高数求救 (以下2为平方)求下列方程所确定的隐函数y的二阶导数d2y/dx2：arc tany/x=ln√x2+y2,
曹丕wpIX38XU
我等号后面是ln，你给的是log,为什么答案会一样...
我打错了.. 应该是ln 哈哈
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因为y=(x-1)³所以y`=3(x-1)²y``=6(x-1)由y`=3(x-1)²=0解得函数驻点为x=1但是当x=1时,y``=6(x-1)在x=1处附近的符号是随着x的取值而变化的,所以函数y=(x-1)³在x=1处不存在极值.
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求解高数一道题得推理过程
这是对隐函数求二阶偏导数
sec怎么又变成tan了？
答：因为sec^2(x)=1+tan^2(x)
tan^2（x+y）怎么又变成y^2了
答：因为y=tan(x+y)所以现在tan^2 (x+y)=y^2
之后应该就看懂了吧
y'=(1+y^2)(1+y')
展开之后合并同类项之后就是你给的答案y'=-1/(y^2)-2
之后再求一次导得到y''然后用y'带入就是最后的那个答案了
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简单讲一下适合于非特殊形式自由项的常数变易法，【甚至适用于变系数非齐次线性微分方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)】。
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（一）填空题 1.limx?0x?sinx.答案：0 ?___________________x
x?0，在x?0处连续，则k?________.答案：1 ?x2?1,2.设f(x)???k,?
3.曲线y?x在(1,1)的切线方程是.答案：y?
211x? 224.设函数f(x?1)?x?2x?5，则f?(x)?____________.答案：2x
5.设f(x)?xsinx，则f??()?__________.答案：?
（二）单项选择题
1. 函数y?π2π 2x?1的连续区间是（
）答案：D 2x?x?2
A．(??,1)?(1,??)
B．(??,?2)?(?2,??)
C．(??,?2)?(?2,1)?(1,??)
D．(??,?2)?(?2,??)或(??,1)?(1,??)
2. 下列极限计算正确的是（
）答案：B A.limx
B.lim?x?0xx?1 C.limxsinx?01sinx?1
D.lim?1 x??xx
3. 设y?lg2x，则dy?（
）．答案：B
A．11ln101dx
D．dx 2xxln10xx
4. 若函数f (x)在点x0处可导，则(
)是错误的．答案：B
A．函数f (x)在点x0处有定义
B．limf(x)?A，但A?f(x0) x?x0
C．函数f (x)在点x0处连续
D．函数f (x)在点x0处可微
5.当x?0时，下列变量是无穷小量的是（
）. 答案：C
(三)解答题
1．计算极限 xsinx
C．ln(1?x)
x2?3x?2(x?2)(x?1)x?21?limlim?（1）lim
2x?1x?1x?1(x?1)(x?1)(x?1)x?12
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高等数学习题详解-第3章
导数与微分
习题 3-1 2 1．设某产品的总成本 C 是产量 q 的函数: C = q +1 ，求 (1) 从 q = 100 到 q = 102 时，自变量的改变量 ?q ； (2) 从 q = 100 到 q = 102 时，函数的改变量 ?C ； (3) 从 q = 100 到 q = 102 时，函数的平均变化率； (4) 总成本在 q = 100 处的变化率. 解：(1) ?q
=102-100=2,(2) ?C = C (102) ? C (100) =(102 +1)-(100 +1)=4042 2?C C (q0 + ?q ) ? C (q0 ) 404 = = = 202 . ?q ?q 2 (4) 总成本在 q = 100 处的变化率为 C (q ) ? C (100) q 2 ? 1002 = lim = lim (q + 100) = 200 q →100 q →100 q ? 100 q →100 q ? 100(3) 函数的平均变化率为lim2．设 f ( x ) = 2 x ，根据导数定义求 f ′(4) . 解 f ′(4) = limx→4f ( x) ? f (4) 2 x ?2 4 = lim x→4 x?4 x?4 2( x ? 2) 1 = lim = x → 4 ( x ? 2)( x + 2) 2 3．根据函数导数定义，证明 (cos x )′ = ? sin x.根据函数导数定义及“和差化积”公式，得证h sin cos( x + h) ? cos x h 2 = ? sin x . (cos x)′ = lim = ? lim sin( x + ) ? h →0 h →0 h h 2 2 4．已知 f ′( a ) = k ，求下列极限： f (a ? x) ? f (a) (1) x →0 x f (a + x) ? f (a ? x) (2) lim x →0 x f (a ? x ) ? f ( a ) f (a ? x) ? f (a) 解 (1) lim = ? lim = ? f ′(a ) = ? x →0 x →0 x ?x f (a + x) ? f (a ? x) f (a + x ) ? f ( a ) + f ( a ) ? f ( a ? x ) (2) lim = lim x →0 x →0 x x f ( a + x) ? f ( a ) f ( a ? x) ? f ( a ) = lim + lim = f ′(a ) + f ′(a ) = 2k x →0 x →0 x ?x f (2x) 5．