与抛物线焦点弦有关的几个结论_百度文库
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与抛物线焦点弦有关的几个结论
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与圆锥曲线焦点弦相关的一个优美结论
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椭圆焦点弦问题椭圆x^2/25+y^2/16=1,过P(3,0)的直线交椭圆于A,B,直线x=25/3与x轴交于C,比较角ACP和角BCP的大小,并证明.
达尔尼RiPb
当直线 AB 与 x 轴不重合时,设 AB 的方程为 x=my+3 ,代入椭圆方程得 (my+3)^2/25+y^2/16=1 ,化简得 (16m^2+25)y^2+96my-256=0 ,设 A（x1,y1）,B（x2,y2）,则 y1+y2= -96m/(16m^2+25) ,y1*y2= -256/(16m^2+25) ,因为 kAC=y1/(x1-25/3) ,kBC=y2/(x2-25/3) ,所以 kAC+kBC=y1/(x1-25/3)+y2/(x2-25/3)
=[y1*(x2-25/3)+y2*(x1-25/3)]/[(x1-25/3)(x2-25/3)]
=[y1*(my2+3-25/3)+y2*(my1+3-25/3)]/[(x1-25/3)(x2-25/3)]
=[2my1*y2-16/3*(y1+y2)]/[(x1-25/3)(x2-25/3)]
=[-512m/(16m^2+25)+512m/(16m^2+25)]/[(x1-25/3)(x2-25/3)]
=0因此直线 AC、BC 的倾斜角互补 ,那么 ∠ACP=∠BCP .
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浅析圆锥曲线焦点弦张角问题
中学数学研究２０１４年第１０期
、四ｎ￥∑。四
｜｜｝心＋矗朋＝２．｜｝朋；
口２一ｔ２
（３）当圆锥曲线Ｃ为抛物线时，设其方程为ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０），Ｆ（￡，０）（￡＞０），
——一ｔｆ
——一Ｚ￡
２后＂＝产
程为ｙ＝忌（搿
｛堑％，所以后蹦＋｜｜｝船：２矗胛；
——一ｆ￡
Ｚ：戈＝一ｆ，令尸（一￡，ｎ）（如图
②当直线Ａ阳的斜率存在时，设直线Ａ咫的方
①当直线船Ｄ的斜率不
一ｆ），代入冬
＋告＝１整理，得（６２＋
２ｔ口２七２６２
存在时，Ａ（ｔ，压Ｆ），Ｅ（￡，一
口２五２）髫２—２￡０２五２算＋０２２２后２一口２６２＝０，设４（石１，，，１），
压Ⅲ‰‰＝专孚＋告乎＝一号，
Ｅ（ｚ２，娩），贝４有菇１＋老２＝
堡ｉ滞，．．．戈：ｙ。＋戈，，，：：｜｜｝戈：（菇。一￡）＋．｜｝戈。（髫：一—１乒—ｉ＿矿，‘‘?戈２ｙｌ＋戈ｌ，，２
一孚，．．．Ｉｉ｝蹦＋Ｊｉ｝雎＝２‰
ｔ）＝Ｉ｜｝［２茁，ｘ：一ｔ（ｚ。＋并：）］＝后【２坚ｉ措一
２七戈２（菇ｌ一‘）＋后戈１（髫２一
２０２ｔ２后２６２＋ｎ２矗２
当直线Ａ朋的斜率存在时，设直线Ａ船的方
程为），＝．｜｝（ｘ—ｔ）（七≠０），与ｙ２＝和戈联立消去ｚ，整理得．｜｝髫２—２ｐｙ一砌‰＝０，设Ａ（戈。，ｙ。），Ｅ（ｚ２，ｙ：），
—２口２６２七一６２＋０２七２
“黑砌】＿
２口２￡２尼３—２口２６２后
６２＋口２忌２
，，，１＋托＝七（菇ｌ＋ｚ２—２ｔ）＝
２６２砘６２＋口２五２’
．‘．并２ｙｌ＋并Ｉ，，２
则有ｙ。＋），：＝孚，ｙ。），：＝一２ｐ。，．尼朋＋‰＝
ｚ２五（戈１一ｔ）＋戈ｌ忌（ｚ２一ｔ）＝２七龙ｌ算２一忌ｔ（ｚｌ＋ｘ２）＝
２０２ｆ２后３
—２口２６２后
６２＋口２后２—６２＋０２七２’
｝歹焉）＝
ｙ２～ｙｌｙ２
＋２ｐ￡２ｐ?
＋赫）＝却（焉
）厂１ｙ２（ｙｌ—ｙ２）—２ｐｔ
￡“……Ｐ，
ｙ２（），１一ｎ）一），１（），２一ｎ）
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’．ｋｐＡ＋ｋＰＦ
），２一ｎ
＝罴＝鸶＝一孚，蚴朋＝
），１ｙ２
省＾一——
＝一号，所以后朋＋Ｊｉ｝雎＝２Ｊｉ｝，，．
￡２（戈２ｙｌ＋戈１），２）一口２￡（），ｌ＋ｙ２）一ｎ￡２（戈１＋菇２）＋２０２，ｌ￡
￡２戈ｌ戈２一ｆ口２（茗１＋并２）＋口４
综合（１）（２）（３），对任意圆锥曲线（焦点在菇
轴）Ｃ，均有矗删＋Ｊｊ｝船＝２Ｊｊ｝即，即直线朋，阿，咫的斜
率成等差数列（命题７成立）．
呈璺：堡！（垒：墨：±查：＝墨：！：２
一０２（０２一ｆ２）（０２后２＋６２一忌２￡２）
为，所以露甩＋后旭＝２ｋ．
［１］俣永锋．圆锥曲线的一个统一性质［Ｊ］．中学数学研究
（江西师大），２０１１（９）：２６—２７．
［２］俣永锋．圆锥曲线焦点弦的一个性质［Ｊ］．数学通讯（下
半月），２０１２（３）：２７—２８．
（２）当圆锥曲线ｃ为双曲线时，设其方程为％一各＝１（口＞ｏ，６＞ｏ），仿椭圆情形的证明，可得
浅析圆锥曲线焦点弦张角问题
江苏省丹阳高级中学
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（２１２３００）
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贡献者：得得的世界
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