拓扑学原理
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拓扑学原理
有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。譬如哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。
主条目：七桥问题
&&哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。
1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。这是拓扑学的“先声”。[1]
在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。
根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
主条目：四色猜想
著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题，又称四色猜想。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时发现：每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。
Topology原意为地貌，起源于希腊语Τοπολογ。形式上讲，拓扑学主要研究“拓扑空间”在“连续变换”下保持不变的性质。简单的说，拓扑学是研究连续性和连通性的一个数学分支。
拓扑学起初叫形势分析学，是德国数学家莱布尼茨1679年提出的名词。十九世纪中期，德国数学家黎曼在复变函数的研究中强调研究函数和积分就必须研究形势分析学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。
在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，圆和方形、三角形的形状、大小不同，但在拓扑变换下，它们都是等价图形；足球和橄榄球，也是等价的----从拓扑学的角度看，它们的拓扑结构是完全一样的。
而游泳圈的表面和足球的表面则有不同的拓扑性质，比如游泳圈中间有个“洞”。在拓扑学中，足球所代表的空间叫做球面，游泳圈所代表的空间叫环面，球面和环面是“不同”的空间。
&&莫比乌斯曲面
“连通性”最简单的拓扑性质。上面所举的空间的例子都是连通的。而“可定向性”是一个不那么平凡的性质。我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。这样的空间是可定向的。而德国数学家莫比乌斯()在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面不能用不同的颜色来涂满。莫比乌斯曲面是一种“不可定向的”空间。可定向性是一种拓扑性质。这意味着，不可能把一个不可定向的空间连续的变换成一个可定向的空间。
拓扑学起初叫形势分析学，这是德国数学家莱布尼茨1679年提出的名词。欧拉在1736年解决了七桥问题，1750年发表了多面体公式；高斯1833年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。Topology这个词是由J.B.利斯廷提出的(1847)，源自希腊文τ?πο?和λ?γο?（“位置”和“研究”）。这是拓扑学的萌芽阶段。
1851年，德国数学家黎曼在复变函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，并且强调为了研究函数、研究积分，就必须研究形势分析学。黎曼本人解决了可定向闭曲面的同胚分类问题。
组合拓扑学的奠基人是法国数学家庞加莱。他是在分析学和力学的工作中，特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学问题的。他的主要兴趣在流形。在年间，他创立了用剖分研究流形的基本方法。他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，探讨了三维流形的拓扑分类问题，提出了著名的庞加莱猜想。
拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。实数的严格定义推动康托尔从1873年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓扑概念，如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。在点集论的思想影响下，分析学中出现了泛函（即函数的函数）的观念，把函数集看成一种几何对象并讨论其中的极限。这终于导致抽象空间的观念。
最早研究抽象空间的是M.-R.弗雷歇。他在19
06年引进了度量空间的概念。F.豪斯多夫在《集论大纲》（1914）中用开邻域定义了比较一般的拓扑空间，标志着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学的产生。随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质（分离性、紧性、连通性等）做了系统的研究。经过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充（一致性空间、仿紧性等）和整理，一般拓扑学趋于成熟，成为第二次世界大战后数学研究的共同基础。
欧氏空间中的点集的研究，例如，一直是拓扑学的重要部分，已发展成一般拓扑学与代数拓扑学交汇的领域，也可看作几何拓扑学的一部分。50年代以来，即问两个映射，以R.H.宾为代表的美国学派的工作加深了对流形的认识，是问两个给定的映射是否同伦，在四维庞加莱猜想的证明中发挥了作用。从皮亚诺曲线引起的维数及连续统的研究，习惯上也看成一般拓扑学的分支。
L.E.J.布劳威尔在年间提出了用单纯映射逼近连续映射的方法， 许多重要的几何现象，用以证明了不同维的欧氏空间不同胚，它们就不同胚。引进了同维流形之间的映射的度以研究同伦分类，并开创了不动点理论。他使组合拓扑学在概念精确、论证严密方面达到了应有的标准。紧接着，J.W.亚历山大1915年证明了贝蒂数与挠系数的拓扑不变性。
随着抽象代数学的兴起，1925年左右A.E.诺特提议把组合拓扑学建立在群论的基础上，在她的影响下H.霍普夫1928年定义了同调群。从此组合拓扑学逐步演变成利用抽象代数的方法研究拓扑问题的代数拓扑学。如维数、欧拉数，S.艾伦伯格与N.E.斯廷罗德1945年以公理化的方式总结了当时的同调论，后写成《代数拓扑学基础》(1952)，对于代数拓扑学的传播、应用和进一步发展起了巨大的推动作用。他们把代数拓扑学的基本精神概括为：把拓扑问题转化为代数问题，通过计算来求解。直到今天，同调论所提供的不变量仍是拓扑学中最易于计算和最常用的不变量[2]。
同伦论研究空间的以及映射的同伦分类。W.赫维茨年间引进了拓扑空间的n维同伦群，其元素是从n维球面到该空间的映射的同伦类，一维同伦群就是基本群。同伦群提供了从拓扑到代数的另一种过渡，其几何意义比同调群更明显，但是极难计算。同伦群的计算，特别是球面的同伦群的计算问题刺激了拓扑学的发展，产生了丰富多彩的理论和方法。1950年法国数学家塞尔利用J.勒雷为研究纤维丛的同调论而发展起来的谱序列这个代数工具，在同伦群的计算上取得突破。
从50年代末在代数几何学和微分拓扑学的影响下产生了K理论，以及其他几种广义同调论。它们都是从拓扑到代数的过渡。尽管几何意义各不相同，代数性质却都与同调或上同调十分相像，是代数拓扑学的有力武器。从理论上也弄清了，同调论（普通的和广义的）本质上是同伦论的一部分。
微分拓扑是研究微分流形与可微映射的拓扑学。随着代数拓扑和微分几何的进步，在30年代重新兴起。H·惠特尼（H. Whitney）在1935年给出了微分流形的一般定义，并证明它总能嵌入高维欧氏空间。为了研究微分流形上的向量场，他还提出了纤维丛的概念，从而使许多几何问题都与同调（示性类）和同伦问题联系起来了。