已知 f (0) = 0. f ′(0) = 1 ，计算极限 lim . x →0 x f (2x) f (2x) ? f (0) 解 lim = 2 lim = 2 f ′(0) = 2 x →0 x →0 x 2x6．求下列函数的导数： (1) y = x ；5(2) y =x x；-1-(3) y = e ； (5) y = lg x ； 解(1) (2) (3) (4) (5)?x(4) y = 2x x(6) y = sin4π4( x )′ = 5 x5；3 43 ?1 ( x x )′ = ( x )′ = x 4 ； 4 ?x ?x ?1 (e )′ = e ln e = ?e? x ； (2 x e x )′ = [(2e) x ]′ = (2e) x ln(2e) = 2 x e x (ln 2 + 1) ; 1 (lg x)′ = ； x ln10(6) (sinπ4)′ = 0x&0 在 x = 0 处是否可导？如可导，求其导数. x≥0?sin x, 7．问函数 f ( x) = ? ? x,解f (0 + h) ? f (0) sin h = lim? = 1, h →0 h →0 h h f (0 + h) ? f (0) h f +′(0) = lim+ = lim+ = 1 , h →0 h →0 h h 所以，函数在 x = 0 处的可导，且 f ′(0) = 1 . f ?′(0) = lim?8．讨论函数考察 x = 0 处的左、右导数?? x, x ≤ 0 ? f ( x ) = ? 2 x, 0 & x & 1 ? 2 ? x + 1, x ≥ 1在点 x = 0 和 x = 1 处的连续性与可导性. 解 (1)考察 x = 0 处的左、右导数f ?′(0) = lim?f (0 + h) ? f (0) ?h = lim? = ?1, h →0 h →0 h h f (0 + h) ? f (0) 2h f +′(0) = lim+ = lim+ = 2, h →0 h →0 h h所以，函数在 x = 0 处不可导； 又 lim f ( x ) = lim f ( x ) = 0 = f (0) ,所以，函数在 x = 0 处连续. ? +x →0 x →0f ( x) ? f (1) 2x ? 2 = lim = 2, ? x →1 x →1 x ?1 x ?1 f ( x) ? f (1) ( x 2 + 1) ? 2 f +′(1) = lim = lim = 2, x →1+ x →1+ x ?1 x ?1 所以，函数在 x = 1 处的可导，且 f ′(1) = 2 . f ?′(1) = lim ?9．求等边双曲线 y =(2) 考察 x = 1 处的左、右导数1 ?1 ? 在点 ? ,2 ? 处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法 x ?2 ?线方程.-2-解由导数的几何意义，得切线斜率为k = y′x =3′ ?1? =? ? ?x?x =1/ 2=?1 x2x =1/ 2= ? 4.1? ? 所求切线方程为 y ? 2 = ?4? x ? ?, 即 4 x + y ? 4 = 0. 2? ? 1? 1? 法线方程为 y ? 2 = ? x ? ?, 即 2 x ? 8 y + 15 = 0. 4? 2?10．求曲线 y = ln x 在点 ( e,1) 处的切线与 y 轴的交点.解曲线 y = ln x 在点 ( e,1) 处的切线斜率为k = y′故切线方程为x =1?1? =? ? ?x?x=e=1 e1 y ? 1 = ( x ? e) . e 上式中，令 x = 0 ，得 y = 0 .所以，曲线 y = ln x 在点 ( e,1) 处的切线与 y 轴的交点为 ( 0, 0 ) .习题 3-21．求下列函数的导数： (1) y = x + 3 x ? sin x ；2(2) y =(3) s = (5) y =t sin t + ln 2 ；x6 + 2 x ? 1 ； x3 (4) y = x cos x ? ln xx +1 ex ； (6) y = 2 x ?1 x +1 解 (1) y ′ = 2 x + 3 ?(2) y′ = ( x )′ + 2( x3(3) (4)(5) (6))′ ? ( x ?3 )′ = 3x 2 + 5 x 2 ? 3x ?4 ; sin t s′ = ( t )′ sin t + t (sin t )′ + 0 = + 2 t y′ = x′ cos x ? ln x + x(cos x)′ ? ln x + x cos x(ln x)′ = cos x ? ln x ? x sin x ? ln x + cos x ( x + 1)′( x ? 1) ? ( x + 1)( x ? 1)′ ?2 y′ = = ； 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 2 ex (e x )′( x 2 + 1) ? ( x 2 + 1)′e x y′ = 2 = x +1 ( x 2 + 1) 2= e x ( x 2 + 1) ? 2 xe x ( x ? 1) 2 e x = 2 . ( x 2 + 1) 2 ( x + 1) 2；?5 2?72．求下列函数在给定点处的导数： (1) y = x arccos x, 求 y′x= 1 2(2)ρ = θ tan θ + sec θ ，求dρ dθθ=π4;-3-(3) f ( x) = lne3 x ，求 f ′(0) . e3 x + 1x 1 ? x2解 (1) y ′ = x′ arccos x +x (arccos x )′ = arccos x ?y′1 x= 21 = arccos ? 21 2 1? 1 4=π3?1 3(2)dρ = tan θ + θ sec 2 θ + sec θ tan θ dθθ= π4dρ dθ= 1+π4? 2 + 2 ?1 = 1+ 2 +π2(3) f ( x ) =代入原曲线方程都有： y = 2 ，故所求点为： (1, 2 ) 或 ( -1, 2 ) . 