所谓就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。例如，二维点(x,y)的齐次坐标表示为(hx,hy,h)。由此可以看出，一个向量的齐次表示是不唯一的，齐次坐标的h取不同的值都表示的是同一个点，比如齐次坐标(8,4,2)、(4,2,1)表示的都是二维点(4,2)。给出点的齐次表达式[X Y H]，就可求得其二维笛卡尔坐标，即[X Y H]→= [x y 1]， 这个过程称为正常化处理。在几何意义上，相当于把发生在三维空间的变换限制在H=1的平面内。那么引进齐次坐标有什么必要，它有什么优点呢？许多图形应用涉及到几何变换，主要包括平移、旋转、缩放。以矩阵表达式来计算这些变换时，平移是矩阵相加，旋转和缩放则是矩阵相乘，综合起来可以表示为p' = p *m1+ m2(m1旋转缩放矩阵， m2为平移矩阵， p为原向量 ，p'为变换后的向量)。引入齐次坐标的目的主要是合并矩阵运算中的乘法和加法，表示为p' = p*M的形式。即它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。其次，它可以表示无穷远的点。n+1维的齐次坐标中如果h=0，实际上就表示了的一个无穷远点。对于齐次坐标(a,b,h)，保持a,b不变，|V|=（x1*x1，y1*y1,z1*z1)^1/2的过程就表示了标准坐标系中的一个点沿直线 +by=0 逐渐走向无穷远处的过程。&对于一个向量v以及基oabc，可以找到一组坐标(v1,v2,v3)，使得v = v1 a + v2 b + v3 c （1）而对于一个点p，则可以找到一组坐标（p1,p2,p3），使得 p – o = p1 a + p2 b + p3 c （2），从上面对向量和点的表达，我们可以看出为了在坐标系中表示一个点（如p），我们把点的位置看作是对这个基的原点o所进行的一个位移，即一个向量——p – o（有的书中把这样的向量叫做位置向量——起始于坐标原点的特殊向量），我们在表达这个向量的同时用等价的方式表达出了点p：p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3)(1)(3)是坐标系下表达一个向量和点的不同表达方式。这里可以看出，虽然都是用代数分量的形式表达向量和点，但表达一个点比一个向量需要额外的信息。如果我写出一个代数分量表达(1, 4, 7)，谁知道它是个向量还是个点！我们现在把（1）（3）写成矩阵的形式：v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o),这里(a,b,c,o)是坐标基矩阵，右边的列向量分别是向量v和点p在基下的坐标。这样，向量和点在同一个基下就有了不同的表达：3D向量的第4个代数分量是0，而3D点的第4个代数分量是1。像这种这种用4个代数分量表示3D几何概念的方式是一种齐次坐标表示。这样，上面的(1, 4, 7)如果写成（1,4,7,0），它就是个向量；如果是(1,4,7,1)，它就是个点。下面是如何在普通坐标(Ordinary Coordinate)和齐次坐标(Homogeneous Coordinate)之间进行转换：(1)从普通坐标转换成齐次坐标时如果(x,y,z)是个点，则变为(x,y,z,1);如果(x,y,z)是个向量，则变为(x,y,z,0)(2)从齐次坐标转换成普通坐标时如果是(x,y,z,1)，则知道它是个点，变成(x,y,z);如果是(x,y,z,0)，则知道它是个向量，仍然变成(x,y,z)以上是通过齐次坐标来区分向量和点的方式。从中可以思考得知，对于平移T、旋转R、缩放S这3个最常见的仿射变换，平移变换只对于点才有意义，因为普通向量没有位置概念，只有大小和方向.而旋转和缩放对于向量和点都有意义，你可以用类似上面齐次表示来检测。从中可以看出，齐次坐标用于仿射变换非常方便。此外，对于一个普通坐标的点P=(Px, Py, Pz)，有对应的一族齐次坐标(wPx, wPy, wPz, w)，其中w不等于零。比如，P(1, 4, 7)的齐次坐标有(1, 4, 7, 1)、（2, 8, 14, 2）、（-0.1, -0.4, -0.7, -0.1）等等。因此，如果把一个点从普通坐标变成齐次坐标，给x,y,z乘上同一个非零数w，然后增加第4个分量w；如果把一个齐次坐标转换成普通坐标，把前三个坐标同时除以第4个坐标，然后去掉第4个分量。由于齐次坐标使用了4个分量来表达3D概念，使得平移变换可以使用矩阵进行，从而如F.S. Hill, JR所说，仿射（线性）变换的进行更加方便。由于图形硬件已经普遍地支持齐次坐标与矩阵乘法，因此更加促进了齐次坐标使用，使得它似乎成为图形学中的一个标准。以上很好的阐释了齐次坐标的作用及运用齐次坐标的好处。其实在图形学的理论中，很多已经被封装的好的API也是很有研究的，要想成为一名专业的计算机图形学的学习者，除了知其然必须还得知其所以然。这样在遇到问题的时候才能迅速定位问题的根源，从而解决问题。&(1)从普通坐标转换成齐次坐标时如果(x,y,z)是个点，则变为(x,y,z,1);如果(x,y,z)是个向量，则变为(x,y,z,0)(2)从齐次坐标转换成普通坐标时如果是(x,y,z,1)，则知道它是个点，变成(x,y,z);如果是(x,y,z,0)，则知道它是个向量，仍然变成(x,y,z)一.概述在iOS中使用CATransform3D这个结构体来表示三维的齐次坐标变换矩阵. 齐次坐标是一种坐标的表示方法，n维空间的坐标需要用n+1个元素的坐标元组来表示,在Quartz 2D Transform中就有关于齐次坐标的应用,那边是关于二维空间的变换，其某点的齐次坐标的最后一个元素始终设置为1。使用齐次坐标而不是简单的数学坐标是为了方便图形进行仿射变换，仿射变换可以通过仿射变换矩阵来实现，3D的仿射变换可以实现诸如 平移(translation)，旋转(rotation),缩放(scaling),切变(shear)等变换。