您所在位置： &
&nbsp&&nbsp&nbsp&&nbsp
1、问：“两个矩阵的等价与两个向量组的等价有什么区别和联系？”答.doc15页
本文档一共被下载：
次 ,您可全文免费在线阅读后下载本文档。
文档加载中...广告还剩秒
需要金币：80 &&
你可能关注的文档：
··········
··········
1、问:“两个矩阵的等价与两个向量组的等价有什么区别和联系?”
答:矩阵A与B等价指的是A可以通过有限次初等变换变成B。因此,两个不同型的矩阵是不可能等价的;两向量组的等价指的是它们能够相互线性表示,于是,它们各自所含向量的个数可能是不一样的.例如二维向量组A: 与二维向量组B:是等价的。但前者只含一个向量;而后者含有无穷多个向量。
两矩阵的等价与两向量组的等价,两者的联系在于:
1 若矩阵A经初等行变换变成B,即A与B行等价,则A与B的行向量组等价;若A经初等列变换变成C,即A与C列等价,则A与C的列向量组等价;若A既经初等行变换又经初等列变换变成D,那么矩阵A与D等价,但A与D的行向量组与列向量组未必等价。
2 反过来,设两列向量组等价。若它们所含向量个数不相同,则它们对应的两个矩阵是不同型的,因而不等价;若它们所含向量个数相同(例如都含有m个).那么它们对应的两个nxm矩阵(这里n为向量的维数)列等价,从而一定等价,但不一定行等价.例如向量组A:与向量组B:等价,它们对应的矩阵,列等价,从而A与B等价,但非行等价。类似地,若两个含向量个数相同的行向量组等价,则它们对应的两矩阵行等价,从而一定等价,但不一定列等价。
2、问:为什么“初等行变换保持矩阵的行向量组等价,而列向量组不等价?”和“初等行变换保持矩阵的列向量组中对应向量的线性相关性不变,而行向量组中对应向量的线性相关性可能改变”。
答:先说明“初等行变换保持矩阵的行向量组等价,而列向量组不等价”。
设为矩阵,且经过行变换变成。把分别按行分块,设
分三种情况:
显然向量组与向量组等价;
显然向量组与向量组等价;
显然向量组与向量组等价。
综上,经过一次行变换变成,则与的
正在加载中，请稍后...后使用快捷导航没有帐号？
查看: 1581|回复: 9
向量组的极大线性无关组和矩阵的基础解系有什么关系？
一般战友, 积分 494, 距离下一级还需 6 积分
在线时间6 小时
主题帖子积分
一般战友, 积分 494, 距离下一级还需 6 积分
一般战友, 积分 494, 距离下一级还需 6 积分
向量组的极大线性无关组和矩阵的基础解系有什么关系？一个矩阵可以由向量组构成，基础解析的n-r和向量组的极大无关组个数什么关系？？？求解？？
一般战友, 积分 494, 距离下一级还需 6 积分
在线时间6 小时
主题帖子积分
一般战友, 积分 494, 距离下一级还需 6 积分
一般战友, 积分 494, 距离下一级还需 6 积分
求人回答啊！！！！
一般战友, 积分 494, 距离下一级还需 6 积分
在线时间6 小时
主题帖子积分
一般战友, 积分 494, 距离下一级还需 6 积分
一般战友, 积分 494, 距离下一级还需 6 积分
没有人吗？？？
中级战友, 积分 2439, 距离下一级还需 561 积分
K币2344 元
在线时间0 小时
主题帖子积分
中级战友, 积分 2439, 距离下一级还需 561 积分
中级战友, 积分 2439, 距离下一级还需 561 积分
K币2344 元
课程预告，帮学堂出品
亲一个是AX为0的解，极大无关组实质其实就是求矩阵A中的无关向量，没有关系
一般战友, 积分 398, 距离下一级还需 102 积分
在线时间0 小时
主题帖子积分
一般战友, 积分 398, 距离下一级还需 102 积分
一般战友, 积分 398, 距离下一级还需 102 积分
除了无关的，剩下的就是相关的；在方程当中，相关的也就相当于可以自由变化的量，就是自由变量的个数，也就是解向量的个数。
一般战友, 积分 398, 距离下一级还需 102 积分
在线时间0 小时
主题帖子积分
一般战友, 积分 398, 距离下一级还需 102 积分
一般战友, 积分 398, 距离下一级还需 102 积分
向量组的极大线性无关组对应的向量对应的是受约束的变量，一个矩阵可以由向量组构成，基础解系的向量个数和向量组的极大无关组个数相加为n。
K币1033 元
在线时间0 小时
主题帖子积分
K币1033 元
矩阵的极大无关组的向量个数就是矩阵的秩r，而齐次方程组基础解系的向量个数就是n－r，n为矩阵列数，也就是列向量个数。
一般战友, 积分 494, 距离下一级还需 6 积分
在线时间6 小时
主题帖子积分
一般战友, 积分 494, 距离下一级还需 6 积分
一般战友, 积分 494, 距离下一级还需 6 积分
忆海泛歌 发表于
向量组的极大线性无关组对应的向量对应的是受约束的变量，一个矩阵可以由向量组构成，基础解系的向量个数和 ...
