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Guan Xungui
本文利用Pell方程,给出了不定方程12+22+…+n2/=n=m2*的一切正整数解.
关键词：不定方程&&&Pell方程&&&正整数解
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[外文期刊]&W. A. Campbell
《Mathematics in school》,
[外文期刊]&W. A. Campbell
《Mathematics in school》,
[外文期刊]&Derek Holton
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数学家Erdos的故事
数学家Erdos的故事来自: 海水未蓝(生命本来就是一束耀眼的花火) －－1－－ &&&& 一个数学家就是一台把咖啡转化为数学定理的机器。--P. Erdos Erdos()是当代最伟大的数学家之一，他一生中同485位合作者发表过1475篇数学论文，涉及数学的许多领域。下面的这些故事主要来自他的传记《数字情种》，当然也有一些从别处搜集来的故事。 &&&& 前面所引的那段话暗示了一天工作19个小时以上（在古稀之年依然如此）的Erdos对的依赖。1979年，他的朋友 Graham与Erdos打赌，只要他一个月之内不服用安非他明，Graham就输给他500美元。Erdos成功地赢得了这次打赌，但他对Graham 说："你帮我证明了我不是一个瘾君子，但在这段时间内我一无所成。我早晨起来就盯着一张白纸发呆，毫无主意，跟普通人没有什么区别。你因此使数学的发展滞后了一个月。"所以他随后便重新开始服用兴奋剂。&&&－－2－－ SF创造我们就是为了拿我们的痛苦取乐，我们死得愈早，他的计划就愈早落空。--Erdos Erdos有一套他自己的语言。比如说，他称上帝为"SF"（Supreme Fascist，最大的法西斯份子），因为他总是折磨Erdos，藏起他的眼镜，偷走他的护照，甚至把持着各种古怪的数学问题的解答不让他发现。 Erdos并不敬畏上帝，死亡对于Erdos的唯一意义就是使他无法再进行数学研究，所以他经常说："在坟墓里有的是时间休息。" Erdos从事数学研究的方式很独特。他总是游历于世界各地的大学和研究所，登门拜访那里的数学家，向对方宣布："我的头脑敞开着。"然后他们便开始讨论数学问题，一连持续几天，直到双方都厌倦了为止。他从不在一个城市里连续呆上一个月，他的座右铭是："另一个屋顶，另一个证明。（Another roof, another proof.）"
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－－3－－ 出生的不幸是什么时候降临在你头上的？--Erdos 常用的问候语 除了SF之外，Erdos还有很多独特的术语。他称小孩为ε，称孙辈为ε^2，称桥牌打得不好的人为o(x)，称女人为"主人"，男人为"奴隶"，结婚为 "被俘虏了"，离婚为"自由了"，音乐为"噪声"，酒精为"毒药"，进行一次数学讲座为"布道"，非数学家为"不值一提的人"，美国"Sam"，苏联为 "Joe"。 Martin Gardner第一次见到他的时候，他问Gardner："你是什么时候到的？"Gardner连忙看表，这时Graham小声告诉他，对于Erdos来说，这句话的意思是："你是什么时候出生的？" －－4－－ 一个数学家必须是在每个星期都有一些新的研究工作才成为数学家。--Erdos Erdos见到他的同行时，总喜欢问："你昨天有什么新的发现？"可事实上并不是每个数学家都能像他那样每年发表50多篇论文！ 一次，他在巴黎演讲后，一位法国数学家问他关于某位有爵士头衔的英国数学家的近况。他回答："这个可怜的家伙两年前就已死去了。"另外一位法国数学家却说："不可能，上个月我还在罗马见过他。"Erdos答："你应该明白我的意思，我是指他这两年没有搞出什么新东西来。" 在Erdos的术语里，"死了"是指这个人不再进行数学研究，"离开了"才是真正的生理学意义上的死亡。
－－5－－ 我只要拿张纸，坐下，就能思考。--Erdos 在很多张Erdos的照片上，他都是低着头的。这种姿势很容易让人以为是在打盹，但Erdos声称他是在思考问题。 1939年，Erdos曾听过M.Kac在Princeton研究所做的一个报告。事后Kac这样回忆道："在我报告的大部分时间内，他都快要睡着了。报告的内容跟他的兴趣毫不沾边。在将近结尾时我大致说了一下我在素因子方面遇到的困难。一提起数论，Erdos马上就精神起来，让我再解释一下到底困难在哪。不到几分钟，报告还没有结束，Erdos就打断我的讲话并宣布问题解决了！" 注：Mark Kac，波兰裔美籍数学家，主要研究概率论与数学物理，有以他名字命名的Feynman-Kac公式。 －－6－－ &&&& 匈牙利人的问题在于，每次战争我们都站错了队。--Erdos Erdos于日出生于布达佩斯的一个匈牙利化了的犹太人家庭。匈牙利和犹太，这两个来自东方的古老的民族，曾经孕育了无数的伟人。八十三年后，当Erdos与世长辞时，Gordon Raisbeck在给Erdos的表妹的吊唁信中写道： &&&& "你听说过两个哲学家讨论存在地外生命之可能性的典故吗？其中一人说，如果外星人存在，那么他们的智力水平就有可能超过我们人类，因此我们可以预期他们已经访问地球了。但他又说：'但他们有没有留下什么痕迹呢？'另外一位哲学家俯身过来时对他耳语道：'嘘！这里我们自称匈牙利人。' 正是有了像Erdos这样杰出的人，才成就了这样的典故。"
－－9－－ 我不明白为什么我们初次见面时他会那样--说的全是数的平方和各种各样的证明。在我渐渐了解他之后，我发现他并不是那种喜欢过分张扬的人。……所以我真的不能解释为什么他总是在说他所知道的所有证法。--A.Vázsonyi对Erdos的回忆 1930年，17岁的Erdos第一次见到14岁的Vázsonyi时，前者对后者说的第一句话是： "给我举出一个4位数。" Vázsonyi答道："2,532." "它的平方是6,411,024. 对不起，我老了，否则我会立即告诉你它的立方。" Erdos又问道："你知道毕达哥拉斯定理的多少种证法？" "1种。"Vázsonyi说。 "我知道37种。你知道位于一条直线上的点不能构成可数**吗？"继而Erdos给出了一种证明方法，然后他说他必须跑了。 六十七年后，Vázsonyi仍然清晰地记得当时的情形： "当Erdos说他必须'跑'时，他像只大猴子一样驼着背，侧着身子，摇摆着双臂，沿着街一溜儿小跑，引得行人时时回头观望。……当他年纪稍大之后，他的步态不太像猴了，但仍有些奇怪。他老是走得很快，甚至发展到会向一面墙直冲过去，然后突然止步，猛然掉头，再往回跑。