[转载]使用牛顿法求解非线性方程组
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cited from:http://blog.csdn.net/doupei2006/article/details/7476081理论基础牛顿法（Newton's method）又称为牛顿-拉弗森方法（Newton-Raphson method），它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。方法说明首先，选择一个接近函数零点的，计算相应的和切线斜率（这里表示函数的导数）。然后我们计算穿过点并且斜率为的直线和轴的交点的坐标，也就是求如下方程的解：我们将新求得的点的坐标命名为，通常会比更接近方程的解。因此我们现在可以利用开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示：已经证明，如果是的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。例子求方程f(x) = cos(x) −x3的根。两边求导，得f '(x) = −sin(x) − 3x2。由于-1 ≤ cos(x) ≤ 1（对于所有x），则-1 ≤ x3 ≤ 1,即-1 ≤ x ≤ 1，可知方程的根位于0和1之间。我们从x0 = 0.5开始。&程序例子：已知关于(x1,x2,x3)的三元非线性方程组如下3*x1-cos(x2*x3)-1/2=0x1^2-81*(x2+0.1)^2+sin(x3)+1.06=0exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3=0求解要求精度达到0.00001————————————————————————————————步骤：首先建立函数fun储存方程组编程如下将fun.m保存到工作路径中:function f=fun(x);%定义非线性方程组如下%变量x1 x2 x3%函数f1 f2 f3syms x1 x2 x3f1=3*x1-cos(x2*x3)-1/2;f2=x1^2-81*(x2+0.1)^2+sin(x3)+1.06;f3=exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3;f=[f1 f2 f3];————————————————————————————————建立函数dfun用来求方程组的雅克比矩阵将dfun.m保存到工作路径中:function df=dfun(x);%用来求解方程组的雅克比矩阵储存在dfun中f=fun(x);df=[diff(f,'x1');diff(f,'x2');diff(f,'x3')];df=conj(df');————————————————————————————————编程牛顿法求解非线性方程组将newton.m保存到工作路径中:function x=newton(x0,eps,N);con=0;%其中x0为迭代初值eps为精度要求N为最大迭代步数con用来记录结果是否收敛，con=1表示收敛，con=0表示不收敛for i=1:N; & &f=subs(fun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0(2) x0(3)}); & &df=subs(dfun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0(2) x0(3)}); & &x=x0-f/ & &for j=1:length(x0); & & & &il(i,j)=x(j); & &end & &if norm(x-x0)&eps & & & &con=1; & & & & & &end & &x0=x;end&%以下是将迭代过程写入txt文档文件名为iteration.txtfid=fopen('iteration.txt','w');fprintf(fid,'iteration');for j=1:length(x0) & &fprintf(fid,' & & & & x%d',j);endfor j=1:i & &fprintf(fid,'\n%6d & & ',j); & &for k=1:length(x0) & & & &fprintf(fid,' %10.6f',il(j,k)); & &endendif con==1 & &fprintf(fid,'\n计算结果收敛！');endif con==0 & &fprintf(fid,'\n迭代步数过多可能不收敛！');endfclose(fid);————————————————————————————————运行程序在matlab中输入以下内容newton([0.1 0.1 -0.1],0.00001,20)————————————————————————————————输出结果ans =& & &0.5000 & &0.0000 & -0.5236&——————————————————————————————————————————————————在iteration中查看迭代过程&iteration & & & & x1 & & & & x2 & & & & x3 & & 1 & & & &0.490718 & 0.031238 &-0.519661 & & 2 & & & &0.509011 & 0.003498 &-0.521634 & & 3 & & & &0.500928 & 0.000756 &-0.523391 & & 4 & & & &0.500227 & 0.000076 &-0.523550 & & 5 & & & &0.500019 & 0.000018 &-0.523594 & & 6 & & & &0.500005 & 0.000002 &-0.523598 & & 7 & & & &0.500000 & 0.000000 &-0.523599计算结果收敛！&下面是我写的程序，子程序FunNonL是唯一需要修改的地方，个人感觉比上面的程序好些。function [x,con]=NewtonNonL(x0,eps,N)% Solve nonlinear equations with newton method.% Input x0 is the initial guess of the solve% eps is the accuracy% N is the maximum number of iteration% Output x is the final solver% con = 1 if the iteration convergence, = 0 for not convergence% f(x)=0, find the root x with Newton iteration method% Initial guess x0, if we have x, meet f(x)=0, then% 0=f(x)=f(x0)+(x-x0)*df(x0), i.e.