如何由联合密度函数求边际概率密度函数_概率论与数理统计吧_百度贴吧
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如何由联合密度函数求边际概率密度函数
如题 求教 这是期末考试第二道计算题的类型
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对二元的，求x的，就对y从负无穷到正无穷积分，反之亦然
都撒时候了，还么考完试
离散型加起来连续型积分
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学习学习（597）
Let X and Y be independent random variables having hte respective pdf’s fX(x) and fY(y). Then the cdf FZ(z) of the quotient:
can be computed as follows.
FZ(z)=P(YX≤z)=P(Y≥zX,X&0)+P(Y≤zX,X&0)
=∫0-∞(∫+∞zxfY(y)dy)fX(x)dx+∫∞0(∫zx-∞fY(y)dy)fX(x)dx
By differentiating, we can obtain
fZ(z)=dFZ(z)dz=∫0-∞(-xfY(xz))fX(x)dx+∫+∞0(xfY(xz))fX(x)dx
=∫+∞-∞|x|fY(xz)fX(x)dx
如果X和Y是相互独立的标准正态分布的随机变量,求:
T=A+XB+Y,(A,B是常数)
的分布密度函数。
标准正态分布密度函数为: f0(x)=e-x222π--√
设 U=A+X,V=B+X，则T=U/V, 两个变量的分布密度函数分布是：
fU(u)=e-12(u-A)22π--√,fV(v)=e-12(v-B)22π--√
直接对 U,V 及其分布密度函数使用前面的结果得到 T 的
fT(t)=∫+∞-∞|v|fU(vt)fV(v)dv
求这个积分就可以了。这个不用软件很难弄, 用了软件也很烦
fT(t)=π√(t2+1)e-(A-Bt)22(t2+1)-e12(-A2-B2)?????π√e(At+B)22(t2+1)(At+B)∫0At+B2√t2+1√e-u2du+2√t2+1-----√?????2√π(t2+1)3/2
=e-(A-Bt)22(t2+1)2π--√t2+1-----√-e-A22-B22πt2+π-e-(A-Bt)22(t2+1)(At+B)∫At+B2√t2+1√0e-u2du2π--√(t2+1)3/2
我直接算,不用前面的公式,得到更简单的结果,只有第一项（这个是错的）:
fT(t)=e-(A-Bt)22(t2+1)2π--√t2+1-----√
我规规矩矩地用的方法,求边际分布的方式,得到密度函数是一个分段函数,这一次应该是正确的了:
?????????????????????????????????????????????????????????????????fT(t)=e12(-A2-(A-Bt)2t2+1-B2)??2√t2+1-----√e(A-Bt)22(t2+1)-π√e12(A2+B2)(At+B)erfc(At+B2√t2+1√)??22√π(t2+1)3/2fT(t)=e12(-A2-B2)??π√e(At+B)22(t2+1)(At+B)erf(At+B2√t2+1√)+π√Be(At+B)22(t2+1)+π√Ate(At+B)22(t2+1)+2√t2+1-----√??22√π(t2+1)3/2t&-Bt&-B
综合上述，可以看出，这个问题看着简单，结果是繁琐的。
第一种解法，使用了商的pdf公式还是对计算有所简化的。而后面一种，直接用随机变量复合函数的pdf计算反而得到不容易化简的结果。努力化简，似乎应该能证明等价？
参考知识库
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二二二VZfk
对联合密度函数用甲变量的范围作为积分范围积分,求出已变量的边缘概率,再求导
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如果两随机变量相互独立,则联合密度函数等于边缘密度函数的乘积,若没有相互独立的条件就必须另给条件,否则无法计算,因为无法由边缘分布确定联合分布
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