已知向量组：a1=(1,-2,3,-4) a2=(-2,3,-2,1) a3=(3,-5,5,-4) a4=(2,-4,6,7)求该向量组的一个极大线性无关求出该向量组的一个极大线性无关组,并把其余的向量表示为这个极大线性无关组的线性组合
1 -2 3 2-2 3 -5 -43 -2 5 6-4 1 -4 7r2+2r1,r3-3r1,r4+4r11 -2 3 20 -1 1 00 4 -4 00 -7 8 15r2*(-1),r1+2r2,r3-4r2,r4+7r21 0 1 20 1 -1 00 0 0 00 0 1 15r1-r4,r2+r41 0 0 -130 1 0 150 0 0 00 0 1 15所以 a1,a2,a3 是一个极大无关组且 a4 = -13a1+15a2+15a3.
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扫描下载二维码设两个向量组有相同的秩,且其中一个可被另外一个线性表出,证明这两个向量组等价
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可以用利用线性无关的定义来证.这里有一种较取巧的证法：设向量组A与向量组B有相同的秩为r,A可由B线性表出,则A 有极大线性无关组（a1,a2,...,ar) B有极大线性无关组(b1,b2,...,br)将之放到一起组成向量组C（a1,a2,...,ar,b1,b2,...,br) ,则由于b1,b2,.,br 可线性表出a1,a2,...,ar 中的任意一个,所以由极大线性无关组的定义,b1,b2,...,br是C中的极大线性无关组,于是C的秩为r,但同时a1,a2,...,ar也是线性无关的,因此也是C的极大线性无关组,这样 a1,a2,...,ar 就与b1,b2,...,br等价,因此A与B就等价（因为向量组都与自身的极大线性无关组等价）
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