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证明极限lim（n趋于无穷）n/a的n次方=0 （a>1）
天堂圣魂丶屋康
上图为洛必达法则求极限的方法,当n趋近+∞的时候,a^n也趋近+∞.则根据洛必达法则lim=(n)'/(a^n)‘=lim1/(na^n-1)=0
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上图为洛必达法则求极限的方法sw当n趋近＋∞的时候0628a＾n也趋近＋∞6284则根据洛必达法则lim＝（n）＆＃39；＆＃47；（a＾n）‘＝lim1＆＃47；（na＾n－1）＝0
扫描下载二维码　　作者：coblan81 　　==============&　　　　　　看来你把无穷小量的定义给忘记了。如果没有忘记就是你没有理解它的真正意义。无穷小量的本质就是一个趋向于0的一个变量（或函数）。　　　　按照你的意思0.9（9无限循环）为1的左边（所以有小于1的说法），而不是1的左极限。但是，问题就出现在这里————实际上　　0.9（9无限循环）就是1的左极限！！！！！　　　　如果非要说0.9（9无限循环）为1的左边而不是1的左极限，那就没有体现无数个9的本质。　　　　上面网友Robotech和sampboy用的就是高等数学的方法，非常精彩。下面我再详细扩写1下。　　　　先讨论有限个9的情况：　　0.999...9（n个9）=0.9+0.9*0.1+0.9*0.1^2+...+0.9*0.1^(n-1)　　
0.1^2+...+
0.1^(n-1)]　　
　　其中0.1+0.1^2+...+0.1^(n-1)是首项为0.1、公比为0.1、末项为0.1^(n-1)、项数为n-1的等比数列。根据等比数列前N项和公式得　　　　0.1+0.1^2+...+0.1^(n-1)=0.1[1-0.1^(n-1)]/（1-0.1）　　　　代入原式　　0.999...9（n个9）=0.9+0.9*0.1+0.9*0.1^2+...+0.9*0.1^(n-1)　　
0.1^2+...+
0.1^(n-1)]　　
0.1[1-0.1^(n-1)]/（1-0.1）
0.1[1-0.1^(n-1)]　　　　即有限的n个9时
0.999...9（n个9）=0.9+0.1[1-0.1^(n-1)]　　　　重大转折就在这里：　　0.999...（无限多个9）怎么体现出来呢？即怎么从有限个9过度到无限个9呢？　　上面，我们讨论的是有限的n个9，但是当n为无穷大量时就是0.999...（无限多个9）。也就是说n为无穷大量时就把无限多个9体现出来。所以　　0.999...（无限多个9）=lim{0.9+0.1[1-0.1^(n-1)]}=1　　　　本来不想写这么详细，但是看见这么多包括学过高等数学在内的大学生对这个问题也存在疑惑实在于心不忍。　　无论用小学的、初中的、或大学高等数学的方法，0.999...（无限多个9）=1是无可辩驳的事实。　　说0.999...（无限多个9）&1当然也是无稽之谈。
　　楼主提出的问题本身就有错误！！！　　我认为：　　0.333...×3＝1/3×3＝1　　与0.999...毫无关系
　　对于一个错误的命题　　大家讨论得居然热火朝天　　可笑啊
　　yzqsw2003 同学，你说得很有道理。。　　 但是还是有些问题我觉得有所不妥。　　 1，o 无穷小 是一个抽象的表示符号，表示的是一个抽象的数，而不是什么函数，（无穷小只有 高阶 同阶 低阶 等价 几种关系……）极限的定义│x-a│&ε,此时ε是一个抽象的数，难道是函数？请问，你认为 ∞ 难道代表的是一个函数？　　 2， 我一直都认为 0.9（9的循环）是属于 1的左极限 。但是极限 相等并不是说本身相等。注意，要加“极限”两个字。即0.9（9的循环）的“极限”＝1　　3，用等比数列来证明，如你所说：　　
0.999...（无限多个9）=lim{0.9+0.1[1-0.1^(n-1)]}=1 。　　应该改一下：0.999...（无限多个9）={0.9+0.1[1-0.1^(n-1)]} （n→∞）　　
lim{0.9+0.1[1-0.1^(n-1)]} ＝1
（n→∞）　　
即： lim 0.9（9的循环）＝1　　而
因为0.9（9的循环）是 1 的左极限，　　 =&0.9(9的循环）&1
　　其实 用 极限的定义就可以 判断啊。　　 ，此时如果不管 ε多小,如有ε &0
衡有│x-a│&ε
，即说a 是x 的极限！　　 既然你也说
“0.9（9无限循环）就是1的极限“ ,　　那么就必定存在一个ε &0 使得 │0.9（9循环）-1│&ε 。　　
又是 左极限 ，出去绝对值符号为： 1-0.9（9循环）&ε 　　 　　 那，你说 是0.9（9循环） 大，还是 1 大啊？？ ε 总存在吧，那么 请问 ：0.9（9循环） 可能等于 1 吗
　　实数论的问题　　　　楼上的都是白痴　　　　有人说，极限为一，请问极限论的基础是什么，实数论是也　　　　　　　　其实 用 极限的定义就可以 判断啊。　　　　 ，此时如果不管 ε多小,如有ε &0 衡有│x-a│&ε ，即说a 是x 的极限！　　　　 既然你也说 “0.9（9无限循环）就是1的极限“ ,　　　　那么就必定存在一个ε &0 使得 │0.9（9循环）-1│&ε 。　　　　 又是 左极限 ，出去绝对值符号为： 1-0.9（9循环）&ε 　　　　以上的描述错误，根本就不懂数学，丢人
　　0.9（9的循环）的“极限”　　　　简直乱讲　　0.9（9的循环）是一个有理数，而不是一个极限　　　　概念不清
　　可以判断出0.9(9的循环)&X&1 ,X有无穷多个无理数值.　　　　这位仁兄真NB，如果你能够找到这样的一个无理数，　　你将推翻现有的科学体系　　　　哈哈，牛顿、爱因斯坦算个毛，这位仁兄天下第一
　　书上说的,老师教的,都说是等于1. 因为1/3+1/3+1/3是等于1而不是约等于1.　　　　说实话,笨人真不知道是真正意义上的等于还是趋近于1.