有一次他没能止住脚步，一下子撞到墙上，弄伤了自己。" －－10－－ 如果你是一只耗子，你就知道了。--Erdos这样解释他把一只小猫称为的原因 尽管受到各种反犹法律的限制，Erdos还是得以在进入布达佩斯的Pázmány Péter大学学习。他经常与他的朋友们在公园或广场里讨论数学问题和时事。 当时的法律禁止群众聚会，经常会有**过来盘问他们。他们感觉密探无所不在，不能够畅所欲言。所以从那时起，Erdos开始使用一些自己独有的隐语。他用 "长波人"来代表共产主义者，因为红色光的波长较长；相应地，用"短波人"来代表主义者。 政治并不能干扰Erdos和他的朋友们对数学的兴趣。Vázsonyi回忆说："他（Erdos）沉浸在素数的世界里，素数是他的一切，他与素数之间似乎有着某种奇妙的密切关系。"大学一年级时，Erdos便证明了Bertrand猜想："在n和2n之间总存在一个素数，其中n是大于1的整数。"这个猜想最初是在1848年由Chebyshev证明的，但Erdos的证明比Chebyshev的要简单得多。 20岁时，Erdos便宣称要用古希腊时期流传下来的Eratosthenes筛法来给出素数定理的初等证明，若干年后他果然做到了。这是后话。 注：Joseph Louis Francois Bertrand，19世纪法国数学家，在数论、、、等领域均有贡献。 Pafnuty Lvovitch Chebyshev，19世纪俄国数学家，在数学许多领域有开创性工作，是俄国数学的奠基人。 Eratosthenes，与Archimedes同时代的学者，曾任亚历山大图书馆馆长。
－－13－－ 明年哥廷根见！--Erdos理想中的犹太人祝酒辞 到英国后，Erdos开始了他的流浪生涯。他频繁来往于英国的各个大学之间，从没有连续七天呆在同一个城市。那时候世界数学的中心是，尽管的兴起已使哥廷根开开始衰落。Erdos一直想去哥廷根，但作为犹太人的他始终没有达成这个心愿。 他每年要回布达佩斯三次，看望双亲和老朋友。有一次，在他回家期间，Vázsuoni正研究一个图论问题，并找到了这个问题的必要条件。他回忆道："我几乎天天与Erdos见面。但我犯了一个致命的错误--我在电话里把自己的发现告诉了他。我称这个错误是致命的，是因为他在后就回电告诉了我证明充分性的方法。'该死的，'我想，'现在我只好和他合作写这篇论文了。'这个著名的Erdos数'1'究竟给我带来了什么，我几乎一无所知。" "Erdos数"是数学界流传的一个典故。即给每一个数学家赋予一个Erdos数：Erdos本人的Erdos数是0；曾与Erdos合作发表过文章的人的Erdos数是1；没有与Erdos合作发表过文章，但与Erdos数为1的人合作过的是2；……自然，不属于以上任何一类的就是∞. －－14－－ Wir Mathematiker sind alle ein biβchen meschugge. （我们数学家都有些疯狂。）--E.Landau曾对Erdos说的一句话 在常人眼里，数学家往往是些怪人。其实数学家多半还是很正常的，只是当他们思考起数学问题时，脑海里就容不得别的东西了。 Harold Davenport的妻子Anne Davenport回忆说："有一次在三一学院，我想大概是在30年代，Erdos和我丈夫在一个公共场所思考了一个多小时而彼此一言不发。最后， Harold说：'这不是0，而是1'，这才打破了长时间的沉寂。然后就是如释重负、一片欢欣了。他们周围的人都以为他们疯了。的确，他们是疯了。" 注：Edmund Landau，德国数学家，主要研究数论与复变函数，曾在和任教授。Erdos没去过哥廷根，Landau却访问过剑桥，他们可能就是在剑桥见面的。据说Landau怀疑Littlewood这个人的存在性，所以专程去英国看了一下。这个故事还有另外一种版本，说Wiener在访问剑桥时遇见了Littlewood，便说："哈！原来还真有你这么一个人！我还以为Littlewood是Hardy发表那些写得不太好的文章时所用的化名呢！"Wiener对这个笑话感到非常苦恼，专门在自传里辟了谣。 Harold Davenport, 的数论专家，曾任伦敦数学会主席，有各种论著196种。
－－15－－ 人们研究你是因为你是一个数学家，而不是因为你研究Leibniz.--Erdos对如是说 日发生了事件。那天Erdos正在布达佩斯，他当晚便匆匆赶回英国，几周后又去了美国，到位于Princeton的高等研究所（Institute for Advanced Study）工作。 高等研究所是30年代初由Bamberger兄妹捐资兴建的，首任所长为教育家Abraham Flexner. 这个研究所聘请的第一批研究员是：Alexander, Einstein, Morse, Veblen, von Neumann, Weyl. Oppenheimer曾称高等研究所是一座疯人院，--许多年以后他自己成为这家疯人院的院长。在这里，Erdos肯定算不上是天才，但却仍然显得很怪异，因为一年半以后他就因为过于"uncouth and unconventional"而被解聘了。不过天真的Erdos却把在研究所的这段日子称为他在数学上最有成果的时期。 当时的高等研究所拥有世界上最出色的一批数学家，比如说. 那时候Godel的兴趣已经转向了形而上学，所以Erdos常与他吵得不可开交。 注：Gottfried Wilhelm Leibniz，17世纪德国百科全书式的学者，的创始人之一。 Kurt ，裔美籍数学家、逻辑学家。 James Waddell Alexander，美国学家。 Harold Marston Morse，美国数学家，Morse理论的创立者。 Oswald Veblen，美国几何学家和学家。 Claude Hugo Hermann Weyl，Hilbert的得意门生，20世纪最伟大的数学家之一。 Robert Oppenheimer，美国，的主持人，被称为"之父"。 －－16－－ 我知道Einstein绝不信奉人格化的上帝，因为我问过他。--Erdos 如同那个时代曾待在Princeton的其他人一样，Erdos曾有幸与Einstein交往。有一次在Einstein家吃午饭时，Erdos把自己最钟爱的素数理论讲给Einstein听。Einstein对这一理论的评价很高，但他对细节并不感兴趣。 他们两人主要讨论的话题还是政治。Erdos一向很关心政治，经常就世界政治和人类的普遍问题发表一些悲观言论。 的问世使Einstein再次成为世界关注的焦点，--尽管没有Einstein也能造出原子弹。Erdos曾问Einstein："40年前你想到过你的质能方程会在你的有生之年得到应用吗？"Einstein说："我没料到。我曾想也许最终会得到应用，但没料到会那么快。" 其实像Einstein或者Erdos这样的科学家并不很关心自己的理论能否得到应用。一个极端的例子是Erdos曾经拜访过的Hardy，他就宣称最好的理论是毫无用处的，比如数论和相对论，--不幸的是他举的这两个例子都错了。
