勾股定理怎么算.是什么公式
a²+b²=c²（a、b是直角三角形的两条直角边,c是直角三角形的斜边）
怎么有平方
你套用公式下，任意的直角三角形都符合勾股定理
还是不明白
直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²
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勾股定理是三角形的算边的公式就是 两条边相加的和一定大于第三条边但是 ；两条边的平方一定等于第三条边 就和下面a²+b²=c²（a、b是直角三角形的两条直角边，c是直角三角形的斜边）的是一样的
如果直角三角形的两长分别为a，b，斜边长为c，那么 如果直角三角形的两长分别为a，b，斜边长为c，那么。
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a² +b² =c² ； 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
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勾股定理的逆定理
如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角。最长边所对的角为直角。
勾股定理的逆定理内容
的逆定理是判断三角形为或钝角的一个简单的方法。若c为最长边，且a?+b?=c?，则△ABC是。如果a?+b?&c?，则△ABC是。如果a?+b?&c?，则△ABC是。
勾股定理的逆定理证法1
根据余弦定理，在△ABC中，cosC=(a?+b?-c?）÷2ab。
由于a?+b?=c?，故cosC=0；
因为0°&∠C&180°，所以∠C=90°。（证毕）
勾股定理的逆定理证法2
已知在△ABC中，
，求证∠C=90°
证明：作AH⊥BC于H
⑴若∠C为锐角，设BH=y,AH=x
得x?+y?=c?，
但a&y,b&x，∴
（A）与（B）矛盾，∴∠C不为锐角
⑵若∠C为钝角，设HC=y,AH=x
∵a≠0，∴y=0
这与∠C是相矛盾，∴∠C不为钝角
综上所述，∠C必为直角
勾股定理的逆定理证法3
已知在△ABC中，a?+b?=c?，求证△ABC是直角三角形
证明：做任意一个Rt△A'B'C'，使其直角边B'C'=a，A'C'=b，∠C'=90°。设A'B'=c'
在Rt△A'B'C'中，由勾股定理得，A'B‘?=B'C'?+A'C'?=a?+b?=c’?
一∵a?+b?=c?，∴c‘=c
在△ABC和A'B'C'中，∵AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'，∴△ABC≌△A'B'C'
∴∠C=∠C'=90°
勾股定理的逆定理证法4
如图，已知在△ABC中，设AB=c，AC=b，BC=a，且a?+b?=c?。求证∠ACB=90°
证明：在△ABC内部作一个∠HCB=∠A，使H在AB上。
∵∠B=∠B,∠A=∠HCB
∴△ABC∽△CBH(有两个角对应相等的两个三角形相似)
∴AB/BC=BC/BH，即BH=a?/c
而AH=AB-BH=c-a?/c=(c?-a?)/c=b?/c
∴AH/AC=(b?/c)/b=b/c=AC/AB
∴△ACH∽△ABC(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)
∴△ACH∽△CBH(相似三角形的传递性)
∴∠AHC=∠CHB
∵∠AHC+∠CHB=∠AHB=180°
∴∠AHC=∠CHB=90°
∴∠ACB=∠AHC=90°
勾股定理的逆定理勾股定理
勾股定理的逆定理定理
如果直角三角形两直角边分别为A，B，为C，那么
； 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。古埃及人用这样的方法画。
如果三角形的三条边A，B，C满足
，还有变形公式：
，如：一条直角边是a，另一条直角边是b，如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）
勾股定理的逆定理勾股定理的来源
是一个基本的，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
在中国，《》记载了勾股定理的公式与，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。　常用（3,4,5）；（6,8,10）；（5,12,13）；（8,15,17） ；（7,24,25） 　有关勾股定理书籍 　《数学原理》人民教育出版社 　《探究勾股定理》同济大学出版社 　《优因培教数学》北京大学出版社 　《勾股书籍》 新世纪出版社 　《九章算术一书》 　《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社 　《》 （原著：）人民日报出版社
勾股定理的逆定理毕达哥拉斯树
毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重次后 的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。　直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。　两个相邻的小面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。　利用A2+B2≥2AB可以证明下面的结论：　三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一
勾股定理的逆定理常见的勾股数
注：3K,4K,5K即3,4,5的同一　勾股数　A=s2-t2 B=2st C=s2+t2 其中s&t，且s，t为。
勾股定理的逆定理勾股弦的比例
（一个锐角为30°的直角三角形）
（等腰直角三角形）
勾股定理的逆定理最早应用
从很多泥板记载表明，人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图 　设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米 　∵a=√[l2-（l-h)2]=√[52-（5-1）2]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股三角形。《周髀算经》中勾股定理的公式与证明　《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是中国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。　首先，《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（《周髀算经》上卷二） 　而勾股定理的证明呢，就在《周髀算经》上卷一—— 　昔者问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？” 　商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”　周公对古代伏羲（包牺）构造周天历度的事迹感到不可思议（天不可阶而升，地不可得尺寸而度），就请教商高数学知识从何而来。于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来。　 《周髀算经》证明步骤
