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二项式定理1
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二项式定理习题
范文一：二项式定理习题r系数的绝对值为C10?2?r，记为tr?1．用前后两项系数的绝对值作商得：tr?2tr?1令r?1r?1C10?2?(r?1)C1010!r!(10?r)!10?r?????. rrC10?2?r2C10(r?1)!?(9?r)!2?10!2(r?1)10?r8?1
即r?0、1、2时，上述不等式成立．32(r?1)5252所以，系数的绝对值从第1项到第4项增加，以后逐项减小． 系数绝对值最大的项为第4项，T4?C(?1)2x??15x．从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替，只要比较第3项与第5项的系数，2t3?C10?2?2?4103?3,t5?C10?2?4??. 416851053x． 所以，系数最大的项为第5项，t5?8典型例题三例3
已知(1?2x)7?a0?a1x?a2x2???a7x7，求：（1）a1?a2?a3???a7；（2）a1?a3?a5?a7；（3）a0?a2?a4?a6．分析：本题是有关展开式系数和的问题，通过对等式中字母的赋值，往往会得到此类问题的结果．字母经常取的值有0、1、－1等．解：（1）取x?0可得a0?1，取x?1得a0?a1???a7?(?1)7??1． ∴a1?a2?a3???a7??2.（2）取x??1得a0?a1?a2?a3???a6?a7?37， 记A?a0?a2?a4?a6,B?a1?a3?a5?a7． ∴A?B??1,A?B?3． 可得A?7171(3?1)?1093,B??(1?37)??1094 22从而a1?a3?a5?a7??1094．（3）从（2）的计算已知a0?a2?a4?a6?1093．说明：赋值法不仅可以用来求二项展开式的系数和，对于展开式为多项式的代数式的系数和大多数也能用此方法解决，如：(1?x)5?(1?2x)6的展开式中各项的系数和为多少？可以看到(1?x)5(1?2x)6的展开式仍是多项式，令x?1，即得各项系数和为25(?1)6?32．再比如：(1?x?x2)n?a0?a1x?a2x2???a2nx2n，则a0?a2?a4???a2n等于多少？本题可以由取x?1得到各项系数和，取x??1得到奇数项系数和减去偶数项系数和，两式相加可得a0?a2???a2n?1n(3?1)．此外，为了赋2值的需要，有时需要用一个新的二项式替换原来二项式，只要它们的系数等同即可．如：(x?2log2x)n的展开式中各项的系数和是多少？我们可以用一个更简单的二项式(1?2x)n代替原来的二项式，它们的系数并不改变，令x?1便得各项系数和为3n．典型例题四例4
（1）求(1?x)3(1?x)10展开式中x5的系数；（2）求(x?1?2)6展开式中的常x数项．分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）(1?x)(1?x)展开式中的x5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：55用(1?x)展开式中的常数项乘以(1?x)展开式中的x5项，可以得到C10x；用4445(1?x)3展开式中的一次项乘以(1?x)10展开式中的x4项可得到(?3x)(C10x)??3C10x；3335用(1?x)中的x2乘以(1?x)展开式中的x3可得到3x2?C10用 (1?x)中的x?3C10x；2225x3项乘以(1?x)10展开式中的x2项可得到?3x3?C10 x??C10x，合并同类项得x5项为：5432(C10?C10?3C10?C10)x5??63x5．3103103103?11?x??（2）x??2???? xx???11?(x??2)5??x????． xx??122?1?r12?r?1?r6?rx??由?展开式的通项公式T?C(2)x，可得展开式???C12r?112??x???x?6的常数项为C12?924．12r说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决．典型例题五例5
求(1?x?x2)6展开式中x5的系数．分析：(1?x?x2)6不是二项式，我们可以通过1?x?x2?(1?x)?x2或1?(x?x2)把它看成二项式展开．解：方法一：(1?x?x2)6?(1?x)?x2?(1?x6)?6(1?x)5x2?15(1?x)4x4??53555其中含x5的项为C5C16x?6C5x?154x?6x．??6含x5项的系数为6．方法二：(1?x?x2)6?1?(x?x2)??6?1?6(x?x2)?15(x?x2)2?20(x?x2)3?15(x?x2)4?6(x?x2)5?(x?x2)6其中含x5的项为20(?3)x?15(?4)x?6x?6x． ∴x5项的系数为6．方法3：本题还可通过把(1?x?x)看成6个1?x?x相乘，每个因式各取一项相乘5可得到乘积的一项，x5项可由下列几种可能得到．5个因式中取x，一个取1得到C56x．1323个因式中取x，一个取?x，两个取1得到C3?Cx?(?x)． 632221个因式中取x，两个取?x，三个取1得到C16?C5x?(?x)． 311255合并同类项为(C56?C6C3?C6C5)x?6x，x项的系数为6．5225555262典型例题六2nn?1例6
求证：（1）C1； n?2Cn???nCn?n?20（2）Cn?111211Cn?Cn???Cn(2n?1?1)． n?23n?1n?1分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质12nnC0n?Cn?Cn???Cn?2．解：（1）?kCn?k?kn!n!(n?1)!?1??n??nCkn?1k!(n?k)!(k?1)!(n?k)!(k?1)!(n?k)!1n?1∴左边?nC0n?1?nCn?1???nCn?11n?1n?1
?n(C0?右边． n?1?Cn?1???Cn?1)?n?2（2）11n!n!Ck??? nk?1k?1k!(n?k)!(k?1)!(n?k)!?1(n?1)!1?1??Ckn?1． n?1(k?1)!(n?k)!n?11111?1Cn?1?C2Cnn?1???n?1 n?1n?1n?1112n?1(C1?C???C)?(2n?1?1)?右边．
?n?1n?1n?1n?1n?1∴左边?说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解．此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求8978229C10?2C?2C???2C的结果．仔细观察可以发现该组合数的式与(1?2)10的展开式接近，但要注意：(1?2)10?C10?C110?2?C10?2???C10?2?C10?2 29
?1?2?10?22C10???29C10?210C1010 29
?1?2(10?2C10???28C10?29C从而可以得到：10?2C10???2C10?2C10?110(3?1)． 2典型例题七例7
利用二项式定理证明：32n?2?8n?9是64的倍数．分析：64是8的平方，问题相当于证明32n?2?8n?9是82的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形32n?2?9n?1?(8?1)n?1，将其展开后各项含有8k，与82的倍数联系起来．解：∵32n?2?8n?9?9n?1?8n?9?(8?1)n?1?8n?9nn?12n?8n?1?C1n?1?8???Cn?1?8?Cn?1?8?1?8n?9 nn?12?8n?1?C1)?1?8n?9 n?1?8???Cn?1?8?8(n?1nn?12?8n?1?C1?8???C?8n?1n?1n?2?1?(8n?1?C1???Cnn?1?8n?1)?64是64的倍数．说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数．典型例题八3??例8 展开?2x?2?．2x??分析1：用二项式定理展开式．553??解法1：?2x?2?2x???3??3??3?01?C5(2x)5??2??C5(2x)4??2??C52(2x)3??2??2x??2x??2x?3??3??3?5? ?C(2x)??2??C54(2x)??2??C5??2??2x??2x??2x?3523452?32x5?120x2??4?7? 10xx8x32x分析2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．3?(4x3?3)5?解法2：?2x?2?? 102x?32x??[C(4x)?C(4x)(?3)?C(4x)(?3) 5551032x5345?C5(4x3)2(?3)3?C5(4x3)1(?3)4?C5(?3)5](x?x?) 1032x?32x5?120x2??4?7?．xx8x32x10?说明：记准、记熟二项式(a?b)n的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．典型例题九例9 若将(x?y?z)10展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（
）． A．11
