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第一章行列式
历史上，行列式的概念是在研究线性方程组的公式解的过程中产生的.本章主要介绍阶行列式的概念、性质及其计算方法.最后讨论用阶行列式求解一类元线性方程组的克拉默（Cramer）法则.
&1.1二阶与三阶行列式
本节的目的是阐述行列式的由来.为此我们首先讨论二元线性方程组与三元线性方程组这两种较简单的方程组的公式解，由此引出二阶与三阶行列式的概念.
一、二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （1.1）
用消元法从（1.1）式中消去，得
同样地，从（1.1）式中消去，得
当时，求得方程组（1.1）的解为
这就是二元线性方程组（1.1）的公式解，为便于叙述和记忆，我们引入二阶行列式的概念：
定义1.1我们称
为二阶行列式，其中数叫做行列式的元素，横排叫做行，竖排叫做列.元素的第一个下标叫做行标，表明该元素位于第行；第二个下标叫做列标，表明该元素位于第列.由上述定义可知，二阶行列式是由4个数按一定的规律运算所得的代数和，这种规律可以用“对角线法则”来记忆，参见下图：
把到的实连线称为主对角线，把到的虚连线称为次对角线，二阶行列式等于主对角线上两元素之积减去次对角线上两元素之积.
有了二阶行列式的概念，二元线性方程组的公式解（1.2）式可以用行列式表示，即
当D≠0时，二元线性方程组（1.1）的解可唯一地表为：
其中分母是由方程组（1.1）的系数所确定的二阶行列式，即系数行列式.的分子是用常数项替换x1的系数，（即的第一列）所得的二阶行列式；的分子是用常数项替换x2的系数，（即的第二列）所得的二阶行列式.本节后面讨论的三元线性方程组有类似的规律性，请同学们学习时注意比较.
例1.1用二阶行列式解线性方程组
解计算二阶行列式：
由公式（1.4）得
二、三元线性方程组与三阶行列式
对于三元线性方程组
利用消元法消去相应变量可得：
当时，方程组（1.5）有唯一解
，，. (1.7)
下面引进三阶行列式的概念.
定义1.2我们称记号
为三阶行列式.
同样我们可以用对角线法则来记忆三阶行列式，如下图：
由上述定义可见，三阶行列式是由三行、三列9个元素组成的一个表达式，展开式是6项的代数和，每项是由不同行、不同列的3个元素相乘而成，其中3项为正、3项为负，正项是各实线上3个元素乘积；负项是各虚线上的3个元素的乘积.
根据三阶行列式的定义, (1.6)可写为
称为方程组(1.5)的系数行列式.若系数行列式，那么三元线性方程组（1.5）有唯一解.其解由公式(1.7)给出.
例1.2解三元线性方程组
解用对角线法计算行列式，得：
故方程组的解为：
1.计算下列行列式.
2.证明等式
3.解下列方程组:
&1.2全排列及其逆序数
从上节内容中可知利用二阶、三阶行列式可以表示二元、三元线性方程组的解，为求解元的线性方程组，需引入阶行列式，而定义阶行列式必须弄清楚二阶、三阶行列式的结构，为此我们讨论排列及其逆序.
一、 排列和逆序
定义2.1由正整数组成的一个没有重复数字的n元有序数组，称为一个级排列，简称排列，记为.
例如 ２级排列共有２种：12 21
３级排列共有６种：123 132 213 231 312 321
一般地，级排列总共有个，其中称为自然排列或标准排列.
定义2.2在一个n级排列中，若数，则称数与构成一个逆序，一个级排列中的逆序总数称为该排列的逆序数,记为.
我们可按如下方法来计算排列的逆序数：
设在一个n级排列中比大且排在前面的数共有个，则该排列的逆序数为：
例2.1求下列排列的逆序数
（1）31452 （2）13524 （3）n（n－1）…2 1.
解（1）排在3前面且比3大的数的个数为0，排在1前面且比1大的数有1个为3，排在4前面比4大的数的个数为0，排在5前面比5大的数的个数为0，排在2前面比2大的数的个数为3为3、4、5，从而所求排列的逆序数为：
（2）排在1前面且比1大的数的个数为0，排在3前面且比3大的数的个数为0，排在5前面且比5大的数的个数为0，排在2前面且比2大的数的个数为2，排在4前面且比4大的数的个数为1，从而所求排列的逆序数为：
（3）用相同的方法可得：
定义2.3逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列.