－－17－－ 他在Princeton的大街上走来走去，挥舞着双手，旁若无人地比划着。--Louise Straus对Erdos的回忆 同Einstein相比，他的数学助手Ernst Straus与Erdos之间有着更多的共同语言。每当他在自己的宿舍里住腻的时候，他就跑到Straus的家里呆上若干天。 那时Straus夫妇经常在半夜里听到一声巨响，那是Erdos在开窗户，--他从没想到应该轻轻地把窗户放下。他不会使用淋浴器，不会把水龙头关上。他到公用电话亭里彻夜不停地往里面塞硬币，给世界各地的数学家打电话，宣称自己在Straus家里，然后和他们讨论问题。他还邀请附近的一些朋友到这里来，不管主人是否同意。 许多年以后，Straus说："Einstein曾对我说过……对于一个科学家而言，首要任务是解决核心问题，而不为其他问题所动--无论那些问题多难，多么具有诱惑力。Erdos完全违背了Einstein的这一番话，但他却取得了成功。他几乎痴迷于他所遇到的每一个难题，并成功解决了其中的大部分。" －－18－－ 你应该找一份实际的正经工作。--Halmos对Erdos的劝告 P.R.Halmos曾记载过Erdos在Princeton时的另一个故事。Hurewicz曾经提出过这样一个问题：Hilbert空间中有理点**的维数是多少？Erdos听到这个问题后，便问"Hilbert空间"和"维数"各是什么意思。有人把定义告诉他，很快Erdos便得出了答案。这是 Erdos对一个他几乎一无所知的领域作出的贡献！ 注：Paul Richard Halmos，匈牙利裔美籍数学家，Springer-Verlag出版社主编。著有等。 Witold Hurewicz，裔美籍数学家，维数理论和同伦论的开创者。 David Hilbert，德国人，历史上最有影响的数学家之一。他使哥廷根成为当时世界上数学家朝拜的圣地。
－－19－－ Erdos在任何时刻都集中精神思考。--S.M.Ulam 那时候Erdos手头很拮据，只能靠大学发给他的访问津贴度日。被高等研究所解聘后，他一度失去了生活来源，幸好Ulam向他伸出了援助之手。Ulam是 Erdos在剑桥结识的朋友，当他得知Erdos的窘境后，便邀请Erdos到他工作的大学来访问。 许多年以后，Ulam在他的自传中回忆道："Erdos身材中等偏下，极度的神经质，他几乎总是'上窜下跳'，或者挥舞着他的双臂。他的眼神表明他总是在思考着数学问题，只有在他就一些还模糊不清的世界时事政治和人类的普遍问题发表相当悲观的言论时才会被打断。如果他突然产生了一个有意思的想法，就会一下子跳起来，挥舞双臂，然后再坐下来。" 注：Stanislaw Marcin Ulam，波兰裔美籍数学家。早年研究，后因参与，兴趣遂转向。他是Monte Carlo方法的创始人之一。 －－20－－ 他(Erdos)具有神秘的技能，可以运用最深奥、抽象的数学工具来预测的反应。--Ulam 1943年，Ulam到Los Alamos参与的研制。他极力劝说Erdos也加入他们的行列，Erdos本人也很愿意为消灭法西斯而出力。于是Erdos给他的同胞 E.Teller写信，申请加入。但Erdos在信中特别强调他战后要回，所以理所当然地被取消了资格。 Erdos就是总喜欢和权威对着干，而且根本不遵守各种保密规则。他还给在Los Alamos的P.Lax寄了一张明信片："亲爱的Peter，我的间谍告诉我Sam正在造，告诉我，这是真的吗？" 还有一次，Erdos和包括Lax在内的几个人一起吃晚饭。席间他们一直用匈牙利语交谈，Erdos却突然用英语大声问："的研制进展如何？ " 注：Peter Lax，裔美籍犹太数学家，主要研究泛函分析、偏微分方程和。曾任主席、美国原子能委员会计算和应用数学中心主任、 Courant数学研究所所长、纽约大学Courant数学和计算实验室主任。1987年获Wolf奖。他还是荣誉研究博士。
－－21－－ 数学家能在没有粉笔、纸或笔的情况下工作，他可能在走路、吃饭甚至谈天时继续思考。--Ulam 其实Erdos无论如何都不可能被接纳到曼哈顿工程中的，因为他在FBI早已有了案底。1941年，他还在Princeton的时候，有一次与两名 Princeton的学生，加久谷静雄和A.H.Stone，一起去Chicago参加一个会议，途经长岛，便下来看看海景。他们在一个无线电发射塔-- 可能是一个秘密的军用雷达--附近拍照，被警卫发现。警卫报警称"3个日本人在这里鬼鬼祟祟地拍照"，于是**四处搜捕，终于在路上截获了他们。 FBI的调查人员问他们为什么没有看到"NO TRESPASSING"的标牌，Erdos说："我正在思考问题。""思考些什么？""数学。" 当晚，他们的身份被确认，于是得到释放。但此事已经被FBI记录在案，并对Erdos产生了不利的影响，这是后话。 －－22－－ 他的到来极大地丰富了我们的业余生活。--一位Purdue大学老师对Erdos的回忆 类似的一件事情发生在1943年。那年Erdos在Purdue大学找了一份非全日性工作，总算摆脱了四处举债的日子。 在Purdue时，他不分昼夜地散步。有一次，他半夜三更在外面溜达，被**叫住了。他没带任何证件，**便问："你在干吗？""我在思考问题。""思考什么？""数学。"于是他们满腹狐疑地放他走了。 Purdue位于一个与世隔绝的小镇，人们的娱乐活动很少。Purdue的老师们每周都要聚会一次，进行一些非正式的演讲和讨论。有一次演讲人没有到，又没有准备别的节目，Erdos便自告奋勇，上台演讲。他不借助任何稿子，做了一个引人入胜的关于蜜蜂的色视觉方面的近期研究进展状况的报告。台下的人都大感惊讶，因为从没想到只痴迷于数学的Erdos还会关注这类东西。