　　莲花水中睡，　　 请问 极限定义│x-a│&ε中 的ε 存在不？？你到是给我找出来啊？　　 你以为存在的都能表示出来吗？？　　不错0.9（9的循环）是一个数，但是同时也可以表示成 等比数列 的形式，你认为 等比数列 不能说成 收敛于 ，或者 极限的形式吗？？　　 你个小瓜瓜，，你到是给我找几个无理数啊。你给我表示出来啊。（除了人家用 符号已经表示了的 如 π, e 等特殊的无理数。）
　　作者：coblan81 　　　　==============&　　1. o 无穷小如果不是变量（函数），哪里来的高阶、低阶、同阶这些概念。就是因为它们是不同的函数，一比才来的这些概念。不能凭空使用无穷小、无穷大概念，有表达式才可以使用。　　　　2. 你一直认为　　0.9（9的循环）的“极限”＝1，　　而0.9（9的循环）≠1 。　　你的式子　　0.999...（无限多个9）={0.9+0.1[1-0.1^(n-1)]} （n→∞）　　是不错。　　　　由于是恒等式，两边加个极限号总可以。　　　　lim【 0.999...（无限多个9）】=lim【 {0.9+0.1[1-0.1^(n-1)]} （其中n→∞）】　　　　由于式子左边【 】内是个与变量n无关的常数，所以加个极限号后还是它本身。所以　　　　lim【 0.999...（无限多个9）】　　=0.999...（无限多个9）　　=lim【 {0.9+0.1[1-0.1^(n-1)]} （其中n→∞）】　　=1　　　　哈...　　　　3. ∵ 0.999...（无限多个9）=1　　
∴| 0.999...（无限多个9）
恒成立 　　　　　　哈...　　　　4.你说　　可以判断出0.9(9的循环)&X&1 ,X有无穷多个无理数值.　　　　？？？？　　为什么不可以是有理数呢？即使是无理数也是同样可以举例子的，因为位数够就可以满足要求。　　　　
　　yzqsw2003 　　
　　 你说的 3
不是 我说的意思。　　 o 我认为只是一个抽象的符号，像 ∞ 一样。难道∞ 还要定义吗？　　　　 顺便说一下 1/∞ 就是 你们想要的 1-0.9（9的循环）。。但是1/∞ 和0 有着本质的区别哦。
　　yzqsw2003 ,你很幽默，　　你说的：　　哈...　　　　哈...　　　　的，幸好我看得懂 啊！
　　作者：coblan81 　　　　　　==============&　　你思维很严谨。　　函数极限描述的是它与一个确定常数的“距离”。有时候这个距离可以为0，有时候只能大于0但很小。即函数本身的值有时候可以达到它的极限值，有时候不可以达到只是很接近。函数和它的极限有所区别。
　　不明白是什么意思。有点深度。
　　作者：yzqsw2003　　------------　　不完全明白你的意思。　　│x-a│&ε，这里的ε是否就是你说的“距离”啊？呵呵！这个不应该叫距离，这里应该叫做a的去心领域。　　完整的式子应该是0&│x-a│&ε.这样a才能叫做极限。这样看来，你后面所说的：“即函数本身的值有时候可以达到它的极限值” 是不正确的哦。既然是极限，就不可能等于。　　 你说呢？
　　某某式子的极限是x，既然用了“是”，那就是等于。“极限”这个词已经包含了逼近的概念，某某式子的极限指的就是这个式子逼近的值，这个值不会再逼近某个值了，它就是某个值。
　　再 从新 证明一次吧 。　　 0.9（9的循环）＝0.9+0.9^0.1+0.9^0.1^2+....+0.9^0.1^n
(n→∞）　　 lim0.9（9的循环）＝0.9/（1-0.1）＝1　　即 与0.9（9的循环）等价的级数 收敛于1　　即 与0.9（9的循环）等价的级数 的和的极限等于1　　 根据极限定义，极限等于1，指的是 1 去心领域的 无穷数列，或者函数的趋于1，即 0.9（9的循环）∈1的去心领域。　　 既然是去心，即0&│x-a│&ε，即1-0.9（循环）≠0　　得证。　　0.9（9循环）≠1
（从本质上来说不相等，但是一般应用上，值是相等的。） 　　　　 　　 随便说一下，说一个无穷的数等于一个有穷的数，或者说无穷数列等于一个确定的值，都是很可笑的。
　　作者：heanonlia 　　 拜托你了解一下，去心领域 的意思好吗？？
　　问题本身提问的都如此的不上台阶,还一个个分析的津津有味.
　　作者：沉静思 　　---------------------　　真是 不好意思哈。。。。是有点没有水平的问题。我也是一时间忍不住呢。。。
　　zt：　　作者：空荡的原野
回复日期： 12:02:00
　　　　　　这是语文问题，啥叫“等于”。
　　作者：沉静思
回复日期： 19:47:00
　　　　　　问题本身提问的都如此的不上台阶,还一个个分析的津津有味.　　　　========&　　不上台阶的你不想分析，但上台阶的你又没本事分析。眼高脑低~　　　　coblan81＝＝＝＝＝&　　不是|x-a|&ε ，是|f(x)-a|&ε,而且也没有规定0&|f(x)-a|&ε
！！！　　这个不等式表明函数f(x)与常数a的“距离”要足够小，甚至为0.　　说“距离”是按照绝对值的意义来说的，也是为了通俗易懂。邻区的概念通常用在定义域上。　　　　无穷级数的和就是和了，没有无穷级数的和的极限了。　　　　“即函数本身的值有时候可以达到它的极限值” 是不正确的哦。既然是极限，就不可能等于。＝＝＝＝＝＝＝＝&　　我意思是有时候函数可以取得极限时的值，有时候取不得。　　　　比如以下两个函数　　（1）f1=1/x (x&0)　　（2）f2=x+1　　　　lim(1/x)=0(x→∞) 但
1/x不可以等于0　　lim(x+1)=0(x→-1) 但同时x+1
可以等于0　　　　还有，一元连续函数的定义就是lim f(x)＝f(x0)
其中x→x0，表现了这种函数可以达到它的极限值。　　
　　作者：尤里西斯1
回复日期： 17:01:00
