泰勒公式的几点应用；理学院数学082本岑燕丹指导老师：杨征；摘要:泰勒公式是非常重要的数学工具，在各类数学问；0引言；泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，是研究函；1泰勒公式的引入；设给定了一个函数f?x?，我们要找到一个在指定点；Pn?x??a0?a1?x?x0??a2?x?x；?o?x?x0?(1.1)；来近似表示f?x?，并使当x?x0时，其误差f
泰勒公式的几点应用
指导老师：杨征
摘要:泰勒公式是非常重要的数学工具，在各类数学问题的解决中有着广泛应用。高等数学教材中对泰勒公式的理论部分已进行了较详细的介绍，但对于泰勒公式的应用涉及的相对较少。所以本文主要通过实例对泰勒公式的应用进行探讨。文中在对泰勒公式系统总结下，主要论述了一元函数泰勒公式在求极限、求极值与拐点及求近似值等的常规应用，还列举了其在判断敛散性、求行列式及解微分方程等的应用，更进一步证明了欧拉公式。文中还将一元函数的泰勒公式推广到二元函数的泰勒公式，以便将高等数学中泰勒公式的内容系统化，便于其研究内容的进一步发展。 关键词;泰勒公式;应用;极限;行列式;微分方程;二元函数
泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，并在微积分的各个方面都有重要的应用。它还建立了函数的增量、自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。我们还可以使用泰勒公式来很好的解决某些问题，如求某些极限，确定无穷小的阶，证明等式和不等式，判断收敛性，判断函数的拐点以及解决中值问题等。
1 泰勒公式的引入
设给定了一个函数f?x?，我们要找到一个在指定点x?x0附近与f?x?很近似的多项式。我们的目的是希望找到一个关于?x?x0?的n次多项式
Pn?x??a0?a1?x?x0??a2?x?x0??
来近似表示f?x?，并使当x?x0时，其误差f?x??Pn?x?是较?x?x0?高阶的无穷小。我们把f?x??f?x0??f??x0??x?x0?，与一次多项式P对照一下，1?x??a0?a1?x?x0?，可知应该取a0?f?x0?,a1?f??x0?，而a0,a1的这两个数值可以由等式
??P1?x0??f?x0?,P1?x0??f?x0?，分别求得。事实上，
P1?x0??a0?a1?x0?x0???P1?x0????a0?a1?x0?x0???
由此不难推想，为了确定n次多项式Pn?x?的全部系数，我们应该假定f?x?在点x0附近具有直到n+1阶的导数，别且满足下列条件：
Pn?x0??f?x0?,Pn??x0??f??x0?,Pn???x0??f???x0?,,Pn?
由(1.1)计算Pn?x?在x0点的各阶导数值，代入上面等式(1.2)，得
a0?f?x0?,a1?f??x0?,2!a2?f???x0?,,n!an?f?
即 a0?f?x0?,a1?f??x0?,a2?,
代入(1.1)式则得
Pn?x??f?x0??f??x0??x?x0???x?x0??
这就是我们找的关于?x?x0?的n次多项式，称为f?x?在x0点的n次泰勒多项式。它的各项系数是以f?x?在x0点的各阶导数表出的。 因此我们得到泰勒定理
如果函数f?x?在x0点的附近有直到n+1阶的导数，则对于x0点附近的x，f?x?可表示为?x?x0?的n次多项式与余项rn?
f?x??f?x0??f??x0??x?x0???
f???x0??x?x0??2!
f?x0??x?x0??rn?x?
f??????x?x0?
（?在x0与x之间）
定理中的(1.4)式称为具有拉格朗日型余项的泰勒公式。
特别地，当n?0时，泰勒公式(1.4)式变为f?x??f?x0??f?????x?x0?， 这就是拉格朗日中值公式。可见泰勒公式是拉格朗日公式的推广。
如果，在泰勒公式(1.4)式中，令x0?0，则得
f?x??f?0??f??0??x??
f???0?x2?2!
f?0?xn?rn?x?
f??????x?x0?
（?在x0与x之间）
公式(1.5)是f?x?在原点的泰勒公式，也称为麦克劳林公式。
2 泰勒公式的余项类型
泰勒公式的余项一般分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性
质各异。定性的余项如佩亚诺型余项o((x?x0))，表示余项是比(x?x0)（当x?x0时）
高阶的无穷小。定量的余项如拉格朗日型余项
f(n?1)(?)(x?x0)(n?1)（?也可以写成
x0??(x?x0)）。泰勒多项式表示f?x?时所产生的误差rn?x??f?x??P当x?x0n?x?，
时，它是比?x?x0?高阶的无穷小，其中rn?x?称为n阶余项。
上面我们已经引入了带有拉格朗日余项的泰勒公式，下面就简要介绍一下其他三种不同余项类型的泰勒公式。
2.1 带有皮亚诺型余项的泰勒公式
如果函数f?x?在点x0的某邻域内具有n+1阶导数，则对该邻域内异于x0的任意点x,在x0和x之间至少?一个?使得：
f?x??f?x0??f??x0??x?x0???
