（2014o柳州）已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（-1，5/4），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）求该二次函数的解析式．（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在-1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范围；（不必说明理由）（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．（注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）附：阅读材料 任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比． 即：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2， 则：x1+x2=-b/a，x1ox2=c/a 能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单． 例：不解方程，求方程x2-3x=15两根的和与积． 解：原方程变为：x2-3x-15=0∵一元二次方程的根与系数有关系：x1+x2=-b/a，x1ox2=c/a∴原方程两根之和=--3/1=3，两根之积=-15/1=-15．
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（2014o柳州）已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（-1，54），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）求该二次函数的解析式．（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在-1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范围；（不必说明理由）（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．（注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）附：阅读材料&& 任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．&& 即：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，&& 则：x1+x2=-ba，x1ox2=ca&& 能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．&& 例：不解方程，求方程x2-3x=15两根的和与积．&& 解：原方程变为：x2-3x-15=0∵一元二次方程的根与系数有关系：x1+x2=-ba，x1ox2=ca∴原方程两根之和=--31=3，两根之积=-151=-15．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2014-柳州
分析与解答
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习题“（2014o柳州）已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（-1，5/4），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）求该二次函数的解析式．（...”的分析与解答如下所示：
（1）设二次函数解析式为y=ax2+1，由于点（-1，54）在二次函数图象上，把该点的坐标代入y=ax2+1，即可求出a，从而求出二次函数的解析式．（2）先分别求出x=-1，x=0，x=3时y的值，然后结合图象就可得到y的取值范围．（3）由于△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，因此GP平分∠AGB．过点A作GP的对称点A′，则点A′必在BG上．由于点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y=kx+2上，从而可以得到点A的坐标为（x1，kx1+2）、A′的坐标为（-x1，kx1+2）、B的坐标为（x2，kx2+2）．设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）．由于点A′（-x1，kx1+2）、B（x2，kx2+2）在直线BG上，可用含有k、x1、x2的代数式表示n．由于A、B是直线y=kx+2与抛物线y=14x2+1的交点，由根与系数的关系可得：x1+x2=4k，x1ox2=-4．从而求出n=0，即可证出：在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．由S△ABG=S△APG+S△BPG，可以得到S△ABG=x2-x1=√(x2+x1)2-4x1x2=4√k2+1，所以当k=0时，S△ABG最小，最小值为4．
（1）解：由于二次函数图象的顶点坐标为（0，1），因此二次函数的解析式可设为y=ax2+1．∵抛物线y=ax2+1过点（-1，54），∴54=a+1．解得：a=14．∴二次函数的解析式为：y=14x2+1．（2）解：当x=-1时，y=54，当x=0时，y=1，当x=3时，y=14×32+1=134，结合图1可得：当-1＜x＜3时，y的取值范围是1≤y＜134．（3）①证明：∵△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，∴GP平分∠AGB．∴直线GP是∠AGB的对称轴．过点A作GP的对称点A′，如图2，则点A′一定在BG上．∵点A的坐标为（x1，y1），∴点A′的坐标为（-x1，y1）．∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y=kx+2上，∴y1=kx1+2，y2=kx2+2．∴点A′的坐标为（-x1，kx1+2）、点B的坐标为（x2，kx2+2）．设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）．∵点A′（-x1，kx1+2）、B（x2，kx2+2）在直线BG上，∴{-x1m+n=kx1+2x2m+n=kx2+2．解得：{m=k(x2-x1)x2+x1n=2kx1x2x2+x1+2．∵A（x1，y1），B（x2，y2）是直线y=kx+2与抛物线y=14x2+1的交点，∴x1、x2是方程kx+2=14x2+1即x2-4kx-4=0的两个实数根．∴由根与系数的关系可得；x1+x2=4k，x1ox2=-4．∴n=2k×(-4)4k+2=-2+2=0．∴点G的坐标为（0，0）．∴在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．②解：过点A作AC⊥OP，垂足为C，过点B作BD⊥OP，垂足为D，如图2，∵直线y=kx+2与y轴相交于点P，∴点P的坐标为（0，2）．∴PG=2．∴S△ABG=S△APG+S△BPG=12PGoAC+12PGoBD=12PGo（AC+BD）=12×2×（-x1+x2）=x2-x1=√(x2+x1)2-4x1x2=√(4k)2-4×(-4)=√16(k2+1)=4√k2+1．∴当k=0时，S△ABG最小，最小值为4．∴△GAB面积的最小值为4．
本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、二次函数的图象、三角形的内切圆、根与系数的关系、完全平方公式等知识，综合性比较强，有一定的难度．
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（2014o柳州）已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（-1，5/4），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）求该二次函数的...
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与“（2014o柳州）已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（-1，5/4），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）求该二次函数的解析式．（...”相似的题目：
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该知识点易错题
1（2012o南浔区二模）如图，点A（a，b）是抛物线y=12x2上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=-bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（　　）
2（2012o静海县二模）如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　）
3如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x&…&-3&-2&1&2&…&y&…&-52&-4&-52&0&…&（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．
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