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误差理论与数据处理习题答案1-3章 (2)
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圆圆wan1289
x/(x-1)=3/(2x-2) -2x/(x-1)=3/[2(x-1)] -2两边同乘以2(x-1)2x=3-2*2(x-1)2x=3-4x+46x=7x=7/6经检验x=7/6是方程的根
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医学高等数学习题解答(1,2,3,6)
医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）-1-第一章 函数、极限与连续习题题解(P27)一、判断题题解 1. 正确。设 h(x)=f(x)+f(?x), 则 h(?x)= f(?x)+f(x)= h(x)。故为偶函数。 2. 错。y=2lnx 的定义域(0,+∞), y=lnx2 的定义域(?∞,0)∪(0,+∞)
。定义域不同。 3. 4. 5. 6. 错。 limx →01 = +∞ 。故无界。 x21 = 0 逐渐增大。 x错。在 x0 点极限存在不一定连续。 错。 lim ?x→+∞正确。设 lim f (x) = A ，当 x 无限趋向于 x0,并在 x0 的邻域内，有 A?ε & f (x) & A+ε 。x→x07. 正确。反证法：设 F(x)=f(x)+g(x)在 x0 处连续，则 g(x) =F(x)?f(x)，在 x0 处 F(x)，f(x)均连续，从而 g(x)在 x=x0 处也连续，与已知条件矛盾。 8. 正确。是复合函数的连续性定理。 二、选择题题解 1. 2. 3.f ( x) = x 2 , ? ( x) = 2 x , f [? ( x)] = 2 xy=x (C)( )2= 2 2 x ( D)4.1 = 0 (A) x 1 x sin x = 0 (B) lim x→0 cos x lim x sinx→0x→1 x→1 x→1 x→1 x→15. Q lim f ( x) = lim(3x ?1) = 2, lim f ( x) = lim(3 ? x) = 2, ∴lim f ( x) = 2 ≠ f (1) ? ? + + 6. 7. 8.(B)9 ? x 2 & 0 ? x & 3 (D)画出图形后知：最大值是 3，最小值是?10。 (A)设 f ( x ) = x 4 ? x ? 1 ,则 f (1) = ?1, f ( 2) = 13 ， f (x ) 连续，由介质定理可知。 (D)三、填空题题解 1. 0 ≤ x ? 1 ≤ 2 ? 1 ≤ x ≤ 3 2. 3. 4.y = arctan( x 3 ) 是奇函数，关于原点对称。ω = ,T =1 32πω= 6π 。x = ? y ,可以写成 y = ? x 。设 x = t ， x → 1, t → 1 ， lim65.t →1t 2 ?1 t +1 2 = lim 2 = 3 t →1 t + t + 1 t ?1 36.arctan x ≤π2有界， lim1 = 0 ，故极限为 0。 x→∞ x医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）-2-7.limx2 ? 4 x+2 = lim =4 x→2 sin( x ? 2) x→2 sin( x ? 2) x?2x →18.x 2 + ax + b = (1 ? x)(? x + c) = x 2 ? (c + 1) x + c ? b = c, a = ?(c + 1) ,而 lim(? x + c) = 5 ，得 c=6, 从而b=6, a=?7。1 1 x→09.lim(1 ? sin x) x = lim(1 ? sin x) ?sin xx→0?? sin x x= e ?110. limx→0tan 2 x sin 2 x sin 2 x 5 x 1 2 2 = lim = lim ? ? ? = x→0 cos 2 x ? sin 5 x x→0 sin 5 x 2 x sin 5 x cos 2 x 5 5 1 1 u 11. 设 u=ex?1， lim = lim = =1 1 u →0 ln(1 + u ) u →0 ln e u ln(1 + u )x x→0 x →012. 由 x = 0 处连续定义， lim ( a + x) = a = lim e = 1 ，得：a=1。 + ? 四、解答题题解 1. 求定义域 (1)?x ≥ 0 ?x ≥ 0 ? x ? x ≥ 0 ? ? x( x ? 1) ≥ 0 , 定义域为 [1,+∞) 和 x=0 ? ?(2)? x ?1 ≤1 ? ?4 ≤ x ≤ 6 ?? ?? 5 ≤ x ≤ 5 ?定义域为 [?4,5] ? 5 ? ?25 ? x 2 ≥ 0 ? v ? 2 v? 2 ，则罐头筒的全面积 S = 2πr + 2πrh = 2? πr + ? ， 2 πr r? ?(3) 设圆柱底半径为 r，高为 h，则 v=πr2h, h = 其定义域为(0,+∞)。 (4)经过一天细菌数为 N1 = N0 + N0r = N0 (1+ r) ，经过两天细菌数为 N2 = N1 + N1r = N1(1+ r) = N0 (1+ r) ,故2 x经过 x 天的细菌数为 N = N0 (1 + r) ，其定义域为[0,+∞)。2.f ( x) =x?2 ?2?2 a+b?2 ， f ( ? 2) = = ?4 ， f ( a + b ) = x +1 ? 2 +1 a + b +1 1 。 x(a + b ≠ ?1) 。3. 4.y = eu , u = v 3 , v = sin t , t =证明： f [ x ( x + 1)] = ln x ( x + 1) = ln x + ln( x + 1) = f ( x ) + f ( x + 1) 。 令 x+1=t, 则 x=t?1 。 f ( x + 1) = f (t ) = ?5.? (t ? 1) 2 , 0 ≤ t ? 1 ≤ 1 ? (t ? 1) 2 , 1 ≤ t ≤ 2 ，所以： =? ?2(t ? 1) , 1 & t ? 1 ≤ 2 ?2(t ? 1) , 2 & t ≤ 32 ? f ( x) = ? ( x ? 1) , 1 ≤ x ≤ 2 。 ?2( x ? 1) , 2 & x ≤ 3医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）-3-6.求函数的极限1 2 n+1 4 (1) 原式= lim 1 ? 1 / 2 = 。 n→∞ 1 1 ? n+1 3 3 1 ? 1/ 3 1?(2) 原式= lim ??1 ?n→∞?? ??1? ?1 1? 1 ?? 1 ? ?1 ? ? + ? ? ? +L+ ? ? ?? = lim?1 ? ? =1。 n→∞ 2? ? 2 3? ? n +1? ? n n + 1 ??(3) 原式= lim(1 ? x)(2 + x) 2+ x 3 ? (1 + x + x 2 ) = lim = lim = 1。 3 x →1 x →1 (1 ? x )(1 + x + x 2 ) x→1 1 + x + x 2 1? xn?2? 2? ? + 3 3 (4) 原式= lim ? ?n = 3。 n→∞ ?2? ? ? +1 ?3?(5) 原式= limx→02 sin 2 x sin x sin 2 x sin x = lim 4 ? ? = 4。 （P289 常见三角公式提示） 2 x→0 x 2x x 1 arcsin x arctan x arcsin x t (6) 原式= lim ? ，令 arcsin x = t ，则 sin t = x ， lim = lim =1 x→0 x→0 t →0 sin t 2 x x x arctan x t t 1 令 arctan x = t ，则 tan t = x ， lim = lim = lim ? cos t = 1 ，原式= 。 x→0 t →0 tan t t →0 sin t x 2(7) 原式= lim 1 + 3 tan x2 x→0()1 ?3 3 tan 2 x? 2 = ? lim 1 + 3 tan x x →0 ?()1 3 tan 2 x? ? = e3。 ?3(8) 原式= lim?1 +? x→∞ ?2 ? ? 2x + 1 ?2 x +1 ?2?1 22 x +1 ?1 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2 = ? lim?1 + ? ? ? lim?1 + ? =e。 x→∞ ? ? 2 x + 1 ? ? x→∞? 2 x + 1 ? ? ?2? x ? x sin x sin x ? 2 ? ? ? (9) 原式= lim = 2 lim x→0 x →0 x ? sin x ? 2 x 2 sin ( 1 + x sin x + 1) ? ? 2 2? ?(10) 令 t = x ? a ，则 x = a + t ，原式= limt →021 = 1。 1 + x sin x + 1e a (et ? 1) = e a (填空题 11)。 t7.S1 =1 π 3 1 a a π 3 1 a a π 3 a ? a sin = 2 a 2 ， S 2 = ? ? sin = 4 a 2 ， S3 = ? 2 ? 2 sin = 6 a 2 ，…， 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 21? 1 ? ?1 ? n ? 1 a a π 3 3 2 1 ? 4 4 ? ?1 1 S n = ? n?1 ? n?1 sin = 2 n a 2 , S = 3a 2 ? + 2 + L + n ? = 3a 2 ? → a ( n → ∞) 1 2 2 2 3 2 3 4 ? ?4 4 1? 4医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）-4-8. (1) (2) (3) (4) 9.指出下列各题的无穷大量和无穷小量limsin x = 0 ，为无穷小量。 x→0 1 + cos x arctan x = 0 ，为无穷小量。 lim x→∞ 1 + x 2x→?∞lim e x ? sin x = 0 ，为无穷小量。x +1 = ∞ ，为无穷大量。 sin xlimx→0比较下列无穷小量的阶limx→11? x 1 1? x 1 = ，lim = 1 ，当 x→1 时，1?x 与 1?x3 是同阶无穷小。1?x 与 (1 ? x 2 ) 是等阶无穷小。 3 x→1 1 1? x 3 2 (1 ? x 2 ) 2当 x 当 10. 当 x→0 时， 2 是无穷小量， x→∞时， 2 是无穷大量； x→±1 时， xx2 ?1 x2 ?1 是无穷小量， x→0 时， 3 当 x3 x是无穷大量；当 x→+∞时，e?x 是无穷小量，当 x→?∞时，e?x 是无穷大量。 11. ?y = f (3) ? f (1) = ( 2 ? 32 + 1) ? ( 2 ?12 + 1) = 19 ? 3 = 16 。 12. lim ?x→0sin x 1 ? ? = 1 ， lim ? x sin + b ? = b ，∴b=1， f (0) = a + 2 =1，∴a=?1 x→0+ ? x x ?213. lim x x?1 = ? lim[1 + ( x ? 1)]x?1 ? = e 2 ，Q lim f ( x) = f (1) , ∴ e = e ? k = 2 x→1 x→1 x→11? ?? ?22k14. 设 f ( x ) = e x ? 2 ， f (0) = ?1 & 0 ， f ( 2) = e 2 ? 2 & 0 ，由介质定理推论知：在(0,2)上至少存在一点 x0 使得 f ( x0 ) = 0 ，即 e ? 2 = 0 。x15. 设 f (x) = a sinx + b ? x ，它在[0,a+b]上连续，且 f (0) =b & 0， f (a + b) = a[sin( + b) ?1] ≤ 0 ，若 f (a +b) = 0， a 则 a+b 就是方程 f (x) = 0的根。若 f (a +b) & 0 ，由介质定理推论知：至少存在一点ξ∈(0, a+b), 使得 f (ξ ) = 0 , 即ξ是 f ( x ) = 0 的根。综上所述，方程 x = a sin x + b 至少且个正根，并且它不超过 a+b。 16. (1) w(0) =26 26 26 26 26 3 = (g)；(2) wmax = lim = 26 (g)；(3) = ? t = ln 30 ≈ 5 (周)。 0 ? 2t ?2t t→+∞ 1 + 30e 31 2 1 + 30e 3 2 1+ 30e 317. 设 F(x) = f (x) ? g(x) ，则 F(x)在[a,b]上连续， F(a) = f (a) ? g(a) & 0 ， F(b) = f (b) ? g(b) & 0 ，由介质定理推 论知： 至少存在一点ξ∈(a, b), 使得 F (ξ ) = 0 。 f (ξ) ? g(ξ) = 0 ? f (ξ ) = g(ξ) 。 即 所以 y = f (x) 与 y = g(x) 在(a,b) 内至少有一个交点。医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）-5-第二章 一元函数微分学习题题解(P66)一、判断题题解 1. 正确。设 y=f(x), 则 lim ?y = lim ??x→0?y ? ? ?y ? ? ? ?x ? = ? lim ?( lim ?x) = y′ ? 0 = 0 。 ?x→0 ?x ? ? ? ?x→0 ?x ? ?x→02.正确。反证法。假设 F ( x ) = f ( x ) + g ( x ) 在 x0 点可导，则 g ( x ) = F ( x ) ? f ( x ) 在 x0 点也可导，与题设矛盾。故命题成立。 3. 错。极值点也可能发生一阶导数不存在的点上。 4. 错。如图。 5. 错。拐点也可能发生二阶导数不存在的点上。 6. 错。不满足拉格朗日中值的结论。 7. 错。设 f ( x) = x , g( x) = ，则： F(x) = f ( x) ? g( x) = 1 ，y1 xo abx显然 f (x) 在 x = 0点的导数为 1， g(x) 在 x = 0点的导数不存在，而 F(x) 在 x = 0点的导数为 0。是可导的。 8. 错。设 y = x3 和 y = 3 x ，显然它们在(?∞,+∞)上是单调增函数，但在 x = 0 点 y = x3 的导数为 0， y = 3 x 的导数不存在。 二、选择题题解 1. 设 切 点 坐 标 为 ( x0 , y0 ) ， 则 切 线 的 斜 率 k = y′ x=x = 2x0 ， 切 线 方 程 为 ： y ? y0 = 2x0 (x ? x0 ) 过 (0,?1) 得0?1+ y = 2x2 2 2 1+ y0 = 2x0 ，又有 y0 = x0 ，解方程组 ? 0 2 0 得： y0 =1， x0 = ±1，切线方程为： y = ±2x ?1。(A) ?y0 = x02. 3. 4. 5. 6. 7. 可导一定连续。(C) 连续但不可导。(C) 因为 ξ ∈(x2 , x1) ? (a, b) 。