4．求下列函数的导数： (1) y = ln sin x ；(3) y = ( x + cos x ) ；2 33 1 3 3 x ? ln(e3 x + 1) ， f ′( x) = ? 3x 2 2 2 2(e + 1) 3 3 3 故 f ′(0) f ′(0) = ? = 2 2(1 + 1) 4 3 3．曲线 y = x ? x + 2 上哪一点的切线与直线 2x ? y ? 1 = 0 平行？ 2 解 y′ = 3 x 2 ? 1 ,令 y ′ = 2 ，即 3 x ? 1=2 ，得 x =1 或 x =-1 ，(2) y = ( x ? 1) ；3 10(4) y = ln3x?2(5) y = sin x ? sin x ；2 2x2 + 1 2 (6) y = tan[ln(1 + x )] ；x；(7) y = 2sin1 x;(8) y = e ln x ；(9) y = ln( x +x2 + a 2 ) ；x 2 a2 x 2 a ? x + arcsin (a & 0) (10) y = 2 2 a 1 cos x 解(1) y ′ = ? ( sin x )′ = = cot x ； sin x sin x 3 9 3 2 3 9 (2) y′ = 10( x ? 1) ( x ? 1)′ = 30 x ( x ? 1) ； 2 2 2 (3) y′ = 3( x + cos x ) ( x + cos x )′ = 3( x + cos 2 x)2 (1 + 2 cos x ? (? sin x)) = 3( x + cos 2 x) 2 (1 ? sin 2 x) ； 1 1 = ln( x ? 2) ? ln( x 2 + 1) 2 x2 + 1 3 1 1 1 1 x y′ = ? ( x 2 + 1)′ = ? 2 ; 2 3( x ? 2) 2 x + 1 3( x ? 2) x + 1 2 2 2 (5) y′ = 2sin x cos x ? sin x + sin x ? cos x ? 2 x(4) y = ln3x?2= sin 2 x ? sin x 2 + 2 x sin 2 x ? cos x 2 ；-4-(6) y′ = sec [ln(1 + x )] ? [ln(1 + x )]′2 2 2= sec [ln(1 + x )] ?2 2 sin 1 x1 2x (1 + x 2 )′ = sec 2 [ln(1 + x 2 )] ； 2 2 1+ x 1+ xsin 11 sin 1 1 1 2 x ln 2 1 (7) y′ = 2 ln 2 ? (sin )′ = 2 x ln 2 ? cos ( )′ = ? 2 x x x x x x x x x x′ ln x ? x(ln x)′ ln x ? 1 ln x (8) y ′ = e ln x ( )′ = e ln x = e ； ln x ln 2 x ln 2 x 1 1 ( x 2 + a 2 )′ 2 2 ′= ′= (9) y (x + x + a ) (1 + ) x + x2 + a2 x + x2 + a2 2 x2 + a 2 1 x 1 = (1 + )= ； x + x2 + a2 x2 + a2 x2 + a2 1 2 x2 a2 1 1 a ? x2 ? + (10) y′ = 2 2 2 a2 ? x2 2 x a 1? 2 a 2 2 1 2 x a 1 2 2 = a ? x2 ? + = a ?x . 2 2 2 2 2 2 a ?x a ?x5．已知 f (u ) 可导，求下列函数的的导数：(1) y = f (cscx ) ； (2) y = f (tan x ) + tan[ f ( x )] .解(1) y′ = f ′(cscx ) ? (cscx )′ = ? f ′(cscx ) ? cscx ? cot x2(2) y′ = f ′(tan x) ? (tan x )′ + sec [ f ( x )] ? f ′( x ) = sec x ? f ′(tan x ) + sec [ f ( x )] ? f ′( x) .2 2习题 3-3dy ： dx 4 4 (1) x ? y = 4 ? 4 xy ； (2)； y sin x + cos( x ? y ) = 0 ; y 2 2 x y (3) e ? e ? sin xy = 0 ； (4) arctan = ln x + y . x1．求下列由方程所确定的隐函数 y = y ( x ) 的导数解(1)方程两边同时对自变量 x 求导，得dy dy = ?4 y ? 4 x , dx dx dy dy x 3 + y 3 整理得 ( y ? x ) = x 3 + y ,故 = ； dx dx y 3 ? x dy dy (2) y cos x + sin x ? ? sin( x ? y ) ? (1 ? ) = 0 dx dx dy sin( x ? y ) ? y cos x 整理求得 = dx sin( x ? y ) + sin x dy x y dy (3) e ? e ? cos xy ( y + x ) = 0 dx dx x dy e ? y cos xy 求得 = dx e y + x cos xy 4 x3 ? 4 y3-5-1 xy′ ? y 1 1 . = (2 x + 2 yy′) y 2 2 x2 + y 2 x2 1+ ( ) x xy′ ? y x + yy′ = 整理求得 2 x + y 2 x2 + y 2 dy x + y 故 = . dx x ? y 2．求曲线 x 3 + 3 xy + y 3 = 5 在点 (1,1) 处的切线方程和法线方程.(4) 解 方程两边同时对自变量 x 求导，得3 x 2 + 3 y + 3 xy′ + 3 y 2 y′ = 0 dy y + x2 解得 =? 2 ， dx y +x 在点 (1,1) 处， y′ (1,1) = ?1 ，于是，在点 (1,1) 处的切线方程为 y ? 