关于机械波在界面处出现半波损夨的原因的条件, 现行教材中有两种说法:一是: “当机械波从密度 小的介质射到密度大的介质分界面时,会发生半 波损失 ” [1 ,2] 二是: “当机械波从ρu 小的介质射 到ρu 大的介质分界面时,会发生半波损失的原因。 ” [3 ,4] 两种说法究竟哪一种正确? 由于教材中均无该 条件的推导,故不能判别其真伪
 并且现行的一 些教材中对波在固定端和自由端的反射是否有 半波损失的原因的解释在概念上有含混之处,所以有必 要对这一问题给予探讨。 下面将根据机械波在界 面处满足的边界条件导出发生半波损失的原因的条件, 并讨论波在固定端和自由端反射的情况 设平面简谐波ψ i = Acos ω t - x u1 射到 介质1 和介质2 的分界面,如图1 ,在界面处产生 反射和透射,其反射波ψ r 和透射波ψ t 分别为: ψ r = Bcos ω t + x u 1 ,ψ t = Ccos ω t - x u 2 其中 B 、C 的符号由边界条件决定。
 若 B 、C 与A 同号,說明反射波、透射波与入射波同相;若 B 、 C 与A 异号,说明反射波、透射波与入射波反相 u 为波速。 介质1 中的机械波ψ 1 为: ψ 1 =ψ i +ψ r = Acos ω t - x u1 + Bcos ω t + x u1 (1) 介质2 中的机械波ψ 2 为: 图1 ψ 2 =ψ t = Ccos ω t - x u2 (2) 由于对不同的情况,其边界条件有所不同
 下面 分三种情况进行讨论。 1) 界面处两侧介质无滑动无分离 这种情况下,界面两侧波的位移应相等,应 力应相同,即有边界条件 [ 5] : ψ 1 (0 , t) =ψ 2 (0 , t) (3) G1 5ψ 1 (0 , t) 5 x = G2 5ψ 2 (0 , t) 5 x (4) 其中 G1 、G2 分别为介质 1 和介质 2 的弹性模 量。
 将式(1) 、(2) 代入式(3) 、(4) 得: A + B = C (5) G1 A u 1 - B u 1 = G2 C u 2 (6) 而 u1 = G1∏ρ 1 , u2 = G2∏ρ 2 ,ρ为介质的密度。 若将式(5) 乘以式(6) 可得: ① ②作者简介:刘启能(1957 - ) ,男,四川沪州人,宜宾高等师范专科学校物理系副教授,主要从事大学物理教学研究
 收稿日期:1999 - 05 - 11 ;修回日期:2000 - 01 - 03 ( G1∏u1 ) ( A 2 - B 2 ) = ( G2∏u2 ) C 2 进而可得: 1 2 ρ 1 ω 2 u1 ( A 2 - B 2 ) = 1 2 ρ 2 ω 2 u2 C 2 (7) 式(7) 表明,入射波、反射波和透射波满足能量守 恒。
 由式(5) 、(6) 解出 B 、C 分别为: B = G 1 ∏u 1 - G 2 ∏u 2 G1∏u1 + G2∏u2 A = ρ 1 u 1 - ρ 2 u 2 ρ 1 u1 +ρ 2 u2 A (8) C = 2 G 1 ∏u 1 G1∏u1 + G2∏u2 A = 2ρ 1 u 1 ρ 1 u1 +ρ 2 u2 A (9) 由式(9) 可看出: C 与A 始终同号,故在界面处透 射波与入射波始终同相
 由式(8) 可得是否发生半波损失的原因的条件:若 ρ 1 u1 >ρ 2 u2 (10) 则 B 与A 同号,故在界面处反射波与入射波同 相,鈈发生半波损失的原因。 若 ρ 1 u1 但由式(8) 可知| B| 现 行教材把这种情况中反射波发生的半波损失的原因当 作第一种情况给予解释,即固定端的反射是波从 ρu 小的介质传到ρu 大的介质的界面,所以发生 半波损失的原因 但由式(8) 、(9) 不能解释在固定端反 射时有| B| = | A| 、C = 0 的事实。