如果不用齐次坐标那么进行坐标变换可能就涉及到两种运算了，加法（平移）和乘法（旋转，缩放），而使用齐次坐标以及齐次坐标变换矩阵后只需要矩阵乘法就可以完成一切了。上面的这些如果需要深入了解就需要去学习一下图形变换的相关知识，自己对矩阵的乘法进行演算。iOS中的CALer的3D本质上并不能算真正的3D(其视点即观察点或者所谓的照相机的位置是无法变换的),而只是3D在二维平面上的投影，投影平面就是屏幕也就是xy轴组成的平面(注意iOS中为左手坐标系)，那么视点的位置是如何确定的呢？可以通过CATransform3D中的m34来间接指定， m34 = -1/z,其中z为观察点在z轴上的值,而Layer的z轴的位置则是通过anchorPoint来指定的，所谓的anchorPoint(锚点)就是在变换中保持不变的点，也就是某个Layer在变换中的原点,xyz三轴相交于此点。在iOS中，Layer的anchorPoint使用unit coordinate space来描述，unit coordinate space无需指定具体真实的坐标点而是使用layer bounds中的相对位置，下图展示了一个Layer中的几个特殊的锚点,m34 = -1/z中，当z为正的时候，是我们人眼观察现实世界的效果，即在投影平面上表现出近大远小的效果，z越靠近原点则这种效果越明显，越远离原点则越来越不明显，当z为正无穷大的时候，则失去了近大远小的效果，此时投影线垂直于投影平面，也就是视点在无穷远处，CATransform3D中m34的默认值为0，即视点在无穷远处.还有一个需要说明一下的就是齐次坐标到数学坐标的转换 通用的齐次坐标为 (a, b, c, h),其转换成数学坐标则为 (a/h, b/h, c/h).二.代数解释假设一个Layer anchorPoint为默认的 (0.5, 0.5 ), 其三维空间中一个A点 (6, 0, 0)，m34 = -1/1000.0, 则此点往z轴负方向移动10个单位之后，则在投影平面上看到的点的坐标是多少呢？A点使用齐次坐标表示为 (6, 0, 0, 1)QuartzCore框架为我们提供了函数来算出所需要的矩阵，CATransform3D transform = CATransform3DItransform.m34 = -1/1000.0;transform = CATransform3DTranslate(transform, 0, 0, -10);计算出来的矩阵为{ 1, 0, 0, 0;0, 1, 0, 0;0, 0, 1, -0.001;0, 0, -10, 1.01;}其实上面的变换矩阵本质上是两个矩阵相乘得到的 变换矩阵 * 投影矩阵 变换矩阵为{1, 0, 0, 0;0, 1, 0, 0;0, 0, 1, 0;0, 0, -10, 1;}投影矩阵为{1, 0, 0, 0;0, 1, 0, 0;0, 0, 1, -0.001;0, 0, 0, 1;}上面的两个矩阵相乘则会得到最终的变换矩阵(如果忘记矩阵乘法的可以去看下线性代数复习下)，所以一个矩阵就可以完成变换和投影。将A点坐标乘上最终的变换矩阵，则得到 {6, 0 , -10, 1.01}, 转换成数学坐标点为 {6/1.01, 0, 10/1.01},则可以知道其在投影平面上的投影点为 {6/1.01, 0, 0} 也就是我们看到的变换后的点。其比之前较靠近原点。越往z轴负方向移动，则在投影平面上越靠近原点。三.几何解释将上面的例子使用几何的方式来进行解释分析，当我们沿着y轴的正方向向下看时候，可以得到如下的景象虚线为投影线，其和x轴的交点即为A点的投影点。 由相似三角形的定理我们很容易算出投影的点， + 10) = x/6,则x = 6* = 6/1.01 首先想像有个绝对不变的坐标系(0,0)，记为W，然后以W为参照，建立两个坐标系O1和O2, O1的原点在W的（1,1)处，O2的原点在W的（2,2)处。那么W中的一个点P（x,y）在O1中将变为P（x-1,y-1)，在O2中将是P（x-2, y-2)，这样同一个点P在不同的坐标系下就具有了不同的表示。这会产生一个问题：显然，P点在二维空间的位置是唯一的，是与坐标系无关的，而不同坐标系下的表示看上去体现不了这种无关性。 我们使用的是坐标系这样一个概念，坐标系忽略了坐标原点所具有的重要意义：正是原点标示了该坐标系处于哪个参照位置。如果用矩阵来表示一个二维坐标系，将会是如下形式：|1 0||0 1|，其中（1 0)T表示一个基矢量，（0 1)T表示另一个基矢量，它们互相垂直，因此能利用它们标记整个二维空间。(x,y)*|1 0| = (x,y) |0 1|这就是二维坐标的实际意义。现在考虑将坐标原点(a,b)也引入到这个矩阵表示中来：|1 0 ||0 1 ||a b |我们用这个矩阵可以表示二维空间中任意位置的一个坐标系，当然，这个坐标系的基矢量可以不为（0 1)T和（1 0)T，为了和坐标系区分，我们称这种新表示为标架表示。好，问题来了，如果我们仍然用（x y）来表示点P，那么根据矩阵的乘法规则，我们无法完成其乘法：mx N 的矩阵只能和 N xk的矩阵相乘。解决的办法就是： 给P点添一个尾巴，这个尾巴通常为1：P（x y 1)，这就是P的齐次坐标，利用新的齐次坐标和矩阵相乘得到的结果为：（x+a, y+b)，这样同一个点在不同标架下的不同表示最终会得到同一个计算结果，它反映了这样一个事实：同一个点在不同标架下的不同表示其实是等价的，这一点恰恰是使用坐标系无法体现出来的。显然上面那个 3x2的矩阵和P的齐次表示相乘得到的不是齐次坐标，所以应该将它扩充成3x3的方阵：|1 0 0||0 1 0||a b 1|所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。在空间直角坐标系中，任意一点可用一个三维坐标矩阵[x y z]表示。如果将该点用一个四维坐标的矩阵[Hx Hy Hz H]表示时，则称为齐次坐标表示方法。