放弃平均率(资料)
假定我在不停地掷一枚均匀的硬币并连续不断地统计硬币的正面向上和反面向上的次数（所谓均匀的硬币是指它的正面向上和反面向上的可能性一样大，即各有
1／2的概率）。如果到某个时候我掷出的正面向上的次数比反面向上的次数多100次，那么当我继续掷下去时，是否可能会出现一种反面向上的次数"赶上"正面向上次数的趋势呢？有些人根据在掷一枚均匀的硬币时正反两面出现次数最终应该相当这样一种直觉而认为平均律应当起作用。另外一些人则声称，硬币没有"记忆"一一这样正面向上或反面向上的概率都始终各保持为
1／2－一并因而推论说根本不会出现两种次数扯平的趋势。
同样的问题也会出现在其他各种场合中。如果飞机坠毁事故平均每4个月发生一次，而已经有3个月没有发生坠机事故了，那么你是否预计很快将发生一起坠机事故？
在所有这些情况中，答案都是否定的。有关的随机过程一一更确切地说是这些随机过程的标准数学模型一一的确是没有任何记忆的。
然而，这个问题在很大程度上与你说的"赶上"是什么意思有关。一连许多次掷出正面向上这一情况并不会影响以后掷币过程中出现反面的概率。即使如此，在正面向上的次数已经比反面向上的次数多了比如说100次以后，到某个阶段时两种次数将再次扯平的概率依然是1。说某件事的概率为1通常意味着这件事是肯定无疑的，而概率为0则意味着是不可能出现的（在这个例子中，我们研究的是可能为无穷多次的掷硬币，因此数学家们喜欢用"几乎肯定会出现"和"几乎不可能出现"这种说法）。
我得马上又补充一句：在某种意义上也可以说掷硬币并不存在从长远来看两种结果扯平的趋势。例如，在正面向上的次数已经比反面向上的次数多了100次以后，正面向上累积次数比反面向上的次数至少超出100万次的概率也是1。
为了分析这些看起来互相矛盾的说法，我们更仔细地考察一下掷硬币的过程。我把一枚硬币掷了20次，得到如下结果：
TTTTHTHHHHHHTTTHTTTH（H代表正面向上，T代表反面向上），其中
11次反面向上，9次正面向上。根据大数定律，经过一段长的时间以后事件发生的频度应当非常接近于它们的概率。在这个例子中频度为11 /
20 = 0.55和9 / 20 =
0.45--接近于0.5但并不等于0.5。或许我掷出的结果看起来不够随机。你可能会对下面这样一类结果更满意一些：HTHHTTHTTHTHHTHTHHTT，因为这时正面向上和反面向上的频度均为10／20
0.50了。这第二个结果除了使得数字刚好对头外，它看起来还显得更随机一些。然而实际上并非如此。
第一个结果看起来不大随机，因为它包含有一些长串的相同事件，例如TTTT和HHHHHH等，而第二个结果中则没有这一现象。然而，我们的直觉在这里起了误导的作用：随机序列常常呈现一些模式和成团现象。不要因为看到这些现象而大惊小怪（除非掷硬币的结果是HHHHHHHHHHHH……并一直像这样持续很长时间。在这种情况下，可以相当有把握地猜测这枚硬币的两面都是正面）。
假定你接连掷出了4枚硬币。掷出第1枚硬币后的结果不是正面向上就是反面向上（每种结果的概率都是
1／2）。无论出现的是哪种情况，掷出第2枚硬币后的结果仍然为不是正面向上就是反面向上。如此类推。这样，对于抛掷4枚硬币来说，我们可以得到一棵"树"，其中有16条可能的路径。根据概率论，每条路径的概率均为1／2
&1／2 &1／2 &1／2＝ 1／16。这一结果是有道理的，因为有
16条路径，而且每条路径都是同等可能的。
注意，TTTT这条路径的概率为1／16，而其他路径（比如说HTHH）的概率也为1／16。这样，尽管HTHH看起来比TTTT更随机，但它们出现的概率是相同的。
另外，如果你把一枚硬币连掷4次，平均说来你会得到恰好两次正面向上。那么这是不是意味着得到两次正面向上和两次反面向上的可能性较大呢？并非如此。有16个不同的由H和T构成的序列，其中总共有6个序列含有两次正面向上的结果：HHTT，HTHT，HTTH，THHT，THTH，TTHH。因此，恰好有两次正面向上的概率为6
16＝0.375。这一结果比未得到恰好两次正面向上的概率要小（后者的概率为0.625）。对于更长的序列，这一效果将变得更显著。
像这样一类研究使我们弄清了下面这个事实：事件的未来概率不受过去所发生的事情的任何影响，从这个意义上说，不存在任何平均律。然而，在一种相当令人感兴趣的意义上，可以说事件在长远的时期中仍倾向于趋于平衡。我们把正面向上超过反面向上的次数用图表示出来，也就是画出一幅表示每次掷硬币后正面向上与反面向上次数之差的曲线图。你可以把这幅图想象成是这样一条曲线：每当掷出一个正面向上时这条曲线就向上移动一步，而每当掷出一个反面向上时这条曲线就向下移动一步。这样的图称为随机走动（random