% x=x0-f(x0)/df(x0). let x0 be [x1;x2]% [x1;x2]=[x01;x02]-inv([df1(x01),df2(x01);df2(x01),df2(x0)])*f([x01;x02])% In matlab, this is:% x=x0-df\f;% You should manually modify subroutine FunNonL to solve your own nonlinear equations% FunNonL is the only part you need to modify.%===============================================con=0;FunNonL(x0,1); & & & & % First write the derivative of the function dFunNonL.m file% transform to column vectorif isrow(x0) & &x0=x0.';end% Main loop of newton solverfor i1=1:N; & &f=FunNonL(x0,0); & &df=dFunNonL(x0); & &x=x0-df\f; & &if norm(x-x0)&eps & & & &con=1; & & & & disp(['con = ',num2str(con)]) & & & & & &end & &x0=x; & &if mod(i1,10) == 0 & & & &disp(['The ',num2str(i1),'th loop']) & &endendend&&&%===================================================% Subroutine invoked by the main functionfunction f=FunNonL(x,FirstTime)% Output f is the non linear function value at point x% f is column vector% if FirstTime = 1, will generate dFunNonL.m file.% which will be invoked by the main run to calculates the derivative matrix of equations f.% modify this script by hand to solve your own equations%===================================% These 12 lines below are the only part you need to modifyif FirstTime == 1 & &syms x1 x2 x3else & &x1=x(1); & &x2=x(2); & &x3=x(3);end & &&f1=3*x1-cos(x2*x3)-1/2;f2=x1^2-81*(x2+0.1)^2+sin(x3)+1.06;f3=exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3;f=[f1;f2;f3];%===================================if FirstTime == 1 & &%df2=[diff(f,'x1'),diff(f,'x2'),diff(f,'x3')] & &% write derivative into dfunNonL.m file & &writedfun(x,f); & &cd ./endend&%===================================================% Subroutine invoked by FunNonL function% Write dFunNonL.m filefunction writedfun(x,f)fid=fopen('dFunNonL.m','w')fprintf(fid,'functiondf=dFunNonL(x)\n');fprintf(fid,'%% the first order derivative of the function\n');for i1=1:length(x) & &fprintf(fid,['x',num2str(i1),' = ','x(',num2str(i1),');\n']);end% & fi,j means the ith function, the j_th derivate, i_th row, j_th column% you can also use function jacobian, that may be better.for i1=1:length(x) & &tmp=['x',num2str(i1)]; & &df=diff(f,tmp); & &for j1=1:length(x) & & & &df1=char(df(j1)); & &% transform sym function to character & & & &if (i1==1)&(j1==1) & & & & & & & &fprintf(fid,'df=[%s',df1); & & & &elseif (j1==1) & & & & & & & &fprintf(fid,'%s',df1); & & & &elseif (j1==length(x)) & & & & & &fprintf(fid,',%s\n',df1); & & & &else & & & & & &fprintf(fid,',%s ',df1); & & & &end & &endendfprintf(fid,'];\n');fprintf(fid,'df=df.'';');fclose(fid)end
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Copyright &带凸约束非线性方程组解法的若干研究--《海南大学》2015年硕士论文
带凸约束非线性方程组解法的若干研究
【摘要】：本文提出了两种新的求解带凸约束非线性方程组的混合算法,分别记为算法A和算法B.基于非单调技术和L-M方法，我们提出了算法A.基于超记忆梯度法和梯度投影法的思想,我们提出了算法B.