　　　　　　如果你要问现在科学界通行的实数理论中这个数是不是等于1的话，那么绝对是1。但是作为一个专门的理论，有超实数理论，在那套理论中这两个数就不等。等不等于并没有绝对意义，因为只要逻辑不出现矛盾，怎么说都可以。但超实数理论并没有什么很大的影响，因为类似的理论有一大堆，都对现状（即使基础数学的现状）无甚影响。　　\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\　　　　尤里西斯1
回复日期： 23:58:00
　　　　　　不禁又想罗嗦一句。从逻辑角度来讲，等于或不等于都是对的！因为根据这两种直觉都可以建立起一套实数理论。关键在于你根据等于或不等于建立起的实数的集合是大相径庭的。而所谓的超实数理论对现实没有什么具体的影响，目前只是空中楼阁而已。　　\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\　　　　：h_o_p
回复日期： 10:57:00
　　　　　　我们常用的实数理论里面（用戴得金分割定义的）:　　　　0.9...=1　　　　　　　　首先0.9...的定义是什么？　　　　　　　　通常定义为0.9...=sum{9*10^(-n)} n=1,...,无穷　　　　　　　　直接计算，就可以得到0.9...=1　　　　　　　　在非标准分析里面，将实数集扩充为超实数集，里面引入了　　　　　　　　无穷小和无穷大，（都是分阶的）　　　　　　　　在超实数集里，0.9...和1相差一个一阶无穷小　　　　　　　　注意：在超实数集里，无穷小和无穷大都是确定的数　　　　　　　　而不是像经典分析里面的无穷小和无穷大只是一个过程。　　\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\　　要真想分析到和您如此强烈的钻研精神和求知欲相匹配的程度也得在上面几段话这个层次上分析。您分析的那个层次说实话真是懒得多费口舌。算我没您有本事分析。
　　　　 作者：yzqsw2003 　　 　　 好好学习高数就知道领域的重要呢，特别是去心领域的重要。领域是定义极限的一个必要条件哦！　　只能说明你 还 “太嫩” 呢。不过这样下去，相信 你定会取得不错的成绩的。。　　要说的都说呢，再说没意思呢。
　　　　 作者：沉静思 　　　　 如你所说，，那些说什么超实数集的，，大哥，，确实有点吓人呢。〕　　我也只学过，实数，和虚数！！哈。。。。　　 我也没有什么本事哈。。！
　　超实数理论用在什么范围？这里应该用实数理论的吧？
　　也不排除别人是正确的，但是只不过我们没有学过和用过罢了。。　　 或者学过，用过，但是没有明确的定义和做考试要求吧。　　 所以，各有各的道理了。每个人说话没有谁对谁错，都代表了自己的一种认识程度。学习阶段不同，认识深度不同，所以有所争议。很正常嘛。　　 最重要提高了学习数学的兴趣，。我想这就是这个讨论的最大意义了。要是大家要有所领悟，那就更好了。
　　世上本无1,0.99999……亦非数，你说他也说，我看等于0
　　等于和无限接近于是不一样的!
　　作者：coblan81
回复日期： 19:13:00
　　　　作者：heanonlia 　　　　 拜托你了解一下，去心领域 的意思好吗？？　　——————————————————————————————————————　　我觉得是你没有理解我的意思。去心邻域我懂的不见得比你少，是你的理解有问题。我的话你可以再看一遍。
　　再说一下吧，我的意思就是：既然说了某个式子的极限“是”多少，那就是等于的意思，“是”和“等于”是一个意思吧？某个式子它本身不等于某个值，但它的极限是等于某个值的，“极限”一词已经包含了逼近的意思。以上是我的意思，跟有没有去心邻域无关啊，你明白没？另外：是“去心邻域”，不是“去心领域”。上面我言辞激烈了些，抱歉啊！
　　个人观点：0.333……=3/9，0.424242……=42/99，0.……=20/99，那么，0.9999……=9/9=1。个人观点。
　　0。9999循环是个极限，极限为1
　　作者：heanonlia　　　　不好意思。我打字用的是拼音，，。把邻域 打成领域 去了。稍微用过拼音的人 ，的都应该知道 吧。呵呵。　　 你说 极限等于就是等于的意思？？？太 那个了吧。　　 举个例子：x→0
也就说lim x ＝0 那么 1/x=∞
x/1=0 ，是吧。如你所说，极限等于，就是等于的意思。那么1/x 不就是1/0 了吗？1/0 有意义吗？ 分母是不能位0的啊。请你解释一下吧！　　　　 还有你说 式子的极限 等 与 去心邻域无关，。　　 你说的式子，我估计你说的是 函数。 函数的在X0 点 处的极限的标准 式子应该是 |f(x)-A|&ε ，x→X0 ，是吧。但是你可以看看说得比较详细的书，都补充了：“当然，X属于X0的去心邻域。”这类的话语。。　　 由此可见 ，函数在 X0处极限是建立在 X0的去心邻域 基础上的。　　 既然是去心邻域，那么，如果哪个 函数（X0)的极限＝1 ，那么函数(X0)≠1。。　　 现在你知道 去心邻域的 作用了吧！
　　补充一下：　　
前提是 f ’（x0)≠0 　　
才有:X在X0的去心邻域，如果lim（X)＝1 ，那么 f(X)≠1。　　
很好证明的。　　
因为f ’（x0)≠0 那么Δy≠0,　　=& f(x0)-f(x0-Δx)=Δy≠0 ,　　=&f(x0)≠f(x0-Δx)　　　　现在：　　令 f（x）＝x
（ 此时 f ’(x0)＝1≠0 ）　　
f(x0)=f（1）＝1　　
f(x0-Δx)=x0-Δx＝0.9（9循环）　　
lim f(x0-Δx)=1　　 那么 0.9循环≠1
　　感觉 是在绕口令。。。。。。。　　 总之，，大家都有道理。。。　　 我头，反正是晕了。。都不知道 在证明什么了。嘿嘿。
　　前面还行，到后面的就看不懂了。