D．66 分析：(x?y?z)10看作二项式[(x?y)?z]10展开．解：我们把x?y?z看成(x?y)?z，按二项式展开，共有11“项”，即k(x?y?z)?[(x?y)?z]??C10(x?y)10?k?zk．1010k?010这时，由于“和”中各项z的指数各不相同，因此再将各个二项式(x?y)10?k展开，k不同的乘积C10(x?y)10?k?zk（k?0,1,?,10）展开后，都不会出现同类项． k下面，再分别考虑每一个乘积C10． (x?y)10?k?zk（k?0,1,?,10）其中每一个乘积展开后的项数由(x?y)10?k决定，而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项． 故原式展开后的总项数为11?10?9???1?66， ∴应选D．典型例题十1??例10 若?x??2?的展开式的常数项为?20，求n．x??1??分析：题中x?0，当x?0时，把三项式?x??2?x??n2nnn转化为2n11?11????????；当x?0时，同理?x??2??(?1)n??x?然?x??2???x??．xx?x????x????n后写出通项，令含x的幂指数为零，进而解出n．11????解：当x?0时?x??2???x??，其通项为xx????r2n?rTr?1?C2(?n(x)n2n1rr2n?2r， )?(?1)rC2n(x)x令2n?2r?0，得n?r，n∴展开式的常数项为(?1)nC2n；11????当x?0时，?x??2??(?1)n??x??，x?x????n同理可得，展开式的常数项为(?1)nC2n． n无论哪一种情况，常数项均为(?1)nC2n．n令(?1)nC2n??20，以n?1,2,3,?，逐个代入，得n?3．n2n典型例题十一1??例11 ?x??的展开式的第3项小于第4项，则x的取值范围是x??______________．分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可．101??解：使?x??有意义，必须x?0； x???1?37?1?依题意，有T3?T4，即C(x)??C(x)???． 10?x??x?21082310∴10?910?9?81x??（∵x?0）．2?13?2?1x8648． 9解得0?x?∴x的取值范围是?x0?x????8648?． 9?∴应填：0?x?8648． 9典型例题十二例12 已知(xlog2x∶2∶3，这三项是第几?1)n的展开式中有连续三项的系数之比为1项？若展开式的倒数第二项为112，求x的值．解：设连续三项是第k、k?1、k?2项（k?N?且k?1），则有k?1kk?1Cn∶Cn∶Cn?1∶2∶3，即n!n!n!?1∶2∶3．(k?1)(n?k?1)!k!(n?k)!(k?1)(n?k?1)!111?1∶2∶3．(n?k)(n?k?1)k(n?k)k(k?1)∴k(n?k)1?k1????(n?k)(n?k?1)2?2??n?k?1∴? ???k(k?1)?2?(k?1)?2??33?k(n?k)?(n?k)?n?14，k?5所求连续三项为第5、6、7三项．13又由已知，C14xlog2x?112．即xlog2x?8．两边取以2为底的对数，(log2x)2?3，log2x??， ∴x?2，或x?2?3．说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解．典型例题十三例13 (1?2x)的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．分析：根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性；确定二项式系数最大的项．5解：T6?Cn(2x)5，T7?Cn(2x)，依题意有 5566Cn2?Cn2?n?8．4∴(1?2x)的展开式中，二项式系数最大的项为T5?C8(2x)4?1120x4．8n66设第r?1项系数最大，则有rrr?1r?1??C8?2?C8?2?5?r?6． ?rrr?1r?1??C8?2?C8?2∴r?5或r?6（∵r??0,1,2,?,8?）． ∴系娄最大的项为：T6?1792x5，T7?1792x6．说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得．典型例题十四例14 设f(x)?(1?x)m?(1?x)n(m,n?N?)，若其展开式中关于x的一次项的系数2和为11，问m,n为何值时，含x项的系数取最小值？并求这个最小值．分析：根据已知条件得到x的系数关于n的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题．11解：Cm?Cn?n?m?11．212m2?n2?112C?C?(m?m?n?n)?222m2n?110?2mn1199?n2?11n?55?(n?)2?． 224∵n?N?，∴n?5或6，m?6或5时，x项系数最小，最小值为25．21129911)?的对称轴方程为x?，即x?5.5，由于5、6距242112995.5等距离，且对n?N?，5、6距5.5最近，所以(n?)?的最小值在n?5或n?624说明：二次函数y?(x?处取得．典型例题十五例15 若(3x?1)?a7x?a6x???a1x?a0，求(1) a1?a2???a7；(2) a1?a3?a5?a7；(3) a0?a2?a4?a6．776解：(1)令x?0，则a0??1，令x?1，则a7?a6???a1?a0?27?128． ① ∴a1?a2???a7?129．(2)令x??1，则?a7?a6?a5?a4?a3?a2?a1?a0?(?4)7 ② 由1①?②7（?4）]?8256 得：a1?a3?a5?a7?[128?22(3)由①?②得： 2a0?a2?a4?a61?[a7?a6?a5?a4?a3?a2?a1?a0）2?（?a7?a6?a5?a4?a3?a2?a1?a0）]1?[128?(?4)7]??8128． 2说明：（1）本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法．这是一种重要的方法，它适用于恒等式．(2)一般地，对于多项式g(x)?(px?q)n?a0?a1x?a2x2???anxn，g(x)的各项的系数和为g(1)：1g(x)的奇数项的系数和为[g(1)?g(?1)]．21g(x)的偶数项的系数和为[g(1)?g(?1)]．2典型例题十六例16 填空：(1) 2?3除以7的余数_____________；(2) 55?15除以8的余数是________________.分析(1)：将2分解成含7的因数，然后用二项式定理展开，不含7的项就是余数．310解：2?3?(2)?330303055?(8)10?3?(7?1)10?37?C107???C107?C10?3 09189?7?[C107?C107???C10]?2又∵余数不能为负数，需转化为正数 ∴2?3除以7的余数为5 ∴应填：5分析(2)：将55写成(56?1)55，然后利用二项式定理展开． 解：55?15?(56?1)55?15???C55容易看出该式只有?C55因此55?15除以8的余数，即14除?15?14不能被8整除，55555530以8的余数，故余数为6．∴应填：6．典型例题十七1??1??例17 求证：对于n?N?，?1????1??nn?1?????1?证明：?1??展开式的通项?n?rpn1Tr?1?C?r?rnr!nrnnn?1．n?1n(n?1)(n?2)?(n?r?1)rr!r112r?1(1?)(1?)?(1?)． r!nnnn?1?1???1??n?1??T'r?1展开式的通项rAn1??rr(n?1)r!(n?1)?Crn?1?112r?1(1?)(1?)?(1?)． r!n?1n?1n?1'由二项式展开式的通项明显看出Tr?1?Tr?1，1??1??所以?1????1???n??n?1?nn?1．说明：本题的两个二项式中的两项为正项，且有一项相同，证明时，根据题设特点，采用比较通项大小的方法完成本题证明．典型例题十八例18 在(x2?3x?2)5的展开式中x的系数为（
）．A．160
D．800分析：本题考查二项式定理的通项公式的运用．应想办法将三项式转化为二项式求解． 解法1：由(x2?3x?2)5?[(x2?3x)?2]5，k得Tk?1?C5(x2?3x)5?k?2kk?C5?2k?(x2?3x)5?k．krr10?2k?r再一次使用通项公式得，Tr?1?C5， ?2k?C5?k?3x这里0?k?5，0?r?5?k． 令10?2k?r?1，即2k?r?9．4所以r?1，k?4，由此得到x的系数为C5?24?3?240．4解法2：由(x?3x?2)?(x?1)(x?2)，知(x?1)的展开式中x的系数为C5， 4常数项为1，(x?2)的展开式中x的系数为C5?24，常数项为2． 44因此原式中x的系数为C5?25?C5?24?240．5525555解法3：将(x?3x?2)看作5个三项式相乘，展开式中x的系数就是从其中一个三项式中取3x的系数3，从另外4个三项式中取常数项相乘所得的积，即C5?3?C4?2?240． ∴应选B．14425典型例题十九?a9x???的展开式中x3的系数为，常数a的值为___________． 例19 已知??x42???分析：利用二项式的通项公式．9?ax??的展开式中， 解：在???x2???3r?9?x?rr9?r?1???C9(?1)a????x2． 通项公式为Tr?1????2??2???393ax． 根据题设，r?9?3，所以r?8．代入通项公式，得T9?21699a?，所以a?4． 根据题意，164∴应填：4．9?a??C???x?r99?rrr2典型例题二十123例20 (1)求证：1?3Cn?32?Cn?33?Cn???(?1)n3n?(?2)n(2)若(2x?3)4?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4，求(a0?a2?a4)2?(a1?a3)2的值．122nn分析：(1)注意观察(1?x)n?1?Cnx?Cnx???Cnx的系数、指数特征，即可通过赋值法得到证明．(2)注意到(a0?a2?a4)2?(a1?a3)2?(a0?a1?a2?a3?a4)?(a0?a1?a2?a3?a4)，再用赋值法求之．122nn解：(1)在公式(1?x)n?1?Cnx?Cnx???Cnx中令x??3，即有 12n(1?3)n?1?Cn(?3)1?Cn(?3)2???Cn(?3)n12?1?3?Cn?32?Cn???(?1)n?3n∴等式得证．(2)在展开式(2x?3)4?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4中， 令x?1，得a0?a1?a2?a3?a4?(2x?3)4； 令x??1，得a0?a1?a2?a3?a4?(?2?3)4． ∴原式?