学过微积分的，有几个人在工作用过。
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强国社区-人民网微积分的本质
今天一早醒来脑子不由自主在想一件事情：微积分的本质是什么？我现在有一个很深刻的感受就是，大学的数学教育并没有教会学生融会贯通，学生对各个学科之间的联系缺乏深刻的认识（也许一些老师也没能做到）。其实没有一门数学学科是孤立的，很多相同的数学思想是存在于很多不同的科目中的，如果能把握这一点，学习就会变的轻松，也更能体会数学的博大精深。微积分作为一门基础学科总是被放在大学数学教育的最开始，同时学生会学线性代数，这两门课是作为独立的科目教授的。然后到了大二或大三学生才学常微分方程。我想说：微分的本质是线性代数中的一个很重要的概念，就是线性变换；积分的本质是对一个常微分方程求解。首先来看什么是微分，也就是求导。令 y=f(x), 那么 f'(x)=dy/dx 做的事情就是求 y=f(x) 这条曲线在定义域内的斜率，于是我们就得到另一条曲线。这其实是一种变换，变换一条曲线到另一条曲线。美妙的是，这种变换是线性的。假设我给你两条曲线 y=f(x), z=g(x), 那么不论是先把他们叠加再求微分，还是先各自求微分再相加，得到的曲线都是一样的。这就是所谓的线性变换。而这个概念我们其实是在线性代数才学到的，讲的是把一个矩阵乘以一个向量v，得到一个新向量Av这件事情是线性变换。举例来说，在二维平面，我们可以把一个向量旋转来得到一个新的向量。旋转是线性的，因为给定两个向量u，v，不管是先把它们叠加再旋转，还是各自旋转再叠加，得到的结果是一样的。我建议大家画个图来演示一下，印象会很深刻。虽然证明很简单，只是A（u+v）=Au +Av就够了，但是旋转是线性的这件事情并不是一目了然的，只有通过几何才能形象的体会。再来看什么是积分（这里我指的是不定积分）。地球人都知道函数 f(x)=x 的积分是 y=1/2x^2 + c, 这里c是不确定的常数。大家知道微分和积分是逆运算关系，在这里我们把 y=1/2x^2 + c 求导就回到了 y'=x。这个逆运算的关系是对所有函数都成立的，这就是微积分基本定理（第一部分）。不过我关心的问题是，为什么积分会产生一个常数 c 呢？其实在积分的时候大家是在解一个常微分方程，也就是 y'=x，这个常微分方程是一次的（1st order），要解决这个问题我们还须知道一个初始条件，或是边界条件，这就是常数 c 会存在的根本原因。由此看来，我们在学习常微分方程的时候，并没有在学新知识，而只是一种知识的拓展，我们考虑的微分方程更复杂了，但是本质上跟积分没有区别。老师常会把定积分和不定积分混为一谈，其实这两件事情的本质是截然不同的。但是伟大的数学家们早就做了很多努力去研究他们，最终发现定积分就是不定积分在定义域边界的函数值的差。这就是我们常用的微积分基本定理（第二部分）。牛顿在发展微积分的初期是为了解决天体力学中的问题，而这些问题在数学上都是微分方程，虽然那个时候还没有微分方程的概念，但问题本质是一样的。我觉得我们在学习数学的时候应该学会去联系不同学科的关系，以及各个学科背后的历史，数学各个分支不应该有绝对的界限，只有融会贯通的学习才能帮助我们真正的掌握数学，这样才能熟练的应用数学来理解这个复杂的世界。&后记：关于微积分基本定理（第一部分），我发现维基百科【1】的描述是有局限性，它对反导数（也就是不定积分）的定义是对 f(t) 从未知数 a 到 x 的定积分。但实际上应该加一个常数 c。有人会说 a 不就包含了 c 么，其实不然。在某些情况下，这种表达有局限性。比如零函数 f(t) = 0, 任何定积分都是零函数本身，所以我们需要再加一个常数 c 来涵盖这类例子。有兴趣的朋友可以参考 Courant 【2】在《微积分和数学分析引论》第一卷 1...
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