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2015年普通高等学校招生全国统一考试全国卷I(数学理)
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2015年高考理科数学全国卷(新课标I卷)含答案(解析版)
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&&21年​高​考​理​科​数​学​,​全​国​卷​(​新​课​标​I​卷​)​,​含​答​案​(​解​析​版​)
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注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
已知集合｛，，｝，｛（）（）＜｝则（）
（）｛｝（）｛｝（）｛｝（）｛，，｝
【解析】由已知得，故，故选
（2）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（&&&& ）
&& （A）-1&&& （B）0&& （C）1&& （D）2
（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是(&&&&& )
逐年比较，年减少二氧化硫排放量的效果最显著
年我国治理二氧化硫排放显现
年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【解析】由柱形图得，从年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．
（4）等比数列｛an｝满足a1=3，&=21，则&(&&&&
（A）21&&&&& （B）42&&&&&& （C）63&&&& （D）84
（5）设函数,(&&&
（A）3&&&& （B）6&&&&&& （C）9&&&& （D）12
【解析】由已知得，又，所以，故
（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
（A）&&&&&&&
（B）&&&&&&
（C）&&&&&&
【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为．
（7）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则=
（A）2&&&&&
（B）8&&&&&&
（C）4&&&&&
（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=
A.0&&&&&&&&&&&&&&&
B.2&&&&&&&&&&& C.4&&&&&&&&&&&&&&&
【解析】程序在执行过程中，，的值依次为，；；；；；，此时程序结束，输出的值为2，故选B．
（9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为
A．36π&&& B.64π&&&
C.144π&&& D.256π
【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为
10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为
的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B．
（11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，?ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为
（A）√5&&& （B）2&&&& （C）√3&&& （D）√2
（12）设函数f’(x)是奇函数的导函数，f（-1）=0，当时，，则使得成立的x的取值范围是
（A）&&&&&&&&
（C）&&&&&&&
记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且．当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是
二、填空题
（13）设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．
【解析】因为向量与平行，所以，则所以．
（14）若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．
（15）的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．
【解析】由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．
（16）设是数列的前n项和，且，，则________．
【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．
三．解答题
（17）?ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，?ABD是?ADC面积的2倍。
(Ⅱ) 若=1，=求和的长.
(18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62& 73& 81& 92& 95& 85& 74&
64& 53& 76
&&& &&&&78&
86& 95& 66& 97& 78& 88& 82& 76& 89
B地区：73& 83& 62& 51& 91& 46& 53&
73& 64& 82
93& 48& 65& 81& 74& 56& 54& 76&
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
满意度评分
满意度等级
记时间：地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率
19．（本小题满分12分）
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（2）求直线AF与平面α所成的角的正弦值。
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（2）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。
21．（本小题满分12分）
（1）证明：在单调递减，在单调递增；
（2）若对于任意，都有，求m的取值范围。
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号
22．（本小题满分10分）
选修4 - 1：几何证明选讲
如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与ΔABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点。
（1）证明：EF∥BC；
（2）若AG等于⊙O的半径，且，求四边形EBCF的面积。
23．（本小题满分10分）
选修4 - 4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α & π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：。
（1）求C2与C3交点的直角坐标；
（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求的最大值。
24．（本小题满分10分）
选修4 - 5：不等式选讲
设a，b，c，d均为正数，且a + b = c + d，证明：
（1）若ab & cd；则；
（2）是的充要条件。
附：全部试题答案
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