x0??x?x0??2!
f?x0??x?x0??rn?x?，其中rn(x)?o((x?x0)n)，
则称此式为带有皮亚诺型余项的泰勒公式。
2.2 带有积分型余项的泰勒公式
如果函数f在点x0的某邻域U?x0?内具有n+1阶导数,令x?U?x0?,则对该邻域内异于x0的任意点x,在x0和x之间至少?一个t使得:
f?n??x0?1x?n?1?n
?x?x0???xf?t??x?t?ndtf?x??f?x0??f?x0?(x?x0)???????
?t??x?t?dt就是泰勒公式的积分型余项[3]。 其中?f
2.3 带有柯西型余项的泰勒公式
如果函数f在点x0的某邻域U?x0?内具有n+1阶导数,令x?U?x0?,则对该邻域内异于x0的任意点x有：
f?n??x0??x?x0?n?Rn?x?，0???1， f?x??f?x0??f?x0?(x?x0)???????
f(x0??(x?x0))(1??)n(x?x0)n?1就是柯西型余项[3]，
(?x)(1??)nxn?1,0???1。 当x0?0时，又有Rn?x?=f
其中Rn(x)?
3 一元函数泰勒公式的应用
3.1 利用泰勒公式求未定式的极限
未定式是指呈
，???，0??，00，?0，1?等形式的极限，一般是用洛必0?
达法则求解，当分子分母的阶数都是较高阶的无穷小的话，必须进行多次洛比达法则，或是分子分母都是带根号项的话，越微分会越复杂，此时若使用泰勒公式解决，会更简单明了。
）. ?22x?0sinxx
分析：此为-型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦。
求极限lim（
1?cos2x11x2?sin2x2
解：lim（）=。又,将cos2x用泰勒?22x?0x?02sin2xx2xsinx
公式展开：cos2x=1????x4
??x41?x?sinx?
。则lim?=。
x?0?x2sin2x?x?03x??
假如细心思考，这一题目的结果可以引起我们的兴趣。当x?0时，sinx~x，易知
?n?N,sinnx~xn。两个互为等价无穷小的函数，它们倒数之差的极限为
1111)，情况会怎么样？ ？是什么因素造成这一结果？如果是lim(?x?033sinnxxn
当x?0，n?N时，有： (1)当n?3时，
是关于x的（n-2）阶无穷大； ?nn
(3)当n=1时，?是关于x的一阶无穷小；
(4)当n=0时，=0。 ?00
(2)当n=2时，
证明：(2)在上题已经证明了，(4)是显然成立的，这里只证明(1)、(3)，先证明(3)： 当n=1时，lim(
111x?sinxx?sinx
sinxxxx?0xsinxx?0x3
在这里，利用洛必达法则可以解出这个极限，但用泰勒公式则更便捷。因为我们知道：
x3x5x2k?1k?1
sinx?x???????(?1)??(x2k?2),k?N，即
3!5!(2k?1)!
??x11(1?1)==。 3limlimx6xsinxxx?0x?0
再证明(1)：当n?3时，
11xn?sinnxxn?sinnxn?2
( ?n)x=?n2nn?2limlimlimsinxxxsinxxx?0x?0x?0
x?sinxxn?1?xn?2sinx????sinn?1x
=() 3n?1limxxx?0
sinxsinn?1x1nx?sinx
1?????)??n?
=(,命题得证。 n?13limlimxx66xx?0x?0
从以上定理可以看到，当x?0时，互为等价无穷小的函数的倒数之差(或更一般的说法，这些函数的乘方之差 )的趋向情况，无穷大或无穷小的阶数以及相关的极限的特点，由函数本身在x=0处的泰勒展开式决定。同时容易推得，在以上结论中“x?0”的条件还可以推广为 “x?x0”，这时相关特点将由函数本身在x?x0处的泰勒展开式决定。
综上所述，在求未定式极限时，要灵活运用等价无穷小与泰勒公式，并将函数展开至分子分母分别经过简化后系数不为零的阶即可。对于泰勒余项形式的选择，要根据具体题目而定，一般而言极限的计算题应该选择皮亚若型余项。
在此基础上，我们还可以将利用泰勒公式求极限推广应用，比如求曲线的斜渐近线。
例2 求曲线f(x)?
)的渐近线.. x
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泰勒公式/拉格朗日型余项
基础讲义 p47，例一是否出现 &则要 使用 拉格朗日型余项,以出现 kesi ?
提问时间： 22:43:25提问者：
出现二阶导一般会用到拉格朗日余项型泰勒展开式。
回答时间： 09:25:32
考研直通车
英语四六级
商务英语/BEC
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带有Lagrange余项的泰勒公式的证明
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