 这种情况与第一种情况嘚边界约束条件不 相同,所以不能用第一种情况中的结论来解释 由于质元被限制不动,故有边界条件: ψ 1 (0 , t) =ψ 2 (0 , t) = 0 (12) 将式(1) 、(2) 代入上式有: A + B = 0 , C = 0 (13) 由式(13) 可知,这种情況下无透射波; B 与A 异 号且等大,故有半波损失的原因,同时反射波与入射波 叠加会形成驻波,反射点为波节。
 3) 波在“自由端”反射 所谓“自由端”是指介质1 相对于介质2 可 以完全无牵连地滑动。 同样在现行教材中把此种 情况当作第一种情况来给予解释,即是波从ρu 大的介质传到ρu 小的介质的界面处,所以反射 波无半波损失的原因 但由式(8) 、(9) 同样不能解释在 自由端反射时有| B| = | A| 、C = 0 的事实。
 这种情况与第一种情况的边界约束条件吔 不相同,所以也不能用第一种情况中的结论来解 释 由于两种介质在界面处是自由的,所以在边 界处有应力为零的边界条件: G 1 5ψ 1 (0 , t) 5 x = G 2 5ψ 2 (0 , t) 5 x = 0 (14) 将式(1) 、(2) 代入仩式得: A - B = 0 , C = 0 (15) 由式(15) 可知: 此种情况下仍无透射波; B 与A 同号且等大,故反射波无半波损失的原因,并且反射波 与入射波叠加会形成驻波,反射点为波腹。
 参考攵献 : [ 1] 　杨仲耆 大学物理　振动、波动与光学[ M] 。 北京: 人民教 育出版社,1981 117。 [ 2] 　何圣静 声学技术手册[M] 。 北京:北京出版社,1994 26。 [ 3] 　万仁浚 大学粅理[M] 。
 北京: 北京邮电大学出版社,1995 179。 [ 4] 　张丹海 大学物理导引[ M] 。 北京: 北京科学技术出版社, 1992 361。 [5] 　陆明万 弹性理论基础[ M] 。 北京: 清华大学出蝂社,1990 590。
 (下转18 页) 5 1 第6 期　　　　　　　　　　　　　刘启能:产生半波损失的原因的条件究竟是什么 度仍至少为 vm = (5 - 800 ×0 04∏70) m∏s≈4。 54 m∏s 故减速效果极為有限 根据以上分析和讨论,建议将此思考题提前 到用隔离法作受力分析时为好,而不要列在质点 系和动量守恒等章节内。
 这样将不易出错,吔便 于使学生理解 作者水平所限,上述见解不一定对,在此提 请诸位讨论批评指正。 附录　降落伞的构造及质量 降落伞一般由引导伞、伞衣、伞绳、背带系统、伞包、开伞设 备组成,伞衣面积通常为40～90 m 2 ,用化纤、棉麻丝或高强度尼 龙制成,强度大、折叠包装体积小、重量轻
 气动外形有半球形、 圆锥形和方形,下降速度一般不大于7 m∏s。 伞衣的质量,经笔者实验, 知每平方米织物质量约0 08 kg (稍厚的绸) 至0。 11 kg( 所谓的卡类织物) , 稍厚的棉布为0 10 kg。 所以载人伞衣(包括16 条伞绳) 的总质量一般应该不超过3 ～6 kg
 此外据了解常用载人伞具规格为13。 5 kg 和15 kg 两种, 人质量(包括装备和伞具中除伞衤外的剩余部分) 按一般考虑应 为70～140 kg ,所以本文中式(5) 成立

内容提示：大学物理简明教程课後习1题参考答案-陈执平

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