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本文主要研究一维自旋链体系中一个经典模型：一维自旋一1／2xxz模型，
研究了受限的一维自旋一1／2XXZ模型的基态性质。本文利用局域密度近似和密
度泛函理论方法给出了受限一维自旋一1／2xxz模型基态密度分布。
第一章我们介绍了本文的研究背景，包括玻色一爱因斯坦凝聚实现以后冷原
子物理的发展，特别是晶格模型的实现，为一维强关联体系的研究提供了实验
平台，同时介绍了数值求解一维自旋链体系的一些方法，比如Bethe-Ansatz方
法，基于精确Bethe-Ansata方法的局域密度近似方法、密度泛函理论、密度矩阵
重整化群等等。
换转化为无自旋费米子模型。
第三章我们介绍了一维自旋链体系的一个经典模型：一维XXZ模型，并
能和化学势，以及体系的交换关联势。
第四章我们利用局域密度近似方法，讨论了谐振势中一维无自旋费米子
的密度分布，我们定义了一个无量纲的粒子数密度声：=Ⅳr、／K／t和相互作用强
度仳=y／t，并给出了西一U相图，我们在相图中发现体系可以分为五个相：A为
金属相、B为金属一绝缘相混合相、C为金属绝缘混合相且金属相在中间、D为
混合的金属绝缘相和Band绝缘体相、E为金属相和Band绝缘体混合相，我们
还求解了体系的热力学硬度&，并通过求解热力学硬度，在＆一Ⅳf图中准确
的反映了体系在外场作用下的相变过程。当系统比较小，相互作用不太强时，
采用LDA计算系统性质往往能得到比较好的结果，而且我们发现局域密度近
似下的结果和密度矩阵重整化群的结果能够很好的相符。同时我们用基于精
确Bethe-Ansatz的密度泛函理论研究了该模型，并与局域密度近似结果以及密
度矩阵重整化群的结果进行了对比研究，我们发现在相互作用不太强，且相互
作用乱&0时，两者可以很好的相符。
第五章数值求解了外场中的一维自旋一1／2XXZ模型，给出了外场中一维自
旋一1／2XXZ模型的密度分布，与第四章进行对比研究。并用密度矩阵重整化群
的结果进行对比研究。
第六章为全文的总结以及展望。
一维自旋链的研究
我们发现基于精确Bethe—Ansatz解的局域密度近似可以与精确结果很好的
相符，并且能够很好的反映系统的基本性质。在这方面，与其他的数值方法相
比，LDA在描述系统的基本性质方面具有计算时间短，没有尺寸大小的限制等
关键词：一维晶格体系；密度泛函理论；局域密度近似；自旋一1／2)o(Z模型；
oftheone-dimensionalchain
paper，theground-stateproperty
isstudied．Weanumerical
studybyusing densityapprox-
functional
imation(LDA)anddensity
theory(DFT)basedanalytical
Bethe—Ansatzsolution．Wethe
studydensityprofile ground-state．
introducethe
chapterl，we
backgroundarticle，including
physics，especiallyimplementationoptical
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三带Hubbard模型中环形电流相的量子蒙特卡罗模拟
Ｓ ｐ ｒｏ ｄ ｃｉｉ 　 ｕ ｅｃ ｎ ｕ ｔ ｔ ｖｙ
Ｖ 维普资讯 Ｎ ．　 ｏ ３　
１ ５ ｏ４ ．
三带 Ｈ ｂａｄ模 型 中环 形 电流 相 的量 子 蒙特 卡 罗模 拟　 ｕｂｒ 任志儒　 （ 徐州师范大学 物理 系 ， 徐州 ２ １１ ） ２ １６　