1 = ?1( x ? 1) ，即 x + y ? 2 = 0 , 法线方程为 y ? 1 = 1( x ? 1) 即 y = x .3．用对数求导法求下列各函数的导数 (1) y = x sin x ( x & 0) ； (3) y =dy : dx (2) y = x a + a x + x x ；(4) (sin x ) y = (cos y ) x .( x ? 1)( x ? 2) ； ( x ? 3)( x ? 4)解 (1)等式两边取对数 两边对 x 求导得ln y = sin x ? ln x1 1 y′ = cos x ? ln x + sin x ? , y x dy 1? ? 故 = x sin x ? cos x ? ln x + sin x ? ? . dx x? ? ′ a ?1 x x (2) y′ = ax a ?1 + a x ln a + x x = ax + a ln a + x x ? ln x + 1( )()1 [ln( x ? 1) + ln( x ? 2) ? ln( x ? 3) ? ln( x ? 4)] 2 1 1? 1 1 1 1 ? y′ = ? + ? ? ? y 2 ? x ?1 x ? 2 x ? 3 x ? 4 ? 1 ( x ? 1)( x ? 2) ? 1 1 1 1 ? 得 y′ = + ? ? ? ?. 2 ( x ? 3)( x ? 4) ? x ? 1 x ? 2 x ? 3 x ? 4 ? (4) y ln sin x = x ln cos y y′ ln sin x + y cot x = ln cos y ? x tan y ? y′ dy ln cos y ? y cot x = dx x tan y + ln sin x dy 4．求下列参数方程所确定的函数的导数 ： dx(3) y =-6-3 2 ? y = 1? t ? y = a sin θ dy y′(t ) ?2t 解 (1) = = dx x′(t ) 1 ? 2t dy y′(θ ) 3a sin 2 θ ? cos θ (2) = ? tan θ = = dx x′(θ ) 3a cos 2 θ ? (? sin θ ) ? x = 6 cos t π 5．求椭圆 ? 在 t = 相应点处的切线方程. 4 ? y = 4sin t(1) ??x = t ? t2；(2) ?? x = a cos3 θ.解dy y′(t ) ( 4sin t )′ 4 cos t 2 = = = = ? cot t . dx x′(t ) ( 6 cos t )′ ?6sin t 3t=π4时，切线斜率为dy dxt=π42 π π = ? ， x( ) = 3 2 ， y ( ) = 2 2 . 3 4 4故所求切线方程为2 y ? 2 2 = ? ( x ? 3 2) . 3习题 3-41．求函数 y = x 当 x 由 1 改变到 1.005 的微分.2解 因为 dy = y ′dx = 2xdx, 由题设条件知x = 1 ， dx = ?x = 1.005 ? 1 = 0.005 故所求微分为 dy = 2 × 1× 0.005 = 0.01. 2．求函数 y = sin 2 x 在 x = 0 处的微分.解 所求微分为dy = (sin 2 x)′ x = 0 dx = 2 cos 2 x x =0 dx = 2dx 3．求下列各微分 dy : sin 2 x (1) y = e3 x cos x ； (2) y = ； x2(3) y = ln(1 + e? x2)；(4) y = arctan 1 + x 2 ； (6) xy 2 + x 2 y = 1 .(5) e xy = 3 x + y 2 ；3x 3x解 (1) dy = cos xd(e3 x ) + e3 x d(cos x ) = cos x ? 3e dx ? e ? sin xdx = e3 x (3cos x ? sin x )dx ；x 2 d sin 2 x ? sin 2 xdx 2 2 x 2 cos 2 xdx ? 2 x sin 2 x = dx x4 x4 2( x cos 2 x ? sin 2 x) = dx ； x3 2 1 2 xe? x ? x2 (3) dy = )=? 2 d(1 + e 2 dx ； 1 + e? x 1 + e? x 1 d 1 + x2 (4) dy = = d(1 + x 2 ) 2 2 2 2 1+ ( 1+ x ) (2 + x )2 1 + x(2) dy =-7-=xdx (2 + x 2 ) 1 + x 2;(5)方程两边对求微分e xy ( xdy + ydx) = 3dx + 2 ydy . xy xy 整理得 ( xe ? 2 y )dy = (3 ? ye )dx解得3 ? ye xy dy = xy dx ； xe ? 2 yy 2 dx + 2 xydy + 2 xydx + x 2 dy =0 .(6) 方程两边对求微分 整理得 (2 xy + x )dy = ?( y + 2 xy )dx2 2解得dy = ?0.032 xy + y 2 dx x 2 + 2 xy(2)54．计算下列各数的近似值: (1) e ；30 .解(1) e (2)50.03≈ 1 + 0.03 =1.03；30 = 5 32 ? 2 = 5 32(1 ?1 1 1 1 ) = 25 1? ≈ 2(1 ? ? ) =1.975. 16 16 5 165．在下列等式的括号中填入适当的函数, 使等式成立. (1) d( ) = 3 (2) d( ) = 2) = sin ωtdt ； 解(1) 3x + 2 (2) x + 1 (3) ? cos ωt ；(3) d( (4) d(cos x 2 ) = ?2 x sin x 2 dx(4) d(cos x 2 ) = ()d( x ) .ωdx 即 dx = 2 xd( x ) ， 2 x 故 d(cos x 2 ) = ?4 x x sin x 2 d( x ) . 习题 3-51．