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数字图像处理习题
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opencv之仿射变换
& & & &在图像处理中，对图像进行二维变换有仿射变换（Affine Transformation），透视变换（Perspective Transformation）（应该还有其他变换，但是我用到的比较多的是这两种变换）。
& & & &仿射变换（Affine Transformation）是空间直角坐标系的变换，从一个二维坐标变换到另一个二维坐标，仿射变换是一个线性变换，他保持了图像的“平行性”和“平直性”，即图像中原来的直线和平行线，变换后仍然保持原来的直线和平行线，仿射变换比较常用的特殊变换有平移(Translation)、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和剪切(Shear)。
图1.仿射变换
& & & &透视变换（Perspective Transformation)是指利用透视中心、像点、目标点三点共线的条件，按透视旋转定律使承影面（透视面）绕迹线（透视轴）旋转某一角度，破坏原有的投影光线束，仍能保持承影面上投影几何图形不变的变换。
图2.透视变换
二、仿射变换的变换公式推导
& & & & 2.1仿射变换公式法推导
& & & & 在opencv提供的仿射变换中，变换的公式是一个2*3的矩阵，如下：
& & A是仿射变换2*3矩阵，M是2*2矩阵，表示坐标轴的旋转和缩放，B是2*1矩阵，是坐标轴平移矩阵。
& & 坐标变换如下：
& & 可以看出，A矩阵只有6个参数，所以只要知道3个点之间的仿射变换，就可以求出A矩阵。
& & 2.2 仿射变换坐标系法推导
& & 仿射变换也可以看成坐标系的旋转和缩放以及平移：
& & & & P点位置不变，坐标系由（Xt，Yt）变换到（Xs，Ys），相应的坐标有（Xtp，Ytp）变换成（Xsp，Ysp）。
其中（Xtp，Ytp）与（Xsp，Ysp）的关系如下：
3.opencv仿射变换程序实现
#include &opencv2/core/core.hpp&
#include &opencv2/imgproc/imgproc.hpp&
#include &opencv2/highgui/highgui.hpp&
#include &vector&
void main()
cv::Mat image = cv::imread(&image.jpg&);
cv::namedWindow(&source image&);
cv::imshow(&source image&,image);
//3点的仿射变换
cv::Point2f src_point[3];
cv::Point2f dst_point[3];
src_point[0] = cv::Point2f(0,0);
src_point[1] = cv::Point2f(image.cols-1,0);
src_point[2] = cv::Point2f(0,image.rows-1);
dst_point[0] = cv::Point2f(image.cols*0.1,image.rows*0.13);
dst_point[1] = cv::Point2f(image.cols*0.8,image.rows*0.32);
dst_point[2] = cv::Point2f(image.cols*0.16,image.rows*0.7);
cv::Mat warp_mat(cv::Size(2,3),CV_32F);
warp_mat = cv::getAffineTransform(src_point,dst_point);
cv::Mat warpimage= cv::Mat::zeros(image.rows,image.cols,image.type());
cv::warpAffine(image,warpimage,warp_mat,warpimage.size());
cv::namedWindow(&dst image&);
cv::imshow(&dst image&,warpimage);
cv::imwrite(&warpimage1.jpg&,warpimage);
//对图像旋转后缩放的仿射变换
cv::Point2f center = Point2f(image.cols/2,image.rows/2);
double angle = 30;
double scale = 0.8;
warp_mat = getRotationMatrix2D(center,angle,scale);
cv::warpAffine(image,warpimage,warp_mat,warpimage.size());
cv::namedWindow(&dst image2&);
cv::imshow(&dst image2&,warpimage);
cv::imwrite(&warpimage2.jpg&,warpimage);
cv::waitKey(0);
& & &程序运行结果：
4.参考文章：
http://www./opencvdoc/2.3.2/html/doc/tutorials/imgproc/imgtrans/warp_affine/warp_affine.html