摘要 ： 运用约束路径 量子蒙特卡罗方法 ， 二维 、 对 三带 Ｈ ｂａ 模 型中的环形 电流相进行 数值模拟 。在 数值模拟过程 中定　 ｕｂｒ ｄ 义 了表征环流相的不 同算符及其关联函数 ， 并且选用合理的模 型 Ｈｍｌｎ ｎ ａ ｉ ｉ 量中的参数 。通过模拟发现 ， ｔ ａ ｏ 对应于闭合 环形 的 　 关联 函数在相同距离上要 比其他所有没有闭合的关联函数大得多 ，因此证 明在 三带 Ｈ ｂａｄ模型 中存在环形电流相 。 ｕ ｂｒ 　 关键词 ： ｂｂｒ Ｈｕ ａｄ模型 ； 环形电流相 ； 量子蒙特卡罗模拟　
Ｑ ａ ｔｍ　 ｎｅＣ ｒ 　 ｍｕａｉｎ ｏ　 ｅｃｒｕａ ｎ 　ｕ ｒｎ　 ｈ ｓｓｉ　 ｅＴ ｒｅ―Ｂ ｎ 　 ｂ ａｄＭｏ ｅ ｕ ｎｕ Ｍｏ ｔ ａｌ ｓ ｌｔ 　ｆ ｈ 　ｉ ｌｔ ｇｃ ｒｅ ｔ ａｅ　 ｔ 　 ｈ ｅ 　 ｏｉ ｏ ｔ ｃ ｉ ｐ ｎ ｈ ａ ｄ Ｈｕ ｂ ｒ 　 ｄ ｌ 　 Ｒｅ 　 ｈｒ 　 ｎＺ ｉ ｕ
（ ｅａｔ ｎ　ｆ ｈ ｓ ｓ Ｘ ｚ ｕＮ ｒ ｌ ｎｖｒｔ，Ｘ ｚｏ　２　 ６ ｈｎ ） Ｄ ｐｒ ｔ 　 ｙｉ ， ｕｈ 　 ｏｍａ Ｕ ｉ ｓｙ ｕｈｕ２ １　 ，Ｃ ｉａ　 ｍｅ ｏ Ｐ ｃ ｅ 　 ｅｉ １ １
Ａ ｓ ａｔ Ｔ ｅｃ ｃｌ ｎ　ｕｒ ｔ ｈｓｓｎｔｅｔｏ―ｄ ｎｉ ａ ｔｒ ｂｎ 　 ｕ ｂｒ　 ｄｌ ａｅｂｅ　ｔ ｉ 　ｕ ｅｉ ｌ 　ｙ ｐ ｌ 　 ｂｔ ｃ： ｈ　ｉ ｕ ｔ ｇｃｒ ｎ　 ａｅ　 　 　 ｒ ｒ ａ ｉ ｅ ｐ ｉｈ ｗ ｉ ｓ ｎ ｌｈｅ ｍｅ ｏ 　 ｅ― ａｄＨ ａ ｍｏｅ ｈｖ　ｅｎｓ ｄｅ ｎ ｍ ｒ ａ ｙ 　 ｐ － ｂ ｄ 　 ｕ ｄ ｃ ｌｂ ａ ｙ ｉｇ ｔ ｅ ｃ ｎ ｔ ｉ ｅ ｎ 　 　 ｏ ｓ ａ ｎ ｄ―ｐ ｔ 　 ｕ ｎ ｕ Ｍｏ ｔ　 ａｌ 　 ｔ ｏ ．Ｖａ ｉｕ 　 ｐ ｒ ｔｒ　 ｈ ｒ ｃｅ ｚｎ 　ｈ 　 ｉ ｕ ａｉ ｇ ｃ ｒｅ ｔｐ ａ ｅ 　 ｒ 　ｎ ｒ ｄ ｃ ｄ ａ ｄ ｈ ｒ ａ ｑ ａ ｔｍ　 ｎ ｅ Ｃ ｒ ｍｅ ｄ ｈ ｏ ｈ ｒｏ ｓ ｏ ｅ ａｏ ｃ ａ ａ ｔｒ ｉｇ ｔ ｅ ｃ ｒｌ ｔ 　 ｕ ｒｎ 　 ｈ ｓ ｓ ａｅ ｉｔｏ ｕ ｅ 　 ｎ 　 ｓ ｉ ｃ ｎ
ｈ 　 ｏ ｒ ａｉ 　ｕ ｃ ｏ ｓ ｏ ｈ ｓ 　 ｐ ｒ ｔｒ ａ ｅ ｎ ｔｅ ｃ ｒ ｌｔ ｎ ｆ ｎ ｔ ｎ 　ｆｔ ｏ ｅ ｏ ｅ ａｏ 　 ｒ 　 ｕ ｅ ｃ ｌｙ ｃ ｍｐ ｔ ｄ ｅ ｏ ｉ ｓ ｍ ｒ ａｌ 　 ｏ ｕ ｅ ．Ｗ ｅ ｈ ｖ 　ｏ ｎ 　 ａ ，ｗ ｔ ｉ 　 ｅ ｐ ｙ ｉ ａ　ａ ｇ ｓ ｏ ｈ ｅ ｍｏ ｅ　 ａ ａ ￣ ｉ 　 ａ ｅ ｆ ｕ ｄ ｔ ｔ ｉ ｎ ｔ 　 ｈ ｓｃ ｌｒ ｎ ｅ 　 ｆｔ 　 ｄ ｌｐ ｒｍｃ 　 ｈ ｈ ｈ ｔｒ ，ｔｅ ｃ ｒｅ ａ ｏ ｕ ｃ ｏ ｓｏ ｈ ｌ　 ｏ ｐ ｎ ｓｇｖｎ 　 ｓ Ｏｃ ｏ ｅ 　 ｕ ｒ ｎ ｆ ｗ ｐ ｔ ｒ ｓｉ ｈ ｅｃｒ ｕ ａ ｎ
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研究室本科生科研项目获得大创资助
审核人：张洁
近日，第十一届大学生创新创业训练计划项目评审结果公布，研究室李伟老师（副教授）指导的本科生科研项目“临界统计模型共形对称性的张量网络研究”；李伟老师（副教授）和郭怀明老师（副教授）指导的本科生科研项目“贝特晶格（Bethe lattice）费米子模型研究”获“大创”项目资助，向获批项目的老师及同学表示热烈的祝贺！ & & & & & & & &
李伟老师指导的科研项目“临界统计模型共形对称性的张量网络研究”，主要负责人为王昊昕。 & & & &