哦，是这样的。谢谢啦
一般战友, 积分 494, 距离下一级还需 6 积分
在线时间6 小时
主题帖子积分
一般战友, 积分 494, 距离下一级还需 6 积分
一般战友, 积分 494, 距离下一级还需 6 积分
喵小咪cc 发表于
矩阵的极大无关组的向量个数就是矩阵的秩r，而齐次方程组基础解系的向量个数就是n－r，n为矩阵列数，也就是 ...
嗯， 谢谢啦
一般战友, 积分 494, 距离下一级还需 6 积分
在线时间6 小时
主题帖子积分
一般战友, 积分 494, 距离下一级还需 6 积分
一般战友, 积分 494, 距离下一级还需 6 积分
琴妞妞 发表于
亲一个是AX为0的解，极大无关组实质其实就是求矩阵A中的无关向量，没有关系 ...
嗯， 谢谢啦
您还剩5次免费下载资料的机会哦~
扫描二维码下载资料
使用手机端考研帮，进入扫一扫在“我”中打开扫一扫，扫描二维码下载资料
||||||||||
Powered by Discuz!君，已阅读到文档的结尾了呢~~
扫扫二维码，随身浏览文档
手机或平板扫扫即可继续访问
数组、矩阵和向量等几个概念的区别和讨论
举报该文档为侵权文档。
举报该文档含有违规或不良信息。
反馈该文档无法正常浏览。
举报该文档为重复文档。
推荐理由：
将文档分享至：
分享完整地址
文档地址：
粘贴到BBS或博客
flash地址：
支持嵌入FLASH地址的网站使用
html代码：
&embed src='/DocinViewer-4.swf' width='100%' height='600' type=application/x-shockwave-flash ALLOWFULLSCREEN='true' ALLOWSCRIPTACCESS='always'&&/embed&
450px*300px480px*400px650px*490px
支持嵌入HTML代码的网站使用
您的内容已经提交成功
您所提交的内容需要审核后才能发布，请您等待！
3秒自动关闭窗口第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩
第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩
&&&&&&& 向量组的线性相关与线性无关以及矩阵的秩是两个重要的概念。正确理解这两个概念对判断矩阵的秩、解线性方程组、求矩阵的特征向量等是至关重要的。初学者往往对这两个概念理解不深，以至于影响后续内容的学习。希望同学多加练习，真正掌握这两个概念。
指向量均为实的列向量。
①线性相关；
()大无关组。
& 所含向量的个数，称为这个向量组的秩，记作
的定义自然得到：
&①等于向量组本身所含向量的个数，则该向量组为线性无关向量组（也称满秩向量组）。
②向量组）。
&不一定是唯一的，但各极大无关组中所含向量的个数是唯一确定的。即向量组的秩是唯一的。
，称为矩阵
，称为矩阵
式的阶数。记为
6)及其极大无关组的计算方法
& ③等于它所构成的矩阵的秩。
④零的子式的列所对应的原矩阵的列向量即为向量组的极大无关组。
一样，向量空间的基一般不唯一。但各个基中所含向量的个数相等。
&&5等于零的
& 6②③分量上得到的，则向量组
& 7后也线性无关。
①存在有限个
②存在可逆
①；；（。
③存在有限个
二．典型例题
& 1．填空题
&&& &&&&&_______
&&& &&&&&_______
6_________
7_________
8_________
&&&&&& ，所以。
注意：①若将题目改成。
&&&&&&&&&&&
11_____________
（1）．设是一组维向量，则下列正确的是________。
&& ，要么要么显然
2. ()________。
中，所以是线性相关
&&&& 3________。
线性相关。
解：按定义，对于1
4是一组维向量，________。