(a0?a1?a2?a3?a4)?(a0?a1?a2?a3?a4)?(2?)4?(?2?)4?1．说明：注意“赋值法”在证明或求值中的应用．赋值法的模式是，在某二项展开式，如0n1n?12n?22(a?bx)n?a0?a1x?a2x2???anxn或(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab nn???Cnb中，对任意的x?A（a,b?A）该式恒成立，那么对A中的特殊值，该工也一定成立．特殊值x如何选取，没有一成不变的规律，需视具体情况而定，其灵活性较强．一般取x?0,1,?1较多．一般地，多项式f(x)的各项系数和为f(1)，奇数项系数和为11[f(1)?f(?1)]，偶次项系数和为[f(1)?f(?1)]．二项式系数的性质22n?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2n?1的证明就是Cn?Cn?Cn???Cn?2n及Cn赋值法应用的范例．典型例题二十一例21 若n?N，求证明：3分析：考虑先将3解：32n?32n?3?2n?3?24n?37能被64整除．拆成与8的倍数有关的和式，再用二项式定理展开．?24n?37?3?32n?2?24n?37 ?3?9n?1?24n?37?3?(8?1)n?1?24n?370n?11n2n?1nn?1?3?[Cn?Cn???Cn?1?8?1?8?Cn?1?8?1?8?Cn?1]?24n?37 1n2n?1?3?[8n?1?Cn???(n?1)?8?1]?24n?37 ?1?8?Cn?1?81n2n?1n?12?3?[8n?1?Cn???Cn?1?8?Cn?1?8?1?8?(8n?9)]?24n?37 1n?22n?3n?1?3?82[8n?1?Cn?Cn???Cn?1?8?1?8?1]?3?(8n?9)?24n?37 1n?22n?3?3?64[8n?1?Cn?8?C?8??]?64， ?1n?1∵8n?1，Cn?1?81n?22n?3，Cn，,,均为自然数， ?1?8∴上式各项均为64的整数倍．∴原式能被64整除．说明：用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的和式，再展开证之．该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷．典型例题二十二例22 已知(x?3x2)n的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992．(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．分析：先由条件列方程求出n．(1)需考虑二项式系数的性质；(2)需列不等式确定r． 解：令x?1得展开式的各项系数之和为(1?3)n?22n，而展开式的二项式系数的和为012nCn?Cn?Cn???Cn?2n，23∴有22n?2n?992．∴n?5．(1)∵n?5，故展开式共有6，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项． ∴T3?C(x)?(3x2)2?90x6，25233T4?C(x)?(3x)?270x．(2)设展开式中第r?1项的系数最大．235?r10?4r33523223223Tr?1?C?(x)r5?(3x)?C?3?x2rr5r，rrr?1r?1??C5?3?C5?3故有?rr r?1r?1??C5?3?C5?31?3?,??r6?r即? ?1?3.??5?rr?179?r?．∵r?N， 22∴r?4，即展开式中第5项的系数最大．解得T5?C?(x)?(3x)?405x说明：展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念，因此其求法亦不同．前者用二项式系数的性质直接得出，后者要列不等式组；解不等式组时可能会求出几个r，这时还必须算出相应项的系数后再比较大小．4523124263典型例题二十三例23 求证：(1) CnCm?CnCm???CnCm?Cm?n；p1p?1pp024n(2) Cn?32Cn?34Cn???3nCn?2?4n?1?2n?1(n?2K，n?N)*分析：(1)注意到两列二项式两乘后系数的特征，可构造一个函数；也可用构造一个组合问题的两种不同解法找到思路．(2)同上构造函数，赋值．证明：(1)(法1)∵(1?x)m?n?(1?x)m?(1?x)n，122mm122nn∴(1?x)m?n?(1?Cmx?Cmx???Cmx)?(1?Cnx?Cnx???Cnx)．∴此式左右两边展开式中x的系数必相等．p左边x的系数是Cm?n，右边x的系数是 0p1p?12p?20， Cn?Cm?Cn?Cm?Cn?Cm???Cnp?Cm0p1p?12p?20p∴Cn?Cm?Cn?Cm?Cn?Cm???Cnp?Cm?Cm?n．PPP等式成立．(法2)设想有下面一个问题：要从m?n个不同元素中取出P个元素，共有多少种取法？p该问题可有两种解法．一种解法是明显的，即直接由组合数公式可得出结论：有Cm?n种不同取法．第二种解法，可将m?n个元素分成两组，第一组有m个元素，第二组有n个元素，则从m?n个元素中取出P个元素，可看成由这两组元素中分别取出的元素组成，取法可分p0成P?1类：从第一组取P个，第二组不取，有Cm种取法；从第一组取P?1个，从第?Cnp?11二组取1个，有Cm种取法，,,，第一组不取，从第二组取P个．因此取法总数是?Cnp0p?11p?220Cm?Cn?Cm?Cn?Cm?Cn???Cm?Cnp．而该问题的这两种解法答案应是一致的，故有0p1p?12p?20pCn?Cm?Cn?Cm?Cn?Cm???Cnp?Cm?Cm?n．(2)∵n为偶数，012n∴(1?3)n?Cn； ?3Cn?32Cn???3nCn012n． (1?3)n?Cn?3Cn?32Cn???3nCn两式相加得4?2?2(Cn?3Cn?3Cn???3Cn)， ∴Cn?3Cn?3Cn???3Cn?2?42244nnn?1nn02244nn?2n?1．说明：构造函数赋值法，构造问题双解法，拆项法、倒序相加法都是证明一些组合数恒等式（或求和）的常用方法．原文地址：
范文二：二项式定理习题二项式定理一、选择题1.·2n+·2n-1+…+·2n-k+…+等于(
).A.2n B.2n-1 C.3n D.12.(1-i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为(
).A.-210 B.210 C.-120i D.-210i3.展开式中x3的系数为10,则a的值等于(
).A.-1 B. C.1 D.24.(2012安徽高考)(x2+2)的展开式的常数项是(
).A.-3 B.-2 C.2 D.35.若x+x2+…+xn能被7整除,则x,n的值可能为(
).A.x=5,n=5C.x=4,n=4 B.x=5,n=4 D.x=4,n=36.(2014内蒙古鄂尔多斯高三下学期模拟考试)在的展开式中x3的系数等于-5,则该展开式各项的系数中最大值为(
).A.5 B.10 C.15 D.207.(2014四川高考)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为(
). A.30二、填空题8.(2014广东梅州高三3月总复习质检)(2x-1)5的展开式x3项的系数是
.(用数字作答)9.(2012浙江高考)若将函数f(x)=x5表示为B.20 C.15 D.10f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=
.10.(2014课标全国Ⅰ高考)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为
.(用数字填写答案)三、解答题11.利用(a+b)n的二项展开式解题.(1)求二项式(a+2b)4的展开式;(2)展开.12.(2014重庆一中高二下学期期中考试)在(3-x)20(x∈R,x≠0)的展开式中,已知第2r项与第r+1项(r≠1)的二项式系数相等.(1)求r的值;(2)若该展开式的第r项的值与倒数第r项的值的相等,求x的值. 13.已知在的展开式中,第6项为常数项.(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.阅读详情：
范文三：二项式定理(习题)二 项 式 定 理一、 求展开式中特定项1、在30的展开式中，x的幂指数是整数的共有（
3、若(x2?1x3)5展开式中的常数项为
．（用数字作答）4、二项式2)8x的展开式中的常数项为
．5、(2?1x)(1?3x)4的展开式中常数项等于________．66、设a?????sinx?1?2cos2x??0?2?dx，则??2???x?2?的展开式中常数项是
．二、 求特定项系数或系数和7、(x?)8的展开式中x6y2项的系数是（
D．?288、在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数是
．9、在(1?x)6?(2?x)的展开式中含x3的项的系数是
．10、已知n??e611xdx，那么（x?3x）n展开式中含x2项的系数为
．11、已知?1?x?10?a2100?a1?1?x??a2?1?x??L?a10?1?x?，则a8等于（
D．18012、在二项式12x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n?________；展开式中的第4项＝_______．13、如果(1?2x)7?a0?a21x?a2x???a7x7，那么a0?a1???a7的值等于（
） （A）－1
14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为15（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于16、在?3)n(n?N*)的展开式中，所有项的系数和为?32，则1x的系数等于
．17、设k???(sinx?cosx)dx，若(1?kx)8?a0?a1x?a2x2???a8x8，则a1?a2?a3?????a8?
