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已知函数f（x）=2x+1的反函数是f-1（x），g（x）=log4（3x+1）（1）用定义证明f-1（x）在定义域上的单调性；（2）若f-1（x）≤g（x），求x的取值集合D．
（1）先求出反函数的解析式及定义域，在定义域内任取两个自变量 m＞n＞1，化简f-1（m）-f-1（n）的结果，把此结果和0作对比，依据单调性的定义做出判断．
（2）把解析式代入不等式，利用对数函数的单调性和定义域解此不等式．
（1）∵函数f（x）=2x+1，∴x=log2（f（x）-1），∴f-1（x）=log2（x-1） （x＞1），
设 m＞n＞1，f-1（m）-f-1（n...
考点分析：
考点1：反函数
考点2：函数单调性的判断与证明
【知识点的认识】&&&& 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，&当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．&&&&若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间．【解题方法点拨】&& 证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．&& 利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）=0，求其根．第三步：利用f′（x）=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】&&& 从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
考点3：其他不等式的解法
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某中学共有学生2000人，各年级男，女生人数如下表：一年级二年级三年级女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．（1）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？（2）已知y≥245，z≥245，求高三年级中女生比男生多的概率．
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函数y=lnx+1（x＞1）的反函数为&&&
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题型：解答题
难度：中等
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＞＞＞函数y=log2（x-1）的反函数是______．-数学-魔方格
函数y=log2（x-1）的反函数是______．
题型：填空题难度：中档来源：不详
把y看作常数，求出x：x-1=2y，x=2y+1，x，y互换，得到y=log2（x-1）的反函数：y=2x+1，x∈R，故答案为：y=2x+1，x∈R．
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设式子y=f（x）表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f（x）中解出x，得到式子x=（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=（y）就表示y是x的函数，这样的函数叫做y=f（x）的反函数，记作x=f-1（y），即x=（y）＝f-1（y），一般对调x=f-1（y）中的字母x，y，把它改写成y=f-1（x）。 反函数的一些性质：
（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性； （2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数； （3）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称，但要注意：函数y=f（x）的图象与其反函数x=（y）＝f-1（y）的图象相同。（对称性） （4）设y=f(x)与y=g(x)互为反函数，如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，那么点(b,a)在它的反函数y=g(x)的图像上。（5）函数y=f（x）的反函数是y=f-1（x），函数y=f-1（x ）的反函数是y=f（x），称为互反性，但要特别注意； （6）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f-1（x）的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上， 如与互为反函数且有一个交点是，它不再直线y=x上。 （7）还原性：。 求反函数的步骤：
（1）将y=f（x）看成方程，解出x=f-1（y）； （2）将x，y互换得y =f-1（x）； （3）写出反函数的定义域（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）； 另外：分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。
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493071522822765657570441591304568929高一数学对数函数教案(教师版)_百度文库
高一数学对数函数教案(教师版)
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
①若a?N(a?0,且a?1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x?logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：x?logaN?a?N(a?0,a?1,N?0)．
（2）几个重要的对数恒等式 xx
loga1?0，logaa?1，logaab?b．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e?2.71828…）．
（4）对数的运算性质
如果a?0,a?1,M?0,N?0，那么
①加法：logaM?logaN?loga(MN)
②减法：logaM?logaN?loga
nM N③数乘：nlogaM?logaM(n?R)
④alogaN?N n⑤logabM?nlogaM(b?0,n?R) b
2【例1】化简与求值：（1
）2?lg2?lg5?；（2
=lg22?lg2?lg5?lg2?1=lg2(lg2?2lg5?2)?1 4422
=lg2(lg100?2)?1?0?1?1. 4
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11【例2】若2a?5b?10，则? （教材P83 B组2题） ab
解：由2a?5b?10，得a?log210，b?log510. 则
解：（1）原式
=(lg2)2?lg2?