在齐次坐标中，最后一维坐标H称为比例因子。齐次点具有下列几个性质：1）如果实数a非零，则(x, y, x, w)和(ax, ay, az, aw)表示同一个点，类似于x/y = (ax)/( )。2）三维空间点(x, y, z)的齐次点坐标为(x, y, z, 1.0)，二维平面点(x,y)的齐次坐标为(x, y, 0.0, 1.0)。3）当w不为零时，齐次点坐标(x, y, z, w)即三维空间点坐标(x/w, y/w, z/w)；当w为零时，齐次点(x, y, z, 0.0)表示此点位于某方向的无穷远处。那么引进齐次坐标有什么必要，它有什么优点呢？1.它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。2.它可以表示无穷远的点。n+1维的齐次坐标中如果h=0，实际上就表示了的一个无穷远点。对于齐次坐标[a,b,h]，保持a,b不变， 点沿直线 +by=0 逐渐走向无穷远处的过程。为什么需要齐次坐标？4D向量是由3D坐标(x,y,z)和齐次坐标w组成，(x,y,z,w)。在3D世界中为什么需要3D的齐次坐标呢？简单地说明一下，在一维空间中的一条线段上取一点x，然后我们想转移x的位置，那我们应该是x'=x+k，但我们能使用一维的矩阵来表示这变换吗？不能，因为此时一维的矩阵只能让x点伸缩。但如果变成了一维的齐次空间[k 1]就很容易地做到。同样地，在二维空间中，某一图形如果不使用二维的齐次坐标，则只能旋转和伸缩，却不能平移。因此，我们在3D坐标中使用齐次坐标，是为了物体在矩阵变换中，除了伸缩旋转，还能够平移，如下运算：既然了解了使用齐次坐标的意义，我们下一步就要了解一下齐次坐标w是什么意义。设w=1，此时相当于我们把3D的坐标平移搬去了w=1的平面上，4D空间的点投影到w=1平面上，映射的3D坐标是（x/w,y/w,z/w），也就是（x,y,z）。（x,y,z）在齐次空间中有无数多个点与之对应。所有点的形式是（kx,ky,kz,k），其轨迹是通过齐次空间原点的“直线”（其实每个点相当于3D的坐标世界）。 当w=0时，有很大的意义，可解释为无穷远的“点”，其意义是描述方向。这也是平移变换的开关，当w=0时，此时不能平移变换了。这个现象是非常有用的，因为有些向量代表“位置”，应当平移，而有些向量代表“方向”，如表面的法向量，不应该平移。从几何意义上说，能将第一类数据当作&点&，第二类数据当作&向量&。可以通过设置w的值来控制向量的意义。将为您减少类似内容我要收藏245个赞不感兴趣分享到分享到：还可以输入140字25.3万人订阅15.4万人订阅3002.8万人订阅1057.6万人订阅174.9万人订阅你还可用第三方账号来登录请输入你注册的电子邮件地址绑定密保手机*您可用使用此密保手机找回密码及登录*请勿随意泄露手机号，以防被不法分子利用，骗取帐号信息手机号码发送验证码确定电子邮件请输入您的意见和建议请您输入正确的邮箱地址，以便我们和您联系，帮您解决问题。扫描下载手机客户端热门搜词 上传我的文档
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机器人学—数学基础—齐次坐标和齐次变换
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计算机视觉（9）
在中，齐次坐标能简化的矩阵表法，也能用以在中作运算。
所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。
对于一个向量v以及基oabc，可以找到一组坐标(v1,v2,v3)，使得v = v1 a + v2 b + v3 c （1）
而对于一个点p，则可以找到一组坐标（p1,p2,p3），使得 p – o = p1 a + p2 b + p3 c （2），
从上面对向量和点的表达，我们可以看出为了在坐标系中表示一个点（如p），我们把点的位置看作是对这个基的原点o所进行的一个位移，即一个向量——p – o（有的书中把这样的向量叫做位置向量——起始于坐标原点的特殊向量），我们在表达这个向量的同时用等价的方式表达出了点p：p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3)
(1)(3)是坐标系下表达一个向量和点的不同表达方式。这里可以看出，虽然都是用代数分量的形式表达向量和点，但表达一个点比一个向量需要额外的信息。如果我写出一个代数分量表达(1, 4, 7)，谁知道它是个向量还是个点！
我们现在把（1）（3）写成矩阵的形式：v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)
p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o),这里(a,b,c,o)是坐标基矩阵，右边的列向量分别是向量v和点p在基下的坐标。这样，向量和点在同一个基下就有了不同的表达：3D向量的第4个代数分量是0，而3D点的第4个代数分量是1。像这种这种用4个代数分量表示3D几何概念的方式是一种齐次坐标表示。
这样，上面的(1, 4, 7)如果写成（1,4,7,0），它就是个向量；如果是(1,4,7,1)，它就是个点。下面是如何在普通坐标(Ordinary Coordinate)和齐次坐标(Homogeneous Coordinate)之间进行转换：
(1)从普通坐标转换成齐次坐标时
如果(x,y,z)是个点，则变为(x,y,z,1);
如果(x,y,z)是个向量，则变为(x,y,z,0)
(2)从齐次坐标转换成普通坐标时
如果是(x,y,z,1)，则知道它是个点，变成(x,y,z);
如果是(x,y,z,0)，则知道它是个向量，仍然变成(x,y,z)
以上是通过齐次坐标来区分向量和点的方式。从中可以思考得知，对于平移T、旋转R、缩放S这3个最常见的仿射变换，平移变换只对于点才有意义，因为普通向量没有位置概念，只有大小和方向.