－－23－－ 纳粹杀害了我母亲的4个兄妹。--Erdos 战争期间Erdos一直得不到家人的讯息，很挂念他们。1945年8月，他终于收到了消息。他母亲仍然健在，但他父亲已死于心脏病。 苏军占领匈牙利后，红色 植代替了白色恐怖。红军士兵在街上随意抓人，大批匈牙利人被送往古拉格群岛，其中绝大多数再也没有回来。 Turán就曾经有过一段危险的经历。当时他在布达佩斯被一个苏联巡逻兵拦住去路，被要求出示证件。可Turán刚逃过纳粹的搜捕，身上没有任何证件。情急之下，他拿出一本1935年出版的《托木斯克数学力学研究所通报》，上面有他和Erdos合著的一篇论文。这本战前的苏联杂志显然赢得了士兵的好感，于是他被放行了。后来Turán遇见Erdos时，感慨地说:"没想到数论还有这样的妙用！" 注：Paul Turán，匈牙利数学家，主要研究数论和图论。（ chocolate语：Turan定理） －－24－－ 他（Ulam）真的很幸运，并没有遭受年迈体衰和老年痴呆这两大恶魔的折磨，他在依然还能求证、还能猜想的时候猝死于心脏病，死时没有痛苦，没有恐惧。- -Erdos 如果你是一位才华横溢的数学家，如果你不幸得了脑炎，如果在你做完脑部手术、恢复清醒之后，医生问你这样一个问题："8与13的和是多少？"你的感觉会是怎样的？ 这就是Ulam在1945年冬天的遭遇。也许他会从此丧失对自己数学能力的信心，--如果他在走出医院的时候没有遇见Erdos. 那天，当Ulam在妻子的搀扶下离开医院时，突然看见Erdos神气活现地出现在他们的面前。 "Stan！我还以为你已经死了，正准备替你写讣告，还打算独自完成咱们合写的论文。" Erdos手提一个小箱子，里面装着他的全部财产，显然是无处可去，于是Ulam便邀请他去自己的家。在乘车回家的路上，Erdos缠着Ulam讨论数学问题，根本不让Ulam休息。一到家，Erdos就要Ulam同他下棋。Ulam起初对于下棋感到很紧张，惟恐自己已经把规则忘记了。当他赢了第一盘之后，又怀疑是Erdos故意让他的。Erdos要求下第二盘，结果Ulam又赢了。这时Erdos说："到此为止吧，我累了。"Ulam才发现原来 Erdos是认真的。 Erdos在Ulam家里住了两周，不停地与Ulam讨论数学问题。在Ulam做手术后，Erdos是第一个把他当作数学家而不是白痴或者准白痴看待的人。
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－－25－－ 死亡从40岁开始。--Erdos 1948年冬，Erdos回到布达佩斯，看望了他的母亲和一些老朋友。但很快斯大林就开展了一次笔迹审查活动，大肆封锁边界、围捕公民，Erdos不得不再次逃离匈牙利。随后几年内，他往返于美国和英国之间，居无定所。 那时Erdos已经开始在信件里不停地抱怨自己已经老了，他还经常对人说，上帝已有一只手搭在了他的肩膀上。有人问他："Paul，如果你才40岁时就感觉如此之糟，当你50岁时又会如何？"他立即悲哀地说："更糟。" 科学家的创造年华通常是很短暂的，所以学术机构中都设有终身职位，以保证科学家的生活。Erdos的朋友们劝他尽快找一份终生职位，他们说："Paul，你那走江湖数学家的生涯还要维持多久？"他竟回答："起码40年。"他甚至拒绝了一些大学的终身职位的邀请。 －－26－－ 数学是科学的女王，数论是数学的女王。--C.F.Gauss 大约在1792年，15岁的Gauss经过深入的分析和例证，猜想素数在自然数中的的分布密度应该是1/log(x)，因而，他提出这样的公式：π(x) ～Li(x) , 当 x → +∞ ∞ 1 其中π(x)表示不超过x的素数的个数，Li(x)＝∫ --- dt 2 log(t) Gauss曾经写信给当时世界上一些著名的数学家，向他们请教这个问题，但没人能给出证明。 差不多在同一时候，Legendre通过数值计算，于1808年提出了这样一个经验公式： x π(x)～ -------- ， 当 x → +∞ log(x)－1.08366 容易看到，Gauss和Legendre提出的渐进公式是等阶的，实际上都等同于猜想 x π(x)～ --- ， 当 x → +∞ log(x) （不过Gauss的猜想更加深刻和精确。） 这就是19世纪最著名的数学难题：素数定理。这个猜想是非常令人惊异的，因为素数在自然数中的分布可以说相当"杂乱无章"，但它竟然还能用这样简单的公式来描述！ 在Gauss的一生中，肯定曾花费了不少时间和精力来思考这个从少年时便开始困惑他的难题，但我们没有Gauss关于这个问题的研究记录，所以也无法知道他在这个问题上究竟走了多远，不过十有八九是他并没有解决这个猜想。 注：Carl Friedrich Gauss，主要生活在19世纪的德国数学家。他通常被认为是历史上最伟大的三位数学家之一，另外两个是Archimedes和Newton. Adrien-Marie Legendre，活跃于大革命前后的法国数学家，在数学的许多方面都作出了重要贡献。
－－29－－ 对于Erdos来说，被剥夺了旅行的权利就像是被剥夺了呼吸的权利一样。--M.Henriksen 1954年，Erdos被邀请参加一个在阿姆斯特丹举行的学术会议，他于是便向美国移民局申请再入境许可证。那时正是麦卡锡时代，美国处于一片红色恐惧之中。（以至于当Erdos想往匈牙利--一个共产主义国家--打电话时，都没人敢把电话借给他。） 移民局的官员不想给Erdos发再入境许可证，便向他问了各种各样愚蠢的问题。 "你母亲是否对匈牙利政府有很大的影响？你读过马克思、恩格斯或者斯大林的著作吗？" "没有。"Erdos回答。 "你对马克思如何评价？" "我没有资格评价他，但毫无疑问他是个伟人。" "离开匈牙利容易吗？"--这是一句废话，因为谁都知道答案是否定的。 "不容易。我现在还不想访问匈牙利，因为我不知道他们是否会让我返回来，我只是计划去英国和荷兰。" "如果你能肯定匈牙利政府会让你离开，你会访问匈牙利吗？" "那当然了，我母亲在那儿，还有好多朋友也在那儿。" 在麦卡锡时代，你是不可以承认你想去一个共产主义国家的。 －－30－－ 我现在在澳大利亚，明天去匈牙利。设k为最大的整数以满足……--一封典型的Erdos的信件的开头 移民局没有给Erdos再入境许可证。Erdos请了一名律师提出上诉，结果被驳回。法院没有给出任何理由。他的律师被允许查阅部分 Erdos的档案，发现其中附有一封Erdos写给居住在红色中国的华罗庚的信："亲爱的华，设p是一个奇素数……"Erdos一年要写1500封左右的信，基本上都在讨论数学问题。但移民局的官员显然害怕信中的那些他们看不懂的数学符号是某种密码。 另外根据FBI的记录，Erdos还曾经涉嫌在一个雷达站附近从事间谍活动。所以他被麦卡锡踢出美国是再正常不过的事了。 Erdos说："我没有取得再入境许可证便离开了美国。我想我这样做完全是按着美国最优良的传统行事：你不能让自己任凭政府摆布。"