1953年R·托姆（Rene Thom）的配边理论开创了微分拓扑学与代数拓扑学并肩跃进的局面，许多困难的微分拓扑问题被化成代数拓扑问题而得到解决，同时也刺激了代数拓扑学的进一步发展。1956年米尔诺发现七维球面上除了通常的微分结构之外，还有不同寻常的微分结构。随后，不能赋以任何微分结构的流形又被人构作出来，这些都显示拓扑流形、微分流形以及介于其间的分段线性流形这三个范畴有巨大的差别，微分拓扑学也从此被公认为一个独立的拓扑学分支。1960年斯梅尔证明了五维以上微分流形的庞加莱猜想。[3]J.W.米尔诺等人发展了处理微分流形的基本方法──剜补术，使五维以上流形的分类问题亦逐步趋向代数化。
近些年来，有关流形的研究中，几何的课题、几何的方法取得不少进展。突出的领域如流形的上述三大范畴之间的关系以及三维、四维流形的分类。80年代初的重大成果有：证明了四维庞加莱猜想，发现四维欧氏空间存在不同寻常的微分结构。这种种研究，通常泛称几何拓扑学，以强调其几何色彩，区别于代数味很重的同伦论。
连续性与离散性这对矛盾在自然现象与社会现象中普遍存在着，数学也可以粗略地分为连续性的与离散性的两大门类。拓扑学对于连续性数学自然是带有根本意义的，对于离散性数学也起着巨大的推进作用。例如，拓扑学的基本内容已经成为现代数学工作者的常识。拓扑学的重要性，体现在它与其他数学分支、其他学科的相互作用。拓扑学在泛函分析、实分析、群论、微分几何、微分方程其他许多数学分支中都有广泛的应用。
拓扑学与微分几何学有着血缘关系，它们在不同的层次上研究流形的性质。为了研究黎曼流形上的测地线，H.M.摩尔斯在20世纪20年代建立了非退化临界点理论（摩尔斯理论），把流形上光滑函数的临界点的指数与流形本身的贝蒂数联系起来，并发展成大范围变分法。莫尔斯理论后来又用于拓扑学中，证明了典型群的同伦群的博特周期性定理，并启示了处理微分流形的剜补术。微分流形、纤维丛、示性类给E·嘉当的整体微分几何学提供了合适的理论框架，也从中获取了强大的动力和丰富的课题。陈省身在40年代引进了“陈示性类”，就不但对微分几何学影响深远，对拓扑学也十分重要。纤维丛理论和联络论一起为理论物理学中杨－米尔斯规范场理论提供了现成的数学框架， 犹如20世纪初黎曼几何学对于A.爱因斯坦广义相对论的作用。规范场的研究又促进了四维的微分拓扑学出人意料的进展。
拓扑学对于分析学的现代发展起了极大的推动作用。随着科学技术的发展，需要研究各式各样的非线性现象，分析学更多地求助于拓扑学。要问一个结能否解开（即能否变形成平放的圆圈），3O年代J.勒雷和J.P.绍德尔把L.E.J.布劳威尔的不动点定理和映射度理论推广到巴拿赫空间形成了拓扑度理论。后者以及前述的临界点理论，都已成为研究非线性偏微分方程的标准的工具。微分拓扑学的进步，促进了分析学向流形上的分析学(又称大范围分析学)发展。在托姆的影响下，然后随意扭曲，微分映射的结构稳定性理论和奇点理论已发展成为重要的分支学科。S.斯梅尔在60年代初开始的微分动力系统的理论。就是流形上的常微分方程论。M.F.阿蒂亚等人60年代初创立了微分流形上的椭圆型算子理论。著名的阿蒂亚-辛格指标定理把算子的解析指标与流形的示性类联系起来，是分析学与拓扑学结合的范例。现代泛函分析的算子代数已与K理论、指标理论、叶状结构密切相关。在多复变函数论方面，来自代数拓扑的层论已经成为基本工具。
拓扑学的需要大大刺激了抽象代数学的发展，并且形成了两个新的代数学分支：同调代数与代数K理论。代数几何学从50年代以来已经完全改观。托姆的配边理论直接促使代数簇的黎曼－罗赫定理的产生，后者又促使拓扑K 理论的产生。现代代数几何学已完全使用上同调的语言，代数数论与代数群也在此基础上取得许多重大成果，例如有关不定方程整数解数目估计的韦伊猜想和莫德尔猜想的证明。范畴与函子的观念，是在概括代数拓扑的方法论时形成的。范畴论已深入数学基础、代数几何学等分支，对拓扑学本身也有影响。如拓扑斯的观念大大拓广了经典的拓扑空间观念。
在经济学方面，冯·诺伊曼首先把不动点定理用来证明均衡的存在性。在现代数理经济学中，对于经济的数学模型，均衡的存在性、性质、计算等根本问题都离不开代数拓扑学、微分拓扑学、大范围分析的工具。在系统理论、对策论、规划论、网络论中拓扑学也都有重要应用。