而旋转和缩放对于向量和点都有意义，你可以用类似上面齐次表示来检测。从中可以看出，齐次坐标用于仿射变换非常方便。
此外，对于一个普通坐标的点P=(Px, Py, Pz)，有对应的一族齐次坐标(wPx, wPy, wPz, w)，其中w不等于零。比如，P(1, 4, 7)的齐次坐标有(1, 4, 7, 1)、（2, 8, 14, 2）、（-0.1, -0.4, -0.7, -0.1）等等。因此，如果把一个点从普通坐标变成齐次坐标，给x,y,z乘上同一个非零数w，然后增加第4个分量w；如果把一个齐次坐标转换成普通坐标，把前三个坐标同时除以第4个坐标，然后去掉第4个分量。
由于齐次坐标使用了4个分量来表达3D概念，使得平移变换可以使用矩阵进行，从而如F.S. Hill, JR所说，仿射（线性）变换的进行更加方便。由于图形硬件已经普遍地支持齐次坐标与矩阵乘法，因此更加促进了齐次坐标使用，使得它似乎成为图形学中的一个标准。
域&&上的&&维射影空间中一点的齐次坐标通常写作&，其中&&不全为零。两组成比例的表法&&与（）被视为同一个坐标。
齐次坐标系可作如下解释：考虑一个&&维的&，透过选定&&的引入坐标，则&&中所有非零向量在等价关系&下形成的商集&由上述齐次坐标刻划；而这个商集无非就是射影空间。
射影空间&&可以写成联集&，其中
在任一&&上，齐次坐标透过下述映射
化约为一般的 n 维仿射坐标。因此&。
取三维射影空间为例，此时坐标形如&。无穷远平面通常被定为子集&，在此平面之外总是可以同除以&，因而无穷远平面的透过映射&&等同于我们熟悉的三维仿射空间。
若我们试图考虑平面&&与&&的交集，则显然可先后导出&&与&，这告诉我们交集落在无穷远平面，其坐标形如&，它事实上是连接&&与&&的直线。
参考知识库
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入门-08.坐标系统
坐标系统(Coordinate System)
OpenGL希望在所有顶点着色器运行后，所有我们可见的顶点都变为标准化设备坐标(Normalized Device Coordinate, NDC)。也就是说，每个顶点的x，y，z坐标都应该在-1.0到1.0之间，超出这个坐标范围的顶点都将不可见。
我们通常会自己设定一个坐标的范围，之后再在顶点着色器中将这些坐标转换为标准化设备坐标。然后将这些标准化设备坐标传入光栅器(Rasterizer)，再将他们转换为屏幕上的二维坐标或像素。
将坐标转换为标准化设备坐标，接着再转化为屏幕坐标的过程通常是分步，也就是类似于流水线那样子，实现的，在流水线里面我们在将对象转换到屏幕空间之前会先将其转换到多个坐标系统。
将对象的坐标转换到几个过渡坐标系(Intermediate Coordinate System)的优点在于，在这些特定的坐标系统中进行一些操作或运算更加方便和容易。
对我们来说比较重要的总共有5个不同的坐标系统：
局部空间(Local Space，或者称为物体空间(Object Space))
世界空间(World Space)
观察空间(View Space，或者称为视觉空间(Eye Space))
裁剪空间(Clip Space)
屏幕空间(Screen Space)、
这些就是我们将所有顶点转换为片段之前，顶点需要处于的不同的状态。接下来我们将会通过展示完整的图片来解释每一个坐标系实际做了什么。
为了将坐标从一个坐标系转换到另一个坐标系，我们需要用到几个转换矩阵，最重要的几个分别是模型(Model)、视图(View)、投影(Projection)三个矩阵。首先，顶点坐标开始于局部空间(Local Space)，称为局部坐标(Local Coordinate)，然后经过世界坐标(World Coordinate)，观察坐标(View Coordinate)，裁剪坐标(Clip Coordinate)，并最后以屏幕坐标(Screen Coordinate)结束。
下面的图示显示了整个流程及各个转换过程做了什么：
局部坐标是对象相对于局部原点的坐标；也是对象开始的坐标。
将局部坐标转换为世界坐标，世界坐标是作为一个更大空间范围的坐标系统。这些坐标是相对于世界的原点的。
接下来我们将世界坐标转换为观察坐标，观察坐标是指以摄像机或观察者的角度观察的坐标。
在将坐标处理到观察空间之后，我们需要将其投影到裁剪坐标。裁剪坐标是处理-1.0到1.0范围内并判断哪些顶点将会出现在屏幕上。
最后，我们需要将裁剪坐标转换为屏幕坐标，我们将这一过程成为视口变换(Viewport Transform)。视口变换将位于-1.0到1.0范围的坐标转换到由glViewport函数所定义的坐标范围内。最后转换的坐标将会送到光栅器，由光栅器将其转化为片段。
我们之所以将顶点转换到各个不同的空间的原因是有些操作在特定的坐标系统中才有意义且更方便。例如，当修改对象时，如果在局部空间中则是有意义的；当对对象做相对于其它对象的位置的操作时，在世界坐标系中则是有意义的；等等这些。如果我们愿意，本可以定义一个直接从局部空间到裁剪空间的转换矩阵，但那样会失去灵活性。接下来我们将要更仔细地讨论各个坐标系。