walk），其中连续的各步是随机地选择的。
图1从随机走动曲线可以看出，正面向上的次数和反面向上的次数很少会扯平（在这种曲线中，"正面向上"对应于曲线向上移动一步，而"反面向上"对应于曲线向下移动一步）
图1是把硬币掷了1万次后所得的一个典型的随机走动图。像图中所示的那种极不平衡的行为是完全正常的。事实上，在掷1万次硬币的过程中，一侧在9930次抛掷中领先而另一侧仅在70次抛掷中领先的概率大约为1／10。
随机走动理论也告诉我们，正面向上次数与反面向上次数之差永远不返回到零（也就是说比如正面向上的次数永远居于领先地位）的概率为零。正是在这个意义上平均律成立一一但是，如果你在赌掷硬币时是正面向上还是反面向上，那么它对于增进你的获胜机会起不了任何作用，因为你不知道这长长的老是正面领先的序列会有多长一一你只知道它的确极有可能是非常之长。
假定你把一枚硬币掷了100次，其结果是55次正面向上，45次反面向上--因此正面向上比反面向上的次数多则次。然后随机走动的理论就会告诉我们，如果你等待足够长的时间，这一差额将会被纠正（其概率为1）。这是不是平均律呢？不。根据平均律通常的解释，情况并非如此。如果你事先选定了硬币抛掷的次数比如说掷100万次一一那么根据随机走动的理论，这100万次抛掷硬币的结果不受先前结果中那一差额的影响。此外，如果你通过再掷100万次硬币来做数目巨大的实验，那么你在合起来的总共100万零100次的抛掷中，平均说来将得到50万零55次正面向上和50万零45次反面向上这一结果，平均起来两者的差额依然存在。但是应当注意，正面向上的频度已经从55／100＝0.55变为
00 100＝0.500
005。平均律不是表现在把先前的差额去掉，而是表现在把它们"淹没"于巨大的数字中。
假设我不是掷一枚硬币而是掷一枚骰子，并统计每一面（从1至6）出现的次数。假定每一面都有同等的机会出现，即概率均为1／6。当我开始掷骰子时，每一面出现的累积次数是相等的--全都为零。通常，掷了几次骰子之后，这些数字便开始有所差别了。事实上，至少需要掷6次骰子之后各面出现的累积次数才有可能再次相等（即每面各出现一次）。那么，如果我把骰子一直不停地掷下去，到某个时候这6个面出现的次数再次扯平的概率是多大呢？我不知道确切的数值，因此这是"反馈信息"中需要填补的一个空白。不过我将向你证明它肯定不等于1。
对于骰子问题，我们需要把随机走动的概念推广到多维的情形。例如，平面上最简单的随机走动发生在一个无限方格网的各个格点上。一个点从原点出发，每次向北、南、东或西走一步，朝这4个方向移动的概率是相同的，即各为1／4。图2所示为一条典型的移动路径。三维随机走动则是在空间的立方体点阵上进行的，其情况与平面的随机走动相似，但它有6个走动方向，即北、南、东、西、上、下，每个方向的概率各为
对于二维随机走动来说，也可以证明走动路径最终返回起点的概率为 1。Stanislaw
M．Ulam以前在洛斯阿拉莫斯国家实验室，其最有名的成就是与他人一起研制出氢弹一一证明了在三维空间中，随机走动路径最终返回原点的概率为0.35左右（因此，如果你在沙漠中迷了路，并完全盲目地到处乱闯，你最终仍将返回绿洲。但是，如果你在空间迷了路，那么你凭运气返回地球的可能性只有1／3）。
假定我们用骰子各面上的数字给三维空间随机走动的6个方向编号一一北=1，南=2，东=3，西=4，上=5，下=6。反复地掷骰子，并按规定的方向穿过空间点阵。在这个例子中，"返回原点"意味着1出现的次数和2一样多，3出现的次数和4一样多，5出现的次数和6一样多。因此，这种情况最终发生的概率为0.35。那么所有6个数字出现的次数相等这一要求更高的事件的概率肯定小于0.35。
甚至连最简单的一维随机走动也具有其他许多违背人的直觉的特征。假定你预先选定一个很大的抛掷硬币次数--比如说100万次，并观察是正面向上的次数领先还是反面向上的次数领先。那么平均说来，你觉得正面向上的次数应该在占多大比例的时间中领先呢？你很自然地猜想应该是1／2。实际上这一比例出现的可能性是最小的。一最可能出现的比例是两个极端值：正面向上的次数要么从头到尾始终领先，要么任何时候都不领先！
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