例如 例1中排列31452是偶排列.13524是奇排列.排列，当时，该排列为偶排列；当时，该排列为奇排列.自然排列的逆序数为零，因而是偶排列.
二、对换及其性质
定义4把一个排列中某两个数的位置互换，而其余数不动得到另一个排列，这样的变换称为一个对换，记为.
将两个相邻元素对换，称为相邻对换.
对换有如下性质：
定理2.1对换改变排列的奇偶性.
这就是说，经过一次对换，奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列.
证明先看相邻对换的情形：
设排列为，对换与排列变为，在对换过程中这些元素所构成的逆序情况不变，而两元素所构成的逆序变化情况为：
当时，经对换构成的逆序数增加1而构成的逆序数不变，从而排列的逆序数增加1；
当时，经对换构成的逆序数不变而构成的逆序数减少1，从而排列的逆序数减少1.
所以，排列与排列的奇偶性相反.
再看一般情况：
设排列为，对它做次相邻对换，该排列变成，再做次相邻对换，排列变成，即经过次相邻对换，排列变成排列，所以这两个排列的奇偶性也相反.
推论任意一个级排列都可以经过一定次数的对换变成自然排列，并且所作对换的次数与该排列有相同的奇偶性.
这是因为1 2…n是偶排列，而一次对换改变排列奇偶性，当排列是奇（偶）排列时，必须做奇（偶）数次对换才能变成自然排列1 2…n.，即所作的对换次数与排列具有相同的奇偶性.
定理2.2级排列中奇偶排列各占一半，均为个.
证明级排列共有个，设其中奇排列的个数为，偶排列的个数为个，对所有奇排列都做同一对换，则由定理2.1这个奇排列均变为偶排列，故；同理对每个偶排列都做同一对换，则这个偶排列均变为奇排列，故，所以.
1.求下列排列的逆序数，并确定排列的奇偶性.
（1）3 5 1 4 2 6
2.确定和,使
(1)为偶排列;
(2)为奇排列.
3.已知排列的逆序数为，求排列的逆序数.
&1.3 n阶行列式
利用对角线法则计算二、三阶行列式虽然简便直观，但对于高阶的行列式该方法便不再适用，为求解元线性方程组，我们先对二、三阶行列式的结构特点加以总结：
(1)二阶行列式共有项，三阶行列式共有项.
(2)二阶行列式的每项都是取自不同行、不同列的2个元素的乘积，三阶行列式的每项都是取自不同行、不同列的3个元素的乘积.
(3)二阶和三阶行列式每项的符号都是：当该项元素的行标按自然数顺序排列后，若对应的列标排列是偶排列则该项取正号，列标排列是奇排列则该项取负号.
根据以上特点，可以把三阶行列式定义为：
其中表示对所有3级排列求和，仿此我们给出阶行列式的定义：
定义3.1阶行列式
是所有取自不同行不同列元素乘积的代数和，即
其中表示对所有级排列求和，项带有符号，行列式常简记为或，这里称为行列式的元素，称为行列式的一般项，行列式中从左上角至右下角元素的连线称为主对角线.
例3.1计算n阶行列式
这个行列式主对角线上方的元素都为零，我们称它为下三角行列式（主对角线下方的元素为零的行列式，称为上三角行列式）.
解我们主要考察D的展开式中不为零的那些项.由于第一行除外其余元素都为零，所以行列式的通项中第一个元只能取，而通项中第二个元素不能选取，这是因为展开式的每一项中不能存在两个同列的元素，故只能选取，同理元只能取…，末行只能选取.从而
类似可得：
（1）上三角行列式；
（2）对角形行列式；
定理3.1n阶行列式也可以定义为
证明（略）
另外，阶行列式的一般项还可以记为
例3.2利用行列式的定义计算
1.确定下列5阶行列式的项所带的符号.
（1）（2）
2.写出4阶行列式中含有因子且符号为负的项.
3.设阶行列式中有个以上元素为零，证明该行列式的值为零.
4.已知，问为几次多项式？的系数是什么？
5.利用行列式的定义计算下列行列式的值.
&1.4行列式的性质
阶行列式等于所有取自不同行不同列元素乘积的代数和，随着阶数的增大，行列式的项数迅速增加，为简化行列式的计算，本节将介绍行列式的性质.
定义4.1将行列式的行与列互换后得到的行列式，称为行列式的转置行列式，记为或，即
性质4.1行列式与它的转置行列式相等，即
证明设的第行第列元素为，则，由定理3.1可得：
性质4.1说明行列式的行和列具有同等地位，因而凡是对行成立的性质，对列也一样成立，反之亦然.故以下所讨论的行列式性质中，只对行加以证明.