5.________。
由（1）、（2）两题的例可知，（1）题的例知，1()
6________。
，由。即，故有
，而，与矛盾。
7. 维向量组，且________。
11【例13】
8________。
9 ________。
10________。
&&&&& & &&& &
11__________
12__________
13.200512, ,__________
12 &&12&&&&&&&&&&&&&&
1444& 4__________
&&&&&&&&&&&&
152____________
& （1）.判定向量组的线性相关性
&&& 常用方法：
1）定义法 &这是判别向量组线性相关性的基本方法，既适用于分量没有具体给出的抽象向量组，又适用于分量已具体给出的向量组。
2）利用矩阵的秩判别& 将所给定的个维列向量组时，向量组线性无关；当时，向量组线性相关。
3）利用行列式判别& 若向量组的向量个数与维数相同，将所给定的个维列向量组，则向量组线性无关；否则向量组线性相关。
&【例1】 设是一个，是阵，其中，是阶单位矩阵，若，证明的列向量组线性无关。
&&& 解：法一 用定义证明．
设，其中为矩阵的第个列向量，并有，两边左乘，
得，所以的列向量组线性无关。
法二& 用矩阵乘积的秩不等式证明。
&&&&&& 显然有，又，所以，得知的个列向量组线性无关。
&& 【例2】.
设有数&&&&&
常用方法：
1）定义法 &这是的基本方法，但若矩阵的阶数较高时，其计算量相当大，所以一般适用于阶数较低的矩阵。方法的实质就是
2）利用矩阵的初等变换法& 这是经常使用的一种方法。
&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
由于矩阵可逆，所以也可逆，则存在有限个
和，则得到
和作同样的化为单位矩阵时，矩阵就化为。即
1120001的伴随矩阵
解：由得，
13维向量组，且有相同的秩。试证明：若
【16】设为阶方阵，为矩阵，且，证明：
&&&&& （1）若，则；&& （2）若，则。为单位矩阵。
证明：法一& （1）因为，显然，若，则为阶方阵，从而由知，存在，将以上两式右乘，结论即得证。
下设，适当调整矩阵的列向量，使其前列线性无关，不妨设，其中为阶方阵，且其个列向量线性无关，为矩阵。由于交换列向量相当于右乘初等矩阵，所以调整后仍有。即，得，右乘，得到。
（2）同上，若，由以上知，结论成立。时，同样由，得，右乘，得到。
法二& （1）因为，故存在可逆矩阵及使得，，
，由知，，右乘得 ，
，即，所以。
（2）同上，由，得，由（1）的结论知，，得成立。
【17】设为阶方阵，则的充要条件为存在两个非零列向量和，使得
证明：充分性显然，只需证必要性。
因为，则存在两个阶可逆阵使得，，
设，，得知，
令，即得证。由于为可逆矩阵，所以非零。
【18】设均为阶方阵，且满足，证明：和都是可逆矩阵。
证明：由条件知，，两边减去得，，所以有
，即，所以有和都是可逆矩阵。
三．练习题
& （一）填空题
&&&&&& 1,, __________
2__________
& 3 ________&
& 4__________
542________
84313-242______
10________
&& （二）选择题
1__________
2__________
3__________
4__________
5__________
6,,__________
7__________
8__________
&9 __________
&10设为阶方阵，且，若已知，则_______
（三）计算题
（四）证明题
&1. 2.& 33. 4.5.06. 27.8.9.10.
&1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
1 . 2. 3.4.5.6.7.}