lg5lg22?lg2?lg5?1)
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函数f（x）=log4（x+1）的反函数f-1（x）=______．
题型：填空题难度：中档来源：上海
解；函数f（x）=log4（x+1）可得x+1=4y，x，y互换可得函数f（x）=log4（x+1）的反函数f-1（x）=4x-1故答案为：4x-1
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设式子y=f（x）表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y=f（x）中解出x，得到式子x=（y），如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=（y）就表示y是x的函数，这样的函数叫做y=f（x）的反函数，记作x=f-1（y），即x=（y）＝f-1（y），一般对调x=f-1（y）中的字母x，y，把它改写成y=f-1（x）。 反函数的一些性质：
（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性； （2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数； （3）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称，但要注意：函数y=f（x）的图象与其反函数x=（y）＝f-1（y）的图象相同。（对称性） （4）设y=f(x)与y=g(x)互为反函数，如果点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，那么点(b,a)在它的反函数y=g(x)的图像上。（5）函数y=f（x）的反函数是y=f-1（x），函数y=f-1（x ）的反函数是y=f（x），称为互反性，但要特别注意； （6）函数y=f（x）的图象与其反函数y=f-1（x）的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x上， 如与互为反函数且有一个交点是，它不再直线y=x上。 （7）还原性：。 求反函数的步骤：
（1）将y=f（x）看成方程，解出x=f-1（y）； （2）将x，y互换得y =f-1（x）； （3）写出反函数的定义域（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）； 另外：分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。
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& 学年高一数学北师大版必修一学案 3.5《对数函数》
学年高一数学北师大版必修一学案 3.5《对数函数》
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资料概述与简介
5　对数函数
1．对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a＞0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的底数，特别地，我们称以10为底的对数函数y＝lg x为常用对数函数；称以无理数e为底的对数函数y＝ln x为自然对数函数．
对数函数解析式的结构特征
在对数函数y＝logax中，logax的系数必须是1，对数的底数a是一个大于0而不等于1的常数，对数的真数仅有自变量x.有些函数貌似不是对数函数，实际上却是，如y＝2logax(a＞0，a≠1)，y＝log2都是对数函数，因为y＝2logax＝，y＝log2＝log2x＝log4x.
【例1】下列函数是对数函数的是________(填序号)．
(1)y＝4x；(2)y＝logx2；(3)y＝－log3x；(4)y＝；(5)y＝log(2a－1)x，且a≠1，x是自变量；(6)y＝log2(x＋1)．
解析：根据对数函数的定义，只有严格符合y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数．易知，(1)式是指数函数；(2)式中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；(3)式中y＝－log3x＝是对数函数；(4)式中y＝＝是对数函数；(5)中对数的底数2a－1是一个大于0且不等于1的常数，符合对数函数的定义；(6)中函数在对数的真数处不只有自变量x，而是关于x的表达式x＋1，故不是对数函数．由此可知只有(3)(4)(5)是对数函数．
答案：(3)(4)(5)
2．同底的指数函数y＝ax和对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的关系
指数函数y＝ax和对数函数x＝logay刻画的是同一对变量x，y之间的关系，所不同的是：在指数函数y＝ax中，x是自变量，y是x的函数，其定义域为R，值域是(0，＋∞)；在对数函数x＝logay中，y是自变量，x是y的函数，其定义域为(0，＋∞)，值域是R.像这样的两个函数叫作互为反函数，就是说，对数函数y＝logax是指数函数y＝ax的反函数，指数函数y＝ax也是对数函数y＝logax的反函数．
通常情况下，x表示自变量，y表示函数，所以对数函数应该表示为y＝logax(a＞0，a≠1)，指数函数表示为y＝ax(a＞0，a≠1)．因此，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)是对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的反函数；同时，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)也是指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数．
反函数是一种函数吗？
我们知道，一个学生不能说是同桌，同桌是两个学生之间的关系，不能独立存在．反函数也是如此，一个函数不能说是不是反函数，只有两个函数之间才能说是否具有反函数的关系，即反函数是两个函数之间的相互关系，且成对出现．例如，函数y＝log7x的反函数是y＝7x.同样，函数y＝7x的反函数是y＝log7x.
【例2－1】写出下列函数的反函数：
(1)；(2)y＝ln x；(3)；(4)y＝0.2x＋1.
解：(1)指数函数，它的底数是，它的反函数是对数函数.
(2)对数函数y＝ln x，它的底数是e，它的反函数是指数函数y＝ex.
(3)对数函数，它的底数是，它的反函数是指数函数.
(4)因为y＝0.2x＋1，即y－1＝0.2x，所以它的反函数是y＝log0.2(x－1)．
同底的指数函数与对数函数互为反函数
指数函数y＝ax的反函数是对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)；对数函数y＝logax的反函数是指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)，即同底的指数函数和对数函数互为反函数．
【例2－2】已知函数f(x)＝2x的反函数为g(x)，则g(2)＝________.
解析：指数函数f(x)＝2x的反函数是同底的对数函数g(x)＝log2x，故g(2)＝log22＝1.