性质4.2若行列式的某行（列）有公因子k，则可以把它提到行列式外面，即
也可以说，用一个数k乘行列式，等于将行列式的某一行（列）元素都乘以k.
性质4.3对换行列式的任意两行（列），行列式变号.
则的一般项为
与之相对的D1中的一项为
由定理2.1，有
推论4.1若行列式中有两行（列）元素对应相等相等，则该行列式为零.
证明设是第i行与第j行相同的行列式，把的第i行与第j行互换，由性质3可知，从而.
推论4.2若行列式中有两行（列）元素成比例，则该行列式为零.
性质4.4若行列式的第i行（列）的每一个元素都可表示为两数之和，则该行列式可表示为两行列式之和，即
性质4.5把行列式的第j行（列）元素的k倍加到第i行（列）的对应元素上，行列式的值不变，即
证明由性质4，上式右边的行列式可拆为两个行列式之和，再利用性质3的推论2，即可得证.
下面我们将应用行列式的性质计算行列式，为书写方便我们约定使用表示行列式的行（列），符号表示行列式的第行（列）元素的倍加到第行（列）对应元素上，符号表示互换行列式的第与第两行（列），符号表示行列式第行（列）元素同乘以常数.
例4.1计算.
例4.2计算.
例4.3计算n阶行列式
例4.4如果，则称行列式为反对称行列式，证明奇数阶的反对称行列式等于零.
根据行列式性质可得：
当为奇数时，得，因而.
1.设行列式，依下列次序对进行如下变换：交换第1行与第5行，再转置，用2乘所有元素，再用(-3)乘以第2列元素加到第4列，最后用4除第2行各元素，求其结果.
2.计算下列各行列式：
（1）（2）（3）（4）,其中.
&1.5行列式按行(列)展开
通常情况下，低阶行列式的计算要比高阶行列式简便，本节讨论利用低阶行列式表示高阶行列式的问题，为此我们首先引入余子式和代数余子式的概念.
一、余子式、代数余子式
定义5.1在阶行列式中划去元素所在的第行第列元素后，余下的行与列元素按原位置构成的阶行列式称为中元素的余子式，记为，称为元素的代数余子式.
例如四阶行列式
中的元素余子式和代数余子式分别为:
二、 行列式按行(列)展开法则
定理5.1阶行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即
证明首先，讨论的第一行中除元素外，其余元素都为零的特殊情形，即
其次，讨论行列式的第行除元素外，其余元素都为零的情形，即
将的第行依次与第交换后，再将第列依次与第列交换，得
由第一种情形可得.
最后，讨论一般情形
由第二种情形可得
同理也可得按列展开的情形.：
例如，将三阶行列式按第一行展开有：
推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
证明设，考虑将D的第j行元素换成第i行元素所得到的新行列式
将按第j行展开，则
另一方面，的第行和第行对应元素相同，故，从而
综上所述，可得到有关代数余子式的一个重要结论
求，其中为中元素的代数余子式.
解构造行列式，由于行列式与后三行元素相同，因此它们第一行元素的代数余子式相同，将行列式按第一行展开可得
例5.2证明范德蒙行列式
其中“”表示连乘号，例如的连乘积记为：
而表示所有因子的连乘积，即
证明用数学归纳法证明.因为
所以当时结论成立.假定结论对阶范德蒙行列式成立，下证结论对n阶也成立，由Dn的最后一行开始，由下而上，依次地用下一行减去上一行的倍，得
然后按第1列展开，并提取各列元素的公因子，得
上式右端的行列式是n－1阶范德蒙行列式，根据归纳假设，得
1.求下列行列式第四行各元素余子式之和：
（1）（2）
2.计算下列行列式的值.
（1）（2）
&1.6 几类常用的行列式计算方法
本节我们将介绍几种计算行列式的常用方法.
一、化上三角行列式
例6.1计算行列式
二、利用行列式展开公式
例6.2计算行列式
解将行列式按第四行展开得：
三、转化箭型行列式
我们称形如
的行列式为箭型（爪型）行列式.对于这种类型的行列式，可将第列相应的倍数加至第1列，将行列式转化为上三角行列式，即：
例6.3计算下列行列式
四、加边法
例6.4计算下列行列式
解构造行列式
则，其中分别为行列式中元素的余子式和代数余子式，另一方面将行列式按最后一列展开得
比较系数得：
五、递推法
例6.5计算行列式
解将行列式按第一行展开得：
代入可得原式.