求下列函数的二阶导数： (1) y = x 3 + 8 x ? cos x ； (3) y = xe ；x2d( x ) =1(2) y = (1 + x 2 ) arctan x ； (4) y = x x .解(1) y′ = 3x 2 + 8 + sin x , y ′′ = 6 x + cos x ；2x ； 1 + x2 x2 2 x2 x2 x2 2 x2 x2 2 (3) y ′ = e + 2 x e , y′′ = 2 xe + 4 xe + 4 x e = 2 xe (3 + 2 x ) ； 1 (4) ln y = x ln x , y ′ = ln x + 1 , y ′ = x x (ln x + 1) y x y′′ = ( x )′(ln x + 1) + x x (ln x + 1)′ = x x (1 + ln x) 2 + x x ?1(2) y ′ = 2 x arctan x + 1 , y′′ = 2 arctan x + 2. 验证函数 y = C1e + C2 e2x?3 x(其中 C1 , C2 为任意常数)满足方程-8-y′′ + y′ ? 6 y = 0 .证： y′ = 2C1e -3C2 e2x ?3 x, y′′ = 4C1e + 9C2 e2x?3 x(4C1e 2x + 9C2 e ?3 x ) + (2C1e2x -3C2 e ?3 x ) ? 6(C1e 2x + C2 e ?3 x ) = 0 . 3．设函数 y = f ( x) 二阶可导，求下列函数的二阶导数：(1) y = f (sin x ) ； 解 (1)求导数 (2) y = x 2 f (ln x) .dy = f ′(sin x) ? (sin x)′ = cos x ? f ′(sin x) ，于是 dxd2 y = ( cos x)′ ? f ′(sin x) + cos x ? f ′′(sin x) ? ( sin x)′ dx 2 2 = cos x ? f ′′(sin x ) ? sin x ? f ′(sin x ) dy (2) = 2 xf (ln x) + xf ′(ln x) dx d2 y = 2 f (ln x) + 2 f ′(ln x) + f ′(ln x) + f ′′(ln x) = 2 f (ln x) + 3 f ′(ln x) + f ′′(ln x) . dx 2 d2 y 4．对下列方程所确定的函数 y = y (x) 求 2 ： dx y 2 2 y 2 (1) e + xy = e ； (2) ln x + y = arctan . x解 (1)方程两边对 x 求导e y y′ + y + xy′ = 0得y′ = ?y . e +xy因此求得d2 y y′(e y + x) ? y (e y ? y′ + 1) =? dx 2 (e y + x ) 2 y ?y ? y (e y + x ) ? y (e y ? y + 1) e +x =? e + x (e y + x ) 2=2 xy + 2 ye y ? y 2 e y ； (e y + x)3 1 ( x + yy′) = 2 x + y2 1 xy′ ? y y 2 x2 1+ 2 x(2) 方程两边对 x 求导得y′ =x+ y . x? y因此求得d 2 y (1 + y′)( x ? y ) ? ( x + y )(1 ? y′) = dx 2 ( x ? y)2=2( x 2 + y 2 ) ( x ? y )3-9-5．对下列参数方程所确定的函数 y = y (x) 求(1) ?d2 y ： dx 2? x = t 2 ? 2t ? (t ≠ 1) ； 3 ? y = t ? 3t ?? x = a(t ? sin t ) (2) ? . ? y = a (1 ? cos t )dy y′(t ) 3t 2 ? 3 3 = = = (t + 1) . dx x′(t ) 2t ? 2 2 3 (t + 1)′ 2 d y 2 3 故 = = ； 2 dx 2t ? 2 4(t ? 1)解(1)(2)dy y′(t ) a (1 ? cos t )′ sin t = . = = dx x′(t ) a ( t ? sin t )′ 1 ? cos tsin t ( )′ d2 y 1 ? cos t = 故 dx 2 a(1 ? cos t ) cos t (1 ? cos t ) ? sin t ? sin t 1 (1 ? cos t ) 2 = ? (t ≠ 2nπ , n ∈ Z ). a (1 ? cos t ) 2 a (1 ? cos t )6．求下列函数的 n 阶导数： (1) y = sin x ； 1 (3) y = 2 ； x ?12(2) y = ln( x + 1) ；(4) y = x( x + 1)( x + 2)L ( x + n) .解(1) (sin x )1 ? cos 2 x ( n ) =( ) 2 1 ? cos 2 x 1 1 π? ? ( )′ = ? ? 2(? sin 2 x) = ? ? 2 cos ? 2 x + ? , 2 2 2 2? ?2 (n)1 + cos 2 x 1 ? π ?? 1 π π? ? ? ( )′′ = ? ? 2 2 ? ? sin ? 2 x + ? ? = ? ? 22 cos ? 2 x + + ? , 2 2 2 ?? 2 2 2? ? ? ? 1 + cos 2 x ( n ) nπ (sin 2 x)( n ) = ( ) = ?2n ?1 cos(2 x + ) ； 2 2 1 (2) [ ln( x + 1) ]′ = x +1 1 2 (3) , [ ln( x + 1) ] = [ ln( x + 1)]′′ = ? 2 ( x + 1) ( x + 1)3 (n ? 1)! (n) ； [ ln( x + 1)] = (?1)n?1 ( x + 1) n 1 1 1 1 (3) y = 2 = ( ? ), x ?1 2 x ?1 x + 1 ? (?1)n n ! ? 1 1 (n) 故y = ? ( x ? 1) n +1 ? ( x + 1) n +1 ? ; 2 ? ?