已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．分析：（Ⅰ）求出f′（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f'（1）=0求出m与n的关系式；（Ⅱ）令f′（x）=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（Ⅲ）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f′（x）＞3m代入得到不等式即3m（x﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，又因为m＜0，分x=1和x≠1，当x≠1时g（t）=t﹣，求出g（t）的最小值．要使＜（x﹣1）﹣恒成立即要g（t）的最小值＞，解出不等式的解集求出m的范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+n．因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m﹣6（m+1）+n=0．所以n=3m+6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+3m+6=3m（x﹣1）[x﹣（1+）]当m＜0时，有1＞1+，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：由上表知，当m＜0时，f（x）在（﹣∞，1+）单调递减，在（1+，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（Ⅲ）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，∵m＜0．∴（x﹣1）[x﹣1（1+）]＜1．（*）10x=1时．（*）式化为0＜1怛成立．∴m＜0．20x≠1时∵x∈[﹣1，1]，∴﹣2≤x﹣1＜0．（*）式化为＜（x﹣1）﹣．令t=x﹣1，则t∈[﹣2，0），记g（t）=t﹣，则g（t）在区间[﹣2，0）是单调增函数．∴g（t）min=g（﹣2）=﹣2﹣=﹣．由（*）式恒成立，必有＜﹣?﹣＜m，又m＜0．∴﹣＜m＜0．综上10、20知﹣＜m＜0．点评：考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，利用导数研究函数极值和单调性的能力，以及掌握不等式恒成立的条件．天津市蓟县2013届高三第一次模拟检测数学（文）试题解析版答案
考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．分析：（Ⅰ）求出′（），因为是函数的极值点，所以得到（）求出与的关系式；（Ⅱ）令′（）求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（Ⅲ）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于即′（）＞代入得到不等式即（﹣）﹣（）]＞，又因为＜，分和≠，当≠时（）﹣，求出（）的最小值．要使＜（﹣）﹣恒成立即要（）的最小值＞，解出不等式的解集求出的范围．解答：解：（Ⅰ）′（）﹣（）．因为是（）的一个极值点，所以（），即﹣（）．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知′（）﹣（）（﹣）﹣（）]当＜时，有＞，当变化时（）与（）的变化如下表：由上表知，当＜时，（）在（﹣∞，）单调递减，在（，）单调递增，在（，∞）单调递减．（Ⅲ）由已知，得′（）＞，即（﹣）﹣（）]＞，∵＜．∴（﹣）﹣（）]＜．（）时．（）式化为＜怛成立．∴＜．≠时∵∈﹣，]，∴﹣≤﹣＜．（）式化为＜（﹣）﹣．令﹣，则∈﹣，），记（）﹣，则（）在区间﹣，）是单调增函数．∴（）（﹣）﹣﹣﹣．由（）式恒成立，必有＜﹣?﹣＜，又＜．∴﹣＜＜．综上、知﹣＜＜．点评：考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，利用导数研究函数极值和单调性的能力，以及掌握不等式恒成立的条件．相关试题已知x=1是函数f （x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m、n∈R，m＜0．（1）求m与n的关系_答案_百度高考
已知x=1是函数f （x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m、n∈R，m＜0．（1）求m与n的关系_答案_百度高考
数学 函数的极值与导数...
已知x=1是函数f （x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m、n∈R，m＜0．（1）求m与n的关系表达式；（2）求f （x）的单调区间；（3）当x∈（-1，1）时，函数y=f （x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．
第-1小题正确答案及相关解析知识点梳理
导数和函数的单调性的关系：&（1）若f′（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；&（2）若f′（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）>0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。
【求可导函数极值的步骤】（1）求导数f'\left({x}\right)&；（2）求f'\left({x}\right)=0的根；（3）检查f'\left({x}\right)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f\left({x}\right)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f\left({x}\right)在这个根处取得极小值．
在中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。其方法大致有： 1,一元二次方程根的判别式;
2,参数大于最大值或小于最小值;
3,变更主元利用函数与方程的思想求解。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1...”，相似的试题还有：
已知x=1是函数f(x)=x3-nx2+3(m+1)x+n+1(m、n∈R，m≠0)的一个极值点．(1)求m与n的关系表达式；(2)求函数f(x)的单调递增区间．
已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．(I)求m与n的关系表达式；(II)求f(x)的单调区间．
已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m≠0(1)求m与n的关系式；(2)求f(x)的单调区间；(3)设函数函数g(x)=\frac{1}{e}x2gex-\frac{1}{3}x3-x2，φ(x)=\frac{2}{3}x3-x2；试比较g(x)与φ(x)的大小．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为-3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
（1）如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是-1；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点M和点N分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点M，点N的距离相等？
解：（1）∵M，O，N对应的数分别为-3，0，1，点P到点M，点N的距离相等，
∴x的值是-1．
故答案为：-1；
（2）存在符合题意的点P，
此时x=-3.5或1.5．&&&&&&&
（3）设运动t分钟时，点P对应的数是-3t，点M对应的数是-3-t，点N对应的数是1-4t．
①当点M和点N在点P同侧时，因为PM=PN，所以点M和点N重合，
所以-3-t=1-4t，解得，符合题意．&&&&&&&
②当点M和点N在点P两侧时，有两种情况．
情况1：如果点M在点N左侧，PM=-3t-（-3-t）=3-2t．PN=（1-4t）-（-3t）=1-t．
因为PM=PN，所以3-2t=1-t，
此时点M对应的数是-5，点N对应的数是-7，点M在点N右侧，不符合题意，舍去．
情况2：如果点M在点N右侧，PM=（-3t）-（1-4t）=2t-3．PN=-3t-（1+4t）=t-1．
因为PM=PN，所以2t-3=t-1，
此时点M对应的数是-5，点N对应的数是-7，点M在点N右侧，符合题意．
综上所述，三点同时出发，分钟或2分钟时点P到点M，点N的距离相等．
（1）根据三点M，O，N对应的数，得出NM的中点为：x=（-3+1）÷2进而求出即可；
（2）根据P点在N点右侧或在M点左侧分别求出即可；
（3）分别根据①当点M和点N在点P同侧时，②当点M和点N在点P两侧时求出即可．}