(B)y1 = x , y2 = 3 x ，在 x=0 处导数不存在，但 y1 在 x=0 处切线不存在，y2 在 x=0 处切线存在。(D)。f ?′(0) = limsin(0 + ?x) ? 0 sin ?x (0 + ?x) ? 0 = lim = 1, f +′(0) = lim = 1 可导。(C) ?x→0 ?x→0 ?x ?x→0 ?x ?xf (e x ) = e5 x ， f ′(e x ) = 5e5 x 。(B) (0 + ?x)2 sin 1 ?0 1 0 + ?x = lim ?x sin = 0 。(B) ?x→0 ?x ?x8.?x→0lim三、填空题题解1.f ′( x) =1 x x ?12, f ′(?2) =1 ? 2 (?2) ?12=1 2 3。医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）-6-2.(csc x)′ = ? csc x ? cot x[sin(xy)]′x = (x + y)′x ? cos(xy) ? ( y + xy′) = 1+ y′ , y′ =3.y cos(xy) ?1 。 1? x cos(xy)4. 5.d (esin x ) = esin x ? cosx2 ? 2xdx。2 2f ′( x) = 6 x 2 ? 6 x ? 36 = 6( x + 2)( x ? 3) ，当 ? 2 & x & 3 时， f ′( x) & 0 ，单调调减小。f (x) ? f ′( x) g′( x) ? 1 1 1 ? f ′(x) g′( x) ? ln y = [ln f ( x) ? ln g(x)] ? ? y′ = ? ? f (x) ? g(x) ? ? y′ = 2 g( x) ? ? f ( x) ? g(x) ? 。 ? ? ? 2 y 2? ? ? ? f ( x) = x 3 ? x 3 ， f ′( x) =5 26.7.5 2 2 ? 13 1 2 x 3 ? x = 3 (5 x ? 2 ) ，当 x = 时， f (x) 由减变增，取得极小值。 5 3 3 3 x8.dy dx 1 1 = 1+ ex ， = = 。 dx dy dy 1 + e x dx四、解答题题解1.1 1 ? ? 2? ? ?10(1 + ?t ) ? g (1 + ?t ) ? ? ?10 ? g ? 1 2 ? 2 ? ? ? ? S ′(1) = lim ? = lim ?10 ? g ? g?t ? = 10 ? g ?t →0 ?t → 0 ?t 2 ? ? (0 + ?x) sin 1 ?0 1 0 + ?x = lim sin 不存在， f (x ) 在 x = 0 不可导。 ?x→0 ?x ?x2.(1) lim?x→0(0 + ?x) 2 sin(2)?x→0lim1 ?0 1 ? ? 0 + ?x = lim ? ?x ? sin ? = 0 ， f (x) 在 x = 0 可导，且 f ′(0) = 0 。 ?x→0 ?x ?x ? ?3.(0 + ?x)α ? 0 1 lim = lim 1?α = ∞ 不可导。 ?x→0 ?x→0 ?x ?x过 (1,1) 与 ( 2,4) 两点的割线斜率为 k =4.4 ?1 = 3，抛物线 y = x 2 过 x 点的切线斜率为 y′ = 2x ，故 2x = 3，得 2 ?1x=3 9 ?3 9? , y = ， ? , ? 即为所求点。 2 4 ?2 4?过 ( x0 , y0 ) 点作抛物线 y = x 2 的切线，设切点为 ( x, x 2 ) ，应满足5.x2 ? y0 = 2x 方程，若方程有两个不等的 x ? x022实根 x，则说明过 ( x0 , y0 ) 点可作抛物线的两条切线。整理方程得： x ? 2x0 x + y0 = 0 ，当 ? = 4x0 ? 4y0 & 0时， 方程有两个不等的实根。也就是要满足 y0 & x0 即可。2医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）-7-6. (1)求下列函数的导数。y′ = ( x n + a x )′ = nx n ?1 + a x ln ay′ = ( x + ln x + 5)′ = 1 + 1 x(2)(3)y′ = ( x n sin x + cos x + x)′ = nx n?1 sin x + x n cos x ? sin x + 1(4)y′ = (tan x x2 sec2 x ? 2x tan x 1 1 2 tan x 1 + arctanx)′ = + = 2 2 ? 3 + 2 4 2 x x 1+ x x cos x x 1 + x2(5)1 sin 2 x y′ = ( sin 2 x ? ln x)′ = cos 2 x ? ln x + 2 2x(6) 7. (1) (2)′ ? sec x ? (1 + x) sec x tan x ? sec x y′ = ? + ln(1 + n) ? = (1 + x) 2 ? 1+ x ?求下列函数的导数。y′ = n(1 + xn )n?1 ? (1 + xn )′ = n(1 + xn )n?1 ? nxn?1 = n2 xn?1 (1 + xn )n?1 y′ = (x2 )′ tan3x + x2 (tan3x)′ = 2x tan3x + 3x2 sec2 3x y′ = [lnsin x ? ln( + x2 )]′ = 1 y′ == cosx 2x 2x ? = cotx ? 2 sin x 1+ x 1 + x2(3)(4)[ln(2x +1)]′ 1 (2x +1)′ 2 = ? = ln(2x +1) ln(2x +1) 2x +1 (2x +1) ln(2x +1) cosx cosx 2 cosx + = = 2secx 1+ sin x 1 ? sin x cos2 x(5)y′ = [ln( + sin x) ? ln( ? sin x)]′ = 1 1(6)3 ′ (ln3 x)′ 3(ln2 x)(lnx)′ 3ln2 x 6ln(ln x) 3 3 3 3 3 ′ = ln2 (ln3 x) = 2ln(ln x)[ln(lnx)]′ = 2ln(ln x) 3 = 2ln(ln x) y = 2ln(ln x) 3 = ln x ln3 x x ln x x ln x[]8. 9. (1)n′(t) = [n0ekt ]′ = kn0ekt ，求下列函数的导数。n′(t) kn0ekt = =k。 n(t) n0ekt1 sin x sin x ? sin x ? ln y = sin x ln x ， ? y′ = cos x ln x + ， y′ = x ? cos x ln x + ? y x x ? ?ln y = 1 [ln 2 + ln( x + 1) + ln(x + 3) ? ln sin 2 x] ， 1 ? y′ = 1 ? 1 + 1 ? 2 cos 2 x ? ， ? ? 2 y 2 ? x + 1 x + 3 sin 2 x ?(2)y′ =1 2( x + 1)( x + 3) ? 1 1 ( x + 1)( x + 3) ? 1 1 ? ? + ? 2 cot 2 x ? == + ? 2 cot 2 x ? ? ? 2 sin 2 x 2 sin 2 x ? x + 1 x + 3 ? x +1 x + 3 ? ?医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）-8-(3)ln y = xx , ln ln y = x ln x ，x (lny)′ y′ = ln x +1， = ln y(ln x +1) ， y ′= y ln y(lnx +1) , y′ = e x ? x x (ln x + 1) ln y y(4)? y′ x 1 x x? ? ln y = x ln arctan x ， = ln arctanx + ? , y ′= (arctan x) ? ln(arctan x) + 2 2 ? y arctanx 1 + x (1 + x ) arctan x ? ? ?10. 求下列函数的 n 阶导数。 (1)y = 5x ， y′ = 5 x ln 5 ， y′′ = 5 x ln 2 5 ，…， y ( n ) = 5 x ln n 5(2)π? π? π π? ? ? ? y = a cos bx ， y′ = ?ab sin bx = ab cos? bx + ? ， y′′ = ?ab2 sin? bx + ? = ab 2 cos? bx + + ? ， 2? 2? 2 2? ? ? ?π? 3π ? ? ? (n) n y′′′ = ?ab3 sin (bx + π ) = ab3 cos? bx + ? ，…， y = ab cos? bx + n ? ? 2 ? 2? ? ?(3)y = ln x ， y′ =1 = x ?1 ， y′′ = ? x ?2 ， y′′′ = 2 x ?3 ，…， y ( n ) = (?1) n?1 ? (n ? 1)! x ? n x11. 求下列隐函数的导数。 (1)( x 3 + y 3 ? 3axy)′x = 0 ， 3x 2 + 3 y 2 y′ ? 3a( y + xy′) = 0 ， y′ =x 2 ? ay ax ? y 2 y cos(xy) ?1 。 1? x cos(xy)(2) 同填空题 3。 [sin(xy)]′x = ( x + y)′x ? cos(xy) ? ( y + xy′) = 1+ y′ , y′ =(3)( y + xe xy )′x = (cos y )′x ? y′ + e xy + xe xy ( y + xy′) = ? sin y ? y′ ? y′ =1 ? y + x2 y2 y + xy′ ′ = 1 ? y′ = +y 1 + x + x2 y 2 1 + ( xy) 2? (1 + xy)e xy 1 + sin y + x 2e xy(4) [arctan(xy) + y]′x = ( x)′x ? 12. 求下列函数的微分。 (1)dy = d (esin x ) = esin x d (sin x) = esin x cos xdx(2)dy = d (arcsin e ) =2xd (e 2 x ) 1 ? (e 2 x ) 2=e 2 x d (2 x) 1 ? e4 x=2e 2 x dx 1 ? e4 x? ?dx ? ?(3)? 1 dy = d [sin( x + arccos x)] = cos( x + arccos x)d ( x + arccos x) = cos( x + arccos x)?1 ? ? 1 ? x2 ? dy = d (e2 arctan x(4))=e2 arctan xd (2 arctan x) = e2 arctan x2 2e 2 arctan x dx = dx 1 + x2 1 + x213. 求 5 、 sin 31 近似值。o医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）-9-(1)设 f ( x) =x ， 则 f ′( x) =1 2 x， 取 x0 = 2.2 = 4.84 ， ?x = 0.16 ， 则 f ( x0 ) =24.84 = 2.2 ，f ′( x0 ) =1 = 0.227 ，故 5 = f ( x0 + ?x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )?x = 2.2 + 0.227 × 0.16 = 2.236 2 4.84o(2)设 f ( x) = sin x ， 则 f ′( x) = cos x ， 取 x0 = 30 =π6， ?x = 1 =oπ180， 则 f ( x0 ) = sin 30 =o1 ， 2f ′( x0 ) = cos 30o =3 1 3 π o ，故 sin 31 = f ( x0 + ?x ) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )?x = + × = 0.515 2 2 2 18014. 证明下列不等式。 (1)2 2 设 f (x) = x ? tanx ，则 f ′( x) = 1 ? sec x = ? tan x ≤ 0 ， f (x) 在 ?? , ? 上单调递减。当 x∈?? ,0? 时，? π π? ? 2 2?? π ? ? 2 ?? π? f (x) & f (0) ，即 x & tanx ，当 x∈?0, ? 时， f (x) & f (0) ，即 x & tanx ，当 x = 0时， f (x) = f (0) ，即 x = tanx ， ? 2?综上所述，当 x∈?? , ?时， x ≤ tanx 。? π π? ? 2 2?(2)设 f (x) =1 1 x 1 ?x 1 ? = & 0 ,有 f (x) & f (0) , ? ln( + x) = 1? 1 + ln( + x) ,当 x & 0 时, f ′(x) = 2 1+ x 1+ x (1+ x) 1+ x (1+ x)2即x 1 x & ln( + x) ；设 f (x) = x ? ln( + x) ,当 x & 0时, f ′(x) =1? 1 = & 0 ,有 f (x) & f (0) ,即 x & ln( + x) ；综 1 1 1+ x 1+ x 1+ x x & ln( + x) & x 。 1 1+ xx x上所述，当 x & 0 时，有x(3)设 f (x) = e ?1? x ，则 f ′( x) = e ? 1 ，当 x & 0 时, f ′( x) & 0 ，有 f (x) & f (0) ，即 e ?1? x & 0 ；当 x & 0x x时, f ′( x) & 0 ，有 f (x) & f (0) ，即 e ?1? x & 0 ；综上所述 e & 1+ x (x ≠ 0) 。 15. 求下列函数的极限。(1)? 5 sin 5 x ln(cos 5 x) 5 5 sin 5 x 2 x cos 2 x 25 lim = lim cos 5 x = lim ? ? ? = x→0 ? 2 sin 2 x x→0 2 x→0 ln(cos 2 x ) 2 5 x sin 2 x cos 5 x 4 cos 2 xx→0(2)lim x p ln q x = lim + +x→0ln q x q ln q?1 x q(q ? 1) ln q?2 x q(q ? 1) L(q ? n + 1) ln q?n x = lim = lim =…= lim =0 x→0+ x ? p x→0+ ? px ? p x→0+ (? p) 2 x ? p (? p) n x ? plim sin x ln x+(分子和分母分别求 n 阶导数，使 n&q) (3)x→0lim x sin x = lim esin x ln x = e x→0 + +x→0=e =10医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 10 -1 2 ln x x = lim sin x = lim 2 sin x cos x = 0 lim sin x ln x = lim = lim x→0+ x →0 + x→0+ ? cos x x→0+ cos x ? x sin x 1 x → 0 + x cos x sin x sin 2 x(4)lim xx→11 1? x= lim ex→1ln x 1? x=elimln xx →11? x=e1 1 lim ? x →1 x ( ?1)=e?1(5)? sin x ? lim? ? x→0 ? x ?x →01 x2= lim ex→01 sin x ln x x2ln=ex →0limsin x x x2x=ex →0lim sin x?x cos x ?sin x x2 2x=ex →0limx cos x ?sin x 2 x 2 sin x=e?1 6=61 eQ lim? sin x ? cosx x cos x ? sin x cos x ? x sin x ? cos x 1 = lim = lim = lim =? 