局部空间(Local Space)
局部空间是指对象所在的坐标空间。有可能你创建的所有模型都以(0，0，0)为初始位置，然而他们会在世界的不同位置。则你的模型的所有顶点都是在局部空间：他们相对于你的对象来说都是局部的。
世界空间(World Space)
世界空间中的坐标就如它们听起来那样：是指顶点相对于(游戏)世界的坐标。物体变换到的最终空间就是世界坐标系，并且你会想让这些物体分散开来摆放(从而显得更真实)。对象的坐标将会从局部坐标转换到世界坐标；该转换是由模型矩阵(Model Matrix)实现的。模型矩阵是一种转换矩阵，它能通过对对象进行平移、缩放、旋转来将它置于它本应该在的位置或方向。
观察空间(View Space)
观察空间经常被人们称之OpenGL的摄像机(Camera)(所以有时也称为摄像机空间(Camera Space)或视觉空间(Eye Space))。观察空间就是将对象的世界空间的坐标转换为观察者视野前面的坐标。因此观察空间就是从摄像机的角度观察到的空间。而这通常是由一系列的平移和旋转的组合来平移和旋转场景从而使得特定的对象被转换到摄像机前面。这些组合在一起的转换通常存储在一个观察矩阵(View Matrix)里，用来将世界坐标转换到观察空间。在下一个教程我们将广泛讨论如何创建一个这样的观察矩阵来模拟一个摄像机。
裁剪空间(Clip Space)
在一个顶点着色器运行的最后，OpenGL期望所有的坐标都能落在一个给定的范围内，且任何在这个范围之外的点都应该被裁剪掉(Clipped)。被裁剪掉的坐标就被忽略了，所以剩下的坐标就将变为屏幕上可见的片段。这也就是裁剪空间名字的由来。
因为将所有可见的坐标都放置在-1.0到1.0的范围内不是很直观，所以我们会指定自己的坐标集(Coordinate Set)并将它转换回标准化设备坐标系，就像OpenGL期望它做的那样。
为了将顶点坐标从观察空间转换到裁剪空间，我们需要定义一个投影矩阵(Projection Matrix)，它指定了坐标的范围，例如，每个维度都是从-。投影矩阵接着会将在它指定的范围内的坐标转换到标准化设备坐标系中(-1.0，1.0)。所有在范围外的坐标在-1.0到1.0之间都不会被绘制出来并且会被裁剪。在投影矩阵所指定的范围内，坐标(，750)将是不可见的，这是由于它的x坐标超出了范围，随后被转化为在标准化设备坐标中坐标值大于1.0的值并且被裁剪掉。
如果只是片段的一部分例如三角形，超出了裁剪体积(Clipping Volume)，则OpenGL会重新构建三角形以使一个或多个三角形能适应在裁剪范围内。（？？？）
由投影矩阵创建的观察区域(Viewing Box)被称为平截头体(Frustum)，且每个出现在平截头体范围内的坐标都会最终出现在用户的屏幕上。将一定范围内的坐标转化到标准化设备坐标系的过程(标准化坐标系能很容易被映射到2D观察空间坐标)被称之为投影(Projection)，因为使用投影矩阵能将3维坐标投影(Project)到很容易映射到2D的标准化设备坐标系中。
一旦所有顶点被转换到裁剪空间，最终的操作——透视划分(Perspective Division)将会执行，在这个过程中我们将位置向量的x，y，z分量分别除以向量的齐次w分量；透视划分是将4维裁剪空间坐标转换为3维标准化设备坐标。这一步会在每一个顶点着色器运行的最后被自动执行。
在这一阶段之后，坐标经过转换的结果将会被映射到屏幕空间(由glViewport设置)且被转换成片段。
投影矩阵将观察坐标转换为裁剪坐标的过程采用两种不同的方式，每种方式分别定义自己的平截头体。我们可以创建一个正射投影矩阵(Orthographic Projection Matrix)或一个透视投影矩阵(Perspective Projection Matrix)。
正射投影(Orthographic Projection)
正射投影矩阵定义了一个类似立方体的平截头体，指定了一个裁剪空间，每一个在这空间外面的顶点都会被裁剪。创建一个正射投影矩阵需要指定可见平截头体的宽、高和长度。所有在使用正射投影矩阵转换到裁剪空间后如果还处于这个平截头体里面的坐标就不会被裁剪。它的平截头体看起来像一个容器：
上面的平截头体定义了由宽、高、近平面和远平面决定的可视的坐标系。正视平截头体直接将平截头体内部的顶点映射到标准化设备坐标系中，因为每个向量的w分量都是不变的；如果w分量等于1.0，则透视划分不会改变坐标的值。
为了创建一个正射投影矩阵，我们利用GLM的构建函数glm::ortho：
glm::ortho(0.0f, 800.0f, 0.0f, 600.0f, 0.1f, 100.0f);
前两个参数指定了平截头体的左右坐标，第三和第四参数指定了平截头体的底部和上部。通过这四个参数我们定义了近平面和远平面的大小，然后第五和第六个参数则定义了近平面和远平面的距离。这个指定的投影矩阵将处于这些x，y，z范围之间的坐标转换到标准化设备坐标系中。
正射投影矩阵直接将坐标映射到屏幕的二维平面内，但实际上一个直接的投影矩阵将会产生不真实的结果，因为这个投影没有将透视(Perspective)考虑进去。所以我们需要透视投影矩阵来解决这个问题。