　　大家都对，Stop here！
　　不好意思，忍不住要翻案1下。偶有话要说。
　　作者：尤里西斯1 回复日期： 17:01:00 　　　　　　　　　　如果你要问现在科学界通行的实数理论中这个数是不是等于1的话，那么绝对是1。但是作为一个专门的理论，有超实数理论，在那套理论中这两个数就不等。等不等于并没有绝对意义，因为只要逻辑不出现矛盾，怎么说都可以。但超实数理论并没有什么很大的影响，因为类似的理论有一大堆，都对现状（即使基础数学的现状）无甚影响。＝＝＝＝＝＝＝＝&　　当你有一个结论时，别人会说“根据我的理论你的结论是错的”，你会有什么感觉？－－－－－－哑巴吃黄连的感觉。研究同一个问题能不能用多种不同理论来研究？？？个人认为不能。而且“超实数理论并没有什么很大的影响”，那凭什么让它来忽悠？　　　　　　作者：coblan81 　　不完全明白你的意思。　　　　│x-a│&ε，这里的ε是否就是你说的“距离”啊？呵呵！这个不应该叫距离，这里应该叫做a的去心领域。 ＝＝＝＝＝＝&　　　　您误会了，我说的距离是指函数值与这个函数极限的距离，而不是指变量。比如极限定义中的“|f(x)-A|&ε”，就是指函数f(x)的值与A的“距离”，这个距离可以任意小。注意：可以小到0！您在上面的帖子自行把它改写成“0
&|f(x)-A|&ε” 了！你多写了个0，所以导致了错误的结论。极限定义中没有这个0.　　　　在这里我承认函数f(x)与它的极限是有区别的。因为A=limf(x),带入上式就是| f(x) - limf(x) | & ε
。这就告诉我们，f(x)与limf(x)可以相等，或者不相等（差距很小，任意小）。　　　　coblan81，我们现在争论的焦点是，　　您认为：　　0.9（9的循环）＝0.9+0.9^0.1+0.9^0.1^2+....+0.9^0.1^n (n→∞）
记作式子（※），所以带入得，　　lim
【0.9（9的循环）】　　＝lim【0.9+0.9^0.1+0.9^0.1^2+....+0.9^0.1^n 】(n→∞）　　＝1　　即lim
【0.9（9的循环）】＝1。从而认为　　0&| 0.9（9的循环） -1| & ε ，所以
0.9（9的循环）≠1。刚才说了，大于0是您自己加上去的，所以导致了这个错误的结果。　　　　在式子（※）中，右边有个n→∞，说明您已经取极限了！也就是说　　0.9（9的循环）　　＝lim【0.9+0.9^0.1+0.9^0.1^2+....+0.9^0.1^n 】(n→∞）＝1，即0.9（9的循环）＝1。　　　　现在再退一步，假设您说的lim
【0.9（9的循环）】　　＝lim【0.9+0.9^0.1+0.9^0.1^2+....+0.9^0.1^n 】(n→∞）　　＝1即
【0.9（9的循环）】＝1
的说法是正确的。　　按照您的思路，就有　　| 0.9（9的循环） -1| & ε
。但是这回结论和您有所不一样：仍然不能说明0.9（9的循环）≠1，因为0.9（9的循环）＝1的话　　| 0.9（9的循环） -1|＝0& ε也成立。　　　　再者。根据教材中的一个定理也可以说明问题。这个定理是　　lim f(x)=A＝f(x)+无穷小a（x）　　【其中f(x)要有极限，且a（x）＝f(x)-A 】　　　　那么有
1＝0.9（9的循环）＋无穷小a（x）　　那么嘿嘿，正好说明你说得正确！！！但是别忘了，在这里仍然不能确定无穷小a（x）不为0，即在这里无穷小a（x）＝0。
　　就是1，没有什么可奇怪的，就象平行线在无穷远处相交，平面无穷大就是球面一样，看起来很奇怪，但是确实存在
　　0。9999循环怎么用分数表示=一分之0.9999循环，分子分母同扩大0000倍
　　其实就是1拉，该说成其极限是1才对，，相信你会给1RMB的，西西
　　等于　　　　无限小数的定义与有限小数的定义不同，所以不会有跟有限小数类似的分数的概念　　　　要用到n位不足近似和n位过剩近似，在定义以及给定的比较方法下0.9999……和1.000是相等的　　　　当然可以用十倍再减一倍的方法很直观的看到
　　0.99999...=1-(0.1)n（是n次方）　　lim(n-&无穷大)[1-(0.1)n]=1　　所以有无穷个9的话，0.99999...=1
　　是一个 只是表达结果不同 　　0.9(9循环)是10进制的一种位数表达方法 也可以表达成1.0（0循环）　　好比2进制1.0（0循环）表达成浮点形式0.1（1循环）一样
　　就是绝对的等于.　　说不等于或近似等于的人,高中数学统统不及格.　　0.9(9的循环节),这个数和1是完全等价的,只是表示方式不同而已.　　高中数学已经证明过了
　　1.0(0循环)和0.9(9循环)都是常量　　它们的差当然是个常量 可以确定这个常量是无穷小 而能作为无穷小的常量只有0　　所以1-0.9(9循环)=0　　就是1=0.9循环　　同一个数有2个不同的表示方法而已 0.9(9循环)只是规定的1的另外一种表示方法
　　作者：likill86926
回复日期： 19:41:00
　　　　　　1.0(0循环)和0.9(9循环)都是常量　　　　它们的差当然是个常量 可以确定这个常量是无穷小 而能作为无穷小的常量只有0　　　　所以1-0.9(9循环)=0　　　　就是1=0.9循环　　　　强，好坚强的理由。我要表达的也是这个意思，不过没表达出来。拜你1下。　　
　　1.0(0循环)和0.9(9循环)都是常量　　　　它们的差当然是个常量 可以确定这个常量是无穷小 而能作为无穷小的常量只有0　　　　所以1-0.9(9循环)=0　　　　就是1=0.9循环　　　　同一个数有2个不同的表示方法而已 0.9(9循环)只是规定的1的另外一种表示方法　　-------------------------------------------------　　NO,你凭什么说0.9(9循环)是常量?