托姆以微分拓扑学中微分映射的奇点理论为基础创立了突变理论，为从量变到质变的转化提供各种数学模式。在物理学、化学、生物学、语言学等方面已有不少应用。除了通过各数学分支的间接的影响外，拓扑学的概念和方法对物理学(如液晶结构缺陷的分类)、化学（如分子的拓扑构形）、生物学(如DNA的环绕、拓扑异构酶)都有直接的应用。
除去七桥问题，四色问题，欧拉定理等，拓扑学中还有很多有趣并且很基本的问题。
空间中一条自身不相交的封闭曲线，会发生打结现象。要问一个结能否解开（即能否变形成平放的圆圈），或者问两个结能否互变，并且不只做个模型试试，还要给出证明，那就远不是件容易的事了（见纽结理论）。
什么是曲线？朴素的观念是点动成线，随一个参数（时间）连续变化的动点所描出的轨迹就是曲线。可是，皮亚诺在1890年竟造出一条这样的“曲线”，它填满整个正方形！这激发了关于维数概念的深入探讨，经过20～30年才取得关键性的突破。
向量场问题
考虑光滑曲面上的连续的切向量场，即在曲面的每一点放一个与曲面相切的向量，并且其分布是连续的，其中向量等于0的地方叫作奇点。例如，地球表面上每点的风速向量就组成一个随时间变化的切向量场，而奇点就是当时没风的地方。从直观经验看出，球面上的连续切向量场一定有奇点，而环面上却可以造出没有奇点的向量场。 进一步分析，每个奇点有一个“指数”，即当动点绕它一周时，动点处的向量转的圈数；此指数有正负，视动点绕行方向与向量转动方向相同或相反而定。球面上切向量场，只要奇点个数是有限的，这些奇点的指数的代数和（正负要相消）恒等于2；而环面上的则恒等于0。这2与0恰是那两个曲面的欧拉数，这不是偶然的巧合。这是拓扑学中的庞加莱-霍普夫定理。
不动点问题
考虑一个曲面到自身的连续变换（映射），即曲面的每一点被移到该曲面上的新的位置，连续是指互相邻近的点被移到互相邻近的点，新旧位置相同的点叫作这变换的不动点。随后，每个不动点也有个“指数”，即当动点绕它一周时，从动点指向其像点的向量转动的圈数。拓扑学家们发现，曲面到自身的映射的不动点个数如果是有限的，它们的指数的代数和不会因对这映射做细微的修改而改变，因而可从这映射的某些粗略的特征计算出来。特别是对于实心圆上的映射，指数和恒为1，所以实心圆到自身的映射总有不动点。
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什么是拓扑结构_拓扑结构图
学习啦【网络基础知识】 编辑：若木
　　互联网时代已经到来了，下面学习啦小编为您科普一下网络相关基础知识《什么是拓扑结构》，让您更快融入互联网时代，希望对您有所帮助！
　　什么是拓扑结构?
　　首先我们来解释一下拓扑的含义，所谓&拓扑&就是把实体成与其大小、形状无关的&点&，而把连接实体的线路抽象成&线&，进而以图的形式来表示这些点与线之间关系的方法，其目的在于研究这些点、线之间的相连关系。表示点和线之间关系的图被称为拓扑结构图。拓扑结构与几何结构属于两个不同的概念。在几何结构中，
　　我们要考察的是点、线之间的位置关系，或者说几何结构强调的是点与线所构成的形状及大小。如梯形、正方形、平行四边形及圆都属于不同的几何结构，但从拓扑结构的角度去看，由于点、线间的连接关系相同，从而具有相同的拓扑结构即环型结构。也就是说，不同的几何结构可能具有相同的拓扑结构。
　　类似地，在网络中，我们把计算机、终端、通信处理机等设备抽象成点，把连接这些设备的通信线路抽象成线，并将由这些点和线所构成的拓扑称为网络拓扑结构。
　　网络拓扑结构反映出网络的结构关系，它对于网络的性能、可靠性以及建设管理成本等都有着重要的影响，因此网络拓扑结构的设计在整个网络设计中占有十分重要的地位，在网络构建时，网络拓常见的网络拓扑结构
　　在中常见的拓扑结构有总线型、星型、环型、树型和网状型等。
　　1.总线型拓扑
　　如图1.4所示，总线型拓扑中采用单根传输线路作为传输介质，所有站点通过专门的连接器连到这个公共信道上，这个公共的信道称为总线。任何一个站点发送的数据都能通过总线传播，同时能被总线上的所有其他站点接收到。可见，总线型结构的网络是一种广播网络。扑结构往往是首先要考虑的因素之一。