2 2 x→0 4 x sin x + 2 x cos x x→0 4 sin x + 2 x cos x x→0 4 cosx + 2(cosx ? x sin x) 2 x sin x 61 ln x(6)x→0lim (cot x) += lim e +x→0ln cot x ln x=ex →0+limln cot x ln x=ex →0 + sinlim?x x cos x= e ?116. 证明下列不等式。 (1) 令 f (x) = sinx ? x ,因为 f ′(x)=cosx?1&0 (x&0), 所以当 x&0 时 f(x)K, f(x)&f(0)=0 ? sinx&x ； 令 g(x)= sinx ? x + x3 / 6 , 则：g′(x)= cosx ?1+ x2 / 2 ，g′′(x) = ? sinx+x, g′′′(x)= ? cosx+1&0 (x&0), 有 g′′(x)J?g′′(x) &g′′(0)=0?g′(x)K, g′(x)&g′(0)=0?g(x)J?g(x)& g(0)=0 ? sinx&x?x3/6。综上所述： x&sinx&x?x3/6 (2) 令 f (x) = x p + (1? x) p , f(x)在[0,1]连续且 f(0)=f(1)=1，f ′(x)= p[xp?1?(1?x)p?1],令 f ′(x)=0 得 x=1/2 为驻点。 f ′′(x)=p(p?1)[xp?2+(1?x)p?2]&0,有极小值 f ? ? = ? ? + ? ? = 17. 确定下列函数的单调区间。 (1)? 1? ? 1? ? 2? ? 2?p? 1? ? 2?p1 1 1 p p ，∴ p?1 ≤ f (x) ≤1 ? p?1 ≤ x + (1? x) ≤1 p?1 2 2 2y = x3 ? 6x ，定义域(?∞,+∞)， y′ = 3x2 ? 6 = 3(x2 ? 2) ，令 y′ = 0 ，解得 x = ± 2 ，增减性如下表：x y′ y (?∞,? 2 ) + J ? 2 0 (? 2 , 2 ) ? K20( 2 ,+∞) + J(2)y = x + sin x ，定义域(?∞,+∞)， y′ = 1 + cosx ≥ 0 ，令 y′ = 0 ，解得 x = ( 2k + 1)π , k = 0,±1,±2,L ，均是孤?1 0立驻点，故在(?∞,+∞)单调递增。 (3)y = 2x3 ? 3x2 ?12x + 7 ，定义域(?∞,+∞)， y′ = 6x2 ? 6x ?12x y′ y(?∞,?1) + J(?1,2) ? K2 0(2,+∞) + J= 3(x ? 2)(x + 1) ，令 y′ = 0 ，解得 x = ?1,2 ，增减性如右表： 18. 求下列函数的极值。 (1)y = x ? ln( + x) ，定义域(?1,+∞)， y′ = 1 ? 1x = 0 ，极值见右表：1 x = ，令 y′ = 0 ，解得 1 + x 1+ xx y′ y(?1,0) ? K0 0 极小值 为0(0,+∞) + J医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 11 -(2)y = x ln x ，定义域(0,+∞)， y′ =?2ln x 1 ln x + 2 = ， + 2 x x 2 xx y′ y(0, e ) ? K?2e ?20 极小值为 ? 2e?1( e ,+∞) + J?2令 y′ = 0 ，解得 x = e ，极值见如右表： (3)1 1 2 y = x + ，定义域(?∞,0)∪(0,+∞)， y′ = 1 ? 2 ， y′′ = 3 ，令 y′ = 0 ，解得 x = ±1 ， y′′(?1) = ?2 & 0 有极 x x x大值 y(?1) = ?2 ， y′′(1) = 2 & 0 有极小值 y(1) = 2 。 19. 求下列函数在所给区间内的最大值和最小值。 (1)f ( x) = 5 ? 4 x 是[?1,1]上的连续函数， f ′( x) =?2 & 0 减函数且无驻点，但有一个不可导点 5 ? 4xx=(2)5 & 1 ，它不在[?1,1]上，故 f max (?1) = 3 ， f min (1) = 1 。 4??(x2 ?3x + 2) , 1≤ x ≤ 2 f ( x) = x 2 ? 3 x + 2 是[?10,10]上的连续函数，此函数可用分段函数表示 f (x) = ? 2 ， ? x ?3x + 2 , 其它3 1 3 ? ? 2x + 3 , 1 & x & 2 f ′( x) = ? 2 ， f ′(x) = 0 ， x = ，f (1) = f (2) = 0 ，f ( ) = ，f (?10) = 132，f (10) = 72， 令 得： 2 2 4 ?2x ? 3 , x & 1或x & 2比较得： f max = 132， fmin = 0 。(3)f ( x) = 2x?2是[?5,5]上的连续函数，此函数可用分段函数表示 f ( x) = ??22?x , x & 2 ，分段点为 x = 2 ， x?2 ?2 , x ≥ 2?? 22?x ln2 , x & 2 7 3 f (2) = 1， f ′( x) = ? x?2 ，无驻点。 f (?5) = 2 ， f (5) = 2 ，比较得： f max = 128， fmin = 1 。 2 ln2 , x & 2 ?20. y = ax 3 + bx 2 ， y ′ = 3ax 2 + 2bx ， y ′′ = 6ax + 2b ，因为(1,3)为曲线的拐点，所以有 ? ? 解之得： a = ?6a + 2b = 0 ， 3 2 ?a ? 1 + b ? 1 = 33 9 ，b = 。 2 22( x +1)(x2 ? 4x +1) x ?1 ? x2 + 2x + 1 ′= y′′ = 21. y = 2 ，y ， ，令 y′′ = 0 ，解得 x1 = ?1 ， x2,3 = 2 ± 3 ， x +1 ( x2 +1)3 ( x 2 + 1) 2y1 = ?1 ， y2,3 =? ?1 ± 3 ?1 ? 3 ? ? ?1 + 3 ? ?, ? 2 + 3, ? 是曲线的三个拐点。下面论 ，可验证 (?1,?1), ? 2 ? 3, ? ?? 4 4 ?? 4 ? ? ?证此三点在一条直线上。只要证明过任意两点的直线的斜率相同即可。?1 ? 3 3? 3 ?1+ 3 3+ 3 +1 +1 y2 ? y1 1 y3 ? y1 1 4 4 k1 = = = 4 = ， k2 = = = 4 = ， k1 = k2 得证。 x2 ? x1 x3 ? x1 2 ? 3 +1 3 ? 3 4 2 + 3 +1 3 + 3 4医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 12 -22. w + be ? w′ =? ktw = w0 (1 + b) ， w =w0 (1 + b) 两端对 t 求导数： w′ + b( ?ke ? kt w + e ? kt w′) = 0 ?kt 1 + bebke ? kt w bkw0 (1 + b)e ? kt = 1 + be ?kt (1 + be ?kt ) 223．设 R = R0 + dR = 0.02 + 0.2t ， v = R 2 ? r 2 = (0.02 + 0.2t ) 2 ? r 2 ，dv = 2(0.02 + 0.2t ) × 0.2 = (0.008 + 0.08t )cm / min 2 。 dt24. (1)求出现浓度最大值的时刻： C (t ) = 122(e ?0.18t ? e ? t ) , C ′(t ) = 122( ?0.18e ?0.18 t + e ? t ) ,令 C ′(t ) = 0 ，解? ln 0.18 ? ln 0.18 ?0.18× ? ? ln 0.18 ? ln 0.18 2 0.82 ′′(t ) = 122(0.182 e ?0.18t ? e ? t ) ， C′′( 得唯一驻点 t = 。C ) = 122(0.18 e ? e 0.82 ) 0.82 0.829 ln 0.18 50 ln 0.18 9 50 91 50= 122(0.182 e 41? e 41) = 122(0.182 × 0.1841 ? 0.1841 ) = 122(0.1841 ? 0.18 41 ) & 0 有极大值。也为最大值。(2)求出现浓度变化率最小值的时刻：令 C ′′(t ) = 0 ，解得唯一驻点 t =? ln 0.18 。 0.41+e? ?ln0.18 0.41C ′′′(t ) = 122( ?0.18 e3 100 41 3?0.18 t?0.18× ? ln 0.18 + e ) , C′′′( ) = 122(?0.183 e 0.41 ?t18 41 100 41 141 41?ln0.18 0.41) = 122(e 41100 ln 0.1818? 0.183 e 41ln 0.18)= 122(0.18? 0.18 × 0.18 ) = 122(0.18? 0.18 ) & 0 有极小值。也为最小值。25. 求 w′ 何时达最大值。 ln w ? ln(341.5 ? w) = k (t ?1.66) ? w =1 ?1 k ? w′ ? ? w′ = k ? w′ = (341 .5 w ? w 2 ) …②， w 341.5 ? w 341 .5 k w′′ = (341 .5 w′ ? 2 w ? w′) = k (341 .5 ? 2 w )w′ ，令 w′′ = 0 ，得： w′ = 0, w = 341.5 。 341 .5 341 .5 2由 w′ = 0 ? (341 .5 ? w ) w = 0 ，而 w ≠ 0 ?w=341.5，由①得 e 由w =k (1.66?t )341.5 …①， 1 + e k (1.66?t )= 0 无解。k 341.5 k (1.66?t ) 341 .5 w′′ ? 2( w′) 2 ? 2 w ? w′′ ， ?e = 1 ，得： t = 1.66 是唯一驻点。 w′′′ = 2 341 .5 341.5 341.5 当 t = 1.66 时， w = ， w′ = k ， w′′ = 0 ， w′′′ & 0 有极大值。也为最大值。 2 426. 讨论下列函数的凹凸性和拐点 (1)[]y=a2 (a & 0) ，定义域(?∞,+∞)， a2 + x 2x(?∞,?a ) 3?a 30(?a a , ) 3 3? 凸a 30 拐点 3/4(a ,+∞) 3+ 凹y′ =2a2 (3x2 ? a2 ) ? 2a 2 x y′′ = ， ，令 (a2 + x2 )3 (a 2 + x 2 ) 2y′′y+ 凹a 3 y′′ = 0 ，得 x = ± ， y = ，列表讨论。 4 3(2)拐点 3/4y = x + sin x ,定义域(?∞,+∞), y′ = 1+ cos x , y′′ = ? sin x ,令 y′′ = 0 ,得 x = kπ , ( k = 0, ±1,±2,L) ,当医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 13 -x ∈ ((2k ?1)π ,2kπ ) 时 , y′′ & 0 , 曲 线 是 凹 的 。 当 x ∈ (2kπ , (2k + 1)π ) 时 , y′′ & 0 , 曲 线 是 凸 的 。 拐 点 为 ：(k π , k π ) 。27. 讨论下列函数的单调性、极值、凹凸性、拐点和渐进线，并画出它们的大致图形。 (1)y = e? x ， 定 义 域 (?∞,+∞) ， 是 偶 函 数 ， lime? x = 0 ， 有 水 平 渐 进 线 y = 0 ， y′ = ?2 xe ? x ，22 2x→∞y′′ = ?2[e ? x + xe ? x (?2 x)] = e ? x (2 x 2 ? 1)2 2 2x(?∞? ,1 ) 2?1 2+ 0(?1 ,0) 2+ ?0(0,1 ) 2? ?1 2? 0 拐 点(1 ,+∞) 2? +yy′ y′′yy =e?x2+ +0 0 极 大o拐 点x(2)1+ x 1+ x 1+ x ，定义域(?1,1)， f (?x) = ? f ( x) 是奇函数， limln = ∞ ， lim ln = ∞ 有垂直渐进线 ? + x→1 x→?1 1? x 1? x 1? x 2 x = ±1 ， y ′ = 无 驻 点 ， 但 当 x = ±1 时 导 数 不 存 在 。 1? x2 1+ x y = ln4x ，令 y′′ = 0 ，得 x = 0。 y′′ = (1 ? x2 )2x ?1 无 无 (?1,0) + ? 0 ? 0 拐点 0 (0,1) + + 1 无 无yy = ln1? xy′ y′′y (3)?1o1 xy = x3 ? 6 x ， 定义域(?∞,+∞)， 是奇函数， 无渐进线。y′ = 3 x 2 ? 6 ，y′′ = 6 x ， y′ = 0 ， 令 得驻点 x = ± 2 ，y22令 y′′ = 0 ，得 x = 0 ，列表讨论。 f (0) = 0 , f (± 6) = 0, f (± 2 ) = m2 2 xy = x3 ? 6x(?∞? 2) ,+ ?? 20 ? 极 大(? 2,0)? ?0 ? 0 拐 点(0, 2 )? +20 + 极 小( 2,+∞)+ +y′ y′′y?6 ?2o?2 226x医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 14 -(4)e x + e? x e x ? e? x e x + e? x ′= ′′ = ，定义域(?∞,+∞)，是偶函数，无渐进线。 y ，y ，令 y ′ = 0 ，得 y= 2 2 2y驻点 x = 0 ，而 y′′ & 0 ，列表讨论。 x(?∞,0)? +0 0 + 极小 1(0,+∞)+ +y=ex + e?x 2y′ y′′y (5)1.543 1?1o1xy x + arctan x = lim = 1 ， b = lim( y ? ax) x →∞ x x →∞ x →∞ x π π 1 有两条渐进线： = x ± 。 ′ = 1 + y y &0 = lim[( x + arctanx) ? x] = ± ， x →∞ 2 2 1 + x2y = x + arctan x ，定义域(?∞,+∞)，是奇函数， a = lim无驻点， y′′ =? 2x ，令 y′′ = 0 ，得 x = 0 (1 + x 2 ) 2 (?∞0) ,+ + 0 0 + 拐点 0yy = x + arctan xπ2x(0,+∞)+ ?y′ y′′y?π2 ?oπ2xπ2(6)y = arccos1? x2 1 ? x2 ，定义域(?∞,+∞)，是偶函数， lim arccos = arccos(?1) = π ，有一条水平渐进 x →∞ 1 + x2 1 + x2? 