－－31－－ 他是一个流浪的学者（wandering scholar）。他时常横跨五大洲。他效忠的是科学的女王而不是任何特别地方或研究所。--Rado谈Erdos 被赶出美国之后，Erdos发现自己已经没什么地方可去了：荷兰只给了他几个月的签证，英国也差不多。西欧的各个国家都不愿意接纳一个对红色中国亲善的人。最后，以色列接纳了他，给予他居住权，但他拒绝加入以色列国籍，并且保留自己的匈牙利护照。 1955年，Erdos在密友们的多方奔走和呼吁下，终于得以访问匈牙利。匈牙利政府颁发给他一个特别护照，证明他是匈牙利公民，但拥有以色列居住权。从此Erdos能够自由出入匈牙利。他每年都要回去几次，看望母亲和朋友们。 但Erdos永远都不会安居在一个地方，他宣布自己是世界公民。他以惊人的速度穿梭于各个大学和数学研究所之间。他的足迹踏遍五大洲，他在超过25个国家里进行数学研究，在遥远的地方完成各种重要的论证，有时还在这些地方的不知名的杂志上发表自己的成果。他曾经在六十年代初和八十年代中期两次访问中国。 1990年，为柯召教授八十俪暨执教六十周年，《四川大学学报》出了一本专辑。Erdos热情地写了一篇题为《初等数论中的某些问题与成果--祝我的朋友和合作者柯召80寿辰》的论文发表在该专辑上。 他的全部财产都装在一只破旧的小衣箱和一个在布达佩斯中心商场购买的土黄色塑料包里。 流浪，流浪，这就是一个犹太人的宿命。 注：Richard Rado，德国数学家，后移居英国。主要研究组合数学。 柯召，中国数学家，研究方向为数论、组合数学、代数等。 －－32－－ Non numerantur sed ponderunter.（不是看数，而是称重。）--俗谚 在古代匈牙利的贵族院，统计选票不是看票数，而是称重量。Erdos经常会想象上帝正拿着天平衡量他与同事们合著的论文。天平的一端放上他与已去世的同事合著的论文，另一端放上他与仍在世的数学家合著的论文。"当亡者的那一端下沉的时候，我肯定也要死了。"他这样说。 是的，每个人都会衰老，都会死去。所以Erdos以惊人的精力工作，--他害怕有一天他再也不能思考。 即使在70多岁的时候，他还一年发表50多篇论文。 有人曾经写过一首打油诗： 有一个猜想的确深奥 圆是否是圆的有谁知道 在Erdos用库尔德语 写的一篇论文中 一个反例已经找到 当Erdos听到这首诗时，他想用库尔德语发表一篇论文，但却找不到库尔德语的数学杂志。
－－33－－ 他（Erdos）的工作节奏真是逼死人。--Ralph Faudree 不知道那些有幸受到Erdos拜访的数学家们会有何感触，至少孟菲斯大学的Ralph Faudree是很不适应。他发现Erdos每天仅仅需要3个小时的睡眠，每天很早就起来写信--都是有关数学的。他起来后，觉得别人也该起来工作了，就把电视打开，声音开得大大的。他还会跑去敲Faudree的卧室的门："Ralph，你还活着吗？"吃饭的时候，他也会在餐巾上写写画画或是不停地讨论数学问题。 Faudree后来回忆道："等他住上一两个星期后你都快要崩溃了，但就在他走后的几天里，我还会不断收到他的电话：'证明完成了没有？你把它交给打字员了吗？'" －－34－－ 他（Erdos）一定是认为我有可取之处，因为后来连续10多年他每年都来路易斯维尔找我，而且一呆就是一个星期。--Michael Jacobson 1983年，Erdos第一次到路易斯维尔拜访Michael Jacobson. 那时Jacobson还没结婚，于是就跟Erdos住在一起。他对Erdos的故事早有耳闻，已经作好准备与之一起拼命工作，但情况显然远超过他的预料。 "头一天我们就工作到半夜1点，我已经精疲力竭，上楼睡觉去了。他呆在楼下的客房里。凌晨4点半，我听到厨房有响声，他把锅碗瓢盆弄得一片响，那是在告诉我该起床了。大约6点钟时，我跌跌撞撞地下了楼。你猜他说的第一句话是什么？不是'早上好！'也不是'睡得好吗？'而是'设n是整数，k是……'我只穿了一件浴衣，半裸着身体，眼睛还是半睁半闭， 壊壉 眬。我认输了。我告诉他，不洗一个淋浴的话，我是没法接着研究数学的。"
－－35－－ 没有人知道Erdos身在何处，甚至不可能知道他在哪个国家。我们唯一能肯定的是，他无处不在。他是最接近于遍历态的人。--R. E. Bellman 范德比尔特大学的Mike Plummer回忆了这样一件事情："1983年圣诞节前夜，我一家都在布达佩斯。这儿圣诞节可是一个隆重的节日，各家各户都团聚在一起开拆礼物。城市都停止运作了，所有单位都打烊，连公共汽车都不开了。要想坐出租车的话，几天前就得预订。我们都穿好了衣服，等着出租车来接我们去看一个朋友。正当我们站在屋里时，突然听到一阵敲门声。我打开门一看，是Erdos站在那里。'Plummer,'他说道，'圣诞快乐。设f(n)是以下函数……'就这样我们一直讨论到出租车来时为止。要想止住他的话而离去那是很困难的。" 注：Richard Ernest Bellman，美国数学家。在变分法、自动控制、逼近论、控制论、运筹学等方面取得了大量成果。共发表640篇论文和44本专著。 －－36－－ Erdos有一种激励人的本领，他能把人们带到一个全新的水平。他的数学世界是我们都能够进入的。--Joel Spencer 数学家，尤其是年轻的数学家，都愿意跟Erdos讨论问题，Erdos也是来者不拒。通常他每到一个地方，就能跟那里的数学家合作发表一两篇论文。在数学界广为流传着这样一个笑话，说他有一次坐火车，在路上跟检票员合作完成了一篇论文。 南京师范大学的单樽教授曾有幸听过Erdos的"布道"。他的讲演并不精彩，声音甚低，又常常用身体挡住黑板，只听他念念有词，迅速地写，迅速地擦，不知他说了些什么，也不知道他写了些什么。但讲完之后，人们还是热烈地围上去，与他讨论问题，交流想法。
－－37－－ 全世界的数学家，联合起来！--F.Klein 有一年，Erdos去UCLA，那里很多人都想和他讨论，便问他什么时候有空。Erdos总是回答："任何时候。"结果他的房间里经常聚集着一大帮人，而 Erdos同时和几个不同的人讨论不同的数学问题。 他满屋子转，就像一位超级棋手同时跟好几个人下棋。Bruce Rothschild说："那可真够刺激。当他正与别人合作时，趁着他还没回到你身边，你还有点时间考虑考虑。你还有机会知道别人正在着手解决什么问题。 " Erdos自己可以同时思考好几个问题，但他却希望他的合作者精力集中在手头的问题上。当他察觉到他们走神时，他会说："不许开小差！" 注：Felix Christian Klein，德国数学家。在他所生活的那个时代，他是哥廷根乃至整个数学界的领袖之一。 －－38－－ 下棋确确实实是一个数学问题，但从某种意义上说却是一个微不足道的数学问题。--G.H.Hardy 另外一个故事也是关于他的不可思议的分身术的：40年代的时候，Michael Golomb曾看见Erdos正和一位国际象棋高手Nat Fine下棋："Erdos战胜对手的机会很少，而且总是通过心理战术……我看见Nat双手托着下颌，仔细盘算着如何走下一步棋，而Erdos却似乎在全神贯注地研究一本厚厚的医学大百科全书……我问他：'Paul，你在干嘛呢？你不是正在跟Nat下棋吗？'他回答说：'别打断我，我正在证明一个定理。 '"