．18、设（5x﹣）n的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M﹣N=240，则展开式中x的系数为
.19、设(1?x)8?a0?a1x???a77x?a8x8，则a1???a7?a8?
．三、 求参数问题n20、若的展开式中第四项为常数项，则n?（
D．721、二项式(x?1)n(n?N*)的展开式中x2的系数为15，则n? （
D、1022、(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________．23、若?1?x??1?ax?4的展开式中x2的系数为10，则实数a?（
D．24、设(1?x)?(1?x)2?(1?x)3?????(1?x)n?a0?a1x?a2x2?????anxn，a0?a1?a2?????an?254时，n等于（
D．8四、其他相关问题25、除以8的余数为(
)当阅读详情：
范文四：4二项式定理练习题(好)二项式定理练习题一、选择题:a??1??1． ?x???2x??的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（
） 5?x??x?（A）-40
（D）4062．在??的二项展开式中，x2的系数为（
D．83. (4x?2?x)6(x?R)的展开式中的常数项是（
）（A）?20
（D）204. ?1?3x?n（其中n?N且a?6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n?（（A）6
(D)95．（1+2x）3的展开式中，x2的系数等于（
D．106. ?28展开式中不含．．x4项的系数的和为（
D.27. (5)(1?3(15的展开式中x的系数是（
(D) 48.在二项式(x2?1)5x的展开式中，含x4的项的系数是（
D．59.若(15?a?a,b为有理数），则a?b?（
D．8010.(x2?2)8的展开式中x4的系数是（
D．1120二、填空题:1.若(x6展开式的常数项为60，则常数a的值为。1
）2.设二项式(x?。 a6)(a?0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B，若B=4A，则a的值是 x73. x(x?)的展开式中，x4 的系数是。2x4. (x（结果用数值表示）18的展开式中含x15的项的系数为
。20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为
。6.在(1?x)3?(12?(1的展开式中，x的系数为(用数字作答))的展开式的常数项是7.(2x?（用数字作答）
2x8.?x?y?的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于9.1016?的展开式中xy的系数为。 4332阅读详情：
范文五：二项式定理习题精选二项式定理
习题精选一、与通项有关的一些问题的展开式中，指出：1）第4项的二项式系数，例1．在2）第4项的系数， 3）求常数项
解:展开式的通项
1），二项式系数为；.
；为展开式中的第r+1项.2）由1）知项的系数为3）令6-3r=0, ∴r=2, ∴常数项为例2．若理项.分析:通项为的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有,∵前三项的系数为，且成等差，∴即解得:n=8.从而，要使Tr+1为有理项，则r能被4整除.例3．1）求的常数项；2）求(x2+3x+2)5的展开式中x的系数.解:1）通项令6-2r=0,
∴ 常数项为.，2）(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5∴ 展开式中含x项由(x+1)5中常数项乘(x+2)5的一次项与(x+1)5的一次项乘(x+2)5的常数项相加得到，即为，因而其系数为240.例4．(a+b+c)10的展开式中，含a5b3c2的系数为_________.分析:根据多项式相乘的特点，从(a+b+c)10的十个因式中选出5个因式中的a，三个因式中的b，两个因式中的c得到，从而a5b3c2的系数为.小结:三项式的展开，或者转化为二项式展开，或者采用得到二项式定理的方法去解决.例5．(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+……+(1+x)100的展开式中x3的系数为______.
分析:（法一）展开式中x3项是由各二项展开式中含x3项合并而形成.因而系数为（法二）不妨先化简多项式，由等比数列求和公式:
原式=,.要求x3项只要求分子的x4项，因而它的系数为二、有关二项式系数的问题.例6．(2x+xlgx)8的展开式中，二项式系数最大的项为1120，则x=____.
分析:二项式系数最大的为第5项，解得:x=1或.例7．的展开式中系数最大的项为第_____项.分析:展开式中项的系数不同于二项式系数，只能用数列的分析方法.
设第r+1项的系数最大，则解得:，
∴r=7，且此时上式两个等号都不能取得，
因而第8项系数最大.
三、赋值法:例8．已知1）求a0,
2）求a1+a2+a3+a4+a5
3）求(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2
4）求a1+a3+a5
5）|a0|+|a1|+……+|a5|分析:1）可以把(1-2x)5用二项式定理展开求解.从另一个角度看，a0为x=0时右式的结果，因而令x=0,
∴ (1-0)5=a0, ∴a0=1.2）令x=1, 则(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5
又a0=1,∴ a1+a2+a3+a4+a5=-2.
3）令x=1，得a0+a1+a2+……+a5=-1 (*)
令x=-1, 得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5 (**)
因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)24）联立(*),(**)两方程，解得a1+a3+a5=-122.
5）因而 |a0|+|a1|+……+|a5|即为(1+2x)5的展开式的所有系数和，
|a0|+|a1|+……+|a5|=(1+2)5=35=243.小结:①求展开式的系数和只需令x=1可解； ② 赋值法也需合情合理的转化.
例9．已知其中b0+b1+b2+……+bn=62, 则n=_________.
分析:令x=1，则由已知， 2n+1-2=62,
∴ 2n+1=64,
∴ n=5.,,例10．求的展开式中有理项系数的和.分析:研究其通项.显然当r=2k(k∈Z)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)n的奇数项的系数和.设 (2+t)n=a0+a1t+a2t2+……+antn ,令t=1，即3n=a0+a1+a2+……+an
令t=-1，即1=a0-a1+a2-……+(-1)nan
上两式相加，解得奇数项系数和.四、逆用公式例11．求值S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1
解:例12．求值:分析:注意将此式还原成二项展开式的结构
原式=五、应用问题例13．求证:32n+2-8n-9能被64整除.
证明:能被64整除.例14．9192除以100的余数为________.
分析:)92∴ 被9192100除的余数为81.