3．对数函数y＝log2x的图像和性质
(1)画对数函数y＝log2x的图像，可以有两种不同的方法：①描点法；变换法：画出函数x＝log2y的图像，再变换为y＝log2x的图像．描点法是画函数图像的常规方法，其基本步骤是“列表—描点—连线”；由于指数函数y＝ax和对数函数x＝logay所表示的x和y这两个变量间的关系是一样的，因而函数x＝log2y和y＝2x的图像是一样的，通常用x表示自变量，把x轴、y轴的字母表示互换，就得到y＝log2x的图像，习惯上，x轴在水平位置，y轴在竖直位置，把图翻转，使x轴在水平位置，得到通常的y＝log2x的图像，其变换过程如下：
这种变换法经历了由指数函数到对数函数的过程，体现了两个函数间的关系．但是，也要看出，要画出给定的对数函数的图像，这种方法是不方便的，通常还是用描点法画图．
(2)观察对数函数y＝log2x的图像可知，函数y＝log2x有如下性质：图像恒过点(1,0)，即x＝1时，y＝0；函数图像都在y轴右边，表示零和负数没有对数；当x＞1时，y＝log2x的图像位于x轴上方，即x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＝log2x的图像位于x轴下方，即0＜x＜1时，y＜0；函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．
怎样根据函数的图像判断函数的性质？
函数图像含有函数的全部特征．它具有很强的直观性，我们要充分重视函数图像的应用，养成借助函数图像进行思考的习惯．函数图像的特征与性质的对应关系为：
(1)函数图像上所有点的横坐标的取值范围是函数的定义域．
(2)函数图像上所有点的纵坐标的取值范围是函数的值域．
(3)在区间I上，函数图像是上升的，说明函数在区间I上是增加的；函数图像是下降的，说明函数在区间I上是减少的．
(4)函数的图像关于原点对称，说明函数是奇函数；函数的图像关于y轴对称，说明函数是偶函数．
(5)函数的图像经过点(m，n)，说明f(m)＝n.
【例3－1】函数f(x)＝log2(1－x)的定义域为________．
解析：因为零和负数没有对数，即对数的真数应大于0，所以1－x＞0，即x＜1.
答案：(－∞，1)
【例3－2】函数y＝log2x，且f(m)＞0，则m的取值范围是(　　)．
A．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
解析：由函数y＝log2x的图像可知，若f(m)＞0，则实数m应落在1的右侧，即m的取值范围是(1，＋∞)．
【例3－3】设f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x，则当x＜0时，f(x)等于(　　)．
A．－log2x
B．log2(－x)
D．－log2(－x)
解析：f(x)是奇函数，
f(－x)＝－f(x)．
又当x＜0时，－x＞0，且当x＞0时，f(x)＝log2x，
x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)．
【例3－4】方程－log2x＝0的解的个数是(　　)．
解析：在同一坐标系中画出函数与y＝log2x的图像，如图所示．
由图知它们的图像有一个交点，即方程＝log2x仅有一个解，也就是方程－log2x＝0有一个解．
【例3－5】函数f(x)＝log2x在区间[a,2a](a＞0)上的最大值与最小值之差为________．
解析：f(x)＝log2x在区间[a,2a]上是增函数，
f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝log22a－log2a＝＝log22＝1.
4．对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图像与性质
对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)，在其底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图像和性质可以总结如下表．
a＞1 0＜a＜1
质 定义域 (0，＋∞)
定点 过点(1,0)，即x＝1时，y＝0
的变化 当x＞1时，y＞0，
当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0，
当0＜x＜1时，y＞0
单调性 是(0，＋∞)
上的增函数 是(0，＋∞)
上的减函数
对数函数图像和性质的记忆及其补充
1．对数函数图像和性质的助记口诀：
对数增减有思路，函数图像看底数，
底数只能大于0，等于1来也不行．
底数若是大于1，图像从下往上增，
底数0到1之间，图像从上往下减．
无论函数增和减，图像都过(1,0)点．
2．对数logax的符号判断：
当0＜x＜1,0＜a＜1或x＞1，a＞1时，logax＞0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax＞0，也就是为正数，简称为“同正”；
当0＜x＜1，a＞1或x＞1,0＜a＜1时，logax＜0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax＜0，即为负数，简称为“异负”．
因此对数的符号简称为“同正异负”．
3．同底的指数函数和对数函数的图像关于直线y＝x对称：这是因为函数y＝logax与函数y＝ax互为反函数，设对应于函数y＝logax图像上的任意一点为P(m，n)，则P点关于直线y＝x的对称点Q(n，m)总在函数y＝ax图像上；反之也成立；所以，函数y＝logax的图像与函数y＝ax的图像关于直线y＝x对称．
【例4－1】函数y＝logax的图像如图所示，则实数a可能取的值是(　　)．
解析：由图像得函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则a＞1.