－－39－－ 从来没有什么下棋的问题影响过科学思维的进程，而Pythagoras,Newton和Einstein都分别在他们不同的时代改变了科学思维的方向。- -G.H.Hardy 在一次会议期间，Erdos看见单樽和另外一位中国数学家下围棋，颇感兴趣，便要求和单樽下。但他知道中国人是下"Go"的高手，就提出得让他四个子。下的时候，他全身"覆盖"在棋盘上（眼睛相当近视）。第一盘自然是输了，又要求再下一盘。第二盘单樽故意让他赢，他丝毫没有觉察，还非常高兴，连声说： "We are equal!" 注：Pythagoras，古希腊数学家、哲学家。他创立了历史上第一个数学团体，深刻地影响了古希腊的数学发展。 －－40－－ 数学从纯理论角度看是有序而美好的，这种秩序超越了物质世界。--Erdos Erdos只对数学感兴趣，但这并不意味着他对数学以外的事物完全无知。他会下国际象棋，会下围棋，会打桥牌，会打乒乓球，而且他还有十分渊博的历史和科技知识。一次，在匈牙利科学院宾馆，有人把Erdos介绍给Lajos Elekes. Erdos首先发问："你从事什么职业？"许多人在知道Elekes是一位正在写一本关于15世纪匈牙利将军János Hunyadi的书的历史学家时都会无言以对，但Erdos立即追问："匈牙利军队在1444年瓦尔纳战役中惨败于土耳其的原因是什么？"
－－41－－ 从某种意义上说，数学是唯一无限的人类活动。可以想象，人类终将有一天获得物理学或者生物学的全部知识，但人类永远无法穷尽所有的数学知识，因为数学领域是无限广大的。数字本身是无穷多的。这就是数学成为我唯一兴趣的原因。--Erdos Erdos最后一次看小说是在20世纪40年代，最后一次看电影是在50年代。有一次，一位同事带他去航天中心看火箭，但他甚至连头都没有抬。还有一次他被人拉去看哑剧，可表演没开始他就睡着了。 40年代的时候，UCLA曾经有过为中国举行的募捐活动。有人向Erdos提议，如果他跟他们一起去看脱衣舞，那么他们就捐献100美元。出乎众人的意料，Erdos竟然同意了。当他们支付了100美元时，Erdos狡黠地说："噢，我骗了你们。我取下了眼镜，便什么都看不到了！" －－42－－ Erdos的证明总是很漂亮，使用的技巧常常比别人的更好、更高超。--M.Golomb Erdos对许多数学领域均有贡献，而他的智慧远远超出了他的专业领域。George Purdy回忆了这样一件事："1976年我们在德州农机学院的数学休息室喝咖啡时，看见黑板上有一个有关泛函分析的问题。对这个领域，Erdos一无所知。碰巧我知道有两位这方面的专家刚刚得出一个长达30页的解答并因此而沾沾自喜。Erdos抬头看了看黑板说道：'那是什么？那也是一个问题？'我说' 是的'，然后他就走到黑板前面眯着眼睛看了看那个简要陈述的问题。他问了几个有关符号代表什么意义，便毫不费力地写出一个两行的解答。要是那还不是魔力，什么才是呢？"
－－43－－ 上帝不掷骰子。--Einstein 数学往往是要求精确的。但Erdos开创了一种存在性问题的概率证明方法，把随机性引入证明之中。他可以证明许多现象存在的概率很大，甚至是1，但不给出构造。这种办法在计算机里经常会用到。想象一下这样一个难题：我是应该先迈左脚，还是应该先迈右脚？对这个问题如果非要找一个合理的回答，那就怎么也迈不了步，于是便会陷入死循环。最好的办法是掷一枚硬币，让上帝来替我们选择。 1989年，为纪念Erdos概率证明方法的发现，参加在波兰波兹南召开的随机图论会议的数学家们举行了一次随机赛跑。当他们绕着跑道赛跑时，谁也不知道终点在哪里。赛跑开始前，Erdos作为宾掷了一枚巨大的骰子以决定起始的圈数，当大家快接近终点线时，Erdos又掷了一次骰子以决定再增加的圈数……Erdos开心地笑了，显然对自己所扮演的"烦人的SF"角色相当满意。 －－44－－ 有位法国社会主义者说私有财产是窃取之物，而我认为私有财产就是累赘。--Erdos Erdos每见到一个无家可归的人，总要给他些钱。D.G.Larman回忆道："60年代初，当我还是伦敦大学学院的一个学生时， Erdos来这儿讲学一年。他第一个月的工资刚发下来就在尤斯顿车站碰上一个乞丐找他要茶钱。Erdos从放工资的口袋里留出支付自己简单生活的少量费用后把剩下的钱都给了乞丐。" 每当他得知一件好事，比如说艰难起步的古典音乐电台、美洲土著人运动、走失儿童抚养所，他就会捐一些钱。在他去世一年后，他所捐赠的组织还给他写信表示感谢。
－－45－－ 这东西，只这一点点儿，就可以使黑的变成白的，丑的变成美的，错的变成对的，卑贱变成尊贵，老人变成少年，懦夫变成勇士。--莎士比亚，《雅典的泰门》 1984年，Erdos获得Wolf数学奖。他把5万美元奖金的大部分捐给了以他父母的名义设立的奖学金，自己只留下720美元。他曾两次去印度讲学，所得的报酬都捐给了一位素昧平生的印度妇女--Ramanujan的遗孀。 80年代末，Erdos得知一位叫Glen Whitney的高中生想到Harvard去学数学，但还差一点儿学费。Erdos便与他此人见了面。当他深信这名学生确有天资时，就借给了他1000美元，并告诉对方只有在不造成经济困难的情况下才还钱。10年后Whitney有能力偿还这笔钱了，便问Graham："Erdos要不要利息呢？ "Graham向Erdos询问，Erdos回答："告诉他，拿那1000美元去做我当年所做的事。" －－46－－ 只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或终止。--D.Hilbert Erdos经常在各种数学杂志上抛出一些悬赏征解的数学问题，奖金数目从五美元到三千美元不等。许多年轻人都爱做Erdos提出的问题，当然不光是因为有奖金。Erdos提出的问题往往重要而有趣，很多人就是在解决了这些问题后走上数学道路的。 有人曾问Erdos，假如所有的问题都同时解决了，事情会怎么样？他还支付得起吗？Erdos当然支付不起。不过他认为所有问题同时解决的可能性太小了，比银行遭挤兑的概率还要小。Erdos去世后，他的朋友Graham决定负责支付他在图论问题上的奖金，总额约10000美元，达拉斯的一位银行家则提出支付其他领域里的问题的奖金。 下面是一个有三千美元奖金的问题： 如果正整数序列a1,a2,……有这样的性质： ∞ ∑ 1/ai ＝∞ i=1 那么原来的数列中存在长度为任意自然数的等差数列。
－－47－－ 孩子们从来不认为他们会死，我也是这样，直到4岁时。当时我正和母亲逛商店，突然意识到自己错了。我哭了起来，我知道我会死的。从那时起，我总是想再年轻一些。--Erdos 早在四十年代，Erdos便一再在书信里宣称自己已经老了。1970年，他在洛杉矶作了一次"我从事数学的前25亿年"的讲演："当我还小时，据说地球已有20亿岁年龄。现在，科学家们说地球有45亿岁。这样一来，我就有25亿岁了。"听讲座的学生们画了一条时间曲线，画上Erdos正骑着一条恐龙。有人问他："恐龙是怎么一回事？"Erdos答："你看，我忘记了，因为一个老人只记得很早时候的事，而恐龙则是昨天才出生的，就在1亿年以前。" －－48－－ 一个人衰老的第一个标志，是忘记了自己的定理，第二个标志是忘记拉上拉链，第三个标志是忘了拉开拉链。 --Ulam 70年代初，Erdos开始用P.G.O.M.来代表他的名字，意为"Poor Great Old Man"。到他60岁时，就成了P.G.O.M.L.D.，L.D.是"Living Dead"。到65岁时，又成了P.G.O.M.L.D.A.D.，A.D.意为"Archaeological Discovery"。70岁时，换成了P.G.O.M.L.D.A.D.L.D.，L.D.是"Legal Dead"。75岁时，又成了P.G.O.M.L.D.A.D.L.D.C.D.，C.D.是"Counts Dead"，他解释道："匈牙利科学院有200名成员。当成员满75岁时，还可以留在科学院并享有充分的特权，但已不再计为成员了。这就是'计数死亡'的含义。"