“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”：解释发展脉络——数之法出于圆（三）方（四方），圆出于方（圆形面积=外接正方形*圆周率/4），方出于矩（正方形源自两边相等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自）。　“故折矩①，以为句广三，股修四，径隅五。”：开始做图——选择一个 勾三（圆周率三）、股四（四方） 的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）。　“②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”：这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有 边长三勾方、边长四股方、边长五弦方 三个正方形。　“两矩共长③二十有五，是谓积矩。”：此为验算——勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是 大正方形 减去 右上、左下两个长方形面积后为 勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半，可推出 四个三角形面积 等于 右上、左下两个长方形面积，所以 勾方+股方=弦方。　注意：　① 矩，又称曲尺，L型的木匠工具，由长短两根木条组成的直角。古代“矩”指L型曲尺，“矩形”才是“矩”衍生的长方形。　② “既方之，外半其一矩”此句有争议。清代四库全书版定为“既方其外半之一矩”，而之前版本多为“既方之外半其一矩”。经、、、等学者研究，“既方之，外半其一矩”更符合逻辑。　③ 长指的是面积。古代对不同的量纲比较，并没有发明新的术语，而统称“长”。赵爽注称：“两矩者， 句股各自乘之实。共长者，并实之数。　由于年代久远，周公弦图失传，传世版本只印了赵爽弦图（造纸术在汉代才发明）。所以某些学者误以为商高没有证明（只是说了一段莫名其妙的话），后来赵爽才给出证明。　其实不然，摘录赵爽注释《周髀算经》时所做的《句股圆方图》——“句股各自乘， 并之为弦实，开方除之即弦。案：弦图又可以句股相乘为朱实二， 倍之为朱实四，以句股之差自相乘为中黄实， 加差实亦成弦实。” 　 赵爽弦图
注意“案”中的“弦图又可以”、“亦成弦实”，“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明，于是他给出了新的证明。　下为赵爽证明—— 　 青朱出入图
三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方、青方并成弦方。依其面积关系有A2+B2=C2.由于朱方、青方各有一部分在玄方内，那一部分就不动了。　以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以盈补虚，只要把图中朱方（A2）的I移至I′，青方的Ⅱ移至Ⅱ′，Ⅲ移至Ⅲ′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形（C……2）．由此便可证得a2+b2=c2。
勾股定理的逆定理加菲尔德
1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德 　便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的长又是多少？”加菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的。　如下：　解：在网格内，以两个直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为边长的正方形面积。　勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方， 　a^2+b^2=c^2;　说明：中国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。　举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c的平方；= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5 　则说明斜边为5。
勾股定理的逆定理多种证明
这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的Pythagorean Proposition（《毕达哥拉斯》）一书中总共提到367种证明方式。　有人会尝试以（例如：和函数的）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见）。
勾股定理的逆定理证法1
作四个的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。过点C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上， 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD，
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一个边长为c的正方形。
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD，
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 　即 ∠CBD= 90°
又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， 　BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形。
同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 　设多边形GHCBE的面积为S，则
勾股定理的逆定理证法2
作两个的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b&a） ，做一个边长为c的正方形。斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 　过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 　F作FN⊥PQ，垂足为N.
∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，
∴ ∠MPC = 90°，
∵ BM⊥PQ，
∴ ∠BMP = 90°，
∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°， 　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，
又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即
勾股定理的逆定理证法3
作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴G,I,J在同一直线上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c， 　∠CJB = ∠CFD = 90°，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 　同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ，
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°，
∴∠ABG +∠CBJ= 90°，
∵∠ABC= 90°，
∴G,B,I,J在同一直线上，
勾股定理的逆定理证法4
作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 　BF、CD. 过C作CL⊥DE， 　交AB于点M，交DE于点L.
∵ AF = AC，AB = AD， 　∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面积等于， 　ΔGAD的面积等于矩形ADLM 　的面积的一半，
∴ 矩形ADLM的面积 =. 　同理可证，矩形MLEB的面积 =.
∵ 正方形ADEB的面积 　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
勾股定理的逆定理证法5
《几何原本》中的证明 　在欧几里得的一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。　在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再并转换成下方的两个同等面积的长方形。　其证明如下：　设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是对应的，同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB&sup2；。同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2；。把这两个结果相加， AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB2;+ AC2;= BC2；。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
证法6（欧几里得（Euclid）射影定理证法）
如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高 　通过证明三角形相似则有射影定理如下：
⑴（BD）2;=AD·DC，
⑵（AB）2;=AD·AC ，
⑶（BC）2;=CD·AC。　由公式⑵+⑶得：（AB）2;+（BC）2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD）·AC=（AC）2；， 　图1即 （AB）2;+（BC）2;=（AC）2，这就是勾股定理的结论。　 图1
勾股定理的逆定理证法7
在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：　4×（ab/2）+（b-a）2;=c2；　 　化简后便可得：a2;+b2;=c2; 　亦即：c=(a2;+b2;)1/2 　勾股定理的别名 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。　中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。　在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。　在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”． 　前任美国第二十届总统证明了勾股定理（日）。
1 周髀算经， 文物出版社，1980年3月， 据宋代嘉定六年本影印，1-5页。
2. 陈良佐：周髀算经勾股定理的证明与的关系。刊於《汉学研究》， 1989年第7卷第1期，255-281页。
3. 李国伟： 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。刊於《第二届科学史研讨会汇刊》， 台湾，1991年7月， 227-234页。
4. 李继闵：商高定理辨证。刊於《自然科学史研究》，1993年第12卷第1期，29-41页。
5. 曲安京： 商高、赵爽与关於勾股定理的证明。刊於《数学传播》20卷， 台湾，1996年9月第3期， 20-27页
勾股定理的逆定理证法8
达芬奇的证法
证明：　第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE 　第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E' 　因为S1=S2
所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'
又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF
所以OF2+OE2=E'F'2
因为E'F'=EF
所以OF2+OE2=EF2 　勾股定理得证。
勾股定理的逆定理证法9
从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：
b (a + b)= 1/2c2; + ab + 1/2(b + a)(b - a) 　矩形面积 =（中间三角形）+（下方）2个直角三角形+（上方）1个直 　角三角形。　（简化） 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab 　2b2; - b2;+ a2;= c2; 　a2; + b2;= c2;
注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。
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勾股定理单元检测试题
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
勾股定理单元检测试题
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文章来源莲 山课件 w ww.5 Y