4x ? ?2 ? (1 + x 2 ) 2 , x & 0 ? 4 x ?1 + x 2 , x & 0 2x ? 线 y=π, y′ = =? ， y′′ = ? = & 0 ， f (0) = arccos1 = 0 ， 2 2 ? 4x (1 + x ) x ? (1 + x 2 ) ? , x&0 , x&0 ? (1 + x 2 ) 2 ?1 + x 2 ?f (±1) = arccos 0 =xπ2。y(?∞0) ,? ?0 无 无 极小 0(0,+∞)+ ?y′ y′′yπ/2y = arccos1 ? x2 1 + x2?1 o1x医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 15 -28. 已知不在同一直线上的三点 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 和 C ( x3 , y3 ) ；试用 xi , yi 表示?ABC 的面积。 解：由 P55 例 42 知：直线 y = kx + b 到 ( x0 , y0 ) 的距离为： d =y0 ? kx0 ? b1+ k 2。那么，直线 AB 的方程为：y ? y1 =y2 ? y1 y ?y x y ?x y ( x ? x1 ) ? y = 2 1 x + 2 1 1 2 ，AB 两点间的距离为： ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 ) 2 ， x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1y ? kx3 ? b 1 ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 ) 2 ? 3 2 1+ k 2 y3 ? y2 ? y1 x y ?x y ? x3 ? 2 1 1 2 x2 ? x1 x2 ? x1?ABC 的面积==1 ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 ) 2 ? 2?y ?y ? 1+ ? 2 1 ? ? x ?x ? ? 2 1?2=1 ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 ) 2 ? 2y3 ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) x3 ? ( x2 y1 ? x1 y2 ) x2 ? x1 ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 ) 2 x2 ? x1=1 1 y3 ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) x3 ? ( x2 y1 ? x1 y2 ) = ( x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 ) ? ( y1 x2 + y2 x3 + y3 x1 ) 2 2 x2 y2 + = 1(a & b) 的切线与 x 轴 y 轴分别交于 A、B 两点，(1)求 AB 之间的最小距离；(2)求三角形 a 2 b2y29. 椭圆?OAB 的最小面积。x2 y2 解：椭圆方程： 2 + 2 = 1 …①如图。设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ， a bAb2 x b2 x 则 y′ = ? 2 …②，此点切线斜率为： k = ? 2 0 ，切线方程为： a y0 a y b2 x y ? y0 = ? 2 0 (x ? x0 ) 。 a y02 2 2 a2 y0 b2 x0 + a2 y0 a2 a2 = ，坐标 A( ,0) 。 令 y = 0 ， x = x0 + 2 = b x0 b2 x0 x0 x0 2 2 2 b2 x0 b2 x0 + a2 y0 b2 b2 = = ，坐标 B(0, ) 。 a2 y0 a2 y0 y0 y0o( x0 , y0 )Bx令 x = 0 ， y = y0 +(1)AB = oA + oB =2 2 2a4 b4 a4 b4 ? 2a 4 ? 2b 4 + 2 。可设 l = 2 + 2 ，令 l ′ = + 3 ? y′ = 0 ，将②代入得： x x 2 x0 y0 x y x3 y医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 16 -a 4 b4 ? b2 x ? b3 a3 b3 + 3 ? ? ? 2 ? = 0 ? y 2 = 3 x 2 ，代入①得驻点： x = ± ，y=± 。 x3 y ? a y ? a a+b a+b ? ?′ ? ? 2b 6 2b 6 2b 6 ? ? b2 x ? ′′ = ? ? 2a 4 x ?3 + 2 xy ?4 ? = 6a 4 x ?4 + 2 y ?4 ? 4 xy ?5 ? y′ = 6a 4 x ?4 + 2 ? y ?4 ? 4 xy ?5 ? 2 ? l ? x ? a a a ? a y ? ? ? ? ?()= 6a x4?4+2b 6 ? ?4 4b 2 2 ?6 ? a4 b4 ? y + 2 x y ? & 0 有极小值。l = 3 + 3 = a (a + b) + b(a + b) = (a + b) 2 ，故 AB ? a b a2 ? a ? ? a+b a+b? 1 a2 b2 1 2 2 1 1 ? b2 x ? ? ? = a b ( xy ) ?1 ， S ′ = ? a 2b 2 ( xy ) ?2 ( y + xy′) = ? a2b2 (xy)?2 ? y + x 2 ? ， ? 2 2 a y ? 2 x y 2 ? ? b2 2 a b x ，代入①得驻点： x = ，y= (三角形边长取值应大于零)。 2 a 2 2之间的最小距离是 a + b 。 (2) 可设面积 S =令 S ′ = 0 ，得： y =2′ 1 3 1 ?1 ? S ′′ = ? b 2 y ?3 ? a 2b 2 x ?2 y ?1 ? = ? b 2 y ?4 y′ ? a 2b 2 ? 2 x ?3 y ?1 ? x ?2 y ?2 y′ 2 2 2 ?2 ?()=?? ? b 2 x ? ? 3b 4 x a 2b 2 b4 3 2 ?4 ? ? b 2 x ? 1 2 2 ? b y ? 2 ? ? a b ? ? 2 x ?3 y ?1 ? x ?2 y ?2 ? 2 ? ? = 2 5 + 3 ? ? a y ? 2 ? a y ? ? 2a y ? 2 x y 2 xy 3 ? ? ? ?? ?? S ′′? ?? 3b 4 ? a b ? ? , ?= 2 2? ? 2a 2 ? ?a ? ? a 2b 2 b4 6 4b 2b 6 2b 2? + ? = & 0 有极小值。 + ? = + 5 3 3 a ab a b ? ? a ?? b ? ? a ?? b ? ab a ? ? ?? ? 2? ?? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2 ?? 2 ?a 2b 2 ? a b ? S? , = = ab ，故三角形的最小面积为 a?b。 ? ? 2 2 ? 2? a ?? b ? ? ?? ? ? 2 ?? 2 ?第三章 一元函数积分学习题题解(P108)一、判断题题解 1. 2. 3. 4. 5. 6. 错。是原函数的全体，记作∫ f ( x)dx + C 。错。 f (x) 的任意两个原函数之差为常数。 错。是 F ( x ) + C 。 正确。 错。被积函数在 x=0 处无界。 正确。 y′ = sin x ， y′ x = 0 = 0医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 17 -7. 8.正确。被积函数是奇函数，积分区间对称。 正确。二、选择题题解 1.f (?x) = ?x ? x = ? f (x) 被积函数是奇函数， 积分区间对称， 定积分为零。 ∫ x x dx = 或?10 11∫0?1? x 2 dx + ∫ x 2 dx011 3 1 1 1 =? x + x 3 = ? [0 ? (?1)] + (1 ? 0) = 0 。(A) 3 ?1 3 0 3 32. 3. 4. 5. 6.0 +∞ 1 1 1 0 +∞ ? π? π dx = ∫ dx + ∫ dx = arctan x ? ∞ + arctan x 0 = 0 ? ? ? ? + ? 0 = π 。(A) 2 2 ∫? ∞ 1 + x ?∞ 1 + x 0 1 + x2 ? 2? 2 +∞正确的是 C。∫a?af (? x)dx ==== ? ∫dx = ? du令u = ? x?a af (u )du = ∫ f ( x)dx 。(D)?aa令 b ? ax = u ， ? adx = du ， f (b ? ax)dx = ?∫1 1 1 ∫ f (u)du = ? a F(u) + C = ? a F(b ? ax) + C 。(B) a令 F ( x) = e ? x ，则 f ( x) = ?e ? x ， xf ( x)dx = ? xe? x dx = xd e? x = xe? x ? e? x dx = e? x ( x +1) + C 。(D)∫∫∫ ( )∫7.∫x11 + t 4 dt ====== ∫dt = du 2 u令t = ux11 + u2x1 x 1 d du ? 1 1 + x 。(D) 4 =∫ + u du ，∴ ? ∫ ? 1 1 + t dt ? = dx ? ? 2 x 2 u 12 u或d ? x 1 1 1 ? 4 4 2 = +x ? ∫ 1 1 + t dt ? = 1 + ( x ) ( x )′ = 1 + x dx ? ? 2 x 2 x8.∫ f ′( x) f ′′( x)dx = ∫ f ′( x)df ′( x) = ∫ 2 d [ f ′( x)]12 1 [ f ′( x)]2 + C = 1 ? 2 xe? x 2 22=∴() + C = 2x e2 22 2 1 [ f ′( x)]2 + C ， f ( x) = e? x ， f ′( x) = ?2 xe? x 22 ?2 x 2+ C 。(B)三、填空题题解 1.∫ xln(1+ x )dx = 2 ∫ln(1+ x )d(1+ x ) = 2 ?(1+ x ) ln(1+ x ) ? ∫ (1+ x ) ? 1+ x ?2 22 2 211?2xdx ? 1 2 = (1 + x ) ln( + x ) ? 2∫ xdx 1 2 2? ? 2[]=1 (1 + x2 ) ln(1 + x2 ) ? x2 + C 。 2 1 ? cos 2kx 1? 1 ? ∫?π sin kxdx = ∫?π 2 dx = 2 ? x ? 2k sin 2kx ??π = π。 ? ?π2[]2.ππ3.∫ arctan xdx = x ? arctan x ? ∫ 1 + xπ πx21 dx = x ? arctan x ? ln(1 + x 2 ) + C 。 2π4.1 1? 1 1 ? ∫?π sin kx sin lxdx = ∫?π ? 2 [cos(k + l ) x ? cos(k ? l ) x]dx = ? 2 ? k + l sin(k + l)x ? k ? l sin(k ? l)x ??π = 0。 ? ? 1 ex de x x dx = ∫ 2 x dx = ∫ = arctan e + C 。 ∫ e x + e? x e +1 1 + (e x ) 25.医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 18 -6. 7. 8.d x 2 +1 2 2 2 ∫ 0 cos tdt = cos( x + 1) ? ( x + 1)′ = 2 x cos( x + 1) 。 dx 1 ∫ sin 2 xdx = ? 2 cos 2 x + C 。这是积分上限函数，由定理 3 知： Φ′( x ) = f ( x) ，∴ y′ = xe x 。四、解答题题解 1. 2. 分别对三个函数求导数，结果皆为 (1) 错。 F ( x ) + C 是不定积分。2 ，所以它们是同一函数的原函数。 x(2) 错。∫ f ( x)dx 是 f (x) 所有原函数。(3) 正确。设 F ( x ) = C 是 f (x ) 的一个原函数，则 F ′( x ) = 0 = f ( x ) 。 (4) 正确。因为积分变量不同，造成被积函数不同。 (5) 正确。因为 n ≠ ?1 时， x dx =n∫1 n +1 x +C。 n +13. (1)求下列不定积分∫ (1 ? 3x )dx = x ? x2 x23+C(2)2x 1 3 ∫ (2 + x )dx = ln 2 + 3 x + C11 1(3)? x +1 x2 x 2 2 ∫ x dx = ∫ ( x 2 + x 2 )dx = 1 + 1 + C = 3 x 2 + 2 x 2 + C +1 ? +1 2 23 1+11 ? +1(4)∫2 x ( x ? 3)dx = ∫ x 2 ? 3 x 2 )dx = x 2 + 2 x 2 + C 53153(5)x2 1 + x2 ? 1 1 ? ? dx = ∫ dx = ∫ ?1 ? dx = x ? arctan x + C 2 2 ? ∫ 1 + x2 1+ x ? 1+ x ? x2 1 + x2 ? 1 1 1+ x ? 1 ? dx = ∫ dx = ∫ ? ? 1?dx = ln ? x+C 2 2 ∫ 1 ? x2 1? x 2 1? x ?1? x ?(6)(7)∫ sin ∫ cot2x 1 ? cos x 1 dx = ∫ dx = ( x ? sin x) + C 2 2 2 ? 1 ? xdx = ∫ ? 2 ?1?dx = ? cot x ? x + C ? sin x ?(8)2(9)? ? 4 1 ? ? ?2 ∫ ?1 ? x 2 ? x x dx = ∫ 1 ? x x 4 dx = ∫ ( x 4 ? x 4 )dx = 7 x 4 + 4 x 4 + C ? ?()33571医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 19 -e2 x ? 1 (10) ∫ x dx = ∫ (e x ? 1)dx = e x ? x + C e +1(11)∫ cos x + sin x dx = ∫ (cos x ? sin x)dx = sin x + cos x + C ∫ x (1 + x )dx = ∫ ? x ?2 2cos 2 x1(12)? 12?1 1 ? dx = ? ? arctan x + C 2 ? 1+ x ? x(13)∫ cos21 1 ? ? 1 dx = ∫ ? + ?dx = tan x ? cot x + C 2 2 2 x sin x ? cos x sin x ?(14)∫?1 + x2 1? x4dx = ∫11 1 ? x2 ?dx = arcsin x + C 1(15) 4. (1)∫ ?1 + sin x + 2 cos x ?dx = x ? cos x + 2 sin x + C ? ?