http://blog.csdn.net/honpey/article/details/8724106
/shijibao001/articles/1225962.html&&&
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与原文不一致如何由仿射变换的6个自由度的求解所需的仿射变换参数（平移变换，尺度变换，旋转变换，错切变换）？
[问题点数：40分]
如何由仿射变换的6个自由度的求解所需的仿射变换参数（平移变换，尺度变换，旋转变换，错切变换）？
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本帖子已过去太久远了，不再提供回复功能。Affine Transformation是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直性”和“平行性”。仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括：平移（Translation）、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和错切（Shear）。
在做2D图形引擎时，仿射变换是非常重要的点，图形的旋转等各种表现都需要通过仿射变换来完成，比如在显示列表树中，父节点旋转了，那么子节点在计算显示时也要叠加上父节点的变换矩阵，这是叠加矩阵。还有计算2D空间内的点在经过仿射变换的图形中的位置、鼠标是否点在经过仿射变换过的矩形中，等等都是需要仿射变换来完成计算。
定义一个矩阵类Matrix包含属性如下：
| 参数 | 描述 |
| ----- |:----:|
| a | 水平缩放比例 |
| b | 垂直倾斜比例 |
| c | 水平倾斜比例 |
| d | 垂直缩放比例 |
| x | 水平偏移像素 |
| y | 垂直偏移像素 |
矩阵的默认值为Matrix(1,0,0,1,0,0)，后面的变换以改变矩阵值的形式完成。通过H5中的canvas实现改变图形：
var c=document.getElementById(&canvas&);
var ctx=c.getContext(&2d&);
ctx.fillStyle=&yellow&;
ctx.fillRect(0,0,250,100)
var matrix = RM.Matrix.create(1,0,0,1,0,0);
ctx.setTransform(matrix.a,matrix.b,matrix.c,matrix.d,matrix.x,matrix.y);
ctx.fillStyle=&red&;
ctx.fillRect(0,0,250,100);
平移变换是一种“刚体变换”，并不会改变图形的形状。
//（平移到点40,50）
matrix.translate( 40, 50 );
涉及到函数的平移公式code：
/**平移x，y像素*/
public translate( x:number, y:number ):RM.Matrix {
缩放变换可以改变图形的宽高比例，横向缩放与纵向缩放。当值为负数时反向缩放。
//（x轴缩放0.5，y轴缩放0.5）
matrix.scale( 0.5, 0.5 );
//（x轴缩放-1，y轴缩放1）
matrix.scale( -1, 1 );
涉及到函数的缩放公式code：
/**缩放，x、y轴方向缩放*/
public scale( scaleX:number, scaleY:number ):RM.Matrix {
this.a *= scaleX;
this.b *= scaleY;
this.c *= scaleX;
this.d *= scaleY;
this.x *= scaleX;
this.y *= scaleY;
目标图形围绕(x,y)点顺时针旋转value弧度
旋转矩阵为(cosA, sinA, -sinA, cosA, 0, 0)
//（顺时针旋转30角度）
matrix.rotate( 30 );
涉及到函数的旋转公式code：
/**旋转，单位是角度
* 旋转矩阵（ cosA, sinA, -sinA, cosA, 0, 0）
public rotate( angle:number ):RM.Matrix {
angle = ( angle % 360 )
angle = RM.GFunction.angle2radian( angle );//角度转弧度
var cos:number = Math.cos( angle );
var sin:number = Math.sin( angle );
var ta:number = this.a;
var tc:number = this.c;
var tx:number = this.x;
this.a = ta * cos - this.b *
this.b = ta * sin + this.b *
this.c = tc * cos - this.d *
this.d = tc * sin + this.d *
this.x = tx * cos - this.y *
this.y = tx * sin + this.y *
错切变换指的是类似于四边形不稳定性那种性质，菱形形状。根据弧度顺时针倾斜。