　　在总线结构中，总线有一定的负载能力，因此，总线长度有一定限制，一条总线也只能连接一定数量的结点。
　　总线布局的特点是：结构简单灵活，非常便于扩充;可靠性高，网络响应速度快;设备量少、价格低、安装使用方便;共享资源能力强，极便于广播式工作即一个结点发送所有结点都可接收。总线型拓扑是基本拓扑形式之一。
　　在总线两端连接的器件称为端结器(末端阻抗匹配器、或终止器)。主要与总线进行阻抗匹配，最大限度吸收传送端部的能量，避免信号反射回总线产生不必要的干扰。
　　总线形网络结构是目前使用最广泛的结构，也是最传统的一种主流网络结构，适合于信息管理系统、办公自动化系统领域的应用。
　　2.星型拓扑
　　如图1.5所示，星型拓扑中有一个中心节点，其他各节点通过各自的线路与中心节点相连，形成辐射型结构。各节点间的通信必须通过中心节点的作用，如图A 到B 或A到C 都要经过中心节点D。
　　星型拓扑的网络具有结构简单、易于建网和易于管理等特点。但这种结构要耗费大量的电缆，同时中心节点的故障会直接造成整个网络的瘫痪。星型拓扑也经常应用于局域网中。
　　星型布局是以中央结点为中心与各结点连接而组成的，各结点与中央结点通过点与点方式连接，中央点执行集中式通信控制策略，因此中央结点相当复杂，负担也重。
　　目前流行的PBX就是星型拓扑结构的典型实例，如图1.5(右)所示。
　　以星型拓扑结构组网，其中任何两个站点要进行通信都必须经过中央结点控制。中
　　央结点主要功能有
　　1) 为需要通信的设备建立连接
　　2) 为两台设备通信过程中维持这一通路
　　3) 在完成通信或不时,拆除通道
　　在文件服务器/工作站(File Server/Workstation )局域网模式中，中心点为文件服务器，存放共享资源。由于这种拓扑结构，中心点与多台工作站相连,为便于集中连线，目前多采用集线器(HUB)。
　　星型拓扑结构特点:网络结构简单,便于管理、集中控制, 组网容易;网络延迟时间短，误码率低，网络共享能力较差，通信线路利用率不高，中央节点负担过重，可同时连双绞线、同轴电缆及光纤等多种媒介。
　　树型拓扑结构可以看作成星型拓扑的一种扩展，也称扩展星型拓扑。
　　3.环型拓扑
　　如图1.6 所示，在环型拓扑中，各节点和通信线路连接形成的一个闭合的环。在环路中，数据按照一个方向传输。发送端发出的数据，延环绕行一周后，回到发送端，由发送端将其从环上删除。我们可以看到任何一个节点发出的数据都可以被环上的其他节点接收到。
　　环型拓扑具有结构简单，容易实现，传输时延确定以及路径选择简单等优点，但是，网络中的每一个节点或连接节点的通信线路都有可能成为网络可靠性的瓶颈。当网络中的任何一个节点出现故障都可能会造成网络的瘫痪。另外，在这种拓扑结构中，节点的加入和拆除过程比较复杂。环型拓扑也是局域网中常用的一种拓扑形式。
　　环形网的特点是：信息在网络中沿固定方向流动，两个结点间仅有唯一的通路，大大简化了路径选择的控制;某个结点发生故障时，可以自动旁路，可靠性较高;由于信息是串行穿过多个结点环路接口，当结点过多时，影响传输效率，使网络响应时间变长。但当网络确定时，其延时固定，实时性强;由于环路封闭故扩充不方便。
　　环形网也是微机局域网常用拓扑结构之一，适合信息处理系统和工厂自动化系统。1985年IBM公司推出的令牌环形网(IBM Token Ring)是其典范。在FDDI得以应用推广后，这种结构会进一步得到采用。
　　4.网状拓扑
　　在网状拓扑结构中，节点之间的连接是任意的，每个节点都有多条线路与其他节点相连，这样使得节点之间存在多条路径可选，如图1.7中从A 到C 可以是A-B-C 也可以是A-D-B-C，在传输数据时可以灵活的选用空闲路径或者避开故障线路。
　　可见网状拓扑可以充分、合理的使用网络资源，并且具有可靠性高的优点。我们知道，广域网覆盖面积大，传输距离长，网络的故障会给大量的用户带来严重的危害，因此在广域网中，为了提高网络的可靠性通常采用网状拓扑结构，如图1.7(右)所示为一个简单的广域网示意图。
