，销量每增加一个，利润增加 20． （3）令 y'? 0 ，得 Q ? 20000 , P ? 60 ? 19． （本题满分 10 分） 设函数 f ?x ? 在 [0,??) 上可导， f ?0? ? 0 ，且 lim f ( x ) ? 2 ，证明
20000 ? 40. ? 10000
（1）存在 a ? 0 ，使得 f ?a ? ? 1; （2）对（1）中的 a ，存在 ? ? (0, a) ，使得 f ' (? ) ? 【详解】 证明（1）由于 lim f ( x ) ? 2 ，所以存在 X ? 0 ，当 x ? X 时，有
1 ． a 3 5 ? f ( x) ? ， 2 2
又由于 f ?x ? 在 [0,??) 上连续，且 f ?0? ? 0 ，由介值定理，存在 a ? 0 ，使得 f ?a ? ? 1; （2）函数 f ?x ? 在 [0, a ] 上可导，由拉格朗日中值定理， 存在 ? ? (0, a) ，使得 f ' (? ) ? 20． （本题满分 11 分） 设A?? ?
f (a) ? f (0) 1 ? ． a a
?1 a ? ? 0 1? ?, B ? ? ? ? 1 b ? ，问当 a, b 为何值时，存在矩阵 C，使得 AC ? CA ? B ，并求出所有矩阵 C． ? ?1 0 ? ? ?
【详解】 显然由 AC ? CA ? B 可知，如果 C 存在，则必须是 2 阶的方阵．设 C ? ? ?x ? 3 则 AC ? CA ? B 变形为 ? ?
x2 ? ?， x4 ? ?
? ? x2 ? ax3 ? x1 ? x3 ? x4
? ax1 ? x2 ? ax4 ? ? 0 1 ? ??? ? ? ?1 b? ， x2 ? ax3 ? ? ?
?? x2 ? ax3 ? 0 ?? ax ? x ? ax ? 1 ? 1 2 4 即得到线性方程组 ? ，要使 C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩 ? x1 ? x3 ? x4 ? 1 ? x2 ? ax3 ? b ?
阵进行初等行变换如下
0 ? 0 ?1 a ? ?a 1 0 a ? A | b? ? ? ? 1 0 ?1 ?1 ? ? 0 1 ?a 0 ?
0? ?1 ? ? 1? ?0 ? 1? ?0 ? ? b? ?0 ? ?
0 ?1 ?1 1 ? ? 1 ?a 0 0 ? ， 0 0 0 1? a? ? 0 0 0 b ? ?
所以，当 a ? ?1, b ? 0 时，线性方程组有解，即存在矩阵 C，使得 AC ? CA ? B ．
?1 ? ?0 此时， ? A | b ? ? ? 0 ? ?0 ?
0 ?1 ?1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
1? ? 0? ， 0? ? 0? ?
? x1 ? ? 1 ? ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x2 ? ? 0 ? ? ? 1? ? 0? 所以方程组的通解为 x ? ? ? ? ? ? ? C1 ? ? ? C 2 ? ? ，也就是满足 AC ? CA ? B 的矩阵 C 为 x 0 1 0 ? 3? ? ? ? ? ? ? ?0? ?1? ? x ? ? 0? ? ? ? ? ? 4? ? ?
?1 ? C1 ? C 2 C ?? ? C1 ? ? C1 ? ? ，其中 C1 ,C2 为任意常数． C2 ? ?
21． （本题满分 11 分）
? a1 ? ? b1 ? ? ? ? ? 设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? 2(a1 x1 ? a2 x2 ? a3 x3 ) ? (b1 x1 ? b2 x2 ? b3 x3 ) ．记 ? ? ? a 2 ?, ? ? ? b2 ? ． ?a ? ?b ? ? 3? ? 3?