(4) y = x ( x + 1)( x + 2) L ( x + n) = xn +1+ (1 + 2 + L + n) x n + L- 10 -y ( n ) = (n + 1)! x +n(n + 1) n n ! = ( x + )(n + 1)! 2 2 复习题 3（A）1．已知 f ′( x0 ) = k ( k 为常数)，则f ( x0 + 2?x) ? f ( x0 ) = ; ?x → 0 ?x 1 (2) lim n[ f ( x0 + ) ? f ( x0 )] = n →∞ n f ( x0 + h) ? f ( x0 ? 2h) (3) lim = . h →0 h 1.解 (1)2 (2) (3) 3 k . f ( x0 + 2?x) ? f ( x0 ) f ( x0 + 2?x) ? f ( x0 ) (1) lim = 2 lim =2 ?x → 0 ?x → 0 2?x ?x 1 f ( x0 + ) ? f ( x0 ) 1 n (2) lim n[ f ( x0 + ) ? f ( x0 )] = lim = n →∞ n →∞ 1 n n f ( x0 + h) ? f ( x0 ? 2h) f ( x0 + h) ? f ( x0 ) + f ( x0 ) ? f ( x0 ? 2h) = lim (3) lim h →0 h →0 h h f ( x0 + h) ? f ( x0 ) f ( x0 ? 2h) ? f ( x0 ) = lim + 2 lim =3 k . h→0 h →0 h ? 2h 2．函数 y = f (x) 在点 x0 处的左导数 f ?′( x0 ) 和右导数 f +′( x0 ) 都存在，是 f ( x ) 在 x0 可导(1) lim 的() A. 充分必要条件； B. 充分但非必要条件； C. 必要但非充分条件； D. 既非充分又非必要条件. 2 ． C. f ( x ) 在 x0 可导的充分必要条件是 f ?′( x0 ) 和 f +′( x0 ) 都必须存在且相等； 答 反之， 3．函数 f ( x) = sin x 在 x = 0 处 (A. 可导； C. 不连续； )f ?′( x0 ) 和 f +′( x0 ) 都存在，不能保证 f ( x) 在 x0 可导.B. 连续但不可导； D. 极限不存在.3．答 B. 函数 f ( x) = sin x 在 x = 0 连续；但 f ?′(0) = ?1 ≠ f +′(0) = 1 ，故 f ( x) = sin x在 x = 0 不可导. 4．设 f ( x ) 对定义域中的任意 x 均满足 f ( x + 1) = mf ( x ) ，且 f ′(0) = n 则必有 ( ) A. f ′(1) 不存在； B. f ′(1) = m ；C. f ′(1) = n ； D. f ′(1) = mn . 4．答 D. f ′(1) = limf (1 + h) ? f (1) h →0 h mf (h) ? mf (0) f (h) ? f (0) = lim = m lim h →0 h →0 h h = mf ′(0) = mn5．解答下列各题： (1) 设 y =sin x 2 + ln 2 ，求 y′ ；- 11 -(2) 设 y = x + a + x + a ( a & 0, a ≠ 1) ，求a x x a 2 2x (3)设 y = x ? f (e ) ， f (u ) 可导，求 dy ；dy ； dxdy ?b? ?a? ?x? (4) y = ? ? ? ? ? ? ，求 ； dx ?a? ? x? ?b? (5) 求曲线 xy ? sin( x + y ) = 0 在点 (π ， 的切线与法线方程; 0)(6) 已知函数 y = y (x) 由方程 ?xba? x = a cos 3 t3 ? y = a sin t (7) 设 f ′(sin x ) = cos 2x + csc x ，求 f ′′( x ) ;确定，求dy d 2 y ， ; dx dx 2x3 (n ) (8) 设 y = ，求 y ( n ≥ 3) . x +1 (sin x 2 )′ 2 x cos x 2 2 2 = 5.解(1) y ′ = = x ? cot x ? sin x 2 2 2 sin x 2 sin x a ?1 x x (2) y ′ = ax + a ln a + ( x )′由对数求导法，可求得 (x x )′ = x x (1 + ln x ) 故 y ′ = ax a ?1 + a x ln a + x x (1 + ln x ) ；(3) dy = 2 xdx ? f (e ) + x ? f ′(e )de2x 2 2x 2x 2 2x 2x= 2 xf (e )dx + x ? f ′(e ) ? 2e dx2x? f ′(e2 x )]dx ； b 1? ? (4)取对数 ln y = ? x ln + b(ln a ? ln x ) + a (ln x ? ln b) ? 2? a ? 1 1? b b a? 两边求导 y′ = ? ln ? + ? y 2? a x x?= 2x[ f (e ) + xe2x 2x? b ? ? a ? ? x ? 1 ? b a?b ? 故 y ′ = ? ? ? ? ? ? ? ? ln + ? x ? ?a? ? x? ?b? 2? a (5) 两边求导 y + xy ′ ? cos( x + y )(1 + y ′) = 0 cos( x + y ) ? y ?1 得 y′ = ，故 y ′ (π， = 0) x ? cos( x + y ) π +1 1 因此切线方程为 y = ? (x ? π ) ,法线方程为 y = (π + 1)( x ? π ) ; π +1 dy y′(t ) 3a sin 2 t ? cos t (6) = = = ? tan t dx x′(t ) 3a cos 2 t ? (? sin t ) d2 y (? tan t )′ ? sec2 t sec 4 t = = = ； dx 2 3a cos 2 t ? (? sin t ) 3a cos 2 t ? (? sin t ) 3a sin t 1 2 (7) 由 f ′(sin x ) = cos 2x + csc x = 1 ? 