研究室最近的研究表明，不可定向流形上的统计模型在临界点的性质可能反应出模型对应CFT的特性，比如中心荷(Central Charge), 量子维度(Quantum Dimension). 本项研究的目的是通过张量网络算法，计算二维经典模型(比如Ising model, Potts model)的共形对称性的特征。起源于粗粒化重整化（Coarse-graining Renormalization Group）的二维张量网络算法提供了高精度的手段来有效模拟人们十分关心的强关联电子系统，包括前沿的量子磁性材料，也是解决高温超导机制的可能的手段。通常情况下两维有限尺寸系统的统计模型(2D finite-size classical statistical model)基于张量网络(tensor network)的计算也可以做到高精度和高效的要求。
共形场理论(Conformal Field Theory, CFT)已经广泛应用在弦理论、统计物理、凝聚态物理等诸多方面。例如：弦的世界面(Worldsheet)所构成的黎曼面由二维共形场论来刻画；统计模型中的临界点或新奇量子物态中的临界自旋液体物态通常可以由CFT来描述。从数学上来讲，可定向性是刻画欧几里得空间中流形上每一点法向量方向一致性的特征。不可定向流形存在子集同胚于莫比乌斯带，比如克莱因瓶或Cross cap.
二维不可定向流形上经典模型统计性质的张量网络计算方法是项目的特色。传统平均场近似不能很好的刻画临界性质，而强关联电子领域的其他重要工具如蒙特卡洛方法是不能得到高精度(10-8以上)的计算而很难完成这样的工作，因此我们采取高精度的张量网络重整化群方法来开展研究。另一方面，常规方法中没有考虑过不可定向流形上的张量网络收缩方法。因此算法的设计是项目的重要创新点，富有创新意义。 & & & &
李伟老师和郭怀明老师指导的科研项目“贝特晶格（Bethe lattice）费米子模型研究”，主要负责人为屈代维，参与人员为王昊。 & & & &
贝特晶格（Bethe lattice）由Hans Bethe于1935年引入，可以看做一种特殊的凯莱图（Cayley graph）。由某一点引出若干枝，每个枝的端点又引出固定数量的枝，如此重复，使得每个节点上都有相同数量的枝，即得到了连通、不成环且自相似的无限有根树结构，此即为贝特晶格【图1】。贝特晶格是可以做有效模拟，得到的量子态可以视为两维晶格对应模型上量子态的低纠缠近似。
主要研究贝特格子上的无自旋费米子t-V 模型，或费米子Hubbard模型的基态相图及其低温热力学性质。将特别关注无阻错的配位数z=3贝特格子，以及阻措Husimi格子【图2】上的费米子模型。 & & & &
科研项目有以下创新点： & & & & &
创新点1：对于两维晶格上对应模型的研究有重要的启迪 & & & &
由于贝特晶格上局域结构与一个两维格子的相似性，贝特晶格上量子多体系统的量子相图与两维晶格上对应模型的相图具有重要的类比性。例如，六角格子上海森堡模型与配位数为3的贝特晶格海森堡模型有完全相同的相图【图3】；kagome格子【图4】上海森堡模型的基态为自旋液体，对应贝特格子上也存在一无能隙的量子自旋液体态。
本研究关注贝特格子上的无自旋费米子t-V 模型，或费米子Hubbard模型的基态相图及其低温热力学性质。期待研究结果对两维晶格费米子模型这一凝聚态物理的“圣杯”问题的最终解决能起到有重要的启迪作用。
创新点2：发展出考虑了费米子交换符号的张量网络
创新点3：量子蒙特卡洛模拟与张量网络互为补充 & & & &
研究中将采用张量网络重整化群和量子蒙特卡洛两种方法。张量网络重整化群是一种确定型的方法，而量子蒙特卡洛是一种随机型的方法，两种方法互为补充，互为佐证。 & & & &
研究室本科生科研项目获得大创资助，表明本课题组的研究受到了同行评议人的肯定，所获得的资助将极大推动课题组相关方向研究的开展及科研队伍的培养。
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