小结:若将9192整理成(100-9)92随之而来又引出一新问题，即992被100除的余数是多少，所以运算量较大.例15．求0.9983的近似值（精确到0.001)
解:典型例题例1、 已知二项式 展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。解：二项展开式的通项公式为由此得二项展开式中末三项的系数分别为 ， ，依题意得
注意到这里，故得n=8∴设第r+1项为有理项，则有x的幂指数
∴ r=0，4，8，∴ 这里T1，T5，T9为有理项，
又由通项公式得：为整数，，，，，∴ 所求二项展开式中的有理项分别为点评：二项展开式中关于某些项或某些项的系数问题，一般都要运用通项公式。若（λ为相对常数，x为变量），则当g(n,r)为自然数时当g(n,r)为整数时为整式项；为有理项。例2、 已知试求：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项；（3）系数最大的项。解：由题意得的展开式中奇数项的二项式系数之和等于512，∴n=10∴二项展开式的通项公式为（1） ∵n=10，∴二项展开式共11项∴二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大又∴所求二项式系数最大的项为（2）设第r+1项系数的绝对值最大，则有解之得，注意到，故得r=3∴ 第4项系数的绝对值最大
∴ 所求系数绝对值最大的项为（3）由通项公式的特征可知，系数最大的项应在项数为奇数的项内，
即在r取偶数的各项内又r取偶数0，2，4，6，8，10时，相应的各项系数分别为，，，，，即分别为1， ， ， ，由此可知，系数最大的项为第5项(r=4)，
即点评：（1）解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数。二者在特殊情况下方为同一数值。（2）这里 展开式中系数绝对值最大的项，实际上是 展开式中系数最大的项，必要时可适时转化。（3）本题解法“一题两制”：对于（2），我们运用一般方法进行推导；对于（3），我们运用认知、列举、比较的方法导出目标。当指数n数值较小时，（3）的解法颇为实用。
例3、 已知a>0，b>0，2m+n=0，，且在的展开式中系数最大的项是常数项，求的取值范围。解：设二项展开式中
∴ 依题意令
则将已知式
注意到这里为常数项，①代入①得 ，由②得r=4②∴ 展开式中系数最大的项是于是有因此可知，所求的取值范围为例4、 求证：
（1）（2）证明：（1）为利用二项式定理，对
∵于是有注意到，且，故 能被整除；（※），，且， ∴中的底数n变形为两数之和（或差）。能被整除；因此由（※）式知（2）证法一（倒序相加法）：
设①②注意到二项式系数的性质：
将①式右边各项倒序排列：
∴即证法二（分项求和法）：注意到左边各项的相同结构，且各项的通项：据此变形左边各项得
=右边∴原等式成立点评：证明组合恒等式，除去利用二项公式这一组合的母函数外，上述两种方法（特别是证法二）是基本证明方法。
例5、设①展开式中各二项式系数的和；
②展开式中各项系数的和；
解：令的值
的值，求①注意到这里n=200，故展开式中各二项式系数的和②展开式中各项系数的和
③ 注意到∴∴④仿③得又∴⑤解法一（直面原式）：∴
∴再由二项式的展开式知，
∴点评：对于二项展开式中各奇数项系数的和或各偶数项系数的和或其它有关多项式中系数的和，一般可根据问题的具体情况，对未知数x赋予适当的数值，运用特取法求出和式的值。例6、 化简下列各式
（2）；，其中b的方幂与组合数上标相同。分析：注意到二项展开式中各项的特征：为利用二项式公式求解，依次对原式实施凑因子和凑项，即使各项中有关因子的方幂等于组合数上标，又使以原式为基础凑出的式子符合二项展开式的特征。解：
∴即，，故得（2）令x=
∴，故得即点评：对于组合数系数成等比数列的组合式求和，一般是在适当作以凑因子或凑项的构造之后，运用二项式公式本身化简或求值。例7、 试求下列二项展开式中指定项的系数：（1）
解：的展开式中 的展开式中项的系数；
项的系数；的展开式中项的系数；的展开式中x项的系数；
的展开式中项的系数；（1）借助“配方转化”：原式
∴原展开式中
∴项的系数，即展开式中项的系数展开式的通项公式为 得r=3
展开式中项的系数为-960；∴ 所求原展开式中（2）注意到
原式的幂指数3较小，借助“局部展开”：的系数为∴ 展开式中=-590（3）解法一（求和转化）：原式∴ 所求原展开式中
∴ 所求展开式中项的系数即为 项的系数为展开式中项的系数，解法二（集零为整）：
考察左式各部，展开式中项的系数为（4）解法一（两次利用二项式定理）：设展开式中第r+1项为含有x的项，
又∴ 要使x的幂指数为1，必须且只需r=1
即而展开式中的常数项为，故得原展开式中x的系数为解法二（利用求解组合应用题的思路）：注意到
∴ 欲求展开式中x的一次项，只要从上式右边5个因式中有1个因式取3x，其余四个因式都取常数2即可。
∴ 原展开式中x的一次项为∴ 所求原展开式中x的系数为240；（5）解法一（两次利用二项展开式的通项公式）：
注意到其展开式的通项又②
依题意，的展开式的通项①由此解得 ， ，
项的系数为∴ 由①、②得所求展开式中解法二（利用因式分解转化）：∴ 所求即为展开式中的系数，于是利用“局部展开”可得其展开式中=-168的系数为小结：多项展开式中某一项系数的主要求法（1）等价转化：配方转化；求和转化；分解转化；化整为零。
（2）局部展开；（3）两次利用二项式定理或两次利用二项展开式的通项公式；
（4）借助求解组合应用题的思想例8、 已知数列的通项是二项式与的展开式中所有x的次数相同的各项的系数之和，求数列解：将与的通项公式及前n项和公式。的展开式按升幂形式写出①②由②可知，只有开式中x的次数相同。
∴ 由①、②得∴的展开式中出现的偶数次幂时，才能与的展∴ 所求数列的通项公式为；其前n项和公式为五、高考真题
（一）选择题1.（2005·全国卷 III ）在的展开式中的系数是（
D. 28分析：对于多项展开式中某一项的总数的寻求，“化整为零”为基本方法之一，，又的展开式中 的系数为 ， 的系数为
的系数为，应选B。∴ 原展开式中2.（2005·江苏卷）设k=1，2，3，4，5，则 的展开式中 的系数不可能是（
D. 80分析：立足于二项展开式的通项公式：
∴ 当k=1时，r=4，
当k=2时，r=3，
当k=3时，r=2，
当k=4时，r=1，的系数为；
。的系数为 的系数为 的系数为∴ 综上可知应选C。点评：关于二项展开式中某一项的问题，一般要利用二项展开式的通项公式。3.（2005·浙江卷）在的展开式中，的项的系数为（
D. –121分析：考虑求和转化，原式
又的展开式中 的展开式中系数为 系数为，应选D。∴ 原展开式中项的系数为4.（2005·重庆）若展开式中含项的系数与含 项的系数之比为-5，则n等于（
D. 10分析：设第r+1项是含 的项，又∴ 这一项的系数为，且①再设第s+1项是含∴ 这一项的系数为的项，则，且②∴ 由①、②得，故
③又由①、②得∴化简得④于是由③、④解得 n=6，r=4，故选B。5.（2005·山东卷）如果 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（
D. –21分析：设
则，∴ 由已知得∴，解得n=7令
∴得r=6. ，故所求系数为，应选C。6.（2004·福建卷）若值是（
）的展开式的第3项为288，则 的A. 2
B. 1C.分析：由题设D.∴（二）填空题，应选A。1.（2005·福建卷） 展开式中的常数项是
（用数字作答）分析：当∴得 r=2.，即所求常数项为240。2.（2004·重庆卷）若在
解：∴ 当r=3时有∴ 由题设得∴ a=-2，即应填-2。展开式中 系数为-80，则a=
。3.（2005·湖北卷）的展开式中整理后的常数项为
。解法一（运用两个计数原理），展开后的常数项分为三类：（1）5个式子均取，则有；（2）5个式子中一个取 ，一个取 ，三个取 ，则有；（3）5个式子中两个取 ，两个取 ，一个取 ，则有∴ 它们的和为，即为所求常数项。解法二（变形，转化为二项式问题），当x>0时，∴当5-r=0，即r=5.则所求常数项为4.（2004·天津卷）若，=
。（用数字作答）则解：设则∴原式，，应填2004。阅读详情：
范文六：二项式定理__习题精选二项式定理
习题精选一、与通项有关的一些问题的展开式中，指出：1）第4项的二项式系数，例1．在2）第4项的系数， 3）求常数项
解:展开式的通项
1），二项式系数为；.
；为展开式中的第r+1项.2）由1）知项的系数为3）令6-3r=0, ∴r=2, ∴常数项为例2．若理项.的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有分析:通项为,∵前三项的系数为，且成等差，∴即解得:n=8.从而，要使Tr+1为有理项，则r能被4整除.例3．1）求的常数项；2）求(x2+3x+2)5的展开式中x的系数.解:1）通项令6-2r=0,
∴ 常数项为.，2）(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5∴ 展开式中含x项由(x+1)5中常数项乘(x+2)5的一次项与(x+1)5的一次项乘(x+2)5的常数项相加得到，即为，因而其系数为240.例4．(a+b+c)10的展开式中，含a5b3c2的系数为_________.分析:根据多项式相乘的特点，从(a+b+c)10的十个因式中选出5个因式中的a，三个因式中的b，两个因式中的c得到，从而a5b3c2的系数为.小结:三项式的展开，或者转化为二项式展开，或者采用得到二项式定理的方法去解决.例5．(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+……+(1+x)100的展开式中x3的系数为______.
分析:（法一）展开式中x3项是由各二项展开式中含x3项合并而形成.因而系数为（法二）不妨先化简多项式，由等比数列求和公式:
原式=,.要求x3项只要求分子的x4项，因而它的系数为二、有关二项式系数的问题.例6．(2x+xlgx)8的展开式中，二项式系数最大的项为1120，则x=____.
