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两种用向量求点到平面距离的方法
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用向量法求点到平面的距离
上传: 李万牛 &&&&更新时间： 13:02:25
用向量法求点到平面的距离
教材版本：北师大 &学科：数学 &年级：高二& 册别：选修2-1& 章节：第二章第六节
一、教学目标
1、知识目标：通过本节的教学使学生理解立体几何中点到平面的距离的概念，掌握利用向量法计算点到平面的距离。
2、能力目标：培养学生观察、探索、分析、转化、发散思维能力。
3、情感目标：采用师生、生生互动的学习方法，激发学生学习立体几何的积极性。
二、教学重点与难点
重点：用向量法求点到平面的距离。
难点：向量法求点到平面的距离的步骤（引入）。
三、教学方法：讲授法、讨论法、启发法
四、利用多媒体辅助教学
五、教学过程
（一）回忆以前学过的求点到平面的距离方法。
方法一：直接找点在平面内的射影。
方法二：转化为过这点的直线与平面的距离。
方法三：利用等体积法。
（二）直接点出新课，怎样利用向量法求点到平面的距离呢？（师生互动）
[投影]已知平面 与平面&外一点a
作图：过a点作aa&&平面 ，则aa&
是点a到平面 的距离，怎样计算呢？
①已知a（ ），在平面 内
任取一点p（ ）；
②求平面 的一个法向量 ；
④点a到平面 的距离 。
（三）应用举例（出示投影）
例1、在正方体abcd-a1b1c1d1中，棱长为1，
求点a到平面a1bd的距离。
师生互动，在黑板上写出解题过程。
解：如图建系，da为 轴，dc为 轴，dd1为z轴， ， ， ， 。
设平面a1bd的一个法向量 ，
∴ ，点a到平面a1bd距离 。
方法二：切割，利用等体积法 。
方法三：直接找a点在平面a1bd内的射影，
通过解三角形，求点a到平面a1bd的距离。
（四）课内练习
1、在正方体abcd-a1b1c1d1中，
棱长为1，e、f分别为bb1、dd1
求点d1到平面aec1f的距离。
方法一：利用向量法求解。
解：如图建系，da为 轴，dc为y轴，dd1为z轴，
， ， ， ， ，
设平面aec1f的一个法向量为 ，
∴ ，
方法二：利用等体积
解法三：连结d1b、a1c1交于o点，连结ac1；ef交于g点，连og。
∵d1b1//ef，∴d1b1//平面aec1f。
∴点d1到平面aec1f的距离，转化为
d1b1到平面aec1f的距离，即o点到
平面aefc1（解题过程课后完成）
切割编题：
已知四棱维d1-aec1f底面边长为 的菱形，d1a= ，d1f= ，d1c1=1，d1e= 。
求d1到平面aec1f的距离。
注：一个几何体往往是以标准的几何体为载体，通过补形，构造图形，
起到化难为易的效果？
（五）课堂小结
1、用向量化求点到平面距离的步骤
①已知 ，在平面内找点 ，计算 ；
②求平面 的一个法向量 ；③公式 。
2、比较传统法与向量法求点到平面的距离的优劣。
六、作业：已知正方形abcd的边长为4，cg&平面abcd，cg=2，e、f分别是ab、ad的中点，求点b到平面gef的距离。
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设面为AX+BY+CZ+D=0点(X0,Y0,Z0)到面的距离公式为d=\AX0+BY0+CZ0+D\/根号（A^2+B^2+C^2）跟点到直线的距离公式差不多只是联系到空间,也是过该点分别作面的垂线,和斜线,组成直角三角形
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