错切矩阵为( 1, tanAy, tanAx, 1, 0, 0 )
//（x轴错切30角度）
matrix.skew( 30, 45 );
涉及到函数的错切公式code：
/**切变，单位是角度
* 切变矩阵 （ 1, tanAy, tanAx, 1, 0, 0）
public skew( angleX:number, angleY:number ):RM.Matrix {
angleX = ( angleX % 90 );
angleY = ( angleY % 90 );
angleX = RM.GFunction.angle2radian( angleX );//角度转弧度
angleY = RM.GFunction.angle2radian( angleY );//角度转弧度
var tanAx:number = Math.tan( angleX );
var tanAy:number = Math.tan( angleY );
var ta:number = this.a;
var tc:number = this.c;
var tx:number = this.x;
this.a = ta + tanAx * this.b;
this.b = ta * tanAy + this.b;
this.c = tc + tanAx * this.d;
this.d = tc * tanAy + this.d;
this.x = tx + tanAx * this.y;
this.y = tx * tanAy + this.y;
当设置仿射变换的多个属性时，依据矩阵乘法的特性要遵循顺序（缩放-&错切-&旋转－&平移）依次变换。
如果不按照以上顺序，产生的结果将会与预期大大不同。下图以先x轴缩放0.5、错切x轴-30y轴30、旋转10度、平移（10，20）
错切与旋转的区别：错切可以分别向两方向倾斜不同的角度；旋转是同时向两方向倾斜相同的角度。
那么，可以把错切与旋转合并，错切的默认x轴倾斜是正方向倾斜，也就是逆时针，改为与y轴倾斜相同的顺时针方向。
当旋转30度时，也就是x轴y轴同时顺时针倾斜30度。
如图所示，大矩形错切x轴y轴各30度，小矩形旋转30度，两者的结果是一致的。
matrix.rightTransform( 0,0,1,1,30,30,0 );
matrix.rightTransform( 0,0,1,1,0,0,30 );
属性叠加公式code：
/**转换矩阵操作，顺序为：缩放、切变、旋转、平移*/
public rightTransform(x:number, y:number, scaleX:number, scaleY:number, skewX:number, skewY:number, rotate:number):RM.Matrix {
rotate = ( rotate % 360 );
rotate = RM.GFunction.angle2radian(rotate);
//旋转与切变一起算
skewX = RM.GFunction.angle2radian(skewX) +
skewY = RM.GFunction.angle2radian(skewY) +
if (skewX || skewY) {
//矩阵乘法（右置矩阵、后置矩阵）
this.rightMultiply(Math.cos(skewY) * scaleX, Math.sin(skewY) * scaleX, -Math.sin(skewX) * scaleY, Math.cos(skewX) * scaleY, x, y);
this.rightMultiply(scaleX, 0, 0, scaleY, x, y);
在显示对象树中，父节点旋转30度，那么它的子节点是否也要旋转到相对于父节点的位置呢？答案是肯定的，必须旋转到相对位置。这就涉及到矩阵乘法，例如矩阵A*矩阵B得到的就是叠加矩阵，但是一定要注意的是 A*B ≠ B*A 。
矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。
因为矩阵A*B=C，C的结果是由A的行与B的列相乘和的结果；而B*A=D，D的结果是由B的行与A的列相乘和的结果。显然，得到的结果C和D不一定相等。
显然，大矩形为父节点，小矩形为大矩形的子节点，当大矩形旋转60度时，小矩形相对于父节点为0度，
然后小矩形再旋转60度，这是相对于父节点旋转了60度，相对于原点旋转了120度。大矩形以原点(0,0)点旋转，小矩形以大矩形内的坐标(0,0)点旋转。
parent.matrix = RM.Matrix.create(0,0,1,1,0,0,60);
//父节点的矩阵与子节点的矩阵相乘，便是子节点的真实矩阵
child.matrix = parent.matrix.rightTransform(0,0,1,1,0,0,60);
矩阵的运用
矩阵这东西在图形引擎中的运用是很多的，上面的例图就是使用自己写好的图形引擎，通过设置属性再渲染到canvas中的。一张坐标轴地图、一个虚线矩形、一个实线矩形完成演示。
矩阵的运用还是很多的，2D图形引擎中坐标点的判断，鼠标点击是否在图形上，脏矩形的范围，子节点上的坐标与原点坐标系的转换，等都是通过点与矩阵之间的二维空间转换而得到确切的值。
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