（1）证明二次型 f 对应的矩阵为 2?? T ? ?? T ；
2 2 （2）若 ? , ? 正交且为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2 y1 ? y 2 ．
【详解】证明： （1）
f ( x1 , x2 , x3 ) ? 2(a1 x1 ? a 2 x2 ? a3 x3 ) 2 ? (b1 x1 ? b2 x2 ? b3 x3 ) 2 ? a1 ? ? x1 ? ? b1 ? ? x1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? x1 , x2 , x3 ?? a 2 ??a1 , a 2 , a3 ?? x2 ? ? ? x1 , x2 , x3 ?? b2 ??b1 , b2 , b3 ?? x2 ? ?a ? ?x ? ?b ? ?x ? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ? x1 ? ? ? ? ? x1 , x2 , x3 ? 2?? T ? x2 ? ? ? x1 , x2 , x3 ? ? ? T ?x ? ? 3?
? x1 ? ? ? ? x2 ? ?x ? ? 3?
? x1 ? ? ? ? ? x1 , x2 , x3 ? 2?? T ? ? ? T ? x2 ? ?x ? ? 3?
T T 所以二次型 f 对应的矩阵为 2?? ? ?? ．
证明（2）设 A ? 2?? ? ?? ，由于 ? ? 1, ?
T T 则 A? ? 2?? ? ?? ? ? 2? ?
? ?? T ? ? 2? ，所以 ? 为矩阵对应特征值 ?1 ? 2 的特征向量；
A? ? 2?? T ? ?? T ? ? 2?? T ? ? ? ?
? ? ，所以 ? 为矩阵对应特征值 ?2 ? 1 的特征向量；
而矩阵 A 的秩 r ( A) ? r (2?? T ? ?? T ) ? r (2?? T ) ? r (?? T ) ? 2 ，所以 ?3 ? 0 也是矩阵的一个特征值．
2 2 故 f 在正交变换下的标准形为 2 y1 ? y 2 ．
22． （本题满分 11 分）
?3 x 2 ,0 ? x ? 1 设 ? X , Y ? 是二维随机变量，X 的边缘概率密度为 f X ( x ) ? ? ，在给定 X ? x(0 ? x ? 1) 的条 ?0, 其他
?3 y 2 ,0 ? y ? x, ? 件下，Y 的条件概率密度为 f Y ( y / x) ? ? x 3 ． X ?0, 其他 ?
（1）求 ? X , Y ? 的联合概率密度 f ? x, y ? ； （2）Y 的的边缘概率密度 f Y ( y) ． 【详解】 （1） ? X , Y ? 的联合概率密度 f ? x, y ? ：
?9 y 2 ,0 ? x ? 1,0 ? y ? x ? f ?x, y ? ? f Y ( y / x) ? f X ( x) ? ? x X ? 0, 其他 ?
（2）Y 的的边缘概率密度 f Y ( y) ：
f Y ( y) ? ?
? 1 9y2 dx ? ?9 y 2 ln y,0 ? y ? 1 ? f ( x, y)dx ? ??y x ? 0, 其他 ?
23． （本题满分 11 分）
?? 2 ?? ? e x,x ? 0 设总体 X 的概率密度为 f (? ) ? ? x 3 ，其中 ? 为为未知参数且大于零， X 1 X 2 ,? X n 为来自 ? 0, 其他 ?
总体 X 的简单随机样本． （1）求 ? 的矩估计量； （2）求 ? 的极大似然估计量． 【详解】 （1）先求出总体的数学期望 E（X）
E ( X ) ? ? xf ( x)dx ? ?
e x dx ? ? ，
令 E( X ) ? X ?
? 1 n 1 n X i ，得 ? 的矩估计量 ? ? X ? ? X i ． ? n n?1 n i ?1
（2）当 xi ? 0(i ? 1,2,?n) 时，似然函数为
?? 2 ?? L(? ) ? ? ? 3 e xi ? i ?1 ? xi
2n ?? ? ? ? ? ? x ? ?? ? e ? i ?1 i ? ， 3 ? ? n ? ? ? x? ?? i ? ? i ?1 ?
取对数， ln L(? ) ? 2n ln ? ? ? ? ?
n 1? ? ? 3? ln xi ， ? i ?1 i ?
d ln L(? ) 2n n 1 ? 0 ，得 ?? ? 0 ， d? ? i ?1 xi
解得 ? 的极大似然估计量为 ? ?
2n ． 1 ?X i ?1 i
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