分析:二项式系数最大的为第5项，解得:x=1或.例7．的展开式中系数最大的项为第_____项.分析:展开式中项的系数不同于二项式系数，只能用数列的分析方法.
设第r+1项的系数最大，则解得:，
∴r=7，且此时上式两个等号都不能取得，
因而第8项系数最大.
三、赋值法:例8．已知1）求a0,
2）求a1+a2+a3+a4+a5
3）求(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2
4）求a1+a3+a5
5）|a0|+|a1|+……+|a5|分析:1）可以把(1-2x)5用二项式定理展开求解.从另一个角度看，a0为x=0时右式的结果，因而令x=0,
∴ (1-0)5=a0, ∴a0=1.2）令x=1, 则(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5
又a0=1,∴ a1+a2+a3+a4+a5=-2.
3）令x=1，得a0+a1+a2+……+a5=-1 (*)
令x=-1, 得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5 (**)
因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)24）联立(*),(**)两方程，解得a1+a3+a5=-122.
5）因而 |a0|+|a1|+……+|a5|即为(1+2x)5的展开式的所有系数和，
|a0|+|a1|+……+|a5|=(1+2)5=35=243.小结:①求展开式的系数和只需令x=1可解； ② 赋值法也需合情合理的转化.
例9．已知其中b0+b1+b2+……+bn=62, 则n=_________.
分析:令x=1，则由已知， 2n+1-2=62,
∴ 2n+1=64,
∴ n=5.,,例10．求的展开式中有理项系数的和.分析:研究其通项.显然当r=2k(k∈Z)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)n的奇数项的系数和.设 (2+t)n=a0+a1t+a2t2+……+antn ,令t=1，即3n=a0+a1+a2+……+an
令t=-1，即1=a0-a1+a2-……+(-1)nan
上两式相加，解得奇数项系数和.四、逆用公式例11．求值S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1
解:例12．求值:分析:注意将此式还原成二项展开式的结构
原式=五、应用问题例13．求证:32n+2-8n-9能被64整除.
证明:能被64整除.例14．9192除以100的余数为________.
分析:)92∴ 被9192100除的余数为81.
小结:若将9192整理成(100-9)9292随之而来又引出一新问题，即9被100除的余数是多少，所以运算量较大.例15．求0.9983的近似值（精确到0.001)
解:典型例题例1、 已知二项式 展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。解：二项展开式的通项公式为由此得二项展开式中末三项的系数分别为 ， ，依题意得
注意到这里，故得n=8∴设第r+1项为有理项，则有x的幂指数
∴ r=0，4，8，∴ 这里T1，T5，T9为有理项，
又由通项公式得：为整数，，，，，∴ 所求二项展开式中的有理项分别为点评：二项展开式中关于某些项或某些项的系数问题，一般都要运用通项公式。若（λ为相对常数，x为变量），则当g(n,r)为自然数时当g(n,r)为整数时为有理项。为整式项；例2、 已知试求：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项；（3）系数最大的项。解：由题意得的展开式中奇数项的二项式系数之和等于512，∴n=10∴二项展开式的通项公式为（1） ∵n=10，∴二项展开式共11项∴二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大又∴所求二项式系数最大的项为（2）设第r+1项系数的绝对值最大，则有解之得，注意到，故得r=3∴ 第4项系数的绝对值最大
∴ 所求系数绝对值最大的项为（3）由通项公式的特征可知，系数最大的项应在项数为奇数的项内，
即在r取偶数的各项内又r取偶数0，2，4，6，8，10时，相应的各项系数分别为，，，，，即分别为1， ， ， ，由此可知，系数最大的项为第5项(r=4)，
即点评：（1）解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数。二者在特殊情况下方为同一数值。（2）这里 展开式中系数绝对值最大的项，实际上是 展开式中系数最大的项，必要时可适时转化。（3）本题解法“一题两制”：对于（2），我们运用一般方法进行推导；对于（3），我们运用认知、列举、比较的方法导出目标。当指数n数值较小时，（3）的解法颇为实用。
例3、 已知a>0，b>0，2m+n=0，，且在的展开式中系数最大的项是常数项，求的取值范围。解：设二项展开式中
∴ 依题意令
则将已知式
注意到这里为常数项，①代入①得 ，由②得r=4②∴ 展开式中系数最大的项是于是有因此可知，所求的取值范围为例4、 求证：
（1）（2）证明：（1）为利用二项式定理，对
∵于是有注意到，且，故 能被整除；（※），，且， ∴中的底数n变形为两数之和（或差）。能被整除；因此由（※）式知（2）证法一（倒序相加法）：
设①②注意到二项式系数的性质：
将①式右边各项倒序排列：
∴即证法二（分项求和法）：注意到左边各项的相同结构，且各项的通项：据此变形左边各项得
=右边∴原等式成立点评：证明组合恒等式，除去利用二项公式这一组合的母函数外，上述两种方法（特别是证法二）是基本证明方法。
例5、设①展开式中各二项式系数的和；
②展开式中各项系数的和；
解：令的值
的值，求①注意到这里n=200，故展开式中各二项式系数的和②展开式中各项系数的和
③ 注意到∴∴④仿③得又∴⑤解法一（直面原式）：∴
∴再由二项式的展开式知，
∴点评：对于二项展开式中各奇数项系数的和或各偶数项系数的和或其它有关多项式中系数的和，一般可根据问题的具体情况，对未知数x赋予适当的数值，运用特取法求出和式的值。例6、 化简下列各式
（2）；，其中b的方幂与组合数上标相同。分析：注意到二项展开式中各项的特征：为利用二项式公式求解，依次对原式实施凑因子和凑项，即使各项中有关因子的方幂等于组合数上标，又使以原式为基础凑出的式子符合二项展开式的特征。解：
∴即，，故得（2）令x=
∴，故得即点评：对于组合数系数成等比数列的组合式求和，一般是在适当作以凑因子或凑项的构造之后，运用二项式公式本身化简或求值。例7、 试求下列二项展开式中指定项的系数：（1）
解：的展开式中 的展开式中项的系数；
项的系数；的展开式中项的系数；的展开式中x项的系数；
的展开式中项的系数；（1）借助“配方转化”：原式
∴原展开式中
∴项的系数，即展开式中项的系数展开式的通项公式为 得r=3
展开式中项的系数为-960；∴ 所求原展开式中（2）注意到
原式的幂指数3较小，借助“局部展开”：的系数为∴ 展开式中=-590（3）解法一（求和转化）：原式∴ 所求原展开式中
∴ 所求展开式中项的系数即为 项的系数为展开式中项的系数，解法二（集零为整）：
考察左式各部，展开式中项的系数为（4）解法一（两次利用二项式定理）：设展开式中第r+1项为含有x的项，
又∴ 要使x的幂指数为1，必须且只需r=1
即而展开式中的常数项为，故得原展开式中x的系数为解法二（利用求解组合应用题的思路）：注意到∴ 欲求 展开式中x的一次项，只要从上式右边5个因式中有1个因式取3x，其余四个因式都取常数2即可。
∴ 原展开式中x的一次项为∴ 所求原展开式中x的系数为240；（5）解法一（两次利用二项展开式的通项公式）：
注意到其展开式的通项又②
依题意，的展开式的通项①由此解得 ， ，
项的系数为∴ 由①、②得所求展开式中解法二（利用因式分解转化）：∴ 所求即为展开式中的系数，于是利用“局部展开”可得其展开式中的系数为=-168小结：多项展开式中某一项系数的主要求法（1）等价转化：配方转化；求和转化；分解转化；化整为零。（2）局部展开；（3）两次利用二项式定理或两次利用二项展开式的通项公式；
（4）借助求解组合应用题的思想例8、 已知数列 的通项 是二项式 与 的展开式中所有x的次数相同的各项的系数之和，求数列解：将与的通项公式及前n项和公式。的展开式按升幂形式写出①②由②可知，只有开式中x的次数相同。
∴ 由①、②得∴的展开式中出现的偶数次幂时，才能与的展∴ 所求数列的通项公式为；其前n项和公式为五、高考真题
（一）选择题1.（2005·全国卷 III ）在的展开式中的系数是（
D. 28分析：对于多项展开式中某一项的总数的寻求，“化整为零”为基本方法之一，，又为，的系数为的系数为，应选B。的展开式中的系数∴ 原展开式中2.（2005·江苏卷）设k=1，2，3，4，5，则 的展开式中 的系数不可能是（
D. 80分析：立足于二项展开式的通项公式：
∴ 当k=1时，r=4，
当k=2时，r=3，
当k=3时，r=2，
当k=4时，r=1，的系数为；
。的系数为 的系数为 的系数为∴ 综上可知应选C。点评：关于二项展开式中某一项的问题，一般要利用二项展开式的通项公式。3.（2005·浙江卷）在的展开式中，的项的系数为（
D. –121分析：考虑求和转化，原式
又的展开式中 的展开式中系数为 系数为，应选D。∴ 原展开式中项的系数为4.（2005·重庆）若展开式中含项的系数与含 项的系数之比为-5，则n等于（
D. 10分析：设第r+1项是含 的项，又∴ 这一项的系数为，且①再设第s+1项是含∴ 这一项的系数为的项，则，且②∴ 由①、②得，故
③又由①、②得∴化简得④于是由③、④解得 n=6，r=4，故选B。5.（2005·山东卷）如果 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（
D. –21分析：设
则，∴ 由已知得∴，解得n=7令
∴得r=6. ，故所求系数为，应选C。6.（2004·福建卷）若值是（
）的展开式的第3项为288，则 的A. 2
B. 1C.D.分析：由题设∴（二）填空题，应选A。1.（2005·福建卷） 展开式中的常数项是
（用数字作答）分析：当∴得 r=2.，即所求常数项为240。2.（2004·重庆卷）若在
解：∴ 当r=3时有∴ 由题设得∴ a=-2，即应填-2。展开式中 系数为-80，则a=
。3.（2005·湖北卷） 的展开式中整理后的常数项为
。解法一（运用两个计数原理），展开后的常数项分为三类：（1）5个式子均取，则有；（2）5个式子中一个取 ，一个取 ，三个取 ，则有；（3）5个式子中两个取 ，两个取 ，一个取 ，则有∴ 它们的和为，即为所求常数项。解法二（变形，转化为二项式问题），当x>0时，∴当5-r=0，即r=5.则所求常数项为4.（2004·天津卷）若，=
。（用数字作答）则解：设则∴原式，，应填2004。阅读详情：
范文七：二项式定理练习题二项式定理练习题一、选择题：1．在
2．已知的展开式中，x6的系数为（ ）
B．，C．D．的展开式按a的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整
数n等于（ ）A．4
D．113．已知（的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是（ ）A．10
D．13 4．5310被8除的余数是（ ）A．1