2 sin x + sin x 1 2 知 f ′( x ) = 1 ? 2 x + x 1 故 f ′′( x ) = ?4x ? 2 ; xx b a- 12 -x3 x3 ? 1 + 1 1 = = x2 ? x + 1 + x +1 x +1 x +1 n +1 (?1) ? n ! y (n ) = (n ≥ 3) . ( x + 1)n ?ax + b, x & 1 6．设函数 f ( x) = ? 2 在 x = 1 处可导，求 a, b 的值. x ≥1 ?x , 2 6．解：因可导必连续，所以 lim (ax + b) = lim x = 1 ,得 a + b = 1 ? +(8) y =x →1 x →1考察 x = 1 处的左、右导数f ( x) ? f (1) ax + b ? 1 ax ? a = lim = lim =a x →1? x →1? x ? 1 x ?1 x ?1 f ( x) ? f (1) x2 ?1 ′(1) = lim f+ = lim = 2, x →1+ x →1+ x ? 1 x ?1 所以，得到 a = 2, b = ?1 . 7. 设函数 g ( x ) 在 x = a 点连续, 且 f ( x ) = ( x ? a ) g ( x ) , 证明 f ( x ) 在 x = a 的可导， 并 求出 f ′( a ) . 7.证:因 g ( x ) 在 x = a 点连续,故 lim g ( x) = g ( a ) ，f ?′(1) = lim ?x →1x →af ( x ) ? f (a ) ( x ? a) g ( x) ? 0 = lim = lim g ( x) = g (a ) x →a x →a x →a x?a x?a ′(a ) = g (a ) 故 f ( x ) 在 x = a 的可导， f又 lim 8．验证函数 y = C1e 8．证：因 y′ =x+ C2 e? x (其中 C1 , C2 为任意常数)满足方程 4 xy′′ + 2 y′ ? y = 0 .x1 2 xx(C1e? C2 e ? x ) , 1 (C1e 4xxy′′ = ?1 (C1e 4x x? C2 e ? x ) ++ C2 e ? x )故 4 xy ′′ + 2 y ′ ? y = 4 x ? ?1 1 ? (C1e x ? C2 e ? x ) + (C1e x + C2 e? x ) ? 4x ? 4x x ? ? 1 ? +2 ? (C1e x ? C2 e ? x ) ? ? C1e x + C2 e ? x = 0 ?2 x ? 2x ?3 x (4C1e + 9C2 e ) + (2C1e2x -3C2 e ?3 x ) ? 6(C1e 2x + C2 e ?3 x ) = 0 .?()（B） 1. 设函数 f ( x ) 在 x = 0 连续，下列命题错误的是( A. 若 lim)f ( x) 存在，则 f (0) = 0 ； x →0 x f ( x) B. 若 lim 存在，则 f ′(0) 存在； x →0 x f (2 x) + f ( x) C. 若 lim 存在，则 f (0) = 0 ； x →0 x f ( x) ? f (? x) D. 若 lim 存在，则 f ′(0) 存在. x →0 x1.答：D.- 13 -A. 正 确 ， 因 为 limx →0f (0) = lim f ( x)=0 ；x →0f ( x) 存 在 ， 则 lim f ( x )=0 ， 又 f ( x ) 在 x = 0 连 续 ， 所 以 x →0 xB.正确，因为若 limx →0f ( x) f ( x) ? f (0) f ( x) 存在，则 f ′(0) = lim = lim 存在； x →0 x →0 x x x f (2 x) + f ( x) C.正确，因若 lim 存在， x →0 x 则 lim f (2 x) + f ( x)］ lim f (2 x) + lim f ( x)=2f (0) = 0 ,故 f (0) = 0 ； ［ =x →0 x →0 x →0D.错，如 f ( x) = x , limx →0f ( x) ? f (? x) = 0 ，但 f ′(0) 不存在. x，则 f ′(t ) =2. 若 f (t ) = lim t (1 + )x →∞2t1 x2 tx.2. (1 + 2t )e ， f (t ) = lim t (1 + )x →∞1 x2 tx= te2 t ,所以 f ′(t ) = (te 2t )′ = (1 + 2t )e 2t .x →03．设周期函数 f ( x) 在 ( ? ∞,∞ ) 周期为 3，且 lim 在点 (4,f (4)) 的切线斜率为 3． -3，f (1) ? f (1 ? x) = 1 ，则曲线 y = f (x) 3x.=f ( x + 4) ? f (4) f ( x + 1) ? f (1) f (1) ? f ( x + 1) = ? lim = lim x →0 x →0 x x x f (1) ? f (1 ? t ) f (1) ? f (1 ? x) = lim = ?3lim = ?3 , x →0 x →0 3x ?t ( x ? 1)( x ? 2) L ( x ? 10) 4. 已知 f ( x ) = ，求 f ′(1) . ( x + 1)( x + 2) L ( x + 10) ( x ? 1)( x ? 2) L ( x ? 10) f ( x) ? f (1) ( x + 1)( x + 2) L ( x + 10) 4. 解： f ′(1) = lim = lim x →1 x →1 x ?1 x ?1 ( x ? 2) L ( x ? 10) ?1 ? (?2) L (?9) 1 = lim = =? x →1 ( x + 1)( x + 2) L ( x + 10) 2 ? 