求下列不定积分2 ∫ (2 ? x) 2 dx = ? ∫ (2 ? x) 2 d (2 ? x) = ? 7 (2 ? x) 2 + C557(2)∫ (1 ? 2 x) ∫dxdx2=?1 d (1 ? 2 x) 1 ∫ (1 ? 2 x)2 = 2(1 ? 2 x) + C 2(3)2 ? 3x2=∫? 3 ? ? d? ? 2 x? ? ? ? 3 ? ? 3 1? ? ? 2 x? ? ?2=1 3 arcsin x+C 2 3(4)? x? d? ? dx dx x ?2? ∫ 1 ? cos x = ∫ 2 x = ∫ 2 x = ? cot 2 + C 2 sin sin 2 2(5)∫a3xdx =1 3x 1 3x ∫ a d (3x) = 3 ln a a + C 3(6)2x ? 1 d ( x 2 ? x + 3) dx = ∫ 2 = ln x 2 ? x + 3 + C ∫ x2 ? x + 3 x ? x+3 1 + e ?2 x )dx = ? e ? x ? e ? 2 x + C 2 1 ∫ (sin 5x ? sin 5a)dx = ? 5 cos 5 x ? x ? sin 5a + C(7) (8)∫ (e?x(9)∫x 1 ? x2dx = ?1 d (1 ? x 2 ) 2 = ? 1? x + C 2 ∫ 1 ? x2医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 20 -1 1 3 3 3 (10) ∫ x ? 1 + x dx = ∫ (1 + x ) 3 d (1 + x ) = (1 + x ) 3 + C 3 42 3 314(11)x 1 ∫ 4 + x 4 dx = 4 ∫? x2? 1 ? x2 ? d ? ? = arctan? ? + C 2 ? ? 2? ? ? x2 ? ? 2 ? 4 ? ? ? ? 1+ ? ? ?2 ?1(12)∫1 d x dx = 2 ∫ x (1 + x) 1+ x2( )3 22= 2 arctan x + C(13)?x ∫ xe dx = ?1 ? x2 1 2 e d (? x 2 ) = ? e ? x + C 2∫ 2?(14)∫sin x cos3 xdx = ? ∫ cosxd (cos x) = 2 cos?1 2x+C=2 +C cos x(15)∫ sin ∫23 ?1 1 4 dx = ? ∫ (cot x ) 4 d (cot x) = ? (cot x ) 4 + C 4 3 x ? cot x(16)arctan x 1 dx = ∫ arctan xd (arctan x) = (arctan x) 2 + C 2 1+ x 2(17)de x 1 ex x dx = ∫ 2 x dx = ∫ = arctan e + C (填空题 5) x 2 ∫ e x + e? x e +1 1 + (e )1 1+ x 1 1+ x ? 1+ x ? 1 ? 1+ x ? ∫ 1 ? x 2 ln 1 ? x dx = 2 ∫ ln 1 ? x d ? ln 1 ? x ? = 4 ? ln 1 ? x ? + C ? ? ? ?2(18)(19)∫ ( x ? 1)( x + 3)dx = 4 ∫ ? x ? 1 ? x + 3 ?dx = 4 (ln x ? 1 ? ln x + 3 ) + C = 4 ln x + 3 + C ? ?1 1 ? 1 1 ? 1 1x ?1(20)∫ (x21 1 x 1 ? ? 1 dx = ∫ ? 2 arctan +C ? 2 ?dx = arctan x ? 2 + 1)( x + 2) 2 2 ? x +1 x + 2 ? 1 1?1 1 ? 1 1(21)∫ sin 3x sin xdx = ∫ ? 2 (cos 4 x ? cos 2 x )dx = ? 2 ? 4 sin 4 x ? 2 sin 2 x ? + C = 4 sin 2 x ? 8 sin 4 x + C ? ?2 41 3 1 1 ? 1 ? cos 2 x ? 2 (22) ∫ sin xdx = ∫ ? ? dx = ∫ 1 ? 2 cos 2 x + cos 2 x dx = x ? sin 2 x + sin 4 x + C 2 4 8 4 32 ? ?()(23)2 1 xdx = ∫ (1 ? sin 2 x) 2 d sin x = ∫ (1 ? 2 sin 2 x + sin 4 x)d sin x = sin x ? sin 3 x + sin 5 x + C 3 5 1 2 (24) ∫ tan 3 xdx = ∫ tan x(sec2 x ?1)dx = ∫ tan xd tan x ? ∫ tan xdx = tan x + ln cos x + C 2∫ cos15ex ?1? (25) ∫ 2 dx = ? ∫ e x d ? ? = ? e x + C x ? x?11医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 21 -(26) (27)∫ (ln x )∫esin x21 1 2 3 ? dx = ∫ (ln x ) d (ln x ) = (ln x ) + C x 3cos xdx = ∫ esin x d sin x = esin x + Cdx =(28)∫ 4 ? 9x121 ? 1 1 ? 1? 1 1 1 2 + 3x ? ∫ ? 2 ? 3x + 2 + 3x ?dx = 4 ? ? 3 ln 2 ? 3x + 3 ln 2 + 3x ? + C = 12 ln 2 ? 3x + C 4 ? ? ? ?=(29)∫ (arcsin x) ∫x2dx21 ? x2∫ (arcsin x)d (arcsin x)2=?1 +C arcsin x(30)dx d ( x ? 1) =∫ = arctan( x ? 1) + C ? 2x + 2 ( x ? 1) 2 + 1(31)? (1 + e x ) 2 1 + 2e x + e 2 x 2e x ? x dx = ∫ dx = ∫ ?1 + ∫ 1 + e2 x ? 1 + (e x ) 2 ?dx = x + 2 arctan e + C ? 1 + e2 x ? ?(32)x2 + 7 ( x2 ? 2x ? 3) + 2x + 10 (2 x ? 2) + 12 d ( x2 ? 2x ? 3) d ( x ?1) dx = ∫ dx = x + ∫ 2 dx = x + ∫ 2 ?12∫ 2 2 ∫ x2 ? 2 x ? 3 x ? 2x ? 3 x ? 2x ? 3 x ? 2x ? 3 2 ? ( x ?1)22= x + ln x ? 2x ? 3 ?12? 5. (1) 求下列不定积分1 2 + ( x ?1) x +1 ln + C = x + ln x2 ? 2x ? 3 ? 3ln +C 2 × 2 2 ? ( x ?1) x ?3令1? x = u 3 6 3 x2 ? 3 1 ? xdx ===== ? ∫ (1 ? u)2 ? u 3 du = ? ∫ (u 3 ? 2u 3 + u 3 )du = ? u 3 + u 3 ? u 3 + C ∫ dx = ? du 4 7 1011474710= ? (1 ? x) 3 + (1 ? x) 3 ?3 446 773 (1? x) 3 + C 1010(2) =?∫令 2? x =u 3 1 ?1 1 8 3 2 5 x2 (2 ? u ) 2 dx ===== ? ∫ du = ∫ (?4u 2 + 4u 2 ? u 2 )du = ? 8u 2 + u 2 ? u 2 + C dx =? du 3 5 u 2? x2 2 u (60 ? 20u + 3u 2 ) + C = ? 32 + 8x + 3x 2 2 ? x + C 15 15()(3)∫1 1+ exdx ====== ∫ 2 ududx = u 2 ?1令 1+ e x =u2du 1 ? 1 + ex ?1 u ?1 ? 1 = ∫? +C ? + C = ln ?du = ln u 2 ?1 ? u ? 1 u + 1 ? u +1 1+ ex +1(4)∫arctan x arctan x dx = 2 ∫ d ( x ) = 2 ∫ arctan x d (arctan x ) = (arctan x ) 2 + C 2 x (1 + x) 1+ ( x )dx2 3(5)∫ (1 ? x ∫ (x2)2 dx = cos udu=====令x = sin u∫ (1 ? sin ∫ (a2cos udu2u)3=2∫ cos2 3du2u== tan u + C =x 1 ? x2+C(6)dx +a )2 32 dx = a sec udu====== 2令x =a tan ua sec 2 udu tan u + a )2 21 1 x cos udu = 2 sin u + C = +C 2 ∫ 2 a a a x2 + a2医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 22 -(7)∫dx 9x2 ? 4======== ∫ 2dx = tan u sec udu 3令 3 x = 2 sec u2 tan u ? sec udu 1 1 1 2 3 = ∫ sec udu = ln secu + tanu + C = ln 3x + 9x ? 4 + C 2 3 3 4 sec u ? 4 3(8)∫令x = a sec u a2 sec2 u ? a2 x2 ? a2 dx ======== ∫ a tanu ? secudu= a∫ tan2 udu= a∫ (sec2 u ?1)du = a(tanu ? u) + C dx = a tan u sec udu x a secu? x2 ? a2 ? a a = a? ? arccos + C ? = x 2 ? a 2 ? a ? arccos + C ? ? a x x ? ?(9)∫ cos5x sin x dx = ∫ 1 ? sin 2 x()25 9 1 sin x d (sin x) = ∫ ? sin 2 x ? 2 sin 2 x + sin 2 x ?d (sin x) ? ? ? ?=11 2 32 4 7 2 4 2 ?2 ? sin x ? sin 2 x + sin 2 x + C = sin x ? sin x ? sin 3 x + sin 5 x ? + C 3 7 11 7 11 ?3 ? 3 1 ln x 1 + ln x ? 1 1 ? 2 ? dx = ∫ d (1 + ln x) = ∫ ? 1+ ln x ? ?d(1+ ln x) = (1+ lnx) 2 ? 2(1+ lnx) 2 + C ∫ x 1 + ln x 3 1 + ln x 1+ ln x ? ?(10)=2 1 + ln x (ln x ? 2) + C 3(11)∫edxx2+ ex1 du = e 2======== x2令u = ex22 dx = 1 udx∫u+u12?2du 1 1 ? 1? ? 1 ? = 2∫ ? ? + 2 ?du = 2? ln 1 + u ? ln u ? ? + C u u? ?1+ u u u ? ?? 1 + ex2 ?x ?x ? 1+ u 1 ? 1 ? = 2? ln ? ? + C = 2? ln x ? x ? + C = 2? ln 1 + e 2 ? e 2 ? + C ? ? ? ? ? ? u u? ? ? ? e 2 e 2? ?(12)∫ sin ∫ ∫dx4x=?∫ (cot21 x + 1 d (cot x) = ? cot 3 x ? cot x + C 3)(13)dx x + 3 x2 x 3dx 1 + x22 3 2===== 6∫ 5dx = 6 u du令x = u 61 ? u2du ? ?1 2 ? ?13 ? 6 6 = 6∫?u ?1+ ?du = 6? u ? u + ln1 + u ? + C = 6? x ? x + ln1+ x ? + C 1+ u 1+ u ? ? ?2 ? ?2 ?(14)====== 2dx = sec udu令x = tan utan 3 u 1 1 ? 1 ? ? 1 ? 2 ∫ sec u sec udu = ∫ ? cos2 u ? cos4 u ?d (cosu) = ? ? cosu + 3 cos3 u ? + C ? ? ? ?= (1 + x ) 6. (1)1 3? 1 + x2 + C求下列不定积分∫ arctan xdx = x ? arctan x ? ∫ 1 + xn ∫ x ln xdx (n ≠ ?1) =x21 dx = x ? arctan x ? ln(1 + x 2 ) + C 2(2)1 1 1 ? n+1 x n+1 ? ? x ? ln x ? ?+C ln xd x n+1 = x n+1 ? ln x ? ∫ x n dx = n +1 ∫ n +1 n +1? n +1? ? ?( )()=x n+1 ? 1 ? ? ln x ? ?+C n +1? n +1?医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 23 -(3)∫x ln 2 xdx =3 3 2 2 3 2 2? 3 2 4 ? 2 ? ? ? ? ? ? ∫ ln xd ? x 2 ? = 3 ? x 2 ln x ? 2∫ x ln xdx ? = 3 ? x 2 ln x ? 3 ∫ ln xd ? x 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? 3 ?=2 3? 4 8? 2 32 2 8 3 2 3 8? 3 2 3 ? x ln x ? ? x 2 ln x ? ∫ x dx ? = x 2 ln 2 x ? ? x 2 ln x ? x 2 ? + C = x 2 ? ln2 x ? ln x + ? + C ? ? ? 3 3 9? 3 ? 3 9? 9? 3 ?x u u u u u u ∫ e dx ===== 2∫ e udu = 2∫ ude = 2 ue ? ∫ e du = 2(ue ? e ) + C = 2e令 x =u dx = 2 udu(4)()x(x ?1 + C)(5)2 2 ∫ ln x + 1 + x dx = x ln x + 1 + x ? ∫()()? x ?1 + 2 ? x + 1+ x ? 1 + x2 x? xdx ?dx = x ln x + 1 + x 2 ? ∫ ? 1 + x2 ?()= x ln x + 1 + x 2 ? 1 + x 2 + C (6) (7) =?()∫ x cos xdx = ∫ xd sin x = x sin x ? ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C ∫x e2 ?2 xdx = ?1 2 ?2x 1 2 ?2 x 1 2 ?2x 1 2 ?2 x ?2 x ?2 x ?2x ?2x ∫ x de = ? 2 x e ? 2∫ xe dx = ? 2 x e + ∫ xde = ? 2 x e + xe ? ∫ e dx 2()()()1 ? 2 ?2 x 1 ?2 x 1 ?2 x ? 2 1? ? ?2 x ? x e + xe + e + C ? = ? e ? x + x + ? + C 2? 2 2 2? ? ?