Fcache502 Bad Gateway高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)_中华文本库
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高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设
（i）若A?0，则有??0，使得当0?|x?x0|??时，f(x)?0；
（ii）若有??0,使得当0?|x?x0|??时，f(x)?0,则A?0。
限是否存在在：
（i）数列?xn?a的
（ii）limf(x)limf(x)?A，
x?? (iii)x?x0limf(x)? (iv)单调有界准则
（v （vi）柯西收必要条件是：
???0,?1.2.洛必达（L’
x趋近告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
0?”“”时候直接用 0?
(ii)“0??”“???”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通（i）“
?项之后，就能变成(i)中的形式了。即f(x)g(x)?f(x)或f(x)g(x)?g(x)；g(x)f(x) f(x)?g(x)?111
g(x)f(x)f(x)g(x)11
(iii)“0”“1”“?”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即
这样就能把幂上的函数移下来了，变成“0??”型未定式。
1 0?0f(x)g(x)?eg(x)lnf(x)，
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寻找更多 ""第1~12种方法
方法十三：泰勒公式
使用泰勒公式时，函数应该展开到哪一阶？
型：展开到同一阶
型：展开到系数不等为止
：常见函数泰勒公式
方法十四：极限存在准则
，原式 = 1.
方法十五：利用定积分定义
于是，根据定积分定义，我们有
方法十六：利用级数收敛
考虑如下级数
根据比值判别法，有
由此可知级数收敛，再根据级数收敛的必要条件，得
方法十七：数列极限与函数极限互求
参见教材两个重要极限
方法十八：利用左右极限
当然，除了以上18种方法外，还可以利用Stolz定理、上下极限等方法计算极限，这些都超出了高等数学的要求.
另外，需要补充的是，极限存在准则中，还有一个
单调有界准则
，请大家查看教材，不再赘述！
最后预告一下，我们将在下一讲讨论极限计算的七类不定型：
世界为何需要小三？却又无法容忍？
数学中的三行情诗
高数，想说爱你不容易「完整版」
线性代数知识体系
如何判断一个定理是否重要？
四维时空是什么玩意？
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微积分基本定理
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高等数学答案，同济版的，很清晰，对复习有指导作用，对你学习高数会有很大的帮助。
一、《高等数学》(第六版)上册习题全解
第一章 函数与极限
习题1&1映射与函数
习题1&2数列的极限
习题1&3函数的极限
习题1&4无穷小与无穷大
习题1&5极限运算法则
习题1&6极限存在准则两个重要极限
习题1一7无穷小的比较
习题1&8函数的连续性与间断点
习题1&9连续函数的运算与初等函数的连续性
习题1一lO闭区间上连续函数的性质
第二章 导数与微分
习题2&1导数概念
习题2&2函数的求导法则
习题2&3高阶导数
习题2&4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
习题2&5函数的微分
第三章 微分中值定理与导数的应用
习题3&1微分中值定理
习题3&2洛必达法则
习题3&3泰勒公式
习题3&4函数的单调性与曲线的凹凸性
习题3&5 函数的极值与最大值最小值
习题3&6函数图形的描绘
习题3&7曲率
习题3&8方程的近似解
第四章 不定积分
习题4&1不定积分的概念号性质
习题4&2换元积分法
习题4&3分部积分法
习题4&4有理函数的积分
习题4&5积分表的使用
第五章 定积分
习题5&1定积分的概念与性质
习题5&2微积分基本公式
习题5&3定积分的换元法和分部积分法
习题5&4反常积分
习题5&5反常积分的审敛法 T函数
第六章 定积分的应用
习题6&2定积分在几何学上的应用
习题6&3定积分在物理学上的应用
第七章 微分方程
习题7&1微分方程的基本概念
习题7&2可分离变量的微分方程
习题7&3齐次方程
习题7&4一阶线性微分方程
习题7&5可降阶的高阶微分方程
习题7&6高阶线性微分方程
习题7&7常系数齐次线性微分方程
习题7&8常系数非齐次线性微分方程
习题7&9欧拉方程
习题7&10常系数线性微分方程组解法举例
二、全国硕士研究生入学统一考试教学试题选解
(一)函数极限连续
(二)一元函数微分学
(三)一元函数积分学
(四)微分方程
三、同济大学高筹教学试卷选编
(一)高等数学(上)期中考试试卷(I)