“最接近1“的点和“1“是同1点?那么所谓“左极限”“右极限”就是无稽之谈。　　　　“左极限”“右极限”是无稽之谈,““极限”就同样是无稽之谈。　　
　　1、x=0.9+0.1*x是严格的等式啊，直接解出就可。　　2、0.9循环=lima1(1-qn)/(1-q)=1　　　　初等代数和高等数学都可以解决。　　　　另0.9循环是常量啊，是一个确定的数。
　　问LS 1个非常简单的问题， “无穷大”是一个确定的数吗？　　　　　　　　1、x=0.9+0.1*x是严格的等式啊，直接解出就可。　　----------------　　这和本题有什么关系？谁不知道 1=0。9+0。1啊　　　　　　2。0.9循环=lima1(1-qn)/(1-q)=1　　-----------------------------------　　回去看清楚高等数学关于“数列的和”、“极限”的定义。“极限”本身就意味着不等于（有1个不为0的差）。
“数列的和”并非是真正的和，而是它的“极限”　　　　
　　to霜焰：　　常数有时不是一个很容易表达或者书写的数字，但是它的量是确定的。数学和物理上就有一些常数，比如被大多数人了解的自然常数e＝2.71828.......，还有Pi＝3.14159...........。无穷大不是一个数，是极限不存在（发散）的情况，如果极限存在，那么极限的表达式可以等于一个确定的数啊。0.99999循环正是可以用极限形式来表达。　　　　
　　汗,LS.　　　　自然常数e,Pi本身就是1个式子的极限,证明那个式子极限存在就证明它们本身是常数,当然好说.　　　　如果是
lim 0.999999......(n个,n--&无穷)你可以说是1.但是你现在没有极限号,而且问的也不应该是它的极限.“极限”和真正的值是不同的，对吧？　　　　 “无穷接近1”的点和“1“是同1点?那么所谓“左极限”“右极限”就是无稽之谈。　　　　　　　　“左极限”“右极限”是无稽之谈,““极限”就同样是无稽之谈。　　
　　作者：霜焰
回复日期： 11:11:00　　　　＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　偶明白您的意思，您是说　　（1）0.9（9无限循环）=0.9+0.1[1-0.1^(n-1)]　　（2）0.9+0.1[1-0.1^(n-1)] ≠
lim{0.9+0.1[1-0.1^(n-1)]}【n→∞】　　（3）所以　　0.9（9无限循环）≠ lim{0.9+0.1[1-0.1^(n-1)]}【n→∞】　　即0.9（9无限循环）≠ 1　　　　但实际上0.9（9无限循环）≠0.9+0.1[1-0.1^(n-1)]　　而是：　　0.9（9无限循环）＝lim{0.9+0.1[1-0.1^(n-1)]}【n→∞】＝1　　
　　鄙视一下高人,高中没学好
　　作者：yzqsw2003
回复日期： 19:09:00　　-------------------------------　　你无非是想说“默认”0.9（9无限循环）是省略了lim和趋于条件的简写,如果是这样这个根本不是什么值得说的问题了,不过应该没有这样的“默认”存在。 我问了1个学数学专业的朋友，他说“只能说0.999999..........的极限是1，不能说等于1”，看来没有这样的“默认”，他既然没有写极限号，那么就不是在问它的极限。　　　　而且你写的0.9（9无限循环）=0.9+0.1[1-0.1^(n-1)]这样的写法也很成问题，n是什么？ 无穷大的自然数？
　　这个问题是不能用高中知识解答的　　　　学了极限就能明白了。0.99999循环 只能无限接近于1，但不等于1。　　　　还有就是0.3333...3循环也并不等于三分之一。　　　　也只是无限接近于三分之一。
　　讨论这个问题，实际上是以有限的智慧理解无限的宇宙！　　当智慧达到一定程度的时候，才能理解一定的事物！~　　到时候自然会有新的理论代替现有的理论！就象当初哥白尼的日心说推翻地心说一样~认识是一个不断上升的过程~
　　汗，怎么0.9（9无限循环）不是常数？这个数的每个位置的值都是确定的，所以是常数。如果说它是变量，那么就是说它一会是这个值一会是那个值，不可能。它是实数轴上的一个确定的点，而不是一个运动点。　　这样1来，常量的极限就是它本身了。就是说　　0.9（9无限循环）＝lim【0.9（9无限循环）】，在它前面加不加lim就无所谓了。　　这样，lim{0.9+0.1[1-0.1^(n-1)]}【n→∞】的值才能代表它的值。　　　　我们用定积分求不规则图形的面积时也遇到类似问题：也就是说用这种方法求得的就是面积的精确值了，而不是面积的极限。　　在无穷级数和的问题中，收敛的值就直接当作整个无穷级数的和了，而不是当作无穷级数和的极限，当然也就没有无穷级数的和不是这个极限值的说法了。　　　　　　作者：guiv
回复日期： 23:39:00　　＝＝＝＝＝＝＝＝&　　0.3（3无限循环）≠1/3
？？？？？？？强吖！！！！！　　0.3（3无限循环）＝1/3 这个式子又不是证明出来的，是用列除法式子算出来的。　　
　　在極限理論下，就是等於。
　　汗，怎么0.9（9无限循环）不是常数？这个数的每个位置的值都是确定的，所以是常数。如果说它是变量，那么就是说它一会是这个值一会是那个值，不可能。它是实数轴上的一个确定的点，而不是一个运动点。　　-------------------------------------------------　　2+2+2........的每个加数的位置的值都是确定的,你说它是不是常数?
“无穷”本身就不是确定的，“无穷”个9这样的东西更加不知道是什么。　　　　　　　　　　我们用定积分求不规则图形的面积时也遇到类似问题：也就是说用这种方法求得的就是面积的精确值了，而不是面积的极限。　　　　在无穷级数和的问题中，收敛的值就直接当作整个无穷级数的和了，而不是当作无穷级数和的极限，当然也就没有无穷级数的和不是这个极限值的说法了。　　--------------------------------------------　　注意是把它的极限“定义”成无穷级数的和，至于实际问题，比如面积这样的，也是1种“定义”，真正会严格区分“无穷接近”的只有极限。　　　　　　　　还是这个问题 , f(x+)和f(x-)有什么区别?说说.
　　一除以三等于三分之一，一是起点，三分之一是终点，0.333....是过程，这个过程的尽头是终站点。　　　　如果认为
0.3（3无限循环）＝1/3　　那只是小学水平。　　　　小学时老师告诉我们三分之一等于零点三三循环,但随着受教育程度不断提高,我们知道了什么是极限,也明白了其实在它们之间是不能划等号的。零点三三循环只能无限的趋近于三分之一,但永远不会相等,只能说它的极限等于三分之一。　　
　　一除以三等于三分之一，一是起点，三分之一是终点，0.333....是过程，这个过程的尽头是终站点。　　　　永远到不了终站点。
　　作者：霜焰