【例4－2】函数f(x)＝lg(4－x2)的定义域为(　　)．
A．[－2,2]
B．(－2,2)
解析：由4－x2＞0，得x2＜4，即|x|＜2，所以－2＜x＜2，因此，函数f(x)＝lg(4－x2)的定义域为(－2,2)．
【例4－3】若＜1，那么a的取值范围是(　　)．
C．(1，＋∞)
解析：当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，若＜1，即＜logaa，则，此时a＞1；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，
若＜1，即＜logaa，则，此时0＜a＜.
综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．
【例4－4】为了得到函数的图像，只需要把函数y＝log3x的图像上所有的点(　　)．
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
解析：由对数的运算性质得＝log3(x－3)－log33＝log3(x－3)－1，所以，要得到函数，即y＝log3(x－3)－1的图像，只需把函数y＝log3x的图像向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．
5．对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的底数a对函数图像的影响
(1)一般地，当a＞b＞1时，函数y＝logax和y＝logbx的图像如图所示．
由图像可以看出：两个函数在(0，＋∞)上都是增函数：
当0＜x＜1时，总有logbx＜logax＜0；
当x＝1时，总有logax＝logbx＝0；
当x＞1时，总有logbx＞logax＞0；
对数函数的底数越小，当x＞1时，其函数值增长得越快．
(2)当0＜b＜a＜1时，函数y＝logax和y＝logbx的图像如图所示．
由图像可以看出：两个函数在(0，＋∞)上都是减函数；
当0＜x＜1时，总有logax＞logbx＞0；
当x＝1时，总有logax＝logbx＝0；
当x＞1时，总有logax＜logbx＜0；
对数函数的底数越大，当0＜x＜1时，其函数值减小得越快．
几个对数函数的底数的大小比较
由于对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图像与直线y＝1交点的横坐标为对数的底数a，所以，我们常作出直线y＝1，来比较同一直角坐标系中几个对数函数的底数
的大小．如图是四个对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx在同一直角坐标系中的图像，易知0＜c＜d＜1＜a＜b.可简记为：在第一象限内，对数函数的底数从左向右依次增大．
【例5】如图的曲线是对数函数y＝logax的图像，已知a的取值分别为，，，，则相应曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为(　　)．
解析：由底数对对数函数图像的影响这一性质可知，
C4的底数＜C3的底数＜C2的底数＜C1的底数．
故相应于曲线C1，C2，C3，C4的底数依次是，，，.故选A.
6．与对数函数有关的函数的定义域和值域的求法
(1)求函数的定义域，就是求使函数各部分都有意义的自变量的取值集合，涉及到对数的式子应满足底数大于0且不等于1和真数大于0两个条件．
(2)充分利用对数函数的单调性和图像是求对数函数值域的常用方法．对于求形如y＝logaf(x)(a＞0，a≠1)的复合函数的值域的步骤为：
①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；
求f(x)的定义域；
求u的取值范围，即f(x)的值域；
利用y＝logau的单调性求出y＝logaf(x)的值域．
若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．【例6－1】函数的定义域为________．
解析：要使函数有意义，
即0＜5x－3≤1，
因此，该函数的定义域为.
【例6－2】求函数y＝的值域．
解：设u＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8，
u≥8，函数在[8，＋∞)上是减函数，
函数y＝的值域为(－∞，－3]．7．对数值大小的比较方法
比较两个对数值的大小常用的方法有：
(1)单调性法：当对数式的底数相同时，可构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．如比较log31.9与log32的大小，可构造对数函数y＝log3x，因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数，1.9＜2，所以log31.9＜log32.
(2)图像法：当对数式的真数相同时，可在同一直角坐标系内画出相应的两个对数函数的图像，借助图像比较大小．如比较与的大小，可构造对数函数和，根据“在第一象限内，对数函数的底数从左向右依次增大”的特点，在同一直角坐标系内画出两个函数的图像如下，
易知，当x＝3时，＜.
(3)中间量法：当对数式的底数和真数都不相同时，则需要引入中间量进行比较，通常借助常数－1,0,1.如比较log23与log0.32的大小，因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32.