(8)∫ sec3xdx = ∫ sec xd (tan x) = sec x tan x ? ∫ tan 2 x sec xdx = sec x tan x ? ∫ (sec3 x ? sec x)dx= sec x tan x ? sec 3 xdx + ln sec x + tan x ，∴ sec 3 xdx = (9)∫∫∫ sin(ln x)dx = x sin(ln x) ? ∫ cos(ln x)dx = x sin(ln x) ? (x cos(ln x) + ∫ sin(ln x)dx )1 ∴ ∫ sin(ln x)dx = x[sin(ln x ) ? cos(ln x)] + C 21 (sec x tan x + ln sec x + tan x ) + C 2(10)∫eax1 b 1 b?1 b ? sin bxdx = e ax sin bx ? ∫ e ax cos bxdx = e ax sin bx ? ? e ax cos bx + ∫ e ax sin bxdx ? a a a a?a a ?e ax (a sin bx ? b cos bx ) ∴ ∫ e sin bxdx = +C a 2 + b2ax(11)∫a 2 ? x 2 dx ===== a2 ∫ cos2 udu =dx = a cos udu令x = a sin u2 2 a2 (1+ cos2u)du = a ?u + 1 sin2u? + C = a (u + sin u cosu ) + C ? ? 2∫ 2? 2 2 ?2 2 a2 ? ? arcsin x + x ? a ? x = 2? a a a ?2 ? ? + C = a arcsin x + x ? a 2 ? x 2 + C ? 2 a 2 ?(12)∫ (arcsin x) dx = x(arcsin x) ? ∫ x ? 2 arcsin x ?2 2dx 1? x2= x (arcsin x ) 2 + 2 arcsin xd ( 1 ? x 2 )∫2 2 = x(arcsin x) + 2? 1 ? x arcsin x ? ?? ?∫1 ? x2? ? = x(arcsinx)2 + 2 1 ? x 2 arcsinx ? x + C ? 1? x ? dx2()医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 24 -(13)∫ln(sinx) cosx dx = ? ∫ ln(sin x)d (cot x) = ? cot x ln(sinx) + ∫ cot x ? dx = ? cot x ln(sinx) + ∫ (csc2 x ?1)dx 2 sin x sin x= ? [cot x ln(sin x) + cot x + x ] + C (14)∫ x cos2xdx = ∫1 + cos 2 x 1 1 1 1 xdx = x 2 + ∫ xd (sin 2 x) = x 2 + x sin 2 x ? ∫ sin 2 xdx 2 4 4 4 4()= 7.1 2 1? 1 ? x + ? x sin 2 x + cos 2 x ? + C 4 4? 2 ?求下列不定积分令x ?1=u 1 1 x x +1 u+2 dx ==== ∫ 3 du = ∫ (u ?2 + 2u ?3 )du = ? u?1 ? u?2 + C = ? ? +C = ? +C 2 ∫ ( x ? 1)3 dx=du u x ?1 (x ?1) (x ?1)2(1)(2)∫ x( x + 1)dx = ∫ ? x + x + 1 ?dx = 2 ln x + ln x + 1 + C = ln(x ? ?3x + 2?21 ?2x +1 + C)(3)∫x31? 1 ? (2 x ? 1) ? 3 ? ? 1 1 ? 1 ?x+2 ? dx = ∫ ? + 2 ?dx ? ?dx = ? ln x + 1 ? ∫ ? 2 ? +1 3? 2 ? x ? x +1 ? ? 3 ? x +1 x ? x +1? ?? ? 1? ? ? ? d? x ? ? ? ? x +1 1? 1 3 1 3 2? ? 1 ? ? = ? ln x + 1 ? ln x 2 ? x + 1 + ∫ 2 dx ? = ? ln + ∫ 2 2 3? 2 2 x ? x +1 ? 3 ? x2 ? x + 1 2 ? ? 3? ? 1? ? ? ?x? ? +? ? ? 2? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?()? 1? ? x? ? x +1 x +1 1 3 1 2x ?1 ? 2 ? + C = 1 ? ln ? ?+C + ? arctan + 3 arctan = ? ln 2 2 3? 2 3 3? 3 ? 3 ? x ? x +1 x ? x +1 ? ? ? ? ? 2 2 ?(4)? ∫ (x + 2)(x +3) dx= ∫? x + 2 + x + 3 + (x + 3) ?2x? ?2232? 3 x +3 3 ?dx= ? 2ln x + 2 + 2ln x + 3 ? + C = 2 ln ? +C ? x +3 x + 2 x +3 ?(5)1 1 ? x2 +1 ? xdx 1 ? x x ? = ∫? 2 ? 2 ?dx= ln(x2 +1) ? ln(x2 + 4) + C = ln? 2 ? + C ∫ (x2 +1)(x2 + 4) 3 ? x +1 x + 4 ? 6 6 ? x + 4? ? ?[](6)? 1 x +1 2x ? 2x + 2 1 d ( x 2 + 1) dx d ( x 2 + 1) ? ? ∫ (x ?1)(x2 +1)2 dx= ∫ ? x ?1 ? x2 +1 ? (x2 +1)2 ?dx= ln x ? 1 ? 2 ∫ x 2 + 1 ? ∫ x 2 + 1 ? ∫ ( x 2 + 1) 2 ? ?x ?1 1 1 1 ln( x 2 + 1) ? arctan x + 2 + C = ln ? arctan x + 2 +C 2 2 x +1 x +1 x +1 1 ? sin x dx = ∫ (sec 2 x ? tan x sec x )dx = tan x ? sec x + C 2 x= ln x ? 1 ? 8. (1)求下列不定积分∫ 1 + sin x = ∫ 1 ? sindx医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 25 -(2)? dx ex ? x = ∫ ?1 ? ∫ 1 + e x ? 1 + e x ?dx = x ? ln(1 + e ) + C ? ? ?(3)∫ 1 + tan x = ∫ cos x + sin x = 2 ∫dxcos xdx1 cos x + sin x + cos x ? sin x 1 ? cos x ? sin x ? dx = ∫ ?1 + ?dx cos x + sin x 2 ? cos x + sin x ?=1? d (cos x + sin x) ? 1 ?x+∫ ? = (x + ln cos x + sin x ) + C 2? cos x + sin x ? 2(4)∫∫xa+x a+x x dx = ∫ dx = a ? arcsin ? a 2 ? x 2 + C 2 2 a?x a a ?x? dx 1 ? 1 x ?1 dx 1 ? 1 1 ? =∫ 2 = ∫? 2 ? 2 ?dx = ? ln 2 ? 2 x + 1 ? arctan x ? + C ? ?1 ( x ? 1)( x + 1) 2 ? x ? 1 x + 1 ? 2? ?dx x 2 ?1令x = dx =? 1 u(5)4(6)∫x===== iu2 du∫? du 1? u2= arccos u + C = arccos1 +C x9.将区间 [T0 , T1 ] 细分为 n 个小区间，在每个小区间 [ti ?1 , ti ] 上任取一点 τ i , (i = 1,2,L, n) ，由于小区间的长度 ?ti = ti ? ti?1 很小，可以近似地认为放射性物质在 [ti ?1 , ti ] 内是以速度 v (τ i ) 均匀分解。 (1) 分解质量的近似值为：∑ v(τ )?ti =1 i nni(2) 分解质量的精确值为： limλ →01∑ v(τ )?t ， λ = max{?t , ?t ,L, ?t }i =1 i i12n10. 用定义计算∫ x dx 。y=x 在[0,1]上连续，∴定积分存在。故可将[0,1]区间 n 等份：2200=x0&x1&…&xi&…&xn=1，且取小区间的右端点。 xi =1 2i i 1 ， ξi = xi = ， ?xi = ， n n nn n 1 n 1 n(2n +1)(n +1) 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ?i? 1 x2dx = lim∑ f (ξi )?xi = lim∑? ? ? = lim 3 ∑i 2 = lim 3 ? = lim ? ? 2 + ??1+ ? = ∫0 n→∞ n→∞ n λ→0 n→∞ n n→∞ 6 6 ? n ?? n ? 3 i =1 i=1 ? n ? n i =111. (1)是一个底边长为 1 高为 2 的三角形，面积为 1。 (2)奇函数在对称区间上，定积分为 0。 (3)偶函数在对称区间上，定积分为 2 倍的正的区间上的定积分。 12. (1)在[0,1]区间上 x ≤ x ，由定积分性质知：3 2∫10x 3dx ≤ ∫ x 2 dx 。01(2)在[1,2]区间上 (ln x ) 2 ≤ ln x ，由定积分性质知：2∫21(ln x) 2 dx ≤ ∫ ln xdx 。1213. (1) 在[1,4]区间上 2 ≤ x + 1 ≤ 17 ，由定积分性质知： 6 ≤∫ (x142+ 1)dx ≤ 51 。医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 26 -(2) 在[0,1]区间上 e? x2是一个单调递减函数，有 1 ≥ e2? x2≥ e ?1 ，由定积分性质知： e ?1 ≤ ∫ e ? x dx ≤ 1 。210(3) 在 ? , 区间上 1 ≤ 1 + sin x ≤ 2 ，由定积分性质知： π ≤ ?4 4 ? ? 14. 由积分上限函数的定理 3 知 y′ = sin x ， y′ x =0 = 0 ， y′ x=π =4? π 5π ?∫π5π 44(1 + sin 2 x)dx ≤ 2π 。1 。 215. 求下列函数的导数。 (1)′ ? x 5et dt ? = 5e x ? ∫0 ? ? ? ′ ′ ? 2 1 + t 2 dt ? = ? ? x 1 + t 2 dt ? = ? 1 + x 2 ? ∫x ? ? ∫2 ? ? ? ? ?(2)′ 2 ? x +1 sin 2 tdt ? = sin 2 ( x 2 + 1)( x 2 + 1)′ = 2 x sin 2 ( x 2 + 1) (3) ? ∫ ? ? 0 ?′ ′ ′ x3 x3 ? x3 1 ? ? a 1 ? ? x2 1 ? 1 1 dt ? = ? ∫ 2 dt + ∫ dt ? = ? ? ∫ dt + ∫ dt ? (4) ? ∫ 2 ? x ? ? ? ? ? a a 1+ t4 ? ? x 1+ t4 1+ t4 ? ? a 1+ t4 1+ t4 ? ?=?1 1 + x8( x 2 )′ +1 1 + x12( x 3 )′ = ?2x 1 + x8+3x 2 1 + x1216. 求下列极限。(1)limx→0∫x0arctan tdt x21 2 arctan x 1 = lim = lim 1 + x = x→0 x→0 2x 2 2= limx →0(2)limx→0∫ t dt2 x0∫ t (t + sin t )dt0x? x2 ?x ?1 1 = lim = lim =? x→0 x + sin x x→0 1 + cos x 2 x( x + sin x)2 217. F ( x) =∫ te0x?t 2dt ，F ′( x) = xe ? x ，F ′′( x) = e ? x (1 ? 2 x 2 ) ， F ′( x) = 0 ， 令 得驻点：x = 0 , F ′′(0) = 1 & 0有极小值， F (0) = 0 。 18. 计算下列定积分。 (1)∫ ∫9 41 ?2 3 1 ? ?2 3 1 ? ?2 3 1 ? x (1 + x )dx = ? x 2 + x 2 ? = ? 9 2 + 9 2 ? ? ? 4 2 + 4 2 ? = 45 2 ?4 ? 3 6 2 ? ?3 2 ? ?339(2)1 31 dx = arctan x 1 + x233 1 3=π33?π6=π6π(3)2 1 1 2 sin ? cos ?d? = ? 2 cos ? d (cos ? ) = ? cos 4 ? = ∫0 ∫0 4 4 0ππ医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）π- 27 -(4)?1 ?4 2 3 2 ∫04 tan θ dθ = ∫04 (sec θ ? 1) tan θ dθ = ∫04 tan θ d (tan θ ) ? ∫04 tan θ dθ = ? 2 tan θ + ln cosθ ?0 ? ?ππππ=1 1 1 + ln = (1 ? ln 2) 2 2 2(5) (6) =e (7)π2∫∫π0x cos xdx = ∫ xd (sin x) = x sin x 0 ? ∫ sin xdx = cos x 0 = ?1 ? 1 = ?20 02πππππ0e x cos xdx = ∫ 2 cosxd (ex ) = ex cosx 2 + ∫ 2 ex sin xdx = ?1 + ∫ 2 sin xd (ex ) = ?1+ ex sin x 2 ? ∫ 2 ex cosxdx0ππππππ00000? 1 ? ∫ 2 e x cos xdx , ∴ ∫ 2 e x cos xdx =00ππ1? ?e 2?π2? 1? ? ?∫e?10ln( x + 1)dx = x ln( x + 1)e ?10?∫e?10x e ?1 dx = e ? 1 ? ( x ? ln( x + 1) ) 0 = 1 x +1(8)π π π π π π 1 3 x π 1 π dx = ? ∫π 3 xd (cot x) = ? x cot x π 3 + ∫π 3cot xdx = ? ? + + (ln sin x )π 3 = ? + ln ∫π 4 sin 2 x 4 4 3 3 2 2 4 3 3 4 4 4 π3(9)∫2dx (3 ? x)415=?∫21(3 ? x)?45d (3 ? x) = ? 5(3 ? x)12 5 1= ? 5(1 ? 5 2 ) = 5(5 2 ? 1)e 1 + ln x 1 3 (10) ∫ dx = ∫ (1 + ln x)d (1 + ln x) = (1 + ln x) 2 = 1 1 x 2 2 1 ee(11)∫2π 0 1sin x dx = ∫ sin xdx ? ∫ sin xdx = ? cos x 0 + cos x π = 4 =0π2ππ2ππ(12)∫?1令 5? 4 x =u 1 x 1 15 ? u 1? 2 3 ? 