透视投影(Perspective Projection)
离你越远的东西看起来更小，这个神奇的效果我们称之为透视。透视的效果在我们看一条无限长的高速公路或铁路时尤其明显，正如下面图片显示的那样:
正如你看到的那样，由于透视的原因，平行线似乎在很远的地方看起来会相交。这正是透视投影想要模仿的效果，它是使用透视投影矩阵来完成的。这个投影矩阵不仅将给定的平截头体范围映射到裁剪空间，同样还修改了每个顶点坐标的w值，从而使得离观察者越远的顶点坐标w分量越大。被转换到裁剪空间的坐标都会在-w到w的范围之间(任何大于这个范围的对象都会被裁剪掉)。OpenGL要求所有可见的坐标都落在-1.0到1.0范围内从而作为最后的顶点着色器输出，因此一旦坐标在裁剪空间内，透视划分就会被应用到裁剪空间坐标：
每个顶点坐标的分量都会除以它的w分量，得到一个距离观察者的较小的顶点坐标。这是也是另一个w分量很重要的原因，因为它能够帮助我们进行透射投影。最后的结果坐标就是处于标准化设备空间内的。如果你对研究正射投影矩阵和透视投影矩阵是如何计算的很感兴趣(且不会对数学感到恐惧的话)我推荐。在GLM中可以这样创建一个透视投影矩阵：
glm::mat4 proj = glm::perspective(45.0f, (float)width/(float)height, 0.1f, 100.0f);
glm::perspective所做的其实就是再次创建了一个定义了可视空间的大的平截头体，任何在这个平截头体外的对象最后都不会出现在裁剪空间体积内，并且将会受到裁剪。一个透视平截头体可以被可视化为一个不均匀形状的盒子，在这个盒子内部的每个坐标都会被映射到裁剪空间的点。一张透视平截头体的照片如下所示：
它的第一个参数定义了fov的值，它表示的是视野(Field of View)，并且设置了观察空间的大小。对于一个真实的观察效果，它的值经常设置为45.0，但想要看到更多结果你可以设置一个更大的值。
第二个参数设置了宽高比，由视口的宽除以高。
第三和第四个参数设置了平截头体的近和远平面。我们经常设置近距离为0.1而远距离设为100.0。所有在近平面和远平面的顶点且处于平截头体内的顶点都会被渲染。
当你把透视矩阵的near值设置太大时(如10.0)，OpenGL会将靠近摄像机的坐标都裁剪掉(在0.0和10.0之间)，这会导致一个你很熟悉的视觉效果：在太过靠近一个物体的时候视线会直接穿过去。
当使用正射投影时，每一个顶点坐标都会直接映射到裁剪空间中而不经过任何精细的透视划分(它仍然有进行透视划分，只是w分量没有被操作(它保持为1)因此没有起作用)。因为正射投影没有使用透视，远处的对象不会显得小以产生神奇的视觉输出。由于这个原因，正射投影主要用于二维渲染以及一些建筑或工程的应用，或者是那些我们不需要使用投影来转换顶点的情况下。某些如Blender的进行三维建模的软件有时在建模时会使用正射投影，因为它在各个维度下都更准确地描绘了每个物体。下面你能够看到在Blender里面使用两种投影方式的对比：
你可以看到使用透视投影的话，远处的顶点看起来比较小，而在正射投影中每个顶点距离观察者的距离都是一样的。
把它们都组合到一起
我们为上述的每一个步骤都创建了一个转换矩阵：模型矩阵、观察矩阵和投影矩阵。一个顶点的坐标将会根据以下过程被转换到裁剪坐标：
注意每个矩阵被运算的顺序是相反的(记住我们需要从右往左乘上每个矩阵)。最后的顶点应该被赋予顶点着色器中的gl_Position且OpenGL将会自动进行透视划分和裁剪。
然后呢？顶点着色器的输出需要所有的顶点都在裁剪空间内，而这是我们的转换矩阵所做的。OpenGL然后在裁剪空间中执行透视划分从而将它们转换到标准化设备坐标。OpenGL会使用glViewPort内部的参数来将标准化设备坐标映射到屏幕坐标，每个坐标都关联了一个屏幕上的点(在我们的例子中屏幕是800 *600)。这个过程称为视口转换。
既然我们知道了如何将三维坐标转换为二维坐标，我们可以开始将我们的对象展示为三维对象而不是目前我们所展示的缺胳膊少腿的二维平面。
在开始进行三维画图时，我们首先创建一个模型矩阵。这个模型矩阵包含了平移、缩放与旋转，我们将会运用它来将对象的顶点转换到全局世界空间。让我们平移一下我们的平面，通过将其绕着x轴旋转使它看起来像放在地上一样。这个模型矩阵看起来是这样的：
glm::mat4model = glm::rotate(model, -55.0f, glm::vec3(1.0f, 0.0f, 0.0f));
通过将顶点坐标乘以这个模型矩阵我们将该顶点坐标转换到世界坐标。我们的平面看起来就是在地板上的因此可以代表真实世界的平面。
接下来我们需要创建一个观察矩阵。我们想要在场景里面稍微往后移动以使得对象变成可见的(当在世界空间时，我们位于原点(0,0,0))。要想在场景里面移动，思考下面的问题：
将摄像机往后移动跟将整个场景往前移是一样的。
这就是观察空间所做的，我们以相反于移动摄像机的方向移动整个场景。因为我们想要往后移动，并且OpenGL是一个右手坐标系(Right-handed System)所以我们沿着z轴的正方向移动。我们会通过将场景沿着z轴负方向平移来实现这个。它会给我们一种我们在往后移动的感觉。