(4)分类讨论法：当底数与1的大小关系不确定时，对数函数y＝logax的单调性有两种情况，此时可结合底数与1的大小关系，分类讨论处理．如比较logaπ与loga3.141的大小．当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，π＞3.141，则有logaπ＞loga3.141；当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则有logaπ＜loga3.141，所以，综上可得，当a＞1时，logaπ＞loga3.141；当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.141.
8．简单的对数型不等式的解法
(1)当a＞1时，logaf(x)＞logag(x)f(x)＞g(x)＞0；
(2)当0＜a＜1时，logaf(x)＞logag(x)0＜f(x)＜g(x)．
以上是解简单的“同底型”对数不等式的基础．例如，解不等式log2(2x－1)＜log2(－x＋5)，根据对数函数y＝log2x的单调性以及真数必大于0的性质，可得到不等式组解得,【例7－1】若，b＝log43，，则a，b，c的大小关系为(　　)．
A．b＞a＞c　　　B．a＞b＞c　　　C．c＞a＞b　　　D．a＞c＞b
解析：因为函数在R上是减函数，所以，即a＞1；
因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，所以log44＞log43＞log41，即0＜b＜1；
因为函数在(0，＋∞)上是减函数，所以，即c＜0.因此a，b，c的大小关系为a＞b＞c.
【例7－2】比较下列各组数的大小．
(1)________；(2)log26________log36；
(3)log34________log43；(4)loga5.1________loga5. 9(a＞1)；
(5)logxa________logya(x＞y＞1,0＜a＜1)；
(6)loga(b2－b＋1)________(0＜a＜1)．
解析：(1)对数和的底数都是2，可构造对数函数y＝log2x，利用其单调性比较两个值的大小．由于函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，，故.
(2)对数log26和log36的真数相同，可在同一直角坐标系中画出相应的两个对数．
函数y＝log2x和y＝log3x的图像，由图像可知，log26＞log36.
(3)log34＞log33＝1，log43＜log44＝1，log34＞log43.
(4)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，5.1＜5.9，故loga5.1＜loga5.9.
(5)在同一直角坐标系中，画出函数f(t)＝logxt和g(t)＝logyt(x＞y＞1)的图像如下，易知，当t＝a(0＜a＜1)时，logxa＞logya.
(6)b2－b＋1＝，
又当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，
loga(b2－b＋1)＜.
答案：(1)＜　(2)＞　(3)＞　(4)＜　(5)＞　(6)＜
比较对数值的大小
比较对数值的大小，首先要看底数，底数相同时用单调性，不同时要找“桥梁”，如果底数为参数时要分类讨论．
【例8】已知＜1，那么a的取值范围是(　　)．
D．0＜a＜或a＞1
解析：因为logaa＝1，所以＜1＝logaa.
当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，原不等式等价于a＞，此时a＞1；即＜x＜2，所以原不等式的解集是.由此可以看出，解对数不等式通常转化为不等式组，其依据是对数函数的单调性，而且要遵循“定义域优先”原则．对于含有字母的对数不等式，应考虑分类讨论．②当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，原不等式等价于，此时0＜a＜.
综上可知，a的取值范围是0＜a＜或a＞1.
9．对数型函数的定点问题
由于loga1＝0(a＞0，a≠1)，即1的对数等于0，所以，对于对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)，不管其底数取任何大于0且不等于1的常数，其图像都过一个定点(1,0)．因此，讨论有关对数型函数的定点问题时，关键是确定真数等于1的条件．
一般地，函数g(x)＝klogaf(x)＋b(a＞0，a≠1，k，b是常数)．若f(m)＝1，则函数g(x)恒过定点(m，b)．【例9－1】函数y＝loga(3x－2)(a＞0，a≠1)的图像过定点(　　)．
A．　　　B．(1,0)　　　C．(0,1)　　　D．
解析：当3x－2＝1，即x＝1时，不论a如何变化都有y＝loga1＝0，故过定点(1,0)．所以选B.
【例9－2】函数f(x)＝loga(x＋1)－2(a＞0，a≠1)恒过定点P的坐标是________．
解析：对数函数y＝logax恒过定点(1,0)，即当x＝1时，无论a取何值(需a＞0，a≠1)必有loga1＝0.因此只要loga(x＋1)中x＋1＝1，即x＝0时，f(x)恒过定点P(0，f(0))，即(0，－2)．
答案：(0，－2)
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