1 dx ===== ? ∫ dx = ? ?10u 2 ? u 2 ? = ?4 dx =du 16 ? 3 16 9 u 5 ? 4x ?9 61(13)1? 1 1 ex ? 2e ?dx = x ? ln(1 + e x ) = 1 ? ln(1 + e) ? (? ln 2) = ln dx = ∫ ?1 ? x ? x ∫0 1 + e 0 0? 1+ e ? 1+ e ? 1 令x = sin u()(14)∫1 0(1 ? x ) dx ======2 3 dx = cos udu∫π20π 1 1 ? 1 + cos 2u ? ? 2? 3 cos udu = ∫ ? ? du = ∫ 0 ? + cos 2u + cos 4u ?du 0 2 8 ? ? ?8 2 ?4π221 1 ?3 ? 2 3π sin 4u ? = = ? u + sin 2u + 4 32 ?8 ? 0 16(15)π∫2 0dx x + 1 + ( x + 1)32 2 2令 x +1=u , x +1=u 2========dx = 2 udu∫2du = (2 arctan u ) 11 + u 23 23 1=π6π(16)∫x0aa ? x dx ===== adx=a cosudu令x=a sin u4∫π204 a4 π 2 2 a4 π 2 1? cos4u a4 ? 1 ? 2 πa du = ?u ? sin4u? = sin u cos udu = ∫ sin 2udu= ∫ 4 0 4 0 2 8? 4 ? 0 16219. 证明： (1)∫ π cos kx sin lxdx = ∫ π 2 [sin(l + k ) x + sin(l ? k ) x]dx =0，奇函数在对称区间上的定积分为 0。ππ1??医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 28 -1 (2) ∫ cos kx cos lxdx = ∫ [cos(k + l ) x + cos(k ? l ) x]dx = 1 ? 1 sin(k + l ) x + 1 sin(k ? l ) x ? =0 ? ? ?π ?π 2 2? k +l k ?l ? ?ππππ(3)∫π?πsin kx sin lxdx = ∫ ??ππ1 [cos(k + l) x ? cos(k ? l) x]dx = 1 ? 1 sin(k + l ) x ? 1 sin(k ? l ) x ? =0 ? ? 2? k +l k ?l 2 ??πT a +T Tπ20.∫a +T af ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫a00f ( x)dx0a +T a∫a +T Tf ( x)dx ===== ∫ f (u + T )du = ∫ f (u )du = ? ∫ f ( x)dx ，∴ ∫dx=du令x=u +Taa00af ( x)dx = ∫ f ( x)dx 。0T21. 由万有引力定律，火箭与地心距离为 r 时，地球对火箭的引力是 F = G 处所做的功为：W =Mm 。将火箭送至离地面高为 H r2∫R+H RF (r )dr = GMm ∫R+H R1 ? 1? dr = GMm? ? ? 2 r ? r?R+ H= GMm?R1 ? ?1 ? ? ，在地球表面引 ?R R+H ?力就是重力，即：GMm 1 ? ?1 = mg ? GMm = mgR 2 ， W = mgR 2 ? ? ?。 2 R ?R R+H ?101 ? cos 2πt 1? 1 ? 22. Q = ∫ sin πtdt = ∫ dt = ? t ? sin 2πt ? =5。 0 0 2 2? 2 ?01010223. Q =4 b 2 1 ?1 ? kb kt (t ? b) 2 dt = k ∫ (t 3 ? 2bt 2 + b 2t )dt = k ? t 4 ? bt 3 + b 2t 2 ? = 。 ∫0 0 3 2 ?4 ? 0 12bb24. 如右图所示。A=∫53(?1 ? 32 x ? 4 x + 5 dx = ? x 3 ? 2 x 2 + 5 x ? = ?3 ?3 32)525. 如下图所示。y = ? x 2 + 4 x ? 3 ， y′ = ?2 x + 4 ， y′ x =0 = 4 ，y = 4x ? 3 ?3 ? y′ x =3 = ?2 ，两条切线方程为： ? ? y = ?2 x + 6 ，其交点坐标为： ? ,3 ? ? ?2 ? A=∫3 20[(4 x ? 3) ? (? x3 22+ 4 x ? 3) dx + ∫3 (?2 x + 6) ? (? x 2 + 4 x ? 3) dx2]3[]=∫320? 1 ?2 ? 1 ? 9 x dx + ∫3 ( x ? 6 x + 9)dx = ? x 3 ? + ? x 3 ? 3x 2 + 9 x ? = 。 2 ? 3 ?0 ? 3 ?3 4233226. 如右图所示。? y2 ? ? y 3 ? 8πa 2b Vy = 2∫ πx dy = 2∫ πa ?1 + 2 ?dy = 2πa 2 ? y + 2 ? = ? b ? ? 0 0 3b ?0 3 ? ? ? ?b2bb2医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 29 -27. 如右图所示。1 1 1 ? 3π ?1 Vx = ∫ πxdx ? ∫ πx 4 dx = π ? x 2 ? x 5 ? = 0 0 5 ? 0 10 ?2128. 如右图所示。4 4 Vx = 2π ? ∫ 5 + 16 ? x 2 dx ? ∫ 5 ? 16 ? x 2 dx ? ? 0 ? 0 ? ?()()= 40π∫40x x π ? ? 16 ? x dx = 40π ? 8 arcsin + ? 16 ? x 2 ? = 40π × 8 × = 160π 2 。 4 2 2 ? ?04 229. 求曲线 x +y = 1 在 [0,1] 上的弧长。 y = 1 ? x12()2= 1 ? 2 x + x , y′ = 1?1 xl = ∫ 1 + ( y′) 2 dx = ∫0102?1 2 1 2 1 令 x =u, x=u 1 + dx ====== ∫ 2 ? + 2 2udu = 2∫ 2u 2 ? 2u + 1du 0 0 dx=2udu u u x x=2 2∫102 ? 1 ?1? ?u ? ? ? 2 2 2 2 2 2 ? 2 ? 1? ?1? ? 2? ? 1? ? 1? ?1? ? 1? ?1? ? 1? ? ?u ? ? + ? ? + ln ? u ? ? + ?u ? ? + ? ? ? u ? ? + ? ? d ? u ? ? = 2 2? 2 2 ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? ? ?2 2 2 2 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? 1 ? + ? 1 ? + 1 ln ? 1 + ? ? 1 ? + ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 4 ? 2? ? 2? 8 2 ? 2? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?012 2 2 2 ?? ?? 1 ? ? 1 ? + ? 1 ? + 1 ln 1 + ? 1 ? + ? 1 ? =2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 4 ? 2 ? ? 2 ? 8 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ???? ?? ?? ? ??? 1 2 ? + 1 1 2 2 = 2 2? + ln ?2 2 8 1 2 ? + ? 2 2 ?? ? ? = 1 + 1 ln? 2 + 1? = 1 + 1 ln 1 + 2 ? ? ? 2 2 2 ? 2 ?1 ? ? ? ? ?()2 2l = ∫ 1 + ( y′) dx = ∫2 01101 1 ? 1? ?1? ? 1? 2 1 令 x =u , x=u 2? + dx ====== 2∫ 2u 2 ? 2u + 1du = 2 2 ∫ ? u ? ? + ? ? d ? u ? ? 0 0 dx =2 udu x x ? 2? ? 2? ? 2?2======= 1du = sec tdt 221 1 令u ? = tan t 2 21 2∫π?π4 4sec 3 tdt ，而 ∫ sec 3 xdx =π?π 41 (sec x tan x + ln sec x + tan x ) + C 21l=1 2 2(sec x tan x + ln sec x + tan x )=42 2((2 + ln 2 + 1 ) ? ( ? 2 + ln 2 ? 1 ))=? ?? 1 ? ? 2 2 + ln? 2 + 1 ? ? = 1 + 1 ln 1 + 2 ? 2 ?1 ? ? 2 2? 2 ? ?? ?()) ( )1 t ? a ?kx t ? a ?kt a ?kx ?kt ∫0 ake dx = t e 0 = t e ? 1 = t 1 ? e t ?0 1 1 ?x ?x 1 ?1 ?1 31. y = ∫0 e dx = ? e 0 = ? e ? 1 =1 ? e 1? 030. v =( )(()医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 30 -32. 判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计算广义积分。(1)∫+∞ 1dx 1 =? 3 4 x 3x+∞= ? ?0 ? ? =1? ?1? 3?1 (收敛) 3(2)∫ ∫+∞ 1+∞ dx =2 x = +∞ (发散) 1 x 1 +∞ ?1 ?1 dx dx dx =∫ +∫ = + 2 2 2 0 x(ln x) 1 x(ln x ) ln x 0 ln x x(ln x) 1 +∞(3)+∞ 0= ∞ (发散)1(4)∫ ∫∫+∞ 01 2 xe dx = ? e ? x 2? x2 ?x+∞=?01 1 (收敛) (0 ? 1) = 2 2+∞(5)+∞ 01 1 1 eax (a sinbx ? b cosbx) e sin xdx = ? e?x (sin x + cosx) = ? (0?1) = ，Q ∫ eax sinbxdx = +C 2 2 2 a2 + b2 0(6)+∞ d ( x + 1) dx +∞ π ? π? =∫ = arctan ( x + 1) ?∞ = ? ? ? ? = π (收敛) 2 ?∞ x + 2 x + 2 ?∞ ( x + 1) + 1 2 ? 2? +∞ 2(7)∫ ∫1xdx1 ? x20= ? 1 ? x 2 = ? (0 ? 1) = 1 (收敛)0 1 212(8)01 2 dx dx dx ? 1 ? ? 1 ? =∫ +∫ =? ? +? ? = ∞ (发散) 2 0 (1 ? x ) 2 1 (1 ? x ) 2 (1 ? x) ? 1 ? x ? 0 ? 1 ? x ?133. 当 k 为何值时，积分∫badx (b & a ) 收敛或发散？ ( x ? a) k当 k=1 时，∫bab ? ∞ , 1? k & 0 b dx b dx 1 ? 1?k = ln(x ? a) a = ∞ ，当 k≠1 时， ∫ = (x ? a) = ? 1 1?k a ( x ? a)k (b ? a) , 1? k & 0 ， x?a 1? k a ? ?1 ? k∴∫ba? 1 dx ? (b ? a )1?k , k & 1， 收敛 = ?1 ? k ( x ? a) k ? ∞ , k ≥ 1， 发散 ?第六章 常微分方程习题题解(P186)一、判断题题解 1. 2. 3. 4. 错。应该是：微分方程通解中独立任意常数的个数由微分方程的阶所确定。 错。有三个变量 z, x, y。 错。不管 C 取何值 y =?1 都不为 0。 x +C错。如 y = Cx 是 y′′ = 0 的解，但它既不是通解也不是特解。医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 31 -5. 6. 7. 8.错。它只有一个独立的任意常数。 正确。它的通解为： y = sin( + C) ，当 x +C = 时， y = 1 xπ2′ ′ 正确。 (C1 y1 + C2 y2 )′ + p ( x)(C1 y1 + C2 y2 ) = C1 [ y1 + p ( x) y1 ] + C2 [ y2 + p ( x) y2 ] = 0错。 y1 , y2 必须是两个线性无关的解。二、选择题题解 1. 2. 在选项(A)中有 y 2 。 在选项(B)中有 y 。1 ?1 dx x?1∫ dx ? ∫ 3. 通解为： y = e x ? ∫ x 2 e ? ?4. 5. 6. (B)是一阶微分方程 将(C)代入满足方程? ?1 ? dx + C ? = eln x ∫ x 2e ? ln x dx + C = x? x 2 + C ? ，(B) ? ?2 ? ?()′ 在选项(C)中，将 C1 y1 + C2 y2 代入 y′ + p ( x ) y = 0 后，有 C1 ( y1 + p( x) y1 ) + C2 ( y′ + p( x) y2 ) = 0 2? (C1 + C2 )Q ( x) = 0 ，而 Q ( x) ≠ 0 ∴ C1 + C2 = 0 7. 在选项(A)中，对 x 求导数： y′ =x xy xy xy = = = 2 5 4 6 2 6 6 2 y + 3Cy 2 y + 3Cy 2 x ? Cy + 3Cy 2 x + Cy 63()=xy xy = 2 。 2 4 2x + x ? y 3x ? y 42()三、填空题题解 1. 特征方程为： r ? 2r ? 3 = 0 ，特征根为： r = ?1,3 ，通解为： y = C1e ? x + C2 e 3 x 。22.y = e∫?cos xdx? e ?sin x e ∫ cos xdx dx + C ? = e ? sin x e ? sin x esin x dx + C = e ? sin x (x + C ) ?∫ ? ∫ ? ?2()3.特征方程为： r ? 1 = 0 ，特征根为： r = ±1 ，通解为： y = C1e? x + C2ex ， y′ = ?C1e? x + C2e x 。该曲线过(0,0)点，且切线斜率为 1，有： 0 = C1 + C2 ， y′ x=0 = ?C1 + C2 = 1，得： C1 = ? , C2 = 四、解答题题解 1. 2. (1)1 21 1 x 1 ?x ，y= e ? e 。 2 2 2y = ax 2 + bx ， y′ = 2ax + b ，y ax 2 + bx + ax = + ax = 2ax + b = y′ x x求下列一阶微分方程的通解或特解。