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分段函数在分断点处的连续性与可导性的探讨
【摘　要】通过对分段函数在分段点性态的讨论，给出了判定函数在分段点导数是否存在的方法，并得出一般性结论。（剩余21字）
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分段函数分段点处可导性的讨论
2013年15期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　摘 要：分段函数是高等数学中一种重要的函数，该文讨论了分段函数分段点处的可导性，并给出了求分段函数分段点处导数的几种方法。 中国论文网 /1/view-5275496.htm　　关键词：分段函数 分段点 可导 　　中图分类号：O172. 文献标识码：A 文章编号：X（2013）05（C）-0168-02 　　函数是高等数学的研究对象，分段函数也不例外。分段函数一般而言不是初等函数，但在教学过程中经常涉及到。而导数是研究函数性态的重要工具，因此分段函数分段点处的连续性与可导性问题是高等数学教学中一重点，同时也是难点，讨论分段函数分段点处的连续性与可导性的题目也是各级各类考试中的常见题型。 　　1 分段函数分段点处的可导性 　　根据函数在一点处的导数的定义――函数增量与自变量增量的比值当自变量增量趋于零时的极限，知一点处的导数指的是函数在该点处的变化率问题，不是孤立的，与附近的函数关系有关。分段函数是在自变量的不同取值范围内函数的表达式不同，因此在分段函数分段点的两侧函数表达式不同，这时要考虑分段点处的导数是就需求导数定义式的左、右极限，即左、右导数。由于左、右导数存在且相等是导数存在的充分必要条件，因此若左、右导数存在且相等则函数在分段点处可导，若左、右导数至少一个不存在，则函数在分段点处不可导。下面我们结合一些例子来讨论分段函数分段点处的导数的计算方法。 　　2 分段函数分段点处的导数计算 　　2.1 用定义求分段函数分段点处的导数 　　例1[1]设函数，求 　　错解1：当时，，故 　　错解2：当时，，故 　　分析：出现上述两种错解的原因是学生没有理解导数概念的本质含义。导数是运动的、变化的、相互联系的量，不是孤立的，不只与一点处的函数值有关，因此解法一错。 　　函数在一点处的导数，反映了函数相对于自变量的变化率，这个变化率是由函数与自变量的依赖关系（对应法则）决定的。对于初等函数，这种依赖关系是一个数学式子给出的，所以求导数可按照初等函数的求导公式和求导法则来求，而分段函数的分段点处附近表示函数与自变量依赖关系得数学式子不是一个，不能应用导数公式、法则来求分段点处的导数，应考虑该点左右两侧的情况，因此要用导数的定义及左、右导数来确定分段函数在分段点处的导数是否存在。故解法二错。 　　正解： 　　， 　　不存在，不存在。 　　注：（1）本题也可以借助可导与连续的关系来讨论。 　　则， 　　所以函数在处不连续，因此函数在处不可导，即不存在。 　　（2）当分段点左右两侧的表达式相同时可不分左、右导数来求，只需判别导数的定义式的极限的存在性。如： 　　例2设，求 　　解： 　　由以上两个例子可以看出，用导数的定义式或左、右导数来判别分段点处的可导性只需判别导数定义式的极限的存在性。但很多学生受中学数学应试教育的影响，会用公式、法则求导函数，但没有较好的掌握导数的定义式，认为定义太复杂而不习惯用定义讨论，下边介绍另外一种求分段函数分段点处的导数的方法。 　　2.2 用导数极限定理求分段函数分段点处的导数 　　导数极限定理[2]：若函数在上连续，在内可导，，且为常数），则在处的右导数存在且等于 　　证明：取，则在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理得，至少存在一点，使得， 　　故 　　证毕。 　　类似地，对左导数也有相应的结论： 　　推论：若函数在上连续，在内可导，，且为常数），则在处的左导数存在且等于 　　说明： 　　（1）定理中0指的是导函数当时的右（左）极限，不能与右、左导数的定义混淆。 　　（2）用此定理解决分段函数在分段点处的可导性问题时，只需求导函数当时的右（左）极限，可以使极限的运算简化。如： 　　例3设，求 　　解：当时，， 　　当时，，， 　　， 　　故. 　　（3）应用的时候一定要注意定理的条件。如：该定理要求函数在分段函数的分段点处一定是连续的，忽略了这个条件，结果就会出错。例1中， 　　当时，，； 　　当时，， 　　故，因此得 　　事实上函数在处不可导。 　　（4）该定理中导函数当时的右（左）极限存在是处右、左导数存在的充分非必要条件，也就是说导函数在分段点处的左、右极限不存在时，不能断定函数在分段点处不可导。如例2，当时，，显然，不存在，但事实上该函数在处可导。 　　3 结语 　　由上面的讨论，我们得到了三种求分段函数分段点处的导数的方法： 　　（1）用可导与连续的关系，但此方法只能判别函数在该点处不可导。 　　（2）用定义式及左、右导数的定义式，导数定义式的极限存在及左、右导数存在且相等是导数存在的充分必要条件，用这种方法解决问题比较准确，并且导数的定义式极限的存在性，不需讨论或验证一些前提条件，是首选的好办法。因此，在解这类题目的时候，特别是出初学时，要求学生用这种方法。 　　（3）用导数极限定理解决分段函数在分段点处的导数问题相对于用导数的定义来讨论有很大的优势，会简化极限的运算，但由于这个定理不是函数在一点处可导的充分必要条件，在运用时一定要注意是否满足定理的条件，否则很容易导致错误结果。 　　参考文献 　　[1] 同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007. 　　[2] 赵树?.微积分[M].北京：中国人民大学出版社，1988.
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