回复日期： 09:59:00　　＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　2+2+2........中有运算符号，不能当作常数。　　　　　　在极限定义中，“无限接近”有2层意思：（1）是只能无限接近不能达到；（2）是能达到，也就是说等于。在本问题中你如何知道是情况（1）呢？？　　对于第二种情况，比如2的极限是2，那么就不能说前面的2无限接近于后面的2了，那就不可理喻了。　　　　你对f(a+)和f(a-)的意义有误解。　　f(a+)的意义是，在定义域x＞a时，limf(x)＝f(a+)；　　f(a－)的意义是，在定义域x＜a时，limf(x)＝f(a－)。　　就是说f(a+)和f(a-)就是极限，而不是函数本身，只是为了方便给的一种简写形式。另外，要十分注意其所对应的定义域。　　函数在a点有极限时，f(a+)和f(a-)没有任何区别。而且左右极限和本讨论问题无关。　　　　　　n为自然数。　　f(n)＝0.9+0.1[1-0.1^(n-1)] ＜ 1
　　但不影响　　lim f(n)【n→∞】＝1
的恒成立。从这两个式子可以说明f(n)只能无限接近1而不能达到1。这是上述所说的极限定义的第一种情况。　　　　　　我和你争论的焦点是　　0.9（无限多个9）等不等于lim f(n)【n→∞】。　　　　　　0.9（有限 n个9）＝f(n) 　　0.9（无限多个9）＝ ？　　从有限到无限，很显然令n→∞时取f(n)的极限就是0.999999......的值了。而不必另外考虑那么多问题。　　　　　　作者：guiv
回复日期： 12:38:00　　＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　我不是数学专业的。莫非你的教材上赫然写着　　0.3（3无限循环）≠1/3 ？？？？？？？　　　　你认为0.........是个过程，而且永不停止达不到终点站。那就是说它是变量，在实数轴上没有它确切的位置，但我认为有确切位置，它是常数。
　　其实 很简单　　　　0.3（3无限循环）乘以4 你说等于多少？　　　　1/3 乘以4 呢？　　　　循环小数跟分数之间本来就不可以划严格意义的等号。
　　我认为，　　一个数的【每个数位的数字是已知的、确定的】，那么它就是常数。　　比如e、0.9999999.......、0.3333333....、π等等。　　比如　　u＝2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋...就不是常数了。　　因为：2＋2＝4，2＋2＋2＋2＋2＝10，2＋2＋2＋2＋2＋2＝12，仅就个位来说，分别是4、0、2，所以认为u不是常数。
　　你不要告诉我小学（或初中？）所学过的把有规律的无限循环小数化为分数的方法是错误的或近似的方法。
　　作者：yzqsw2003
回复日期： 14:14:00 　　-------------------------------------------------------　　2+2+2........中有运算符号，不能当作常数。　　------------------------------------　　原来“1+根号2 ”
不是常数，而200000.........是常数。哈哈。　　　　　　　　在极限定义中，“无限接近”有2层意思：（1）是只能无限接近不能达到；（2）是能达到，也就是说等于。在本问题中你如何知道是情况（1）呢？？　　　　对于第二种情况，比如2的极限是2，那么就不能说前面的2无限接近于后面的2了，那就不可理喻了。　　------------------------------------------------------------　　极限定义中，“无限接近”都是“不能达到”。但是函数极限可以等于也可以不等于函数的值。常数无变量，连“趋于”都无从说起，但是仍然可以按极限定义的程序证明其极限等于原值。　　　　我之所以问你“左极限”，“右极限”，是提醒你其自变量的差异。　　　　　　　　你对f(a+)和f(a-)的意义有误解。　　　　就是说f(a+)和f(a-)就是极限，而不是函数本身，只是为了方便给的一种简写形式。另外，要十分注意其所对应的定义域。　　　　函数在a点有极限时，f(a+)和f(a-)没有任何区别。而且左右极限和本讨论问题无关。　　-----------------------------------------------------------　　说什么呢？我本来就是问f(a+)和f(a-)这2个极限。f(a+)=f(a-)时，才有lim f(a).因变量相等并不表明其自变量是同1点.　　　　问你
f(a+)处和f(a-)处在x轴对应的是什么点?　　　　　　　　　　　　0.9（无限多个9）＝ ？　　　　从有限到无限，很显然令n→∞时取f(n)的极限就是0.999999......的值了。而不必另外考虑那么多问题。　　----------------------------------------------------　　嘿嘿,你差不多可以问到关键问题处,其实上面说的都不是真正的关键问题,不过好象LZ想问的也不是这个关键问题.　　　　　　你知道知道无限多个9是什么?
没有任何方法可以知道达到“无限多”会是什么结果。　　
　　你终于明白了　　就是一种近似的方法。
　　在家认真查了一下科学出版社2001年出版的《实用数学手册》（1068页），找到了建立实数系的严格理论，以及极限理论的内容。　　 　　数列极限的定义 给定数列{Xn}，如果存在a∈R，对每个ε＞0，都存在N∈自然数集，使得当n＞N时，不等式|Xn-a|＜ε成立，则称数a是数列{Xn}的极限。 　　　　特别的，当a=0时，称{Xn}为无穷小量。 　　　　请注意，它把一个趋近于0的数列称为无穷小量，说明“无穷小量”并不是一个实在的数！注意到李明波的实数理论中，{10^(-k)}就是一个无穷小量，它并不比0大，也不比0小，更不等于0。 　　　　它还说，每个有理数都可以表示成有限小数或无限循环小数。 　　　　有理数应该是指类似于p/q (p,q∈Z)的数，　　“有限小数或无限循环小数”只是其表示形式，　　　　从无限循环小数化成分数形式一般用取极限的方法。　　　　这里之所以把该极限值与该数等同起来，是因为无限循环小数的表示与该分数存在一个无穷小量的差别。　　　　这是小数的表示法的不足所致，化成分数形式时应自觉去除此差别，还原该数。 　　　　那么，可以看到，无限循环小数0.999...表示的是9*(1/10+1/100+1/1000+...)极限是1。有上文叙述，0.999...=1。 　　若不然，1=3*(1/3)=3*0.333...=0.999...≠1就很不恰当了。在此式中，把1/3表示成0.333...时就有了一个无穷小量的差别，如果不在0.999...中消除此差别，就还原不了1。 　　　　同样，我们还知道，0.999...98、1.000...01、1.000...023表示的都是同一个有理数1，其“差别”是小数表示法导致的。但无理数（比如π=3.14159...）就不同了，无论加上多少个（有限个）无穷小量，都不能成为无限循环小数。 　　　　由此，我们看到小数表示法的不足之处，同时我也没有在建立实数系的严格理论中见过用小数来定义的丝毫痕迹。 　　谢谢
　　说白了　　　　就是小数表示法的不足。　　　　我就是要告诉你小学（或初中？）所学过的把有规律的无限循环小数化为分数的方法是近似的方法。　　