《勾股定理》单元复习试题（一） 一、：1．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（&&& ）A．12米&&&& B．13米&&&& C．14米&&&& D．15米2．分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12　③1，2，3；④9，40，41；⑤3 ，4 ，5 ．其中能构成直角三角形的有（　　）组　A．2 &&&&B．3 &&&&C．4&&& &D．53．在△ABC中，∠C＝90°，周长为60，斜边与一直角边比是13∶5，则这个三角形三边长分别是（　& ）A．5，4，3&&& B．13，12，5& 　 C．10，8，6&&& D．26，24，104．在△ABC中，已知AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，则△ABC的面积等于（&&&& ）A．108cm2&& 　　　B．90cm2&&&&& 　　　C．180cm2&&&&&& 　　　D．54cm25．在直角坐标系中，点P（ 2，3）到原点的距离是（&&& ）A．&&&& 　　 B．&&&&& 　　　C．&&&&& 　　　D．26． 在△ABC中，∠A=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，则下列结论错误的是（&&& ）A．a2+b2=c2&& 　　　B．b2+c2=a2& 　　　　C．&& 　　　D． 7．如图1，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形式面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么 的值为& （&&& ）A．13&&&&& B．19&&&&& C．25&&&&& D．169
&&&&&&& 8．如图2，分别以直角△ABC的三边AB，BC，CA为直径向外作半圆．设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则（&& ）A．S1＝S2&&& 　　&B．S1＜S2&&　　C．S1＞S2&&D．无法确定9．如图3所示，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE＝（&&& ）A．1&& 　&& B．&&& 　&& C．&&& 　&& D．210．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长是连续自然数，则周长为（&&& ）A．182&& 　　 B．183&& 　　　& C．184&&& 　　　 D．185
二、题：11．一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是&&&&&&&&& 。12．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．13．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．14．如图5，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有____米． 15．如果一个三角形的三个内角之比是1∶2∶3，且最小边的长度是8，最长边的长度是______．16．在△ABC中，AB＝8cm，BC＝15cm，要使∠B＝90°，则AC的长必为______cm．17．如图6是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若 ， ，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是&&&&&&&&& 。
三、解答题：18．（8分）三个半圆的面积分别为S1=4.5 ，S2=8 ，S3=12.5 ，把三个半圆拼成如图所示的图形，则△ABC一定是直角三角形吗？说明理由。
19．（12分）求知中学有一块四边形的空地ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB =3m，BC =12m，CD =13m，DA= 4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？&20．（12分）如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。&
21．（9分）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
22．（8分）观察下列各式，你有什么发现？32=4+5，52=12+13，72=24+25&& 92=40+41……这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？（1）：132=&&&&&&&&&& +&&&&&&&&& （2）请写出你发现的规律。（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。
《勾股定理》单元复习试题（二）
一、：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．&在 中， ，则 的长是（　　）A．5&&B．10&&C．4&&D．大于1且小于72．&下列三角形中，不是直角三角形的是（　　）A．三角形三边分别是9，40，41；&&&&&&&&&&& B．三角形三内角之比为 ；C．三角形三内角中有两个互余；&&&&&&&&&&&&& D．三角形三边之比为 ．3．&满足下列条件的 ，不是直角三角形的是（　　）A． &&&&&&&&&&&&&&&&&& B． C． &&&&&&&&&&&&&&&&& D． 4．&已知 中， ，则下列结论无法判断的是（　　）A． 是直角三角形，且 为斜边&&&&& B． 是直角三角形，且 C． 的面积为60&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D． 是直角三角形，且 5．&将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形（　　）A．仍是直角三角形&&&&&&&&&&& B．可能是锐角三角形C．可能是钝角三角形&&&&&&&&&&&&&& D．不可能是直角三角形6．& 是 中 边上一点，若 ，那么下列各式中正确的是（　　）A．&&&&&&&&&&&&&&&&& B． C．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D． 7．&如果 的三边分别为 ，则下列结论正确的是（　）A． 是直角三角形，且斜边的长为&&&&&&&&&&&&& B． 是直角三角形，且斜边的长为 C． 是直角三角形，且斜边的长需由 的大小确定&&&& D． 无法判定是否是直角三角形8．&在 中， ，则下列说法错误的是（　　）A． && B． &&C． &&&&&&&& D． 9．&如下图，一块直角三角形的纸片，两直角边& ．现将直角边 沿直线 折叠，使它落在斜边 上，且与 重合，则 等于（　　）&A．2cm&&&B．3cm&&&C．4cm&&&D．5cm10．&一个直角三角形两直角边长分别为5cm、12cm，其斜边上的高为（　　）A．6cm&&&&B．8cm&&&&&&& C． cm&&&D． cm
二、填空题：把答案填写在题中横线上．11．& 中， ，中线 ，则 　　　　．12．&如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形 的面积　　　　　　．13．&有一个三角形的两边长是3和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长的平方是　　　　　．14．&满足 的三个正整数，称为&&&&&&&&&&&&&&&& 。15．&如果 的三边长 满足关系式 ，则 的三边分别为 　　　　　， 　　　　　， 　　　　　， 的形状是　　　　　　　．16．&在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高________________米。17．&如图7，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C／处，BC／交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为　　　　　　　。18．& 在直线 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 、 、 、 ，则&&&&& 　　　　　　．&