3L 9 ?10 ?11 110 xf (a ) ? af ( x) 5.设 f ′( a ) 存在，求 lim . x →a x?a xf (a ) ? af ( x) xf (a ) ? af (a ) + af (a ) ? af ( x) = lim 5. 解： lim x →a x→a x?a x?a f ( x) ? f (a) = f (a ) ? a lim = f ( a ) ? af ′(a ) x →a x?a 6. 设 f ( x ) = max{x, x } ，在区间 (0， 内求 f ′( x ) . 2) f ′(4) = limx →06. 解： f ( x ) = max{x, x } = ?? x, 0 & x ≤ 1 ? , ? x, 1 & x & 2 ? 1 1 = , x +1 2考察 x = 1 处的左、右导数f ?′(1) = lim ?x →1f ( x) ? f (1) x ?1 = lim = lim ? x →1 x ?1 x ? 1 x →1?- 14 -f +′(1) = lim +x →1所以，函数在 x = 1 处不可导.故所求导数为：f ( x) ? f (1) x ?1 = lim = 1, + x →1 x ? 1 x ?1?1 2 x , 0 & x & 1 ? f ′( x) = ? 1& x & 2 ?1, ?7. 设函数 g ( x ) 在 x = x0 点连续, 且 f ( x) = x ? a g ( x) , 讨论 f ( x ) 在 x = x0 的可导性. 7. 解： f ′( x0 ) = limx → x0x ? x0 g ( x) f ( x) ? f ( x0 ) = lim x → x0 x ? x0 x ? x0 x ? x0 x ? x0x → x0(1)若 g ( x0 ) ≠ 0 ，则 g ( x0 ) lim不存在，此时 f ( x ) 在 x = x0 不可导(2)若 g ( x0 ) = 0 ，则 f ′( x0 ) = limx ? x0 g ( x) x ? x0x → x0= 0 ，此时 f ( x) 在 x = x0 可导.8. 验证下列命题： (1) 若定义在 ( ? ∞,∞ ) 内以周期为 T 的周期函数 f ( x ) 可微，则 f ′( x ) 也是以周期为 T 的周期函数. (2) 若函数 f ( x ) 在 ( ? a,a ) 内是可微奇(偶)函数，则 f ′( x ) ( ? a,a ) 内必为偶(奇)函数. 8. 证: (1)因 f ( x + T ) = f ( x ) ,f ( x + h) ? f ( x) ,因此 h f ( x + T + h) ? f ( x + T ) f ( x + h) ? f ( x) f ′( x + T ) = lim = f ′( x ) = lim h →0 h→0 h h (2) 若函数 f ( x ) 在 ( ? a,a ) 内是可微奇函数，则有 f ( ? x + h) ? f ( ? x) ? f ( x ? h) + f ( x ) f ′(? x) = lim = lim h →0 h→0 h h f ( x ? h) ? f ( x ) = lim = f ′( x ) , h →0 ?h 即证得：若函数 f ( x ) 在 ( ? a,a ) 内是可微奇函数，则 f ′( x ) ( ? a,a ) 内必为偶函数. 同理可证得：若函数 f ( x ) 在 ( ? a,a ) 内是可微偶函数，则 f ′( x ) ( ? a,a ) 内必为奇函又 f ′( x ) = limh→0数.9. 设函数 f ( x ) 可微，且 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ? 2 xy ， f ′(0) = 3 ，求 f ( x ) . 9. 解：由 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ? 2 xy ，令 x = y = 0 ,则 f (0) = f (0) + f (0) ，得f (0) = 0 f ′( x) = limy →0f ( x + y ) ? f ( x) f ( x) + f ( y ) ? 2 xy ? f ( x) = lim y →0 y yf ( y) ? 2 x = f ′(0) ? 2 x = 3 ? 2 x y →0 y 2 2 因此 f ( x ) = 3x ? x + C (C 为任意常数)，又 f (0) = 0 则 C=0，故 f ( x ) = 3x ? x 10. 设 在 ( ? ∞,∞ ) 内 函 数 f ( x ) 有 定 义 , 且 f (0) = 0 ， f ′(0) = C ( C ≠ 0 ) ， 又 = lim g ( x) = e x sin 2 x + cos x , 对任意 x, y 有关系式 f ( x + y ) = f ( x) g ( y ) + f ( y ) g ( x) 成立，证 明 f ′( x ) = C ? g ( x ) f ( x + y ) ? f ( x) f ( x) g ( y ) + f ( y ) g ( x) ? f ( x) = lim 10. 证： f ′( x ) = lim y →0 y →0 y y- 15 -g ( y) ? 1 f ( y) + g ( x) lim y →0 y →0 y y g ( y ) ? g (0) f ( y ) ? f (0) = f ( x) lim + g ( x) lim y →0 y →0 y y = f ( x ) g ′(0) + g ( x ) f ′(0) 又 g ′( x ) = e x sin 2 x + e x sin 2 x ? sin x ，得 g ′(0) = 0 故 f ′( x ) = C ? g ( x ) . = f ( x) lim- 16 -
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