　　经济上有危机，历史上数学也有三次危机。　　　　第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为l的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。不可通约量的研究开始于公元前4世纪的欧多克斯，其成果被欧几里得所吸收，部分被收人他的《几何原本》中。　　　　第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。微积分的形成给数学界带来革命性变化，在各个科学领域得到广泛应用，但微积分在理论上存在矛盾的地方。无穷小量是微积分的基础概念之一。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，而且把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。　　　　　　　　第二次数学危机的解决使微积分更完善。　　　　　　　　第三次数学危机，发生在十九世纪末。当时英国数学家罗素把集合分成两种。　　　　　　　　第一种集合：集合本身不是它的元素，即A A；第二种集合：集合本身是它的一个元素A∈A，例如一切集合所组成的集合。那么对于任何一个集合B，不是第一种集合就是第二种集合。　　　　　　　　假设第一种集合的全体构成一个集合M，那么M属于第一种集合还是属于第二种集合。　　　　　　　　如果M属于第一种集合，那么M应该是M的一个元素，即M∈M，但是满足M∈M关系的集合应属于第二种集合，出现矛盾。　　　　　　　　如果M属于第二种集合，那么M应该是满足M∈M的关系，这样M又是属于第一种集合矛盾。　　　　　　　　以上推理过程所形成的俘论叫罗素悖论。由于严格的极限理论的建立，数学上的第一次第二次危机已经解决，但极限理论是以实数理论为基础的，而实数理论又是以集合论为基础的，现在集合论又出现了罗素悖论，因而形成了数学史上更大的危机。从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统。即所谓ZF公理系统。这场数学危机到此缓和下来。数学危机给数学发展带来了新的动力。在这场危机中集合论得到较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟。然而，矛盾和人们意想不到的事仍然不断出现，而且今后仍然会这样。
　　我不认同网友 霜焰 和 guiv 的绝大部分观点 。　　　　　　　　关于无穷大问题。无穷大就是无穷大，没有什么达不到的。既然无穷大已经定义了，那还有什么达不到的呢？？？虽然无穷大千差万别，但没有可比性，不能说这个无穷大比那个无穷大大还是小的问题。“趋于无穷大”就是 “达到无穷大”的意思。无穷小也是这个意思。　　　　这与趋向于常数不同。比如，x→5就包含x≠5的含义在里面。　　　　x→∞则不同，已经可以认为x就是无穷大了。本人认为，在0.9999.....这个问题中，“9的个数为无穷大”、“9的个数趋于无穷大”没什么区别。再者，如果没有任何一个变量达到无穷大，那定义它来又有什么用？？？本来，无穷大（小）的定义就是针对某类变量把它们定义为无穷大（小），那这类变量本身就是无穷大（小）了。　　　　　　　　关于楼主说的左右极限问题。n为自然数。你想说1是0.99999....的左（右？）极限？我猜测你对此问题的想法是：　　　　【0.999999....→ 1－，lim0.9999.....=1，所以0.9999.....＜ 1】　　　　在这个推理中，矛盾重重。首先，0.999999....→ 1－这里，已经默认0.9999.....＜ 1了。后面的推理是多余的。而且，此推理自变量和因变量是同一值，不可思议。　　　　　　　　左右极限是针对自变量趋于常数的时候的说法，现在n趋于无穷大，没有相似性。　　　　　　　　你问我 f(a+)处和f(a-)处在x轴对应的是什么点?　　　　解方程f(x)＝f(a+)＝f(a-)无实数解。我们只管把f(a+)或f(a-)的值赋予别的量。而不管在x轴对应的是什么点。　　　　　　　　0.9（有限 n个9）＝f(n)＝0.9+0.1[1-0.1^(n-1)] ＜ 1 恒成立。　　　　把lim f(n)赋予0.9999..... ，并不等于认同f(n)＝1 成立。我们不用关心f(n)＝1 成立否，也不关心f(n)＝1的解。　　　　　　　　关于常数问题。教材中我没发现对常量进行定义。首先，我尝试对常量进行定义。　　　　常数：一个数的每个数位的数字都是已知的、确定不变的，这个数就是常数。常数经过有限次复合运算后还是常数。　　　　后续分析会发现此定义是可行的。　　　　“1+根号2 ” 是常数，而200000.........不是常数，因为2的位置不确定。哈哈。　　　　　　　　　　　　我不愿意认为0.9999999……= 1-1/1000000……。我更愿意认为　　　　0.99999……＝9*(1/10+1/100+1/1000+……)。　　　　　　　　　　　　把无穷小定义为一种数列欠妥。我们知道f(x)=limf(x)+a(x)。其中a(x)为无穷小。如果它是数列，又如何参与这个式子的运算呢？柯西说“无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量”。　　　　　　　　　　　　“它还说，每个有理数都可以表示成有限小数或无限循环小数”＝＝＝＝＝＝＝＝什么叫做表示？表示是约等于吗？表示是绝对等于吗？既然可以表示，那还不是等于是什么？　　　　　　　　比如5＝10/2，用10/2来表示5，肯定是等于才可以表示，不等于就不可以表示。　　　　　　　　“可见，真遇到了事关“真正的无穷”的问题，原来一些仿佛已经固定的概念（比如“和”、“相等”）都需要重新特别进行“定义”，然后在定义的范围内解答问题。”　　　　＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝上面说过，我们现在讨论的正是“真正的无穷”。你不知道等于是什么意思吗？我们现在就是讨论0.……等不等于1。如果我们都不明白等于是什么意思，那我们还怎么讨论？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　“ 显然，真正的问题就是 1/3本来就不等于0.333...... 循环小数原来来自除不尽， 但是无论多少位终究有“余数”，以前没有“无穷小”概念，所以这样记了。现在有“无穷小”概念，那么就应该注意到它们的“无穷小”差异。 ”　　　　＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　　从这段描述中可以看出，你们认为1/3＝0.3333……＋无穷小a(x)，实际上这也是一种默认。　　　　本人以为：在强调“无穷多个3”时，已经彻底的体现了1/3的“性能”和“特征”，也就没有那个无穷小的差异了，即使认为有这个无穷小差异，那么这个无穷小就是常量0。　　　　应该纠正【无论多少位终究有“余数”】的看法，无限多个3就没余数了。以前没有“无穷大（多）”概念，所以认识比较模糊。现在有“无穷大”概念，那么就应该注意到它们的值没有差异。　　　　　　　　　　　　