D．75．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ）A．1.23
D．1.346．二项式 (nN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的
项数是（ ）A．1
D．47．设展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t+h=272，则展开式的x2项的
系数是（ ）A．
8．在的展开式中的系数为（ ）A．4
D．79．展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是（ ）A．330
10．的展开式中，的系数为（ ）A．－40
D．4511．二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为，则x在[0，2π]内的值为（ ）A．或
D．或12．在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数是等差数列 an=3n－5的（ ）
D．第24项二、填空题：13．
14．若__________.
15．若___________.展开式中的系数是___________.，则的值为的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是16．对于二项式(1-x)
①展开式中T，有下列四个命题： = －Cx；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；
④当x=2000时，(1-x)除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：17．若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（1）求n的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？18．已知(最大的项的系数．)n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数19．是否存在等差数列，使对任意都成立？若存在，求出数列20．设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n的通项公式；若不存在，请说明理由．)，若其展开式中，关于x的一次项系数为11，试问：m、n取何值时，f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值.21．规定数，其中x∈R，m是正整数，且，这是组合（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．的值；(1) 求(2) 设x>０，当x为何值时，
(3) 组合数的两个性质；
②取得最小值？.是否都能推广到（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.参考答案一、选择题1．D 2．A 3．C 4．A 5．D 6．C 7．B 8．C 9．B 10．D 11．B 12．C
部分题目解析：
5．(1.05)6 ==1+0.3+0.5+…
6．，r=0,1,…,8.1.34．，．设
则，得满足条件的整数对(r,k) 只有(0,4),(4,1),(8,-2). 得=，n=4,的展开式的通项为(r=0,1,2,…,6)., 取r=4.二项式展开式的通项为(n=0,1,2,…,r)的展开式的通项公式为令r+n=5,则n=5-rr=3,4,5,n=2,1,0.展开式中含项的系数为9．显然奇数项之和是所有项系数之和的一半，
令x =1 即得所有项系数之和，各项的系数为二项式系数，故系统最大值为或，为462．10．==的系数为二、填空题13．；
15．=210；
16．①④．三、解答题
17．解析：
（1）n = 7 ；（2）无常数项。18．解析：由得，得．，该项的系数最大，为。19．解析：假设存在等差数列满足要求:依题意20．解析：展开式中，关于x的一次项系数为
关于x的二次项系数为当n=5或6时，含x2项的系数取最小值25，
此时m=6,n=5或 m=5,n=6.21．解析：，对恒成立，．, 所求的等差数列存在，其通项公式为，，（1）。（2）∵x ＞ 0 ,当且仅当时，等号成立. ∴当时，时，有定义，但取得最小值.
无意义;（3）性质①不能推广，例如当
性质②能推广，它的推广形式是
事实上，当m＝１时，有，x∈R , m是正整数. .当m≥２时，．阅读详情：
范文八：《二项式定理》练习题《二项式定理》练习题一、选择题：1.(x?y)n的二项展开式中，第r项的二项式系数是（
D. (?1)r?1Cn2.在)1x2n?1的展开式中，二项式系数最大的项是（
B. 第n+1项
C. 第n，n+1项
D第n+1，n+2项
. 3.(x?) 的展开式二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（
D.1204. 在(x?1)?(x?1)的展开式中，含x的项的系数是（
D. ?115. (28展开式中，除x项的系数外其它系数之和为（
D. 2123n6.化简：1?3Cn等于（
） ?32Cn?33Cn?...?(?1)n3nCnnn
D. (?4) nn1xn57247.在12的展开式中，含x的正整数次幂的项有（
D.5项8.在(4x?2x?5)(1?15)的展开式中常数项是（
D.?1529. (1?3(15的展开式中x的系数是（
D.?210.(2x?x?1) 的展开式中x的系数是（
D.?9911. (1?ax?by)n(a,b为常数a?N*,b?N*)的展开式中不含字母x的项的系数和为243，则b的值为（ ）A. 1
D.412.有等式x4?a1x3?a2x2?a3x?a4?(x?1)4?b1(x?1)3?b2(x?1)2?b3(x?1)?b4，定义映射255f:{a1,a2,a3,a4}?{b1,b2,b3,b4}，则f(4,3,2,1)等于（
）A.(1,2,3,4)
B. (0,3,4,0)
C.(-1,02,-2)
D.(0,-3,4,-1)二、填空题：13.11除以13的余数是___________14.在216的展开式中，含x3的项的系数是____________ 315.若(2xn的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于__________ 16. (x2?x?1)9(2x?1)4的展开式中所有x的奇次项的系数和等于________,所有x的偶次项的系数和等于________三、解答题：17.在(1?2x)的展开式中，（1）求所有二项式系数之和及偶数项的二项式系数和；（2）求各项系数和；（3）求各项系数绝对值之和；（4）设偶数项系数和为M,奇数项系数和为N,求M2__N218.若(15?a?a,b为有理数)，求a?b.19.已知10n的展开式前三项的系数成等差数列（1）求展开式中所有的x的有理项；（2）求展开式中系数最大的项.20.设Sn?2n?1,Tn?4n?1，探讨Sn与Tn的大小关系，并试用二项式定理证明你的结论.阅读详情：
范文九：二项式定理练习题二项式定理练习题一、选择题： 1．在x???10的展开式中，x的系数为4B．27C1066C．?9C104D．9C10（
A．?27C102． 已知a?b?0,b?4a， ?a?b?n的展开式按a的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n等于A．4B．9C．10D．11（
）3．已知（a?1a2)n的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是 （
）D．13D．7D．1.34A．10
4．5310被8除的余数是
A．1 B．2 C．3 5． (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是A．1.23
C．1.33n（
）1?6．二项式??2x?? (n?N)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项x??数是A．11312nB．2C．3
） D．427．设(3x+x)展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t+h=272，则展开式的x项的系数是 A．12B．15C．2D．3（
）8．在(1?x?x2)6的展开式中x的系数为A．4
D．7n展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是 ?)x（
B．4624C．680
）10．(x?1)4(x?1)5的展开式中，x的系数为A．－40B．10C．4011．二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为内的值为A．C．（
）5，则x在[0，2π]2???5?或
D．或3633（
）12．在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数是等差数列 an=3n－5的A．第2项B．第11项
C．第20项D．第24项二、填空题： 13．(x?219)展开式中x9的系数是 . 2x14．若2x???4?a0?a1x?????a4x4，则?a0?a2?a4?2??a1?a3?2的值为__________.15．若 (x3?x?2)n的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是 16．对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题：1000①展开式中T1000= －C1999x999；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项； ④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题： 17．若(x?1x)n展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（１） 求n的值；（２）此展开式中是否有常数项，为什么？18．已知(12nn*19．是否存在等差数列?an?，使a1C0n?a2Cn?a3Cn?????an?1Cn?n?2对任意n?N都成立？若存在，1?2x)n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数． 4求出数列?an?的通项公式；若不存在，请说明理由．20．某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？21.设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n?N)，若其展开式中，关于x的一次项系数为11，试问：m、n取何值时，f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值.22．规定Cx?mx(x?1)?(x?m?1)m0，其中x∈R，m是正整数，且Cx（n、m是正?1，这是组合数Cnm!整数，且m≤n）的一种推广．3(1) 求C?15的值；3Cx(2) 设x>０，当x为何值时，(C1)2取得最小值？x(3) 组合数的两个性质；mn?mmm?1m①Cn.