在算法A中,我们通过求解二次规划子问题获得试验步dk,当试验步不被接受时,该算法就执行改进的Amijo-型非单调线搜索技术,获得下一个新的迭代点,从而减少了计算步骤.
在算法B中,我们根据超记忆梯度法的思想计算dk,并结合无导数线搜索技术和梯度投影法求解下一个新的迭代点,在很大程度上减少了计算量,因此该算法适合求解大规模非线性方程组问题.
在合理的假设条件下,这两种算法都具有全局收敛性.数值试验证实了这两种算法的有效性.
【关键词】：
【学位授予单位】：海南大学【学位级别】：硕士【学位授予年份】：2015【分类号】：O241.7【目录】：
摘要4-5Abstract5-6目录6-71 绪论7-10 1.1 研究背景7-8 1.2 国内外研究状况8-9 1.3 论文框架9-102 基于非单调技术的L-M型混合方法10-27 2.1 引言10-11 2.2 算法描述11-13 2.3 收敛性证明13-19 2.4 数值试验19-25 2.5 案例25-273 基于超记忆梯度法与梯度投影法的混合方法27-38 3.1 引言27-28 3.2 算法描述28-29 3.3 收敛性证明29-33 3.4 数值试验33-384 总结与展望38-39参考文献39-42硕士期间发表论文和参加科研情况42-43致谢43
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一些非线性发展方程孤立波解的研究
一些非线性发展方程孤立波解的研究
The research of compacton solutions for some nonlinear evolution equations
发布时间：　　浏览量：1063　　收藏数：0　　评论数：
北京化工大学数学与信息科学系；
本文以非线性发展方程的行波解为基础，探讨了几个非线性发展方程的求解，利用最新提出扩展的sine-cosine方法，研究了如下几个非线性发展方程：Klein-Gordon型方程 、RLW型方程、Boussinesq型方程以及KdV方程的第三种变化型。并成功的得出了它们的紧孤立子解，所得出的解不仅涵盖了一些已经得出的解，而且还包括了一些未发表过的新的精确解。
非线性发展方程；扩展的sine-cosine方法；孤立波解
Zhang Weidong*，
Jiang Xinhua
Department of Mathematics and Infomation Science and Beijing University of Chemical Technology；
Abstract：
Based on the traveling solution theory of the nonlinear evolution equation, we discussed some nonlinear equations in this paper. By using the extend sine-cosine method which was proposed recently, we studied the following nonlinear equations: the Klein-Gordon-type equation, the RLW-type equation, the Boussinesq-type equation and a third variant of the KdV equation. We obtained the compatcon solutions of the above equations successfully, the results we obtained not only include some new solutions, but also some new exact new solutions not reported.
Keywords：
nonlinea the extend sine- compacton solutions
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中国科技论文在线：张伟东，江新华.&一些非线性发展方程孤立波解的研究[EB/OL].北京：中国科技论文在线&
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基于改进人工鱼群算法求解多元非线性方程组
【摘要】：对基本人工鱼群算法中人工鱼的移动条件进行了改进,并采用分段优化方法,给出了求解多元非线性方程组的改进人工鱼群算法.传统方法大都计算复杂,步骤繁琐,且有一定的局限性,而改进人工鱼群算法求解多元非线性方程组计算简单,自适应性强,并且算例表明较遗传算法求解速度更快,精度更高.
【作者单位】：
【关键词】：
【基金】：
【分类号】：O241.7【正文快照】：
0引言各种方程组的解法长期以来一直是数学界和工程界的一个重要研究内容，求解方程组也是实际工程应用研究中的常见问题.例如在某一设计任务中，针对一组设计目标值A，(i=l，2，…，n)存在设计变tX=【x:，xZ，…，x，]，与该设计目标存在函数关系厂(X)=A，，(i=1，2，…，n)
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