三、解答题（本大题的解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）：19．&（本小题9分） 已知 三边 满足 ，请你判断 的形状，并说明理由．&20．& （本小题9分） 已知：如图，四边形 中， ， 与 相交于 ，且 ，则 之间一定有关系式： ，请说明理由．
21．&（本小题9分）如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b。利用这个图试说明勾股定理?&
22．&（本小题10分）如图，正方形 ， 边上有一点 ，在 上有一点 ，使 为最短．求：最短距离 ．
23．& （本小题10分）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB = 25km，CA = 15 km，DB = 10km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等。&
24．&（本小题10分） 已知：如图，观察图形回答下面问题。（1）此图形的名称为　　　　　；（2）请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿 处剪开，铺在桌面上，研究一下它的侧面展开是一个　　　　　　形；（3）如果点 是 的中点，在 处有蜗牛想吃到的食品，恰好在 处有一只蜗牛，但它又不能直接爬到 处，只能沿圆锥曲面爬行，你能画出蜗牛爬行的最短路程的图形吗？（4）圆锥的母线长为10cm，侧面展开图的夹角为 ，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方．&
四、解答题（解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）：25．&（10分）如图所示，△ABC中， 。求：AC的长。&
26．&（本小题12分）如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由；（2）再次移动三角板的位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由。&
《勾股定理》单元复习试题（三）一、选择题：1．&已知△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠C，则它的三条边之比为（&&& ）　 A．1∶1∶&&&& B．1∶ ∶2&&& C．1∶ ∶&&&& D．1∶4∶1 2．&已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（&&&& ）　A．&&&& 　　 B．3&&&& 　C． +2&&&&& 　 D． 3．&直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（ 　 ）　A．96&&&& B．49&&&& C．24&&&& D．484．&三角形的三边长分别为6，8，10，它的最短边上的高为（　　）A． 6&&&&&&&& B． 4．5&&&&&&&& C． 2．4&&&&&&&&& D． 8 5．&三角形的三边长为（a+b）2＝c2+2ab，则这个三角形是（　　）A．等边三角形&&& B．钝角三角形&&&& C．直角三角形&&&&& D．锐角三角形 6．&已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（　　）A．5&&&& &B．25&&&C． &&&D．5或 7．&已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（　&& ）A．24cm2&&&B．36cm2&&&&& C．48cm2&&&&& D．60cm2 8．&直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（　　）A．121&&&&& B．120&&&& C．90&&&& &D．不能确定9．&直角三角形的三边为a－b，a，a+b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为（&&& ）A．61　　　　　 B．71　　　　　 C．81　　　　　 D．9110．&如图2，第1个正方形（设边长为2）的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边……依此不断连接下去．通过观察与研究，写出第2012个正方形的边长a2012为（&& ）A．a2012＝4& B． a2012＝2 C． a2012＝4& D． a2012＝2 11．&如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（&&&& ）A．4米&&&&&&&&& B．6米&&&& C．8米&&&&&&&&& D．10米12．&将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是（&& ）A．5≤h≤12&&&&&&& B．5≤h≤24&C．11≤h≤12&&　D．12≤h≤24
13．&已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）A．6cm2&&B．8cm2&&&&& C．10cm2&&D．12cm214．&已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，则四边形ABCD的面积为（&& ）A．36，&&&& B．22&&&&& C．18&&&&& D．12& 二、填空题：15．&如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为hcm，则h的取值范围是&&&&&&&&&&& 。
16．&如图4，所示图形中，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，其中最大的正方形边长为7cm．则正方形A、B、C、D的面积和是________。17．&一个三角形的三边长分别是m2－1，2m，m2+1，则三角形中最大角是_______。18．&如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，则∠APB=_______。19．&如图， 是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与 重合，如果AP＝3，那么 。20．&如图，是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以直角边为边，分别向外作正方形②和③′，……，依此类推，若正方形①的边长为64，则正方形⑦的边长为&&&&&&&&&& ．
21．&如图，△ABC中∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下面等式错误的是（&&& ）A．&&&&&&& B． C．&&&&&&& D． &
三、解答题（本大题的解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）：22．&（2008年荆州市）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位： ），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13 ，& 小孔到图中边AB距离为1 ，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h ，则h的最小值大约为_________ ．（精确到个位，参考数据： ）&
23．&（10分） 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出BD的长吗？&