六、归纳法
例6.6证明行列式
解将行列式按第一行展开得：
当时，命题成立，假设命题成立，则当时，
根据数学归纳法原命题成立.
&1.7 克拉默（Cramer）法则
三元线性方程组
若系数行列式，该方程组有唯一解：
那么对于更一般的元线性方程组是否有类似的结果？克拉默法则回答了这个问题.
定义7.1含有个未知量的线性方程组
称为元线性方程组.当其右端的不全为零时，线性方程组（7.1）称为非齐次线性方程组；当其右端的全为零时，线性方程组（7.1）称为齐次线性方程组.
其中线性方程组（7.1）中所有未知量的系数构成的行列式称为该方程组的系数行列式
方程组（7.1）可简写为
定理7.1（Cramer法则）若方程组（7.1）的系数行列式，则方程组有唯一解：
即是把系数行列式D的第列元素换为方程组（1）的右边常数列所构成的行列式.
证明假定，首先验证是方程组（7.1）的解.
将带入第个方程得：
即为方程组（7.1）的解.
再证解的唯一性.
假设是方程组（7.1）的任一解，代入方程组（7.1）得
构造行列式
该行列式的第列分别乘以后加至第一列，得
同理可证明，即方程组（7.1）的解唯一.
对于齐次线性方程组，一定是该方程组的解，称其为齐次线性方程组（7.2）的零解，齐次线性方程组（7.2）除零解外是否还有非零解，可由以下定理判定.
定理7.2齐次线性方程组（7.2）仅有零解的充分必要条件为齐次线性方程组（7.2）的系数行列式.
证明充分性.
因为系数行列式，由克拉默法则，方程组（7.2）有唯一解，又因为方程组（7.2）必有零解，所以齐次线性方程组（7.2）仅有零解.
必要性我们留在第三章中证明.
例7.1解下列线性方程组
解方程组的系数行列式是范德蒙行列式
也是范德蒙行列式，如
类似计算得：.从而方程组有唯一的解
例7.2当为何值时，线性方程组
有非零解？
解因为系数行列式=，
故由定理7.2可知，当或时该线性方程组有非零解.
应当指出，用Cramer法则解线性方程组时必须具备两个条件：一是方程个数与未知数个数相等，二是系数行列式.克莱默法则的优越之处主要在于利用系数及常数项组成的行列式把方程组的解简洁地表示出来.在系数行列式不等于零时，肯定了解的唯一性，这在理论分析上具有十分重要的意义.但用克莱默法则解n元线性方程组要计算n+1个阶行列式，计算量较大，因此在具体计算上它不是一个可行的方法.在第三章，我们将借助矩阵这一工具来研究一般线性方程组的求解问题.
1.用克莱默法则解下列线性方程组
（1）（2）.
2.问取何值时，齐次线性方程组
有非零解？
3.设平面上立方曲线通过点四点，求系数.
1.求下列排列的逆序数，并确定排列的奇偶性：
（1）3712456 （2）
（3） （4）
2.计算下列行列式.
(4)(5)(6).
3.写出4阶行列式中含有因子的项.
4.（1）设阶行列式中有个以上元素为零，证明该行列式的值为零.
（2）如果级行列式中有行与列交叉处元素为零，而，则该行列式为零。
5.用行列式定义确定下列行列式中项的系数.
6.计算下列各行列式：
（1）（2）（3）
（4）（5）
（8）；（9）
8.已知能被整除，证明也能被整除。
10.计算其中.
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祊碎°TA245
【定义】由n^2个数组成的n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的.D =a11
a11a22a33a44 - a11a22a34a43 - a11a23a32a44 + a11a23a34a42+ a11a24a32a43 - a11a24a33a42 - a12a21a33a44 + a12a21a34a43 + a12a23a31a44 - a12a23a34a41 - a12a24a31a43 + a12a24a33a41 + a13a21a32a44 - a13a21a34a42 - a13a22a31a44 + a13a22a34a41 + a13a24a31a42 - a13a24a32a41 - a14a21a32a43 + a14a21a33a42 + a14a22a31a43 - a14a22a33a41 - a14a23a31a42 + a14a23a32a41上图D=0-0-0+0+0-0-0+0+0-0-0+0+0-0-0+0+0-0-1+0+0-0-0+0=-1PS:这定义法真是作死啊，根本用不着~~码字不容易，望采纳~~
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