有人认为0.99999……＝9*(1/10+1/100+1/1000+……)。没错。正式这个式子，令许多人把0.9999……看作是一个从1的左边往1的方向渐进的过程。因为这是个渐进的无穷多次的过程，所以认为它不可能到达1，只是无限接近1。所以认为0.99999……和1有一个无穷小的差。这种分析看似没有破绽，其实不然。　　　　看2个例子。分析根号2和π 。　　　　根号2＝1.414213……＝1＋0.4＋0.01＋0.004＋0.01＋0.000003＋……　　　　这样，把根号2看作从1.4开始一位一位的加，往实数轴的右边（定义往右为正）运动，那它永远也达不到终点，也就是没有终点。但实际上它是个常数，在实数轴上是有确切位置的。这个两个说法不是矛盾了吗？只能说前一种说法是错误的，应该说它往右边运动，经过无数次后终于到达了它的终点位置，也就是根号2的位置。这个例子说明，不能认为一个数的数位无限就不能“运动”到确切位置。经过【无数次】的一位一位的加之后，是能够达到固定位置的。　　　　再比如可以同理分析π＝3.14……＝3＋0.1＋0.04＋……。它经过无数次运动后也可以到达它的固定位置。　　　　同理，0.……也可以到达固定位置。　　　　总之，那种认为因为位数无限所以不可能达到稳定位置的看法是错误的。只要每个数位的数字是已知的、固定的、明确的，那么这个数在数轴上就有固定位置，就是常数。　　　　　　　　为什么会有这种错误看法？错就错在把0.……看作一个“无休止”的无穷多次的运动过程，应该看作“有休止”的无穷多次的的运动过程。也就是说在强调“无穷多个9”时已经表示可以“拿到”【所有的9】了，已经是一个整体了。呵呵，“无穷多个9”和“拿完所有的9”并不矛盾。　　　　　　　　　　　　我再举个相似的例子。在实数轴上有线段[1，2]，这区间有无穷多个实数，虽然无穷多个，但也是可以完全拥有（“拿到”）的。　　　　　　　　下面给出0.……＝1的严格证明，之后再编个有助于理解的故事。　　　　
　　下面给出0.……＝1的严格证明，之后再编个有助于理解的故事。　　　　　　　　　　　　令0.99……9（有限的n个9）＝f(n)＝0.9+0.1[1-0.1^(n-1)] 。【n为有限值，代表小数位的9 的个数】。　　　　有下列结论：　　　　（甲）0.9≤f(n)＜0.99999……恒成立　　　　（乙）0.9≤f(n)＜1恒成立　　　　（丙）0.9≤f(n)＜1恒有实数解　　　　（丁）f(n)≥1恒无实数解　　　　　　　　　　　　令0.9≤k＜1，解不等式1＞f(n)≥k　　　　化简得1/（10^n）≤1－k　　　　容易看得出来这个不等式肯定有实数解。解得：n≥ －lg（1－k）。 （取自然数） ————（己）　　　　　　　　假设k=0.9……＜1，则由上述结论（己）知1＞f(n)≥0.9……有实数解。　　　　但这违反了结论（甲）。　　　　所以0.9……＜1的假设不成立。　　　　所以0.9……≥1　　　　只要再证明0.999……＞1不成立即可证明0.99999……＝1。　　　　请网友自行证明。　　　　
　　从我的角度看就是相等的（搞计算机的），人类能够应用到的数字毕竟是有限的，无限我们也要当作有限来看
　　等于　　　(1)0.9999....=3*0.3333....=3*1/3=1(即0.99999....=1)　　
(2)0.9999....与1中间没有任何数．只能相等　　　答：０．９９９９９．．．．．＝１
　　无限循环小数有固定地大小　　　　那么无限不循环小数呢，到底是多大呢？
　　我搜索了许多讨论这个问题的论坛，有的都讨论好几年了，发言的有上万人，虽然问题没定论，但是受益匪浅，从数学到哲学都收获不少。在这里首先感谢大家能让我看到这么多精彩而专业的辩论。下面我谈一下我的想法：从数学的发展史来看当初定义无限循环小数由于现有的数不能表达某些运算结果，但是人们又要用这些运算结果去进行研究和再次运算，若是用语言描述则过于繁琐，于是用一个约定俗成的字母或代号去代表这个运算结果，例如e,π，甚至分数在最初都是一种运算方式，而0.3（3无限循环），0.9（9无限循环）.....从这个意义上讲0.3（3无限循环）是为了表示1/3而发明的表达式，的确等于三分之一，是一个常数，可以进行代数运算，所以0.9（9无限循环）=3*0.3（3无限循环）=1。　　
但是随着数学的发展，人们认识到了极限的意义。情况就不同了，以前认为天经地义的事突然变得矛盾起来，其实这在其他科学领域也出现过类似现象，比如当初的牛顿力学三大定律，后来被证明都是错误的，但是它指导人类社会进步了许多，因为他比前的理论更加接近真理，且在宏观世界的应用中产生的误差可以忽略不计，近似值足够人们应用于生产实践。后来研究微观世界才发现牛顿的理论都是近似值，开始用爱因斯坦的理论。极限，无穷小，无穷大也是这样随着人们对数学应用要求而产生的理论，不能说这是终极真理，但至少弥补了部分初等数学应用范围的不足之处。也就是说这时候由于无穷小的存在使得0.9（9无限循环）&1了，下面用几个数学式子讨论一下：　　
假设0.9（9无限循环）=1，那么0.9（9无限循环）是个常数，可以应用代数运算　　
0.9（9无限循环）/2=0.4（9无限循环）875
1/2=0.5　　　　
0.9（9无限循环）/3=0.3（3无限循环）
1/3=0.3（3无限循环）　　相等　　
0.9（9无限循环）/4=0.249（9无限循环）75　　
1/4=0.25　　不相等
0.9（9无限循环）/5=0.19（9无限循环）8　　
1/5=0.2　　不相等 　　
0.9（9无限循环）/6=0.16（6无限循环）5　　
1/6=0.16（6无限循环）　　不相等　　
0.9（9无限循环）/7=0.2857无限循环）　　
1/7=0.2857无限循环）　　相等　　可见计算结果飘忽不定，0.9（9无限循环）时而等于1；时而不等于1。那又是为什么呢？因为现代数学应用了“无穷小”，最大的意义是无穷小可以做分母，应用于生产实践，例如爱因斯坦的许多物理理论和高等的极限都是用无穷小做分母才推导出来的，否则无穷小若等于零，做分母没有意义，那么许多应用于现在的科学就没有了数学基础，难以发展研究。当然当无穷小加上一个数时，你大可把他看作是零去计算，但是当他在某些范围应用时（例如做分母时）就不是零。好比牛顿的经典力学，你从小学老师和课本就告诉你是真理，而后来发现都只是局限在宏观世界，远小于光速时的近似值也不必大惊小怪。我想一个没学过太多物理专业知识的人，要是告诉他有些物质有质量、有些物质没质量、有些物质运动是有质量，停下来时就没有质量了、有些物质你永远都不能确定他的位置，他肯定会头大的，但是就目前的物理学成果来说的确如此。所以“0.9（9无限循环）是否等于1”这个问题只有放到具体问题当中才有唯一答案。　　
（在这里多说几句：数学是人们认识和改造自然的工具，所以首先人们接受有现实意义，即在现实中能够证明的数学理论；如果脱离实践，那么你可以认为数学只是一种预先规定了规则的游戏，你的任何推导只要不相互矛盾即可，甚至有矛盾也不无妨，你可以规定允许出现矛盾。任何数学理论当有了现实意义后才会有生命力，说服力，否则只是玩具。）　　
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