24．&（12分）已知：如图正方形ABCD，E是BC的中点，F在AB上，且BF＝ ，猜想EF与DE的位置关系，并说明理由．&
25．&（10分）如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
26．&咖菲尔德（Garfeild，1881年任美国第二十届总统）利用下图证明了勾股定理（日，发表在《新英格兰教育日志》上），现在请你尝试他的证明过程。∠B和∠D为直角。
27．&如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B与点C相距5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ &
28．&如图，A、B两点与建筑物底部D在一直线上，从建筑物顶部C点测得A、B两点的俯角分别是30°、60°，且AB=20，求建筑物CD的高。&
29．&如图，海中有一小岛A，在该岛周围10海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西45&的B处，往东航行20海里后达到该岛南偏西30&的C处，之后继续向东航行，你认为货船继续向东航行会有触礁的危险吗？计算后说明理由。 30．&在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，求证： ；（8分）&&31．&如图，在△ABC中，AB=AC（12分）（1）P为BC上的中点，求证：AB2－AP2=PB•PC；（2）若P为BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系。&
32．&在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,P是△ABC内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求∠BPC。（10分）&
33．&（12分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向240千米的B处有一台风中心，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以20千米/时的速度沿此偏东30°的方向往C移动，如图所示，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．（1）该城市是否受台风的影响？请说明理由（2）若会受到台风影响，那么台风影响城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
34．&下面材料，并解决问题：（1）如图10，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5则∠APB＝&&&&&& ，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌&&&&&&&&&&& 这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数。（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图11，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2．
35．&已知，如图2，在矩形ABCD中，P是边AD上的动点， 于E， 于F，如果AB=3，AD= 4，求 的值。&
36．&如图，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，求BC的长．&
37．& 如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m， AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积。
38．&（10分）如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10& 千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．&&& （1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；&&& （2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？
2012年全国各地中考数学汇编――勾股定理
1．&（2012广州市，7， 3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（&&&&& ）&& A．&&& B．&&&&&&&&&&& C．&&&&&&& D．&& 2．&（2012安徽，10，4分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（&&& ）A．10&&& B．&&&&&&&& C． 10或&&&&&&& D．10或 &
3．&(2012四川省南充市，14，4分) 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是24cm2，则AC长是_____________cm．4．&（2012山东省荷泽市，16（2）,6）（2）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10,OC=8，在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标．
5．&（2012贵州贵阳，8，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长（&&& ）A．3&&&&&&&&&&&&& B．2　&&&&&&&&& C．&&&&&&& 　　D．16．&（2012浙江省湖州市，5，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB= ，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（&&&&&&& ）A．20&&&&& B．10&&&&&& C．5&&&&&& D． 7．&（2012年四川省巴中市，15，3）已知 、 、 是 的三边长，且满足关系 ，则 的形状为&&&&&&&&&&& 。8．&（2012山东省青岛市，14，3）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为&&&&&&&&&& cm．9．&（2012，黔东南州，6）如图1，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（&&& ）A．（2，0）&&&&&&& B．（ ）&& C．（ ）&&& D．（ ）10．&（2012陕西 16，3分）如图，从点 发出的一束光，经 轴反射，过点 ，则这束光从点 到点 所经过路径的长为&&&&&&&&&& ．11．&（2012贵州黔西南州，18，3分）如图6，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为______________．&
12．&（2012贵州六盘水，23，12分）如图12，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD ；小丽沿河岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°。请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度。&文章来源莲 山课件 w ww.5 Y
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