右手坐标系(Right-handed System)按照约定，OpenGL是一个右手坐标系。最基本的就是说正x轴在你的右手边，正y轴往上而正z轴是往后的。想象你的屏幕处于三个轴的中心且正z轴穿过你的屏幕朝向你。坐标系画起来如下：
为了理解为什么被称为右手坐标系，按如下的步骤做：张开你的右手使正y轴沿着你的手往上。使你的大拇指往右。使你的食指往上。向下90度弯曲你的中指。
如果你都正确地做了，那么你的大拇指朝着正x轴方向，食指朝着正y轴方向，中指朝着正z轴方向。如果你用左手来做这些动作，你会发现z轴的方向是相反的。这就是有名的左手坐标系，它被DirectX广泛地使用。注意在标准化设备坐标系中OpenGL使用的是左手坐标系(投影矩阵改变了惯用手的习惯)。
在下一个教程中我们将会详细讨论如何在场景中移动。目前的观察矩阵是这样的：
glm::mat4// 注意，我们将场景朝着我们（摄像机）要移动的反方向移动。
view = glm::translate(view, glm::vec3(0.0f, 0.0f, -3.0f));
最后我们需要做的是定义一个投影矩阵。我们想要在我们的场景中使用透视投影所以我们声明的投影矩阵是像这样的：
projection = glm::perspective(45.0f, screenWidth / screenHeight, 0.1f, 100.0f);
再重复一遍，在glm指定角度的时候要注意。这里我们将参数fov设置为45度，但有些GLM的实现是将fov当成弧度，在这种情况你需要使用glm::radians(45.0)来设置。
既然我们创建了转换矩阵，我们应该将它们传入着色器。
首先，我们在顶点着色器中声明多个uniform类型的转换矩阵，然后与顶点坐标矩阵相乘。
#version 330 core
layout (location = 0) in vec3
uniform mat4
uniform mat4
uniform mat4
void main()
// 注意从右向左读
gl_Position = projection * view * model * vec4(position,
我们应该将矩阵传入着色器(这通常在每次渲染的时候传入，因为转换矩阵很可能变化很大)：
GLint modelLoc = glGetUniformLocation(ourShader.Program, "model");
glUniformMatrix4fv(modelLoc, 1, GL_FALSE, glm::value_ptr(model));
... // 视图矩阵和投影矩阵与之类似
现在我们的顶点坐标通过模型、视图和投影矩阵来转换，最后的对象应该是：
往后向地板倾斜。
离我们有点距离。
由透视展示(顶点越远，变得越小)
让我们检查一下结果是否满足这些要求：
它看起来就像是一个三维的平面，是静止在一些虚构的地板上的。如果你不是得到相同的结果，请检查下完整的 以及和着色器。。
要渲染一个立方体，我们一共需要36个顶点(6个面 x 每个面有2个三角形组成 x 每个三角形有3个顶点)，这36个顶点的位置你可以。注意，这一次我们省略了颜色值，因为这次我们只在乎顶点的位置和，我们使用纹理贴图。
为了好玩，我们将让立方体随着时间旋转：
model = glm::rotate(model, (GLfloat)glfwGetTime() * 50.0f, glm::vec3(0.5f, 1.0f, 0.0f));
然后我们使用glDrawArrays来画立方体，这一次总共有36个顶点。
glDrawArrays(GL_TRIANGLES, 0, 36);
如果一切顺利的话绘制效果将与下面的类似：
这有点像一个立方体，但又有种说不出的奇怪。立方体的某些本应被遮挡住的面被绘制在了这个立方体的其他面的上面。之所以这样是因为OpenGL是通过画一个一个三角形来画你的立方体的，所以它将会覆盖之前已经画在那里的像素。因为这个原因，有些三角形会画在其它三角形上面，虽然它们本不应该是被覆盖的。
幸运的是，OpenGL存储深度信息在z缓冲区(Z-buffer)里面，它允许OpenGL决定何时覆盖一个像素何时不覆盖。通过使用z缓冲区我们可以设置OpenGL来进行深度测试。
OpenGL存储它的所有深度信息于z缓冲区中，也被称为深度缓冲区(Depth Buffer)。GLFW会自动为你生成这样一个缓冲区 (就如它有一个颜色缓冲区来存储输出图像的颜色)。深度存储在每个片段里面(作为片段的z值)当片段像输出它的颜色时，OpenGL会将它的深度值和z缓冲进行比较然后如果当前的片段在其它片段之后它将会被丢弃，然后重写。这个过程称为深度测试(Depth Testing)并且它是由OpenGL自动完成的。
如果我们想要确定OpenGL是否真的执行深度测试，首先我们要告诉OpenGL我们想要开启深度测试；而这通常是默认关闭的。我们通过glEnable函数来开启深度测试。glEnable和glDisable函数允许我们开启或关闭某一个OpenGL的功能。该功能会一直是开启或关闭的状态直到另一个调用来关闭或开启它。现在我们想开启深度测试就需要开启GL_DEPTH_TEST：