1 y′ = e2 x? y ， e y dy = e2 x dx ? e y = e2 x + C 2医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 32 -(2)e x dx + dx = sin 2 ydy ， (e x + 1)dx = sin 2 ydy ? cos2 y = ?2(ex + x) + C (4x + xy2 )dx+ ( y + x2 y)dy = 0 ，y x 1 1 dy= ? dx? ln(4 + y2 ) = ? ln( + x2 ) + C1? ln( + y2 )( + x2 ) = C 1 4 1 2 2 4+ y 1+ x 2 2(3)(4)1 dy dy + 3y = 8 ， = ? dx ? ln 3 y ? 8 = ? x + C1 ? ln 3 y ? 8 = ?3x + 3C1 ? (3 y ? 8)e3 x = C dx 3 3y ? 8(5) ?x 3dy ? ( yx 2 ? y 3 )dx = 0 ，dy y y 3 y dy du du = ? 3 ，令 = u , y = xu , = u + x ? u + x = u ? u3 dx x x x dx dx dxdu dx 1 = ? ? ? u ?2 = ? ln x + C1 ? u ?2 = 2 ln x ? 2C1 ? x 2 = y 2 ln x 2 + C 3 u x 2 x dy y dy y y y dy du du du dx = y ln ， = ln ，令 = u , y = xu , = u + x ?u + x = u ln u ? = x dx dx dx dx x dx x x u (ln u ? 1) x ln u ?1 = C ? u = eCx+1 ? y = xe1+Cx x(6)? ln ln u ? 1 = ln x + C1 ? (7)dy 1 1 dz dy dz zdz = ? 1，令 z = 2 x + y + 1, = 2 + ， ? 2 = ?1? = dx ? z ? ln1 + z = x + C1 dx 2x + y + 1 dx dx dx z 1+ z? 2x + y + 1 ? ln 2x + y + 2 = x + C1 ? 2x + y + 2 = Cex+ y(8)dy 1 dz dy dz 1 1 = +1, 令 z = x ? y, = 1? , 1? = +1? zdz = ?dx? z2 = ?x +C1 ? (x ? y)2 = ?2x + C dx x ? y dx dx dx z 22 2 ? ∫ dx ? ∫ dx ? dy dy 2 3 2 2 x ? x ? 2 y = x cos 4 x ， ? y = x cos 4 x ， y = e ? ∫ x cos 4 xe x dx + C ? ? dx dx x ? ?(9)=eln x 2(∫ x cos 4xe2ln x ?2?1 ? dx + C = x 2 ∫ cos 4 xdx + C = x 2 ? sin 4 x + C ? ?4 ?) ()(10) xdy ? ydx ?1 1 ? ∫ dx ? x dy 1 1 1 ? ∫ x dx ? 1 ?ln x ? dx = 0 ， ? y = ， y = e x ?∫ e dx + C ? = e ln x ? ∫ e dx + C ? ? ln x ? ln x dx x ln x ? ln x ? ? ?= x?1 ? ? ∫ x ln x dx + C ? = x(ln ln x + C ) ? ? y dy du du 1 dx x y + , y x=1 = 2 ，令 = u , y = xu , = u + x ?u + x = u + ? udu = x dx dx dx u x y x(11) y′ =1 2 y2 y2 2 2 ? u = ln x + C1 ? 2 = ln x + C ，由初始条件得： C = 4 。 2 = ln x + 4 2 x x(12) xy′ + 1 = 4e , y x=?2 = 0 ，?ydy dx e y dy dx = ? = ? ? ln 4 ? e y = ln x + C1 ? (4 ? e y ) x = C ?y y 4e ? 1 x 4?e x医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 33 -由初始条件得： C = ?2( 4 ? e ) = ?6 。 (e ? 4) x = 60y(13) xy′ + y ? e = 0, y x=1 = 3e ， y′ +x1 1 ? ∫ dx ? e x ∫ dx ? ? ex ? 1 1 y = e x ， y = e x ? ∫ e x dx + C ? = e ? ln x ? ∫ e ln x dx + C ? ? x ? ? x ? x x ? ? ? ?=1 x(∫ e dx + C ) = 1 (e xxx+ C ，由初始条件得： C = 2e 。 y =)(14)dy π ? y tan x = sec x, y x=0 = ， y = e ∫ tan xdx ∫ sec xe ? ∫ tan xdx dx + C = e ? ln cos x ∫ sec xe ln cos x dx + C dx 21 1 (∫ sec x cos xdx + C ) = cos x (x + C ) ，由初始条件得： C = π 。 y = cos x ? x + π ? ? ? 2 2? ?(1 x e + 2e x())()= 3.1 cos x求下列特殊的二阶微分方程的通解或特解。(1)y′′ = xe x ， y′ = ∫ xe x dx + C1 = ∫ xde x + C1 = xe x ? ∫ e x dx + C1 = xe x ? e x + C1 = e x ( x ? 1) + C1y = ∫ e x ( x ? 1) + C1 dx + C2 = ∫ ( x ? 1)de x + C1 x + C2 = ( x ? 1)e x ? ∫ e x dx + C1 x + C2 = ( x ? 2)e x + C1 x + C2(2)()y′′ = 1 + y′ ，令 y′ = p, y′′ = p′ ， p′ = 1 + p ，dp = dx ? ln 1 + p = x + A ? p = C1e x ? 1 1+ py = ∫ C1e x ? 1 dx + C2 = C1e x ? x + C2(3) = e ?2 x()y′′ + 2 y′ = 4 x ，令 y′ = p, y′′ = p′ ， p′ + 2 p = 4 x ， p = e ? ∫ 2 dx ∫ 4 xe ∫ 2 dx dx + C1 = e ?2 x ∫ 4 xe 2 x dx + C1()()(∫ 2 xd (e2x) + C1 = e ?2 x 2 xe 2 x ? ∫ e 2 x d ( 2 x ) + C1 = e ?2 x 2 xe 2 x ? e 2 x + C1 = 2 x ? 1 + C1e ?2 x)()()y = ∫ (2 x ? 1 + C1e ?2 x )dx + C2 = x 2 ? x + C1e ?2 x + C2(4)xy′′ ? 3 y′ = x 2 ， y′ = p, y′′ = p′ ，p′ ? 令3 3 ? ∫ dx ? ∫ dx ? 3 p = x ，p = e x ? ∫ xe x dx + C1 ? = e3 ln x ∫ xe ?3 ln x dx + C1 ? ? x ? ?()= x3(∫ x?21 ? 1 ? dx + C1 = x 3 ? ? + C1 ? = C1 x 3 ? x 2 ， y = ∫ (C1 x 3 ? x 2 )dx + C2 = C1 x 4 ? x 3 + C2 3 ? x ? dp = dx ? arctan p = x + C1 ， p = tan( x + C1 ) 1+ p2)(5)y′′ = 1 + ( y′) 2 ，令 y′ = p, y′′ = p′ ， p′ = 1 + p 2 ，y = ∫ tan( x + C1 )dx + C2 = ? ln cos( x + C1 ) + C2(6)y′′ +1 dp dp 1 dy 1 1 = 0 ， y′ = p, y′′ = p ，p 令 = ? 3 ? pdp = ? 3 ? p 2 = y ?2 + C1 ? p = 3 dy 2 2 y dy y y1 + C1 y2ydy 1 + C1 y2= dx ?1 1 + C1 y 2 = x + C2 ? 1 + C1 y 2 = C1 x + C2 ? 1 + C1 y 2 = (C1 x + C2 ) 2 C1医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 34 -(7)1 + yy ′′ + y ′ 2 = 0, y x =0 = 1, y′ x =0 = 0 ，令 y′ = p, y′′ = pdp pdp dy dp =? ， 1 + yp + p2 = 0 ? 2 dy 1+ p y dy1 ydy ?1 ? = dx 2 y 1? y22 22 ? ln1 + p = ? ln y + C1 ? 1 + p =1 22C1 ，由初始条件得： C1 = 1 ， p = y22? ? 1 ? y = x + C2 ? 1 ? y = ( x + C2 ) ，由初始条件得： C2 = 0 ， x + y = 12 2(8)(1 + x 2 ) y′′ = 2 xy′, y x=0 = 0, y′ x=0 = 1 ，令 y′ = p, y′′ = p′ ， (1 + x 2 ) p′ = 2 xp ?2 2dp 2 xd = p 1 + x21 3 x + C2 ， 3? ln p = ln 1 + x + C1 ? p = C1 (1 + x ) ，由 y ′ x=0 = 1 得： C1 = 1 ， y = (1 + x2 )dx + C2 = x +∫由 y x=0 = 0 得： C2 = 0 ， y = x + 4. (1) (2)1 3 x 3求下列二阶常系数线性齐次微分方程的通解或特解。y′′ ? 2 y′ ? 3 y = 0 ，特征方程： r 2 ? 2r ? 3 = 0 ，特征根： r1, 2 = ?1,3 。通解： y = C1e ? x + C2e3 x 。特征方程： 2 + 2r + 3 = 0 ， r 特征根：1,2 = ?1± 2i 。 r 通解：y = e?x C1 cos 2x + C2 sin 2x 。 y′′ + 2 y′ + 3 y = 0 ，x 3 4 y′′ ? 12 y′ + 9 y = 0 ，特征方程： 4r ?12r + 9 = 0 ，特征根： r1, 2 = 。通解： y = (C1 + C2 x )e 2 。 22()3(3)(4) (5)y′′ + y′ = 0 ，特征方程： r 2 + r = 0 ，特征根： r1, 2 = ?1,0 。通解： y = C1e ? x + C2 。y′′ ? 3 y′ ? 4 y = 0, y x=0 = 1, y′ x=0 = 0 ，特征方程： r 2 ? 3r ? 4 = 0 ，特征根： r1, 2 = ?1,4 。 4 1 , C2 = 5 5通解： y = C1e ? x + C2 e 4 x ， y′ = ?C1e ? x + 4C2 e 4 x ，由 y x=0 = 1, y′ x=0 = 0 ，得： C1 = 特解： y = (6)4 ?x 1 4 x e + e 。 5 5y′′ ? 8 y′ + 16 y = 0, y x=0 = 2, y′ x=0 = 5 ，特征方程： r 2 ? 8r + 16 = 0 ，特征根： r1, 2 = 4 。通解： y = (C1 + C2 x )e 4 x ， y′ = C2 e 4 x + 4(C1 + C2 x )e 4 x ，由 y x=0 = 2, y′ x=0 = 5 ，得： C1 = 2, C2 = ?3 特解： y = (2 ? 3 x )e 4 x 。 (7)4 y′′ + 9 y = 0, y x=0 = 2, y′ x=0 =3 2 3 23 3 2 ，特征方程： 4r + 9 = 0 ，特征根： r1, 2 = ± i 。 2 23? 2? 3 2 3 ? 2 ? 3 ，得：C1 = 2, C2 = 1 2通解： y = C1 cos x + C2 sin x ， y′ = ? ? C1 sin x + C2 cos x? ，由 y x=0 = 2, y ′ x=0 = 特解： y = 2 cos x + sin x 5. 设 t 小时细菌数为 N(t)，依题意可建立微分方程：3 23 2dN = kN ，其中 k 为比例系数。解之得 N = Ce kt ，不 dt医用高等数学习题解答（第 1,2,3,6 章）- 35 -ln 2 妨设 N (0) = N 0 ， C = N 0 ， 则 从而有 N = N 0e ， 由已知条件 2 N 0 = N 0e ， k = 得 ， 那么 3 N 0 = N 0 e 2kt 2kln 2 t 2，t=6.2 ln 3 = 3.17 小时。 ln 2设第 t 天 32P 的乘余量为 M(t)，依题意得：dM = kM 。解之得 M = Ce kt ，Q M (0) = m0 ，有 C = m0 ， dtln 2又Q M (14.3) =? t m0 1 ln 2 14.3 k ，∴ m0 = m0 e ，得： k = ? ，故： M = m0 e 14.3 。 2 2 14.37.设 t 分 钟 时 过 氧 化 氢 的 浓 度 为 A(t )摩尔 / 米 3 ， 依 题 意 有 ：dA = kA ， 解 之 得 A = Ce kt ， dt10 k 0.165 1 0.165 ? Q A(10) = 0.276, A(20) = 0.165 ，代入上式有： ?0.276 = Ce20 k ， e10 k = ， k = ln ≈ ?0.05， 0.276 10 0.276 ?0.165 = CeC=8.0.276 0.276 2 = ≈ 0.46 ， A = 0.46e ?0.05t 。 e10 k 0.165dT = ?2(T ? 15) ，则 T = 15 + Ce ?2t ，由 T (0) = 37 ，得 dt ln 2 C = 22 ，∴ T = 15 + 22e ?2t ，当 T = 26 时，由 26 = 15 + 22e ?2t ，得 t = ≈ 0.347 小时。 2 d [kt + M ? Q(t )] dQ 9. 设输入葡萄糖 t 分钟后，血液中葡萄糖含量为 Q(t)，依题意有： = aQ(t ) ，即 + aQ= k ， dt dt设死亡后 t 小时尸体的温度为 T(t)，依题意有： 解之得：Q =k k k ? k? + Ce? at ， 由初始条件：Q(0) = M 代入上式得 C = M ? ， Q = + ? M ? ?e?at ， 显然当 t →+∞ ∴ a a a ? a?t →+∞时，e?at→0 ，有 lim Q =k 。 a dM = kM ，解 dt10. 设 t 年后 14C 的含量为 M(t)，由物理学知：放射性元素的衰减速度与当时的量成正比。有 之得 M = Ce ，假定 M (0) = M 0 ，则 C = M 0 , M = M 0e ，当 t=1 时， M = M 0 ?kt ktM0 = 0. ， 8000由此得到 M = M 0 0.999875 ? 0.999875 =t tM ln 0.0624 = 6.24% ， t = ≈ 22192.13 ，故此人大约死 M0 ln 0.999875于 22193 年前。
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