　　但是我们也应该看到，这个优点是以高投资和高复杂的管理为代价的。将多个子网或多个局域网连接起来构成网状型拓扑结构。在一个子网中，集线器、中继器将多个设备连接起来，而桥接器、及网关则将子网连接起来。根据组网硬件不同，主要有三种网状型拓扑:
　　网状网：在一个大的区域内，用无线通信连路连接一个大型网络时，网状网是最好的拓扑结构。通过路由器与路由器相连，可让网络选择一条最快的路径传送数据。
　　主干网：通过桥接器与路由器把不同的子网或LAN 连接起来形成单个总线或环型拓扑结构，这种网通常采用光纤做主干线。
　　星状相连网：利用一些叫做超级集线器的设备将网络连接起来，由于星型结构的特点，网络中任一处的故障都可容易查找并修复。应该指出,在实际组网中,拓扑结构不一定是单一的,通常是几种结构的混用。
　　比如，将总线型与星型结合起来就形成了总线型/星型拓扑结构，用一条或多条总线把多组设备连接起来，相连的每组设备呈星型分布。采用这种拓扑结构，用户很容易配置和重新配置网络设备。如图1.8 所示。
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生物网络拓扑结构与其功能之间关系的研究
系统生物学是研究一个生物系统中所有组成成份的构成，以及在特定条件下这些组分间的相互作用关系的学科。生物系统内的组分之间呈现的高度网络特性使得一个生物系统可以被描述为一个抽象简化的网络，可以通过研究这个网络的性质来探究生物系统的功能和性质。　　
在生物网络的研究中，一个非常重要的问题就是，生物网络的结构与其功能之间会有什么样的联系。这包含两个方面：一是特定的拓扑结构能使生物网络具有什么样的功能，二是特定的功能需要生物网络具有什么样的拓扑结构。对第一个问题，在本文里，我们研究了一类具有特定拓扑结构的生物网络-无抑制作用的单底物单产物(SSN)网络模块的正平衡点的存在性及稳定性；对第二个问题，我们研究了生物网络具有完全适应性功能需要的拓扑结构。　　
SSN网络，即无抑制反应的单底物单产物生物网络，是最近提出的一个具有基本拓扑结构的生化网络模块。所谓抑制反应是指一个反应物的增多会抑制另一反应物的增多。SSN网络模块中所有的反应均非抑制反应(即无抑制反应)，且只有一个底物和一个产物(即单底物单产物)。这类具有基本拓扑结构的网络模块在实际生物系统中极其常见，因而研究它的性质，尤其是其平衡点的存在性及稳定性性质，对揭开整个网络的性质非常重要。前人的结果已经证明，在Hill机制下，SSN网络模块最多只有一个正的平衡点。在本文里，我们首先研究了SSN网络模块在Hill机制下的正平衡点的稳定性，其次研究了其在质量作用定律下正平衡点的存在唯一性及稳定性。　　
适应性是漫长的进化过程赋予生物体的一个最基本的能力，它使生物体能在复杂多变的环境中维持自身功能的稳定，因而研究何种拓扑结构使网络具有适应性对了解生物体、揭示生命的进化具有非常重要的意义。已有的研究结果证明对于三节点的酶催化网络，非一致前馈环和带有负反馈缓冲节点的网络能够产生适应性。完全适应性是一种更强的适应性，它使生物体对外界刺激变化做出反应后能精确回复到原先的功能。在本文里，我们研究了生物网络具有完全适应性需要的拓扑结构。　　
本文的主要研究成果为：　　
1、证明了SSN网络模块在Hill机制下若能有一个正的平衡点，则这个平衡点是局部稳定的。　　
2、证明了SSN网络模块在质量作用定律下一定能够产生唯一正平衡点，且这个平衡点是全局稳定的。我们的结果使得SSN网络模块的动力学性质基本清楚了。　　
3、建立了一个不基于具体动力学机制的生物网络适应性的广义数学模型，并由该模型得到了生物网络具有完全适应性所需的必要拓扑结构。该结果成功地验证了两个生物学结果：一致性前馈环不具有完全适应性；大肠杆菌趋化性网络只有当调控蛋白CheR处于饱和状态时才能产生完全适应性。由于已有的研究结果由特定动力学机制下的具体模型得到，因而，我们的结果在一定程度上更具有本质性和应用性。
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