(二)高等数学(上)期中考试试卷(Ⅱ)
(三)高等数学(上)期末考试试卷(I)
(四)高等数学(上)期末考试试卷(Ⅱ)
《高筹教学》(第六版)下册习题全解
第八章空间解析几何与向量代数
习题8&1向量及其线性运算
习题8一2数量积向量积*混合积
习题8一3曲面及其方程
习题8一4空间曲线及其方程
习题8&5平面及其方程
习题8&6空间直线及其方程
第九章 多元函数微分法及其应用
习题9&1多元函数的基本概念
习题9&2偏导数
习题9&3全微分
习题9&4多元复合函数的求导法则
习题9&5隐函数的求导公式
习题9&6多元函数微分学的几何应用
习题9&7方向导数与梯度
习题9&8多元函数的极值及其求法
习题9&9二元函数的泰勒公式
习题9&10最小二乘法
第十章 重积分
习题10&1二重积分的概念与性质
习题10一2二重积分的计算法
习题10一3三重积分
习题10&4重积分的应用
习题10一5含参变量的积分
第十一章曲线积分与曲面积分
习题11&1对弧长的曲线积分
习题1l一2对坐标的曲线积分
习题11&3格林公式及其应用
习题11&4对面积的曲面积分
习题11&5对坐标的曲面积分
习题11&6高斯公式*通量与散度
习题ll一7斯托克斯公式*环流量与旋度
总习题十一
第十二章无穷级数
习题12&1常数项级数的概念和性质
习题12&2常数项级数的审敛法
习题12&3幂级数
习题12&4函数展开成幂级数
习题12&5 函数的幂级数展开式的应用
习题12&6函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
习题12&7傅里叶级数
习题12&8一般周期函数的傅里叶级数
总习题十二
全国硕士研究生入学统一考试教学试题选解
(五)向量代数与空间解析几何
(六)多元函数微分学
(七)多元函数积分学
(八)无穷级数
同济大学高筹数学试卷选编
(一)高等数学(下)期中考试试卷()
(二)高等数学(下)期中考试试卷(Ⅱ)
（三）高等数学（下）期考试试卷（Ⅰ）
(四)高等数学(下)期末考试试卷(Ⅱ)
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2016考研数学高数重点解析：极限与导数
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考研数学中高等数学极限与导数部分是历年必考的重要知识点，也是大家容易丢分的考点，本文对极限与导数做重点解析，希望通过解析让同学们了解极限、导数考查的重点、题型及方法。
极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。
极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。
四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效;夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。
与极限计算相关知识点包括：
1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左、右极限，分段函数的连续性问题关键是分界点处的连续性，或按定义考察，或分别考察左、右连续性;
3、渐近线(水平、垂直、斜渐近线);
4、多元函数微分学，二重极限的讨论计算难度较大，多考察证明极限不存在。
求导与求微分每年直接考查的知识所占分值平均在10分到13分左右。常考题型：(1)利用定义计算导数或讨论函数可导性;(2)导数与微分的计算(包括高阶导数);(3)切线与法线;(4)对单调性与凹凸性的考查;(5)求函数极值与拐点;(6)对函数及其导数相关性质的考查。
对于导数与微分，首先对于它们的定义要给予足够的重视，按定义求导在分段函数求导中是特别重要的。应该熟练掌握可导、可微与连续性的关系。求导计算中常用的方法是四则运算法则和复合函数求导法则，一元函数微分法则中最重要的是复合函数求导法及相应的一阶微分形式不变性，利用求导的四则运算法则与复合函数求导法可求初等函数的任意阶导数.幂指函数求导法、隐函数求导法、参数式求导法、反函数求导法及变限积分求导法等都是复合函数求导法的应用。
导数计算中需要掌握的常见类型有以下几种：
1、基本函数类型的求导
2、复合函数求导
3、隐函数求导，对于隐函数求导，不要刻意记忆公式，记住计算方法即可，计算的时候要注意结合各种求导法则
4、由参数方程所确定的函数求导，不必记忆公式，要掌握其计算方法，依据复合函数求导法则计算即可
5、反函数的导数
6、求分段函数的导数，关键是求分界点处的导数
7、变上限积分求导，关键是从积分号下把提出
8、偏导数的计算，求偏导数的基本法则是固定其余变量，只对一个变量求导，在此法则下，基本计算公式与一元函数类似。
导数的计算需要考生不断练习，直到对所有题目一见到就能够熟练、正确地解答出来。
以上是对考研数学极限、导数部分的一个分析，希望能够对2016年考研的同学起到一定的作用，用有限的时间取得最好的成绩。最后祝大家复习顺利，考研成功!
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