②Cn?Cn?Cn?Cn?1.m是否都能推广到Cx（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.阅读详情：
范文十：二项式定理复习题二项式定理复习题1.(2014全国Ⅱ13)?x?a?的展开式中，x7的系数为15，则a=________.(用数字填写答案) 【答案】101 22.(2014全国Ⅰ13)(x?y)(x?y)8的展开式中的x2y7系数为用数字填写答案) 【答案】-203. (2014湖北2)若二项式(2x?)的展开式中ax71的系数是84，则实数a?（
D. 【答案】C2 4234． (2014湖南4)(x?2y)的展开式中xy的系数是125A．－20
D．20 【答案】A5.(2014四川2)在x(1?x)的展开式中，含x3项的系数为 A．30
D．10 【答案】C24【解析】含x3项为x(C61?x2)?15x36b??3226. (2014山东14)若?ax2??的展开式中x项的系数为20，则a?b的最小值为x??6。【答案】2 7. (2014大纲13)【答案】70.8??22的展开式中xy的系数为（用数字作答） n?x??1??a?0,na?的展开式为 8.(2014安徽13)设是大于1的自然数，?a0?a1x?a2x2???anxn。若点Ai(i,ai)(i?0,1,2)的位置如图所示，则a?______。【答案】a?3，解析：由图易知a0?1,a1?3,a2?4?n?3
∴C11a3,C212??an??n?(a)?4，∴?n?1)，解得a?3。?n(??2a2?49.(2014浙江5)在(1?x)6(1?y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m,n)，则f(3,0)?f(2,1)?f(1,2）?f(0,3)?
D. 210【答案】C10．若(9x－13x)n（n∈N*）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为（
D．－8411 ．（2013年新课标Ⅱ卷）已知(1?ax)(1?x)5的展开式中x2的系数为5,则a?（
） A．?4B．?3C．?2D．?1【答案】D12．（2013年新课标1）设m为正整数,(x?y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x?y)2m?1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a?7b,则m?（
）A．5B．6C．7 D．8【答案】B13．（2013年大纲版）?1?x?8?1+y?4的展开式中x2y2的系数是（
）A．56B．84C．112 D．168【答案】D14．（2013年上海市春季）(1?x)10的二项展开式中的一项是（
） A．45x B．90x2C．120x3D．252x4【答案】Cn15．（2013辽宁）使得???3x?n?N??的展开式中含有常数项的最小的n为A．4B．5C．6D．7【答案】B16．（2013年江西卷）(x2-2x3)5展开式中的常数项为 A．80B．-80C．40D．-40【答案】C17．（2013年四川）二项式(x?y)5的展开式中,含x2y3的项的系数是_________.(用数字作）
）（（答)【答案】1018．（2013年浙江）设二项式(x?【答案】?1015)的展开式中常数项为A,则A?________. xa??719．（2013年上海卷）设常数a?R,若?x2??的二项展开式中x项的系数为?10,则x??a?______【答案】a??285?4x20．（2013年安徽）若?x的展开式中的系数为7,则实数a?______. ?1211n21.若(x?)的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中2的系数为xx【答案】______.(2x?22.ax)6A.iC. -1 +iD.1+iB. -i224.(2012年安徽7)(x?2)(1?1)5的展开式的常数项是（
） 2x(A)?3
(D)?21 【答案】D25. (2012年湖北卷5)设a∈Z，且0≤a≤13，若51A.0
D.1226. (2012年福建11)(a?x)的展开式中x的系数等于8，则实数a?_________. 【答案】227.(2012年国卷15)若(x?)的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中432012+a能被13整除，则a=(
)1xn1的系数为_________.
. x228. (2012年陕西卷12)(a?x)5展开式中x的系数为10， 则实数a的值为_________.2b0?b1x?b2x2???b9x9(1?2x)202910?a0?a1x?a2x???a9x?a10x?29．设，则1010(1?x)(1?x)a9=10A．0
B．4C．10·410D．90·410321n30．已知(3x－)的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7项的系数是x（A）－24
（C）－252
（D）252?????(x??)?a?ax?ax?Lax?????31. (2011年安徽卷12)（12）设，则a???a???_________.
.a??1??32.?x???2x??的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为x??x??（A）-40
（D）40 【答案】D33. (2011年浙江卷13)（13）设二项式(x?项为B，若B=4A，则a的值是
。 34. (2011年湖北卷11)(x18的展开式中含x15的项的系数为_______5a6)(a?0)的展开式中x3的系数为A,常数x35. (2011年山东14)若(x【答案】46展开式的常数项为60，则常数a的值为_______7436. (2011年广东卷理科10)x(x?)的展开式中，x 的系数是______ (用数字作答).2x【答案】84?237．(2011年天津卷理科5)在的二项展开式中，x的系数为（
） ?315153A．?
D．8448【答案】C38.(2012浙江14）若将函数f(x)?x5表示为f(x)?a0?a1(1?x)?a2(1?x)2?...?6a5(1?x)5，其中a0,a1,a2,...,a5为实数，则a3?1039.(2011安徽12）设(x?1)21?a0?a1x?a2x2?...?a21x21，则a10?a11．0 40.(2010辽宁13）(1?x?x)(x?)的展开式中的常数项为_________.-541．(2010湖北11）在(x)20的展开式中，系数为有理数的项共有
项．6 42．(2009湖南10）在(1?x)3?(13?(13的展开式中，x的系数为用数字作答).43.设(1?x)n?a0?a1x?a2x2...?anxn,若a1?a2?...?an?63，则展开式中系数最大的项是（
D．35x362644.(1?2x)?a0?a1x?a2x...?a6x，则a0?a1?a2?...?a6的值为（
）21x6A．1
D．729 45.二项展开式(2x?1)10中x的奇次幂项的系数之和为（
B ）1??1310?1A．
D．?222246.设(5xn的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M—N=240，则展开式中x的系数为（ B ）A．-150
D．-30047.1n21)的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为 . 2x2n?148.若(1?x)的展开式中含xn?1111??...?的系数为an，则的值为（ B
） a1a2anA．n2nn(n?1)n(n?3)B．
D．n?1n?122749.已知等差数列?an?的通项公式为an?3n?5，则(1?x)5?(1?x)6?(1?x)含x4项的系数是该数列的（D
）的展开式中A．第9项
50.已知(x?1)10?a1?a2x?a3x2?...?a11x10，若数列a1,a2,a3,...,ak(1?k?11,k?Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是
.651.若a4(x?1)4?a3(x?1)3?a2(x?1)2?a1(x?1)?a0?x4，则a3?a2?a1=.-14阅读详情：}