glEnable(GL_DEPTH_TEST);
既然我们使用了深度测试我们也想要在每次重复渲染之前清除深度缓冲区(否则前一个片段的深度信息仍然保存在缓冲区中)。就像清除颜色缓冲区一样，我们可以通过在glclear函数中指定DEPTH_BUFFER_BIT位来清除深度缓冲区：
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
就是这样！一个开启了深度测试，各个面都是纹理，并且还在旋转的立方体！如果你的程序有问题可以到下载源码进行比对。
更多的立方体
现在我们想在屏幕上显示10个立方体。每个立方体看起来都是一样的，区别在于它们在世界的位置及旋转角度不同。立方体的图形布局已经定义好了，所以当渲染更多物体的时候我们不需要改变我们的缓冲数组和属性数组，我们唯一需要做的只是改变每个对象的模型矩阵来将立方体转换到世界坐标系中。
首先，让我们为每个立方体定义一个平移向量来指定它在世界空间的位置。我们将要在glm::vec3数组中定义10个立方体位置向量。
glm::vec3 cubePositions[] =
glm::vec3( 0.0f, 0.0f, 0.0f),
glm::vec3( 2.0f, 5.0f, -15.0f),
glm::vec3(-1.5f, -2.2f, -2.5f),
glm::vec3(-3.8f, -2.0f, -12.3f),
glm::vec3( 2.4f, -0.4f, -3.5f),
glm::vec3(-1.7f, 3.0f, -7.5f),
glm::vec3( 1.3f, -2.0f, -2.5f),
glm::vec3( 1.5f, 2.0f, -2.5f),
glm::vec3( 1.5f, 0.2f, -1.5f),
glm::vec3(-1.3f, 1.0f, -1.5f)
现在，在循环中，我们调用glDrawArrays10次，在我们开始渲染之前每次传入一个不同的模型矩阵到顶点着色器中。我们将会创建一个小的循环来通过一个不同的模型矩阵重复渲染我们的对象10次。注意我们也传入了一个旋转参数到每个箱子中：
glBindVertexArray(VAO);
for(GLuint i = 0; i & 10; i++)
model = glm::translate(model, cubePositions[i]);
GLfloat angle = 20.0f *
model = glm::rotate(model, angle, glm::vec3(1.0f, 0.3f, 0.5f));
glUniformMatrix4fv(modelLoc, 1, GL_FALSE, glm::value_ptr(model));
glDrawArrays(GL_TRIANGLES, 0, 36);
glBindVertexArray(0);
这个代码将会每次都更新模型矩阵然后画出新的立方体，如此总共重复10次。然后我们应该就能看到一个拥有10个正在奇葩旋转着的立方体的世界。
Image 044.png
对GLM的投影函数中的FoV和aspect-ratio参数进行试验。看能否搞懂它们是如何影响透视平截头体的。
关于FoV参数
左侧：projection = glm::perspective (glm::radians (30.0f), (float)WIDTH / (float)HEIGHT, 0.1f, 100.0f);右侧：projection = glm::perspective (glm::radians (45.0f), (float)WIDTH / (float)HEIGHT, 0.1f, 100.0f);
关于aspect-ratio参数
左侧：projection = glm::perspective (glm::radians (45.0f), 800.0f / 300.0f, 0.1f, 100.0f);右侧：projection = glm::perspective (glm::radians (45.0f), 800.0f / 600.0f, 0.1f, 100.0f);
将观察矩阵在各个方向上进行平移，来看看场景是如何改变的。注意把观察矩阵当成摄像机对象。
左侧：view = glm::translate (view, glm::vec3 (0.0f, 0.0f, -6.0f));右侧：view = glm::translate (view, glm::vec3 (0.0f, 0.0f, -3.0f));
左侧：view = glm::translate (view, glm::vec3 (0.0f, 1.0f, -3.0f));右侧：view = glm::translate (view, glm::vec3 (1.0f, 0.0f, -3.0f));
只使用模型矩阵每次只让3个箱子旋转(包括第1个)而让剩下的箱子保持静止。
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