－－49－－ 我从未做过什么"有用"的事情。我的任何发现都没有，也不可能对平静的现实世界产生什么影响，不管是直接的还是间接的，也不管是正面的还是负面的。-- G.H.Hardy 与Hardy不同，Erdos对数学的应用更能容忍，事实上他的很多成果都获得了应用。但Erdos的兴趣只在"纯粹"数学方面，并且明确反对任何脱离纯粹数学的倾向。 Vázsonyi回忆道："当我为继续当一位数学家还是去工学院当一名工程师的问题犹豫不决时，Erdos警告我：'我会藏起来，等你一去工学院，我就毙了你。'一句话就把我搞定了。" －－50－－ 每一样能够用于善举的东西同样也能够用于恶行。归根到底，确定毒气传播的微分方程同样也能描述污染物的扩散。因此，人们既能有意散播毒气，又能防止污染的扩散。--Erdos 二战期间，M.Kac曾在MIT的辐射实验室工作，他根据当时的研究成果在《应用物理杂志》上发表了一篇论文。然后他就收到了Erdos寄给他的明信片，上面只有一句话："我为你的灵魂祈祷。"
－－51－－ One should have a general attitude of welcoming to everybody.--B.Russell Erdos非常富有同情心。1945年，他到一位数学同行家里参加晚会，但刚与大家打了个招呼，便不见了踪影，直到晚会快结束时才再次见到他。原来 Erdos得知主人有一个双目失明的老父亲，不能来参加晚会，孤零零地呆在楼上的一个房间里；于是Erdos宁愿放弃与数学同行们共度良宵的机会，而上楼去陪伴那位孤独的失明老人。 Peter Winkler谈了另一件事："我们有一个非常聪明的学生，可惜患有脑瘫，人坐在轮椅里。当Paul第一次见到他时，便立即跑上去，询问他的病情和预后状况。Erdos在10分钟内对这个学生的了解比我们在他整个研究生学习期间对他的了解都要多。此后Erdos对这个学生的研究工作很是关心--当时该生正在完成他的博士论文，--提了很多中肯的建议。诸如此类的事情在他的一生中不胜枚举。" －－52－－ 每次他（Erdos）回到匈牙利时，他总要问候那些年迈的妇女们。光花在这些数学家的母亲和遗孀上的时间就要耗掉他回来后的头两三天。 --Vera Sós 1994年在布达佩斯，Erdos去看望他的一位老朋友的岳母。那位老夫人坐着轮椅，并且出于某种原因生活在精神的痛苦中。她不住地埋怨她的保姆："别放在那儿！""为什么不先给Erdos教授先生上茶？"临走的时候保姆把客人们送出门，Erdos给了她一份相当丰厚的小费，好象是对她所受委屈的一种安慰。 Erdos总是尽自己的可能帮助别人。当身无分文的俄罗斯数学家来到匈牙利时，他把自己所有的钱都给了他们。 塞尔维亚数学家Aleksandar Ivic谈了另外一件事：一次他与Erdos一同在餐馆吃饭，两人正讨论一个数论问题，Erdos突然从兜里掏出一叠不同国家的钞票，并用一种柔和的语调说："拿着吧！我知道你现在很缺外汇。"Ivic非常窘迫，对Erdos说，从贝尔格莱德目前的政治、经济形势看，他在可预见的将来是还不了这笔钱的。 Erdos坚持要给他，但Ivic最终还是没有要。
－－53－－ 你听说过我母亲的定理了吗？我母亲说过："在同一时间，即使是你，Paul,也只能在一个地方。"也许不久我就将不受这一限制了。也许一旦我离开了这个世界，我就可以同时在不同的地方了。也许到时我将可以与Archimedes和Euclid合作了。 --Erdos Erdos对他的母亲怀有深厚的感情。Herb Wilf说："在参加一次会议期间，有一天我穿过院子准备去吃早饭，Erdos刚好吃完早饭从我对面走来。当我们相遇时，我习惯性地问候道：'早上好，Paul，今天好吗？'他一下子止住了脚步，出于尊敬和关心，我也停了下来。我们默默地站在那里，他认真地思考着我的问话，仿佛那是一个渐进线理论方面的问题，需要好好想想才能回答似的。他的一生都在冥思苦想重要的数学问题，但对待这样的日常问候语也很认真。他沉思了好一会儿，终于回答道：'Herb，今天我很难过。'我说：'听到这个我很抱歉，你为什么难过，Paul?'他说：'是因为我想念我母亲。 你是知道的，她死了。'我说：'是的，我知道这事，对于她的去世，你和我们大家都感到很难过。但这不是5年前的事吗？'他答道：'是的，5年了。但我很想念她。'我们相对无言，尴尬地站了会儿，然后各奔东西。" －－54－－ 他把一个个问题连珠炮似地砸向我们，好象我们是职业数学家似的。 --J.Pelikａn回忆他15岁时第一次见到Erdos的情形 Erdos以发掘数学天才为己任。1959年，他听说有一个12岁的匈牙利小男孩LajosPｏsa已经掌握了全部中学数学课程，便邀请他共进午餐。吃饭的时候，Pｏsa正喝着汤，Erdos便问了他这样一个问题："试证：在1,2,...,2n中任取n+1个数，必有两个数互素。" Pｏsa先把汤喝完，然后给出了这个问题的证明。Erdos大为震惊，因为他当初花了10分钟才找到这个问题的证明方法，而这个小男孩只用了半分钟！ 后来Erdos经常与Pｏsa见面，Pｏsa 13岁时，Erdos便给他讲Ramsey原理，并提了一个包含无穷个点和无穷条边的问题。Pｏsa花了15分钟时间才弄清楚题意，然后他回家了，想了一个晚上，最终在入睡前找到了证明。 和Pｏsa讨论问题时，Erdos曾给他喝 咖啡。Erdos的母亲对Erdos给这么小的孩子喝 咖啡大为光火，Erdos答道："Pｏsa会这么说：'夫人，我做着一名数学家的工作，喝着一名数学家所喝的饮料。'" Pｏsa不到14岁时，Erdos已经把他当作成年数学家来讨论问题。14岁那年，Pｏsa与Erdos合作发表了第一篇论文，15岁时在图论方面完成了他最著名的工作。但20岁那年，Pｏsa就停止证明和猜想，改行去作小学教师了。 Erdos说："我觉得非常可惜。他虽然活着，但无异于行尸走肉，我非常希望他能尽快真正活过来。其实当他16岁那年告诉我他宁愿做Dostoyevsky，而不做Einstein时，我就开始隐隐有些担忧了。" 注：Frank Plumpton Ramsey，英国数学家、逻辑学家、经济学家。他开创了组合数学中的Ramsey理论。 Fyodor Mikhaylovich Dostoyevsky，19世纪俄国小说家，擅长强烈的心理描写。代表作有《白痴》、《罪与罚》、《卡拉马佐夫兄弟》、《群魔》等。
