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第24卷第1期
V01．24．No．1
等价无穷小替换求极限的一些问题研究
(湖南工程学院理学院，湘潭411104)
摘要：在利用等价无穷小替换求极限的过程中，有些分式的极限不能直接用等价无穷小替换．在讲授
时，应该在掌握基本概念和基本原理的基础上，通过实际算例进行重点阐明和运用．针对不同的情形，给
出了一些方法和建议．
关键词：等价无穷小；替换；极限
中图分类号：0241．8文献标识码：A 文章编号：X(41～03
z，(1-4-z)·／n一1～土z．
在给学生讲授等价无穷小替换求极限的内容
必要时要给出证明．在证明中加深理解等价无穷小
时，经常会遇到学生问及利用等价无穷小替换求有
和、差分式极限的一些问题，有些算例虽然做法不符
合常理，但结果正确．这不仅让学生费解，而且让学
2掌握利用等价无穷小求极限的理论依据
生对老师讲的方法持有怀疑．利用等价无穷小替换
求有和、差分式的极限已有一些研究论文L1’2]，给出
首先给出两个无穷小等价的充分必要条件．
了一些很好的建议．但这些论文都很高深，不可能在
定理l嘲卢与口是等价无穷小的充分必要条
课堂上灌输给学生，需要寻找既能讲清原理又能让
件是卢一a+o(口)．
学生掌握的良策．本文就如何讲授利用等价无穷小
然后给出利用等价无穷小替换求极限的具体公
替换求极限，给出一些思路．
1弄懂基本概念
定理2嘲 设口～a，，卢～∥，且lim乡存在，则
lim卫一limg．
弄懂数学中的基本概念是运用数学的基础．这
节内容的基本概念是等价无穷小，要深刻理解基本
要对定理进行阐明和强调．该定理表明，求两个
无穷小之比的极限时，分子和分母中的因子都可用
设a和口都是在同一自变量变化过程中的无穷
等价无穷小来替换．如果用来替换的无穷小选得合
适的话，可使计算得到简化．但这种替换只能在因式
小，且a≠o，lim卫也是在这个变化过程中的极限．
情况下使用．
定义‘3,4,5]：若lim卫一1，则称口与a是等价无
3在实践中掌握利用等价无穷小替换求极
穷小，记作口～&
在理解定义后，再给出一些常用的等价无穷小：
z斗0时，sinx～z，tan3c～z，arcsinz～z，
首先可以通过一些简单算例，让学生体验利用
arctanx～x，1一COSX～÷z2，ln(1+z)～z，矿一1～
等价无穷小替换求极限带来的简便．例如：给出式子
收稿日期：
作者简介：杨继明(1975--)，男，博士，教授，研究方向：微分方程数值解法
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已知当x→0时，（1+ax2）13-1与1-cosx是等价无穷小，则常数a=（　　）A. B. C. 2D. 3
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当x→0时，（1+x）α-1～αx，1-cosx～22，故由2)13-1～2=22可得：，从而，a=．故选：A．
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当x→0时，（1+x）α-1～αx，1-cosx～22；由已知条件，可以确定常数a的值．
本题考点：
同阶无穷小、等价无穷小．
考点点评：
本题考查了等价无穷小的概念以及常用函数的等价无穷小，难度系数适中．等价无穷小是一个重要知识点，需要掌握计算函数的等价无穷小的方法．
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等价无穷小的替换都能在根号下进行吗?比如√ 1-cosx 是否等价于√（1/2）*(x^2).另外,等价无穷小的替换还可以在哪些条件下进行?
gvWU92YI35
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首先搞清楚什么是无穷小,是在某一变化过程中一个变量极限为零；则同一变化过程中,两个无穷小的比为1则是等价无穷小,所以替换实际上就是乘以一个“1”,也就是你需要的两个无穷小的比·希望你能搞懂原理,自己再看看书应该就懂了
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高等数学等价替换公式
[评析] 完全正确！2、“等价无穷小在是乘除时可以替换，加减时不可替换”。[评析] 不完全对！如果只是无穷小之间的加加减减时，结果一定还是无穷小，完全可以替代。如果加减时，还涉及到其他运算，则不能一概而论。只要是等价无穷小，都可以替换。3、“在计算等价无穷小之比的极限时，理论上要替换，是要替换掉分子上的无穷小（整个式子），或者分母上的无穷小（整个式子），这时其实是将整个分子或分母当作一个无穷小”。[评析]：完全正确！4、“而如果分子或分母上的无穷小不是由一个因式（如单单一个SIN X,或tan X）构成的，而是由多个因式通过相乘除或相加减构成的，如
ln（1+x）* x 和ln（1+x）+ x
。那么可以找一个与ln（1+x）* x 或
ln（1+x）+ x
的等价无穷小量来替换他。因为ln（1+x）*X 这个无穷小是由两个因式 想乘而成的，所以替换掉其中一个ln（1+x）为 x，之后形成的x^2 就是ln（1+x）* x的 等价无穷小，所以可以替换。而ln（1+x）+ x ，因为其是由两个因式相加而形成的无穷小量，所以如果替换掉ln（1+x）为X，而形成的2X不是ln（1+x）+ x的等价无穷小，所以也就不能替换”。[评析]：楼主被网上误导了！x 与 ln(1+x）
是同价无穷小x^2 与 x*ln(1+x) 仍然是同价无穷小 。2x 与〔x + ln(1+x)〕也是同价无穷小。
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