那么多杰出的数学家
LZ为何偏偏对他如此崇敬呢？
回复：33楼就抢到了他的ID,另外此帖未完，再者这是我的小号
回复：34楼有摘要吗？这么长即使加精了估计也不会又太多人看的。。你可以尝试挑选一些精彩的部分。。
－－55－－ Paul Erdos was the most inspirational man I have ever met. --Joel Spencer 有一年，Hawaii的一个名叫David Williamson的中学生证明了这样一个结论：如果存在一个奇完全数，那么它必然有且仅有一个形如4k+1的素因子。Williamson向一位大学教授询问这个结果是否为已知，那位教授不太清楚，便建议他写信问Erdos. Williamson写了信，很快就收到了回复："亲爱的Williamson先生：非常感谢你的来信，--我昨天才收到这封信。你证明的那个结果已经被Euler知道了，他还证明了……或许我的下面这些问题会使你感兴趣。……" Williamson如今已是IBM的研究人员，在组合优化领域颇有建树。他说："跟Erdos的巨大成就比起来，一封给中学生的信算不了什么，但那对我的意义却非同小可。 " －－56－－ Neither Sam nor Joe can determine when and where I should travel. --Erdos 我们说过，Erdos曾被美国移民局取消再入境资格。1963年，几百名数学家联名向美国政府要求允许Erdos重新入境，于是Erdos终于得以重返这个自由的国度。在会议上发表讲话时，Erdos说："Sam终于肯接纳我了，大概它认为我已经老迈不堪，不足以推翻它了！" 但Erdos与政府之间的纠葛还没有完。1973年，匈牙利政府禁止以色列数学家入境参加为庆祝Erdos六十寿辰而举行的**论学术会议。Erdos大发雷霆，宣布将抵制他自己的生日晚会。他后来还是去了，但他拒绝再回到匈牙利。（直到1976年，他才赶回匈牙利，因为他的挚友Turａn身患癌症，已经奄奄一息。） 正如一位美国数学家所说："这是我们的时代和我们的国家的悲哀：这个人--如此全身心地投入到学术研究，如此远离政治，具有最高尚的道德的自由灵魂--竟然会受到官僚们的骚扰。而这些官僚的职责还是保护我们的自由！"
－－57－－ You don't have to believe in God, but you should believe in The Book. --Erdos Erdos不太相信上帝，但他相信世界上有一本超穷的"天书"（The Book），那里面包含了所有数学定理的最简洁、最漂亮、最优雅的证明。他对一个证明的最高赞誉就是："It is from The Book!" 没有人能看到天书，Newton和Gauss这样的数学家或许曾有幸瞥上一眼。Erdos希望当他见到上帝的时候，上帝能够允许他阅读这本书，--为什么不呢？ Erdos常爱引用一个笑话，说是有人问："要是你在街上遇见耶酥，你会问他什么问题？"Erdos说他会问连续统假设是否正确，而耶酥可能会有三种回答。第一种是："Godel和Cohen已经把有关这一猜想的一切都教给你了。"第二种是："是的，确有一个答案，可惜你的头脑还不够发达，无法知道它。"第三种是："在创世前很久，圣父、圣灵和我就一直为此绞尽脑汁，但我们还没有得出结论。"虽然大多数逻辑学家都会同意第一种回答，但Erdos却认为第三种是最佳答案。 注：Paul Joseph Cohen，美国数学家，1966年获Fields奖。 －－58－－ L.A. is studying Jordan's theorem. --Erdos 我们曾谈到过，在匈牙利的半法西斯政权统治期间，Erdos开始使用各种隐语。前面的引文就是当时他说的一句。 在拓扑学里有一个Jordan曲线定理："平面上一条同胚于圆周的曲线必然把平面分成两个不连通的部分。"有一次，Erdos的朋友Lａszlｏ Alpａr被抓进监狱了，Erdos就用前面那句隐语把这个消息告诉朋友们。 注：Marie Ennemond Camille Jordan，法国数学家。
－－59－－ Ask Uncle Paul before you spend months on a problem. --Jａnos Komlｏs Erdos对数学问题有着惊人的洞察力。每个人都会提问题，但并不是每个人都能提好的问题。大多数人提的问题往往要么非常平庸，要么非常怪僻。Erdos不一样，他能够提出各种层次上的适当的问题，而且都是重要且有趣的。绝大部分数学家擅长研究某一小类问题，对其它的问题则根本无从下手。但Erdos却在几乎所有的问题上都能入手，并且能估计这个问题的难度。 M.Jacobson在当研究生时第一次见到Erdos. 当时Erdos作完一次讲座，然后宣布"My brain is open." 于是Jacobson走上讲台，把他正在研究的一个组合论问题告诉Erdos. Erdos当即毫不犹豫地说："我认为你需要寻找另外的问题。"7年后，Jacobson又一次见到Erdos，并谈起第一次见面的情形。Erdos已经不记得这事了，便要Jacobson重新说一下当时的问题。等对方说完后，Erdos说："哼，这个问题确实太难，到现在还没解决呢！"14年后，当Erdos去世时，那个问题依然没有解决。 Erdos不仅能够提出适当的问题，而且还能提给适当的人。他能够在短时间内正确地评估一个人的数学水平，并把适合他研究的问题提给他。很多人就是从Erdos的问题开始走上数学研究道路的。 －－60－－ 明天咱们接着讨论这个问题，如果我还活着的话。 --Erdos Erdos是最好的合作者。他是朋友，也是老师。他的"教学"是不易觉察的。他从不直接讲课，也不教给你定理或方法。但在与他合作时，每个人都可以把握住他那丰富的思想和方法。慢慢地，不知不觉中，他就能控制你的数学思维。 Aleksandar Ivic说，很多次当他自己独自一人思考问题时，他都会问自己："Erdos会怎样做？他会怎样对付这道题？" Gian-Carlo Rota则说，根据Erdos的提示而写成的论文至少有上万篇。 对于合作者来说，Erdos还是一个丰富的资料库。Erdos能够准确地记住上千篇论文的有关信息。在与他讨论时，常能听到他说诸如此类的话："Mirsky写了一篇相关文章，发表于1947年或者1948年的'Quarterly J. Mathematics (Oxford)'上，在最后那几页。" 李信明教授曾在法国Poincarｅ研究所的图书馆见到他进来查阅杂志，他不需要看目录，用手一翻就能找到他所要的文章，让人佩服得五体投地。
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